TD 16
Lois continues de probabilités
T.S
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My Maths Space - 2016
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EXERCICE 1 :
A
M B
C2 C1
P1
P2
Le point M étant choisi au hasard sur le segment [0; 4] de longueur 4, on construit le carréC1 dans le demi-planP1et le carréC2 dans le demi-plan P2 comme indiqué sur la figure ci-contre.
1. Quelle est la probabilité d’avoir : aire(C1)=aire(C2) ?
2. Quel est de l’événementE=aire(C1)+aire(C2)>10 et de son contraire E le plus probable ?
EXERCICE 2 :
A tout réel pris au hasard dans [0; 2], on associe le pointM du demi-cercle Γ, de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1, tel queAM=x.
B O A
Γ M
x
1. Prouver que 2 +√ 3 = 1
2(√
3 + 1)2. Donner une relation équivalente pour 2−√ 3.
2. Montrer que l’ensemble des solutionsS dans [0; 2] de l’inéquation d’inconnuex, (4−x2)x261 est : S=
0;
√2 2 (√
3−1)
∪ √
2 2 (√
3 + 1); 2
3. Calculer la probabilité de l’événement « aireAOM inférieur ou égal à 0,25 ».
réponse: 1−
√2 2
4. On considère l’algorithme suivant :
Variables : f, a, xréels etn, ientier Initialisations : Affecter 0 àf
Entrée : Liren(prendre au moins 100) Traitement : Pouriallant de 1 àn
Choisir aléatoirementxdans [0 ;2]
Affecter aire(AOM) àa Sia60.25 alorsf =f + 1 Affecterf /nà f
Sortie : Afficherf.
Coder cet algorithme avec le langage de votre choix. Le tester 3 fois et relever la valeur de f. Préciser, pour chaque valeur def l’intervalle
f − 1
√n;f+ 1
√n
. Contiennent-ils la probabilité déterminer à la question précédente ? (Vers la notion d’intervalle de confiance)
EXERCICE 3 :
On appellepla « loi de durée de vie sans vieillissement » sur [0; +∞[ de paramètreλ >0.
Ce paramètre λest attaché à une substance radioactive, et on admet que, siI est un intervalle contenu dans [0; +∞[, p(I) désigne la probabilité pour un noyau de cette substance de se désintégrer à un instantt appartenant àI.
1. tet sdésignent deux réels positifs.
Calculerp([t;t+s]) ; que représente ce nombre ?
2. On sait qu’un noyau n’est pas désintégré à l’instantt. Quelle est la probabilité qu’il se désintègre entre les instantstet t+s? Ce résultat dépend-il det?
3.(a) Calculer en fonction deλle tempsτ tel que :
p([0;τ]) = 1 2
Ce nombreτ est appelé demi-vie, ou période, de l’élément radioactif considéré.
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(b) Quelle est la probabilité qu’un noyau donné se désintègre entre les instantstett+τsachant qu’il n’est pas désintégré à l’instantt?
4. La demi-vieτ et la constanteλsont très variables d’un élément radioactif à l’autre.
(a) Le carbone 14 a une demi-vie de 5730 années ; calculer sa constante de désintégration annuelle.
(b) La constante de désintégration annuelle de l’uranium 238 est de 1,54×10−10 environ. Quelle demi-vie peut-on en déduire pour l’uranium 238 ?
EXERCICE 4 :
Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au deuxième fournisseur et 30 % au troisième fournisseur.
Le premier fournisseur fabrique 97 % d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98 % d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95 % d’ampoules sans défaut.
1. On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D l’évènement « l’ampoule est défectueuse », F1 l’évènement
« l’ampoule provient du premier fournisseur », F2 l’évènement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur » et F3 l’évènement « l’ampoule provient du troisième fournisseur ».
(a) Calculer la probabilité de l’évènement D, notéeP(D).
(b) Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilitéPD(F1) qu’elle provienne du premier fournis- seur ?
Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10−3près dePD(F1).
2. On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969.
On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilitéRqu’une ampoule au plus soit défectueuse.
On donnera une valeur approchée à 10−3 près deR.
3. La durée de vie en heures d’une ampoule, notéeT, suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètreλ= 1
50 000= 2.10−5.
Selon cette loi, pour toutxde [0, +∞[, P(T 6x) = Z x
0
λe−λtdt.
(a) Quelle est la probabilitéP1 qu’une ampoule dure plus de 25000 heures ? Donner la valeur exacte deP1.
(b) Quelle est la probabilitéP2 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures ? Donner la valeur exacte deP2.
(c) Quelle est la probabilitéP3 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures, sachant qu’elle a déjà duré 25000 heures ? Donner la valeur exacte deP3.
EXERCICE 5 :
La sélection chez les vaches laitières de race « Française Frisonne Pis Noir ». La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne µ= 6000 et d’écart-typeσ= 400. La fonctiong désigne la fonction de densité de cette loi normale.
1. Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée), en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités.
(a) Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres par an.
(b) Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de cette race produise entre 5900 et 6100 litres de lait par an.
(c) Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de cette race produise plus de 6250 litres par an.
2. Dans son futur troupeau, l’éleveur souhaite connaître :
(a) La production maximale prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau.
(b) La production minimale prévisible des 20% des vaches les plus productives.
EXERCICE 6 :
La durée de vie d’un certain type d’appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80% de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours.
1. Quelles sont les valeurs deµet σ2?
2. Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours ?
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