  ; 2 avec 6000 et  400. Afin de gérer au plus près son quota laitier, un éleveur faisant naître des vaches de cette race calcule certaines probabilités.

(1)

Cheptel de vaches

On considère le cheptel français des vaches de la race FFPN (française frisonne pis noir). On suppose que la variable aléatoire X associant à toute vache du cheptel sa production laitière de l’année suit une loi normale

^N

 ^{ }

^; ²

 ^avec ^

^⁶⁰⁰⁰

^et ^

^⁴⁰⁰

. Afin de gérer au plus près son quota laitier, un éleveur faisant naître des vaches de cette race calcule certaines probabilités.

Des réflexions ave la loi normale

1. Quelle est la probabilité qu’une vache produise moins de 5600 litres par an ? 0,1587

2. Quelle est la probabilité qu’une vache produise entre 5600 et 6400 litres par an ? 0,6827

3. Quelle est la probabilité qu’une vache produise plus de 6400 litres par an ? 0,1586

4. Quelle est la probabilité qu’une vache produise moins de 5200 litres par an ? 0,0228

5. Quelle est la probabilité qu’une vache produise entre 5200 et 6800 litres par an ? 0,9545

6. Quelle est la probabilité qu’une vache produise plus de 6800 litres par an ? 0,0228

7. Quelle est la probabilité qu’une vache produise moins de 4800 litres par an ? 0,0014

8. Quelle est la probabilité qu’une vache produise entre 4800 et 7200 litres par an ? 0,9973

9. Quelle est la probabilité qu’une vache produise plus de 7200 litres par an ? 0,0014

Des réflexions symétriques : utilisation de l’inverse normale

10. Quelle est la production maximale prévisible des 30% des vaches les moins productives du troupeau ? Quelle est la production minimale prévisible des 20% des vaches les plus productives du troupeau ?

Je cherche

p_max

telle que

p X



 pmax



0, 30

et modélise graphiquement le problème de la manière suivante :

? 30%

(2)



max



max

0, 30

6000

6000 0, 30

400 400

6000 0, 30 400

p X p

p p X

p Z p

 

 

 

      

  

      

J’utilise la touche « inverse normal cd » de la calculatrice et trouve -0,524. Cela signifie que pour couvrir les « 30% gauche » de la surface de la courbe de Gauss il faut aller jusqu’à la borne -0,524.

J’en déduis que :

max

max max

6000 0,524 400

0,524 400 6000 5790, 4

p p p

  

    

 

Je peux conclure que la production maximale prévisible des 30% des vaches les moins productives du troupeau est égale à environ 5790 litres par an.

Je cherche

p_min

telle que

p X



 pmin



0, 20

et modélise graphiquement le problème de la manière suivante :



min

 

min



min

0, 20 0,80

6000

6000 0,80

400 400

6000 0,80 400

p X p p X p

p p X

p Z p

    



  

      

  

      

J’utilise la touche « inverse normal cd » de la calculatrice et trouve 0,842. Cela signifie que pour couvrir les « 80% gauche » de la surface de la courbe de Gauss il faut aller jusqu’à la borne 0,842.

J’en déduis que :

min

min min

6000 0,842 400

0,842 400 6000 6336,8

p p p

 

   

 

Je peux conclure que la production minimale prévisible des 20% des vaches les plus productives du troupeau est égale à environ 6337 litres par an.

? 20%

(3)

Quotient intellectuel

On a étalonné un test de QI de telle sorte que la variable aléatoire X qui attribue à tout individu son score suive la loi normale N d’espérance 100 et d’écart type 15.

1. Calculer la probabilité des trois événements suivants : « X<85 »

« 85<X<115 » et

« X>115 ».

2. Calculer la probabilité des trois événements : « X<70 » « 70<X<130 » et « X>130 ».

3. Calculer la probabilité des trois événements : « X<55 » « 55<X<145 » et « X>145 ».

Pour les questions 1, 2 et 3 voir la correction du premier problème puisque les situations sont identiques et reprennent les probabilités liées aux spécificités des intervalles 1, 2, 3 sigmas.

4. Déterminer la valeur d’un score de QI telle que la probabilité qu’un individu pris au hasard obtienne un score plus faible soit égal à 1/3.

Je modélise la question par le graphique suivant :

Pour les détails du raisonnement voir la correction du premier problème.

Le score de QI cherché est égal à 94 environ.

5. Déterminer la valeur d’un score de QI telle que la probabilité qu’un individu pris au hasard obtienne un score plus élevé soit égal à 1/4.

Je modélise la question par le graphique suivant : (voir page 4)

Pour les détails du raisonnement voir la correction du premier problème.

Le score de QI cherché est égal à 110 environ.

? 1/3

(4)

Garantie sous contrôle

La compagnie Goodweek fabrique des pneus qui ont une durée de vie moyenne de 50000 kilomètres avec un écart type de 4000 kilomètres. On prélève un pneu dans la production et on modélise sa durée de vie par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance 50000 et d’écart type 4000.

1. Déterminer la probabilité que ce pneu ait une durée de vie inférieure à 46000 km, ait une durée de vie supérieure à 54000 km, ait une durée de vie comprise entre 46000 et 54000.

2. Déterminer la probabilité que ce pneu ait une durée de vie inférieure à 42000 km, ait une durée de vie supérieure à 58000 km, ait une durée de vie comprise entre 42000 et 58000.

3. Déterminer la probabilité que ce pneu ait une durée de vie inférieure à 38000 km, ait une durée de vie supérieure à 62000 km, ait une durée de vie comprise entre 38000 et 62000.

Pour les questions 1, 2 et 3 voir la correction du premier problème puisque les situations sont identiques et reprennent les probabilités liées aux spécificités des intervalles 1, 2, 3 sigmas.

4. Sur chaque pneu acheté, le client bénéficie d’une garantie si une défaillance survient avant un certain nombre de kilomètres parcourus. Estimer ce nombre N si l’entreprise ne souhaite pas appliquer sa garantie à plus de 2% des pneus vendus.

Je modélise la question par le graphique suivant :

Pour les détails du raisonnement voir la correction du premier problème.

Le nombre de kilomètres cherché est égal à 41785 environ.

? 1/4

?

(5)

Satisfaire le cahier des charges

On envisage de construire à l’entrée d’une caserne une guérite dans laquelle pourra s’abriter le sentinelle en cas d’intempéries. La taille des sentinelles est distribuée selon la loi normale de moyenne 175 centimètres et d’écart type 7 centimètres. On se pose la question suivante : quelle doit être la hauteur minimale du toit de la guérite pour que 99% des sentinelles puissent s’y tenir debout ? Introduire une variable aléatoire X, traduire la question posée en termes de probabilités.

Je modélise la question par le graphique suivant :

Pour les détails du raisonnement voir la correction du premier problème.

La taille de la guérite doit être de 191 centimètres environ.

? 99%