Conductivité dans le modèle de Hubbard bi-dimensionnel à faible couplage

Conductivit´e dans le mod`ele de Hubbard bi-dimensionnel `a faible couplage

par

Dominic Bergeron

Th` ese pr´ esent´ ee au d´ epartement de physique

en vue de l’obtention du grade de docteur ` es sciences (Ph.D.)

FACULT´ E DES SCIENCES UNIVERSIT´ E DE SHERBROOKE

Sherbrooke, Qu´ ebec, Canada, 28 avril 2011

ii

Composition du jury

Prof. Claude Bourbonnais D´ epartement de physique

Pr´ esident-rapporteur

Prof. Andr´ e-Marie Tremblay D´ epartement de physique

Directeur de recherche

Prof. Bertrand Reulet D´ epartement de physique

Prof. Peter Hirschfeld

Department of Physics, University of Florida Membre externe

iii

iv

A mes parents `

v

vi

Sommaire

Le mod` ele de Hubbard bi-dimensionnel (2D) est souvent consid´ er´ e comme le mod` ele minimal pour les supraconducteurs ` a haute temp´ erature critique ` a base d’oxyde de cuivre (SCHT). Sur un r´ eseau carr´ e, ce mod` ele poss` ede les phases qui sont communes ` a tous les SCHT, la phase antiferromagn´ etique, la phase supraconductrice et la phase dite du pseudogap. Il n’a pas de solution exacte, toutefois, plusieurs m´ ethodes approximatives permettent d’´ etudier ses propri´ et´ es de fa¸con num´ erique. Les propri´ et´ es optiques et de transport sont bien connues dans les SCHT et sont donc de bonne candidates pour va- lider un mod` ele th´ eorique et aider ` a comprendre mieux la physique de ces mat´ eriaux.

La pr´ esente th` ese porte sur le calcul de ces propri´ et´ es pour le mod` ele de Hubbard 2D

`

a couplage faible ou interm´ ediaire. La m´ ethode de calcul utilis´ ee est l’approche auto- coh´ erente ` a deux particules (ACDP), qui est non-perturbative et inclue l’effet des fluc- tuations de spin et de charge ` a toutes les longueurs d’onde. La d´ erivation compl` ete de l’expression de la conductivit´ e dans l’approche ACDP est pr´ esent´ ee. Cette expression contient ce qu’on appelle les corrections de vertex, qui tiennent compte des corr´ elations entre quasi-particules. Pour rendre possible le calcul num´ erique de ces corrections, des algorithmes utilisant, entre autres, des transform´ ees de Fourier rapides et des splines cu- biques sont d´ evelopp´ es. Les calculs sont faits pour le r´ eseau carr´ e avec sauts aux plus proches voisins autour du point critique antiferromagn´ etique. Aux dopages plus faibles que le point critique, la conductivit´ e optique pr´ esente une bosse dans l’infrarouge moyen

`

a basse temp´ erature, tel qu’observ´ e dans plusieurs SCHT. Dans la r´ esistivit´ e en fonction de la temp´ erature, on trouve un comportement isolant dans le pseudogap lorsque les cor- rections de vertex sont n´ eglig´ ees et m´ etallique lorsqu’elles sont prises en compte. Pr` es du point critique, la r´ esistivit´ e est lin´ eaire en T ` a basse temp´ erature et devient progressive- ment proportionnelle ` a T

` a fort dopage. Quelques r´ esultats avec sauts aux voisins plus

´

eloign´ es sont aussi pr´ esent´ es.

Mots-cl´ es: Hubbard, point critique quantique, conductivit´ e, corrections de vertex

vii

viii Sommaire

Remerciements

Je remercie d’abord mon superviseur Andr´ e-Marie, pour sa confiance, sa passion, sa tr` es grande disponibilit´ e, sa gentillesse, sa bonne humeur et tout le reste, la liste est trop longue pour ˆ etre ´ enum´ er´ ee. Merci ` a nos collaborateurs Vasyl et Bumsoo pour leur ex- cellent travail dont cette th` ese est la continuation. Un gros merci ` a Steve Allen pour son aide pr´ ecieuse durant l’´ ecriture du code et aux autres gens du Centre de Calcul Scienti- fique de l’universit´ e pour leur excellent travail dans l’administration du super ordinateur Mammouth avec lequel presque tous les calculs de cette th` ese ont ´ et´ e faits. Merci aussi ` a Patrick Vachon pour son aide toujours rapide et efficace ` a r´ egler tous les probl` emes d’or- dinateurs personnels et de r´ eseau au d´ epartement. Merci ` a tous mes coll` egues, actuels et anciens, du groupe Tremblay, Patrick, Louis-Fran¸cois, Shila, Giovanni, Syed Hassan, Bahman, Dominique, Charles, S´ ebastien et Mathieu, pour toutes les bonnes discussions, sur la physique ou autre, et pour l’entraide et la solidarit´ e entre coll` egues, qui nous per- met d’avancer et d’atteindre nos buts. Merci ` a mes amis du “groupe Taillefer ´ elargi”, Jean-Philippe, Nicolas, Olivier, Jacques, Johan, David, Manu, Aur´ elie et Sebastien, pour tous les bons moments. Merci ` a mes amis de Montr´ eal, pour votre fid´ elit´ e et votre sup- port. Enfin, un immense merci ` a toute ma famille, pour votre amour et votre soutient constant, sans lesquels je ne serais pas qui je suis et je n’aurais pas accompli autant.

ix

x Remerciements

Table des mati` eres

Sommaire vii

Table des mati` eres xi

Table des figures xv

Introduction 1

1 M´ ethodologie 9

1.1 Fonctions de Green et th´ eorie des perturbations . . . . 9

1.2 La conductivit´ e optique en r´ eponse lin´ eaire pour le mod` ele de Hubbard . . 21

1.3 M´ ethode des d´ eriv´ ees fonctionnelles . . . 30

1.4 La conductivit´ e dans la m´ ethode auto-coh´ erente ` a deux particules . . . 34

2 Article : Conductivit´ e autour du point critique quantique 37 I Introduction . . . 39

II M´ ethodologie . . . 41

A Mod` ele . . . 41

B Conductivit´ e en r´ eponse lin´ eaire . . . 41

C Approche auto-coh´ erente ` a deux particules . . . 42

D Conductivit´ e dans l’approche ACDP . . . 46

E Algorithmes de calcul . . . 50

III R´ esultats num´ eriques . . . 53

A R` egle de somme f . . . 53

B Conductivit´ e optique . . . 54

C R´ esistivit´ e en fonction de la temp´ erature et du dopage pr` es du point critique quantique . . . 55

xi

xii Table des mati` eres

IV Discussion . . . 57

V Conclusion . . . 59

A R` egle de somme f pour la conductivit´ e . . . 60

B Identit´ e de Ward . . . 61

C Transform´ ees de Fourier rapides, splines cubiques et d´ eveloppements asymp- totiques . . . 63

D Choix des fr´ equences de Matsubara . . . 71

E Transform´ ee de Fourier d’une spline cubique . . . 71

F Prolongement analytique pour la conductivit´ e . . . 72

Bibliographie . . . 77

3 Compl´ ement aux r´ esultats de l’article 79 3.1 Taux de diffusion et fonction spectrale . . . 79

3.2 R´ esistivit´ e avec param` etres de saut au seconds et troisi` emes plus proches voisins . . . 86

Conclusion 93

A R` egle de somme f pour la conductivit´ e 97 B Hamiltonien avec champ ´ electro-magn´ etique 101 C L’op´ erateur courant dans la base discr` ete 105 D D´ efinition du courant en m´ ecanique classique et semi-classique 111

E Pr´ efacteur de la conductivit´ e 117

F Susceptibilit´ e g´ en´ eralis´ ee 119

G ´ Equation de Bethe-Salpeter 121

H R´ esolution de l’´ equation de Bethe-Salpeter 123

I Transform´ ee de Fourier rapide 129

J Transform´ ee de Fourier d’une spline cubique 131

Table des mati` eres xiii K Prolongement analytique par approximants de Pad´ e 137

L χ

dans la m´ ethode ACDP 141

M Techniques de calcul 161

M.1 Calcul de la self-´ energie TPSC . . . 161 M.2 Calcul de ⟨ k

⟩

. . . 167 M.3 Calcul de χ

(q = 0, iq

) . . . 168 N Vertex irr´ eductible de charge coh´ erent avec l’ansatz TPSC 193

Bibliographie 212

xiv Table des mati` eres

Table des figures

1.1 S´ erie de perturbation pour la fonction de Green . . . 17

1.2 Equation de Dyson et self-´ ´ energie . . . 18

1.3 Equation de Bethe-Salpeter ´ . . . 20

1.4 Fonctionnelle de Luttinger-Ward . . . 32

2.1 Repr´ esentation sch´ ematique de la fonction de corr´ elation courant-courant . 50 2.2 Contributions ` a la r` egle de somme f . . . 54

2.3 Conductivit´ e optique avec et sans corrections de vertex ` a diff´ erents dopages et temp´ eratures . . . 54

2.4 R´ esistivit´ e en fonction de la temp´ erature ` a diff´ erents dopages pr` es du point critique quantique . . . 56

2.5 Coefficients A et B dans le lissage de la r´ esistivit´ e avec la forme AT + BT

, en fonction du dopage, ` a partir du point critique quantique . . . 56

3.1 Distribution en ´ energie de la fonction spectrale ` a la densit´ e n = 1.17 . . . . 80

3.2 Distribution en ´ energie de la fonction spectrale ` a la densit´ e n = 1.32 . . . . 81

3.3 Distribution en ´ energie de la partie incoh´ erente de la fonction spectrale ` a la densit´ e n = 1.32 . . . 82

3.4 Distribution en k du taux de diffusion et de la fonction spectrale au niveau de Fermi ` a gauche et pr` es du point critique . . . 83

3.5 Distribution en k du taux de diffusion et de la fonction spectrale au niveau de Fermi ` a droite du point critique . . . 84

3.6 Distribution en k du taux de diffusion et de la fonction spectrale au niveau de Fermi dans le r´ egime pseudogap . . . 85

3.7 R´ esistivit´ e en fonction de la temp´ erature avec t

et t

du cˆ ot´ e dop´ e en ´ electrons . . . 86

xv

xvi Table des figures 3.8 Longueur de corr´ elation magn´ etique et position du maximum de la sus-

ceptibilit´ e ` a gauche du point critique avec t

et t

, du cˆ ot´ e dop´ e en ´ electrons 88 3.9 R´ esistivit´ e en fonction de la temp´ erature et longueur de corr´ elation ma-

gn´ etique ` a gauche du point critique avec t

et t

, du cˆ ot´ e dop´ e en trous . . 89 3.10 Distribution en k du taux de diffusion et de la fonction spectrale au niveau

de Fermi ` a gauche du point critique, du cˆ ot´ e dop´ e en trous . . . 90 3.11 Coefficients A et B en fonction du dopage en ´ electrons pour les lissages

ρ ( T ) = AT + BT

avec t

et t

. . . 91

Introduction

La d´ ecouverte de la supraconductivit´ e ` a haute temp´ erature critique en 1986 par Jo- hannes Georg Bednorz et Karl Alexander M¨ uller [7] a grandement stimul´ e le d´ eveloppe- ment des approches th´ eoriques pour traiter les syst` emes d’´ electrons fortement corr´ el´ es.

Cela est dˆ u au fait que les supraconducteurs ` a haute temp´ erature critique ` a base d’oxyde de cuivre (SCHT) poss` edent plusieurs phases qui ne peuvent pas ˆ etre d´ ecrites par la th´ eorie des bandes. Par exemple, la th´ eorie de la fonctionnelle de densit´ e pr´ edit que les compos´ es parents, c’est-` a-dire non dop´ es, de ces mat´ eriaux sont des m´ etaux, alors qu’il s’agit d’isolants [56, 66, 34]. Ce comportement isolant est dˆ u ` a une forte r´ epulsion de Coulomb locale et est appel´ e isolant de Mott. De plus, ` a faible dopage, ces mat´ eriaux ont une phase antiferromagn´ etique qui ne peut pas non plus ˆ etre d´ ecrite par une th´ eorie ` a un

´

electron [44, 14]. Le mod` ele le plus simple pour repr´ esenter ces syst` emes est le mod` ele de Hubbard, qui contient un terme cin´ etique (K) donnant l’´ energie d’´ electrons ind´ ependants dans un syst` eme p´ eriodique et un terme d’´ energie de r´ epulsion (U ) entre deux ´ electrons se trouvant sur un mˆ eme site du r´ eseau. Le mod` ele tire son nom de John Hubbard qui l’a ´ etudi´ e au d´ ebut des ann´ es 1960 dans la limite o` u U est grand par rapport ` a K en utilisant la technique des ´ equations du mouvement pour les fonctions de Green [27, 28].

Le mod` ele de Hubbard n’a de solution exacte qu’en une dimension [46]. En deux ou trois dimensions des m´ ethodes approximatives sont n´ ecessaires pour ´ etudier ses propri´ et´ es. Ce mod` ele permet, entre autre, de d´ ecrire la phase isolante de Mott [71] et, lorsqu’il y a en moyenne un ´ electron par site, dans la limite o` u le terme de Coulomb est grand par rapport au terme cin´ etique, il se transforme pour donner le mod` ele de Heisenberg, utilis´ e dans la th´ eorie quantique du magn´ etisme.

Comme les SCHT ont des propri´ et´ es fortement bi-dimensionnelles, une structure t´ e- tragonale et qu’une seule bande croise le niveau de Fermi, le mod` ele minimal pour les d´ ecrire est le mod` ele de Hubbard bi-dimensionnel (2D) ` a une bande sur un r´ eseau carr´ e [54]. Ce mod` ele a un diagramme de phase tr` es similaire ` a celui des SCHT. Autour du

1

2 Introduction demi-remplissage, il poss` ede une phase antiferromagn´ etique [33]. Lorsque l’´ energie de r´ e- pulsion ´ electron-´ electron est plus grande que la largeur de bande, cette phase est aussi un isolant de Mott [71]. ` A partir d’un certain dopage en trous ou en ´ electrons, on trouve aussi une phase supraconductrice [33, 42, 8, 52]. Enfin, le mod` ele de Hubbard 2D a aussi un r´ egime de “pseudogap”, caract´ eris´ e par une destruction partielle de la surface de Fermi, dˆ u ` a l’apparition de corr´ elations spatiales ` a plus ou moins longue port´ ee [25, 41]. Comme on ne connaˆıt exactement que la limite sans interaction (U nul) et la limite atomique (U infini) de ce mod` ele, les m´ ethodes de calcul sont toujours du type faible ou fort couplage, en r´ ef´ erence ` a la limite dans laquelle elles sont valides. En fait, toutes ces m´ ethodes sont exactes lorsque U = 0, mais les m´ ethodes dites ` a fort couplage ne traitent les corr´ elations

`

a longue port´ ee qu’en champ moyen, ce qui ne permet pas de bien d´ ecrire le syst` eme

`

a faible U , o` u des fluctuations ` a grandes longueur d’onde sont pr´ esentes. Notons que, dans un mod` ele bi-dimensionnel, on ne peut observer de transition de phase avec brisure d’une sym´ etrie continue ` a temp´ erature finie [57]. Toutefois, on peut observer un r´ egime dit classique renormalis´ e, dans lequel la longueur de corr´ elation ξ associ´ ee ` a un mode collectif croˆıt comme ξ ∝ exp( const / T ) [11, 75]. Il suffit alors d’un tr` es faible couplage tunnel entre les plans pour qu’une transition de phase apparaisse [18].

Parmi les m´ ethodes ` a fort couplage, la plus utilis´ ee est la m´ ethode du champ moyen dynamique, ou DMFT pour “Dynamical Mean Field Theory”, et sa version sur amas, la CDMFT (“Cellular-” ou “Cluster-DMFT”) [23, 37]. Il y a aussi l’approche variation- nelle sur amas, ou VCA (“Variational Cluster Approach”) [64], la th´ eorie de perturbation sur amas, ou CPT (“Cluster Perturbation Theory”) [69], l’approximation dynamique sur amas, ou DCA (“Dynamical Cluster Approximation”) [30], et l’approche par diagonalisa- tion exacte d’amas [13]. Les m´ ethodes DMFT, CDMFT, VCA et CPT peuvent ˆ etre vues comme des cas particuliers de l’approche par fonctionnelle de la self-´ energie (“Self-energy Functional Approach”) [62]. Puisque ces m´ ethodes utilisent des approximations bas´ ees sur des amas finis, elles ne tiennent compte des corr´ elations spatiales qu’` a tr` es courte port´ ee.

Ce type d’approximation est valide lorsque U est grand par rapport ` a K , de sorte que la

r´ epulsion coulombienne tend ` a localiser les particules et donc ` a limiter dans l’espace les

corr´ elations. Ces m´ ethodes tiennent en g´ en´ eral bien compte des corr´ elations temporelles

locales, responsables de la transition de Mott. Quant aux m´ ethodes valides ` a faible cou-

plage, les plus utilis´ ees sont le groupe de renormalisation fonctionnel [22, 38], l’approche

d’´ echange de fluctuations, ou FLEX (“FLuctuation-EXchange”) [8], et la m´ ethode auto-

coh´ erente ` a deux particules (ACDP), ou TPSC (“Two-Particle Self-Consistent”) [75, 2].

Introduction 3 Une autre approche tr` es utilis´ ee, qui permet d’´ etudier les syst` emes corr´ el´ es de taille finie, est la m´ ethode Monte Carlo Quantique (MCQ), ou QMC (“Quantum Monte Carlo”) [73].

Cette m´ ethode permet d’obtenir des r´ esultats exacts ` a l’int´ erieur d’une certaine erreur qui peut ˆ etre contrˆ ol´ ee. Par contre, les calculs MCQ pour les syst` emes de fermions ont ce qui est appel´ e “le probl` eme de signe” qui est dˆ u ` a la propri´ et´ e d’anticommutation des fer- mions et fait augmenter l’erreur relative sur les quantit´ es ´ evalu´ ees de fa¸con exponentielle avec le nombre de particules et l’inverse de la temp´ erature [74]. Malgr´ e le probl` eme de signe, l’approche MCQ permet souvent d’obtenir des r´ esultats ` a temp´ erature assez basse pour observer des effets importants des corr´ elations et ce, sur des syst` emes beaucoup plus grands que ce qui est accessible par diagonalisation exacte. La m´ ethode est aussi tr` es utile pour tester la validit´ e des approches approximatives dans des conditions o` u le probl` eme de signe n’est pas trop grave. L’antiferromagn´ etisme et la supraconductivit´ e sont pr´ edits num´ eriquement dans le mod` ele de Hubbard ` a la fois ` a faible couplage [40, 39, 68, 42, 26]

et fort couplage [53, 52, 33, 70, 1, 24]. Ces r´ esultats sont aussi confirm´ es par MCQ [10].

Par contre, la phase isolante de Mott n’est pr´ edite qu’` a fort couplage, lorsque U est plus grand qu’une valeur critique U

. L’analyse des r´ esultats sur le mod` ele de Hubbard montre que la supraconductivit´ e est due ` a une interaction effective retard´ ee attractive entre les

´

electrons cr´ e´ ee par un ´ echange de fluctuations antiferromagn´ etiques [67, 43].

Dans la litt´ erature exp´ erimentale sur les SCHT, les propri´ et´ es optiques et de transport sont parmi les plus ´ etudi´ ees. Elles sont donc de bonnes candidates pour valider un mod` ele th´ eorique de ces mat´ eriaux. Pour le mod` ele de Hubbard 2D, on trouve dans la litt´ erature des r´ esultats de conductivit´ e optique sur des amas, dont ceux obtenus par diagonalisa- tion exacte ` a temp´ erature nulle [59, 72, 15] et finie [65] (tr` es haute temp´ erature) et par Monte Carlo Quantique [45]. La conductivit´ e optique a aussi ´ et´ e calcul´ ee r´ ecemment par la m´ ethode DCA [47]. Si l’on tente de relier ces r´ esultats aux syst` emes infinis, d’une part, lorsque les interactions ne sont pas tr` es fortes, ces derniers sont surtout pertinents pour les propri´ et´ es optiques ` a haute fr´ equence, qui d´ ependent de la dynamique locale et des corr´ elations ` a courte port´ ee. Lorsque la force des interactions augmente, la conductivit´ e de ces amas converge plus rapidement vers celle du syst` eme infini puisqu’elle d´ epend alors essentiellement des corr´ elations locales (voir les figures 2 et 3 de [72]). Lorsque les inter- actions sont faibles, pour bien d´ ecrire le syst` eme ` a basse fr´ equence, dont la conductivit´ e DC, on doit tenir compte des propri´ et´ es ` a grande longueur d’onde, donc des corr´ elations

`

a longue port´ ee. C’est ce que font les m´ ethodes ` a faible couplage, qui tiennent compte des

corr´ elations ` a toutes les longueurs d’onde, mais n´ egligent en grande partie la dynamique

4 Introduction locale, moins pertinente ` a couplage faible puisque les excitations ` a une particule sont d´ e- localis´ ees. Dans la litt´ erature, les r´ esultats de conductivit´ e ` a faible couplage sont surtout obtenus par la m´ ethode FLEX [16, 35, 36, 76] et en th´ eorie des liquides de Fermi [50, 51].

Ces approches sont par contre limit´ ees aux interactions tr` es faibles et au r´ egime liquide de Fermi ` a haut dopage. La m´ ethode FLEX, par exemple, peut pr´ edire une double occu- pation n´ egative ` a des valeurs de couplage qui ne sont pas tr` es ´ elev´ ees [4]. De plus, cette m´ ethode ne pr´ edit pas de r´ egime de pseudogap dans la densit´ e spectrale ` a une particule r´ esolue en angle [58, 75].

Seuls les calculs sur des syst` emes finis de petite taille permettent d’obtenir la conduc-

tivit´ e de fa¸con exacte. Dans les approximations ` a fort et faible couplage qui tentent de

pr´ edire les propri´ et´ es du mod` ele de Hubbard sur un r´ eseau infini, des approximations

suppl´ ementaires sont n´ ecessaires pour obtenir la conductivit´ e. En pratique, cette fonc-

tion est calcul´ ee ` a partir de la fonction de corr´ elation courant-courant. L’approximation

la plus simple pour calculer cette fonction de corr´ elation consiste ` a prendre en compte

l’effet des interactions uniquement sur la fonction spectrale ` a une particule, c’est-` a-dire

sur la dispersion et le temps de vie des quasi-particules, et ` a n´ egliger les corr´ elations entre

quasi-particules. Cela suppose, entre autre, que tous les processus de diffusion peuvent

contribuer ` a la r´ esistivit´ e, alors que, en l’absence de d´ esordre, seul les processus umklapp

permettent la relaxation de la quantit´ e de mouvement totale du gaz d’´ electrons. Cette

approximation est valide seulement en dimension ´ elev´ ee, ou encore lorsque le nombre de

coordination est grand, et devient exacte en dimension infinie [61]. Par contre, en deux

dimensions, le calcul de la fonction de corr´ elation courant-courant doit tenir compte de

l’interaction effective entre une quasi-particule et un quasi-trou. Cette interaction est

contenue dans ce qu’on appelle les corrections de vertex. Ces corrections sont souvent re-

pr´ esent´ ees par des processus impliquant des interactions multiples entre quasi-particules,

il y en a donc une infinit´ e. Les calculs faits avec FLEX [35, 36, 76] ou la th´ eorie des li-

quides de Fermi [50, 51] prennent en compte les corrections de vertex associ´ ees ` a certains

de ces processus, toutefois ils n´ egligent des corrections qui deviennent importantes dans

un r´ egimes de fortes fluctuations. Tel que mentionn´ e dans le paragraphe pr´ ec´ edent, ces

calculs sont donc limit´ es au tr` es faible couplage ou bien au r´ egime liquide de Fermi, qui

ne sont pas les cas les plus int´ eressants, entre autre lorsque l’on cherche ` a comprendre

les r´ esultats exp´ erimentaux. Quant aux r´ esultats de conductivit´ e obtenus par l’approche

DCA [47], il sont surtout limit´ es aux hautes fr´ equences et au couplage fort. L’obstacle

principal lorsqu’on tente d’inclure des corrections de vertex dans les calculs de conducti-

Introduction 5 vit´ e pour un syst` eme infini est que ces derni` eres sont math´ ematiquement tr` es lourdes et deviennent rapidement impossible ` a calculer num´ eriquement lorsque l’ordre du processus augmente. Par cons´ equent, elles sont souvent n´ eglig´ ees par manque de moyens plutˆ ot que parce qu’elles sont r´ eellement n´ egligeables.

L’objectif de la pr´ esente th` ese est d’abord de calculer la conductivit´ e dans l’approche auto-coh´ erente ` a deux particules (ACDP) en incluant les corrections de vertex. Les ex- pressions analytiques de ces corrections dans l’approche ACDP sont obtenues de mani` ere non-perturbative par la m´ ethode des d´ eriv´ ees fonctionnelles. Cette approche, d’une part, ne contient pas l’ambigu¨ıt´e li´ee ` a l’ordre maximal ` a consid´ erer dans les calculs par th´ eorie des perturbations et, d’autre part, permet de traiter les syst` emes ` a couplage interm´ ediaire (U comparable ` a K ) et pas seulement ` a couplage faible. Le travail consiste, en premier lieu ` a refaire la d´ erivation de l’expression analytique de la conductivit´ e dans l’approche ACDP, d´ erivation qui a d´ ej` a ´ et´ e faite auparavant, mais qui, ´ etant donn´ ee sa complexit´ e, n´ ecessite une v´ erification. Cette expression contient un certain nombre d’int´ egrales im- possibles ` a calculer analytiquement et doit donc ˆ etre calcul´ ee num´ eriquement. Toutefois, les termes repr´ esentant les corrections de vertex sont impossibles ` a calculer par la force brute de calcul des ordinateurs actuels dans un temps acceptable ` a l’´ echelle humaine.

Le projet comprend donc un important travail de d´ eveloppement d’algorithmes permet- tant le calcul num´ erique de la conductivit´ e avec les corrections de vertex dans une dur´ ee raisonnable. En pratique, le temps de calcul de la conductivit´ e ` a un dopage n et une temp´ erature T donn´ ee doit ˆ etre assez court pour pouvoir ´ etudier la conductivit´ e dans l’ensemble des r´ egions d’int´ erˆ et du diagramme de phase du mod` ele de Hubbard. Cela n´ ecessite la possibilit´ e de faire le calcul pour plusieurs centaines de points ( n, T ) dans une dur´ ee de quelques semaines avec les ressources informatiques disponibles. Dans ce cas-ci, il s’agit de quelques dizaines de noeuds de calculs ` a huit processeurs et 16 ou 32 giga-octets de m´ emoire vive du super-ordinateur Mammouth de l’Universit´ e de Sher- brooke. L’´ etape suivante consiste ` a traduire les algorithmes en code informatique. Malgr´ e le fait que la m´ ethode ACDP ait ´ et´ e amplement utilis´ ee dans le pass´ e et que plusieurs codes existent pour une partie des calculs, une nouvelle approche, plus optimale que les approches num´ eriques utilis´ ees pr´ ec´ edemment, est n´ ecessaire car le temps de calcul est un param` etre critique dans le cas pr´ esent. De plus, le langage de programmation C++

sera utilis´ e, un langage beaucoup plus polyvalent (et actuel !) que le langage FORTRAN, utilis´ e pour ´ ecrire les codes pr´ ec´ edents de calculs ACDP.

Dans les calculs en th´ eorie ` a N -corps ` a temp´ erature finie, on utilise l’approche de

6 Introduction Matsubara [55], qui consiste ` a calculer d’abord des fonctions qui d´ ependent d’un temps imaginaire ou, dans l’espace de Fourier correspondant, d’une fr´ equence de Matsubara.

Les fonctions ayant un sens physique, qui d´ ependent d’une fr´ equence r´ eelle, sont ensuite obtenus par prolongement analytique. Dans le cas de fonctions de Matsubara calcul´ ees num´ eriquement, le prolongement analytique est une tˆ ache tr` es ardue car elle consiste ma- th´ ematiquement ` a r´ esoudre un syst` eme d’´ equations mal conditionn´ e. Malheureusement, il n’existe pas encore d’approche universellement accept´ ee et de routines prˆ etes ` a l’usage pour accomplir cette tˆ ache. Le r´ esultat obtenu dans l’approche ACDP sera la fonction de corr´ elation courant-courant en fr´ equence de Matsubara, de laquelle la conductivit´ e en fr´ equence r´ eelle doit ˆ etre d´ eduite. Une importante partie du projet consistera donc ` a d´ evelopper un algorithme con¸cu sp´ ecifiquement pour le prolongement analytique de cette fonction et ` a mettre cet algorithme sous forme de code informatique.

Les calculs de conductivit´ e pour le mod` ele de Hubbard bi-dimensionnel ont pour but de comprendre les r´ esultats exp´ erimentaux de r´ esistivit´ e et de conductivit´ e optique sur les supraconducteurs ` a base d’oxyde de cuivre. Une fois la phase de d´ eveloppement des algorithmes et de programmation compl´ et´ ee, la phase suivante du projet consiste ` a ´ etu- dier ces propri´ et´ es dans les r´ egions int´ eressantes exp´ erimentalement du diagramme de phase. L’une des phase que l’on tente de comprendre dans les SCHT est la phase du pseudogap. Dans la conductivit´ e optique, cette phase est caract´ eris´ ee par l’apparition d’une structure en creux suivi d’une bosse dans l’infra-rouge moyen (autour de 0.5eV ) [48, 60, 77]. Dans les propri´ et´ es de transport, le pseudogap est caract´ eris´ e par un chan- gement de comportement de la r´ esistivit´ e en fonction de la temp´ erature. Au dessus de la temp´ erature de pseudogap T

, on observe g´ en´ eralement un comportement m´ etallique de la r´ esistivit´ e dans les directions parall` eles aux plans de cuivre et oxyg` ene. Lorsque la temp´ erature baisse sous T

, dans certains mat´ eriaux, la r´ esistivit´ e se met ` a augmenter [17, 21], alors qu’elle diminue dans d’autres [3, 60]. D’autre part, au dessus de T

, et dans une certaine plage de dopage autour du point T

= 0, la r´ esistivit´ e devient lin´ eaire en T

`

a basse temp´ erature [17, 21, 29, 19]. Ce comportement est diff´ erent de celui d’un m´ etal

normal, pour lequel la r´ esistivit´ e est quadratique ` a basse temp´ erature tel que pr´ edit par la

th´ eorie des liquides de Fermi. De plus, le coefficient du terme lin´ eaire semble disparaˆıtre

au mˆ eme dopage que la supraconductivit´ e du cˆ ot´ e sur-dop´ e [19]. L’analyse des r´ esultats

de la th` ese permettra de v´ erifier si ces propri´ et´ es sont aussi pr´ esentes dans le mod` ele de

Hubbard bi-dimensionnel et, si c’est le cas, d’´ emettre des hypoth` eses sur l’origine de ces

propri´ et´ es dans les mat´ eriaux r´ eels.

Introduction 7 La structure de la th` ese est la suivante : Le chapitre 1 d´ ecrit les outils th´ eoriques utilis´ es dans les calculs et r´ esume la proc´ edure de calcul de la conductivit´ e par l’approche ACDP. Cette proc´ edure est d´ ecrite en d´ etails dans l’article qui constitue le chapitre 2.

Ce dernier pr´ esente les r´ esultats de conductivit´ e optique et de r´ esistivit´ e pour le cas le plus simple du mod` ele de Hubbard sur un r´ eseau carr´ e ` a couplage interm´ ediaire, l’analyse et la discussion de ces r´ esultats et la description d´ etaill´ ee des algorithmes de calcul sont pr´ esent´ es en annexe. Le chapitre 3 pr´ esente des r´ esultats compl´ ementaires ` a ceux de l’article, comprenant des r´ esultats de taux de diffusion et de fonction spectrale et permettant de comprendre mieux les r´ esultats de l’article. Il pr´ esente aussi des r´ esultats de r´ esistivit´ e avec termes de saut au-del` a des plus proches voisins dans l’Hamiltonien.

La discussion des r´ esultats est aussi incluse dans ce dernier chapitre. La conclusion de

la th` ese, incluant des propositions de projets futurs, constitue le dernier chapitre. La fin

de la th` ese est constitu´ ee d’annexes dont A, J, L et M sont aussi inclus dans l’article,

chapitre 2, avec l´ eg` erement moins de d´ etails. L’annexe N est un d´ eveloppement original

pouvant servir ` a am´ eliorer l’une des approximations utilis´ ees dans l’approche ACDP. Les

autres annexes sont des compl´ ements th´ eoriques aux chapitres 1 et 2.

8 Introduction

Chapitre 1

M´ ethodologie

Ce chapitre est consacr´ e ` a l’introduction des outils th´ eoriques qui seront utilis´ es dans la th` ese. Il est pr´ esum´ e que le lecteur a des connaissances de base en seconde quantifica- tion, en physique statistique et en mati` ere condens´ ee. Pour all´ eger la notation, on utilise des unit´ es “naturelles” dans lesquelles h ̵ = 1, la charge ´ el´ ementaire e = 1 et le param` etre de maille du r´ eseau a = 1. Les unit´ es r´ eelles sont retrouv´ ees dans l’annexe E. Le chapitre comprend une introduction aux fonctions de Green et ` a la th´ eorie des perturbations pour le probl` eme ` a N -corps, une d´ erivation de la formule de la conductivit´ e optique en r´ eponse lin´ eaire pour le mod` ele de Hubbard, ensuite une introduction ` a la m´ ethode des d´ eriv´ ees fonctionnelles utilis´ ee pour nos calculs analytiques, et enfin, un r´ esum´ e de la proc´ edure utilis´ ee pour calculer la conductivit´ e dans le cadre de la m´ ethode Auto-Coh´ erente ` a Deux Particules.

1.1 Fonctions de Green et th´ eorie des perturbations

Dans la th´ eorie ` a N -corps, on utilise ce qu’on appelle des fonctions de Green et des fonctions de corr´ elations. Math´ ematiquement, ces fonctions sont d´ efinies de mani` ere formellement identique. Toutefois, la fonction de Green ` a une particule est g´ en´ eralement appel´ ee simplement “fonction de Green” et le terme “fonction de corr´ elation” est utilis´ e pour les fonctions de corr´ elation d’observables. Quant aux fonctions de corr´ elation ` a deux particules g´ en´ erales, elles sont appel´ ees “fonction de Green ` a deux particules”.

La quantit´ ee qui sera utilis´ ee le plus souvent dans cette th` ese, qui est aussi la quantit´ ee

9

10 Chapitre 1 : M´ ethodologie la plus utilis´ ee en th´ eorie ` a N -corps, est la fonction de Green retard´ ee ` a une particule

G

( r

, r

, t − t

) = − i ⟨{ c

( r

, t ) , c

( r

, t

)}⟩ θ ( t − t

) , (1.1) o` u c

(r

, t

) = e

c

(r

) e

cr´ ee une particule de spin σ au site r

du r´ eseau et au temps t

et c

( r

, t ) = e

c

( r

) e

d´ etruit une particule de mˆ eme spin au site r

et au temps t.

On suppose ici que H est ind´ ependant du temps. Les op´ erateurs c

( r

, t ) et c

( r

, t

) sont dans la repr´ esentation de Heisenberg, dans laquelle la d´ ependance par rapport au temps se trouve dans les op´ erateurs plutˆ ot que dans la fonction d’onde. L’anticommutateur { , } est utilis´ e ici car G est une fonction de Green de fermions. Dans le cas des bosons, on utiliserait un commutateur. La notation ⟨ O ⟩ signifie la moyenne thermique de l’op´ erateur O,

⟨ O ⟩ = 1 Z ∑

n

⟨ n ∣ e

O ∣ n ⟩ , (1.2)

o` u β = T

est l’inverse de la temp´ erature, H est l’op´ erateur hamiltonien du syst` eme et Z = ∑

n

⟨ n ∣ e

∣ n ⟩ (1.3)

est la fonction de partition. Les ´ etats ∣ n ⟩ forment une base compl` ete d’´ etats ` a N particules dans la repr´ esentation de Heisenberg. La fonction (1.1) est aussi appel´ ee un “propagateur”, du fait qu’elle contient l’information sur la propagation des excitations ` a une particule, soit les quasi-particules ou les quasi-trous. Elle est dite “retard´ ee” parce que la fonction Heaviside assure que la r´ eponse en r

au temps t ` a une perturbation cr´ eant une quasi- particule (quasi-trous) en r

arrive ` a un temps t

post´ erieur ` a la perturbation. En utilisant la propri´ et´ e cyclique de la trace, il est facile de montrer que la partie de droite de (1.1) ne d´ epend que de la diff´ erence t − t

, d’o` u la notation G ( t − t

).

Maintenant, voyons un peu de th´ eorie des perturbation pour le probl` eme ` a N -corps.

La th´ eorie des perturbations ne sera pas utilis´ ee comme outils de calcul dans la th` ese, mais plusieurs r´ esultats obtenus dans son contexte et certains concepts qui y sont reli´ es sont fr´ equemment utilis´ es en th´ eorie ` a N -corps.

D’abord, on ´ ecrit l’hamiltonien comme H = H

+ V , o` u H

peut ˆ etre r´ esolu exactement

ou approximativement et V , qui ne commute pas avec H

et peut d´ ependre du temps,

est trait´ e comme une perturbation. Avec cette s´ eparation, on d´ efinit la repr´ esentation

§1.1. Fonctions de Green et th´ eorie des perturbations 11 d’interaction, dans laquelle un op´ erateur O s’´ ecrit

O ˆ ( t ) = e

Oe

, (1.4) o` u e

est l’op´ erateur d’´ evolution dans le temps pour l’hamiltonien H

. C’est-` a-dire que

∣ Ψ

( t )⟩ = e

∣ Ψ

( 0 )⟩ est une solution l’´ equation de Shr¨ odinger i

∣ Ψ

( t )⟩ = H

∣ Ψ

( t )⟩ . D’autre part, dans la repr´ esentation d’interaction, la fonction d’onde s’´ ecrit

∣ Ψ ˆ ( t )⟩ = e

∣ Ψ ( t )⟩ (1.5) et il est facile de montrer que, si ∣Ψ( t )⟩ ob´ eit ` a l’´ equation de Shr¨ odinger pour H, ∣ Ψ( ˆ t )⟩

ob´ eit ` a l’´ equation

i ∂

∂t ∣ Ψ( ˆ t )⟩ = V ˆ ( t )∣ Ψ( ˆ t )⟩ , (1.6) o` u ˆ V ( t ) = e

V e

. Maintenant, on d´ efinit l’op´ erateur d’´ evolution dans la repr´ esen- tation d’interaction par

∣ Ψ( ˆ t )⟩ = U ˆ ( t, t

)∣ Ψ( ˆ t

)⟩ . (1.7) En substituant cette expression dans (1.6), on obtient l’´ equation du mouvement pour U ˆ ( t, t

) ,

i ∂

∂t U ˆ ( t, t

) = V ˆ ( t ) U ˆ ( t, t

) . (1.8) En int´ egrant cette ´ equation, on obtient une ´ equation int´ egrale qui se r´ esout de fa¸con it´ erative. On obtient alors l’expression formelle

U ˆ ( t, t

) = T

exp (− i ∫

t t0

dt

V ˆ ( t

)) , (1.9) o` u T

est l’op´ erateur de produit chronologique qui ordonne les op´ erateurs en ordre crois- sant de temps de droite ` a gauche. Cette expression sera utile dans la prochaine section o` u sera d´ eriv´ ee l’expression de la conductivit´ e en r´ eponse lin´ eaire.

Notons que, si U ( t, t

) est d´ efini par ∣Ψ( t )⟩ = U ( t, t

)∣Ψ( t

)⟩, on obtient de (1.5) et (1.7) que

U ( t, t

) = e

U ˆ ( t, t

) e

. (1.10)

Maintenant, si H est ind´ ependant du temps, l’op´ erateur d’´ evolution s’´ ecrit simplement

12 Chapitre 1 : M´ ethodologie U ( t, t

) = e

et, dans la repr´ esentation d’interaction,

U ˆ ( t, t

) = e

U ( t, t

) e

= e

e

e

. (1.11) Le facteur de Boltzmann dans la moyenne thermique peut donc s’´ ecrire

e

= e

e

e

= e

U ˆ (− iβ, 0) . (1.12) On a suppos´ e ici que le temps puisse ˆ etre complexe, ce qui n’a pas de sens physiquement, mais n’est toutefois pas un probl` eme math´ ematiquement. Cela n´ ecessite de r´ e´ ecrire l’in- t´ egrale dans l’argument de (1.9) comme une int´ egrale de contour dans le plan complexe.

L’op´ erateur T

ordonne alors les op´ erateurs en fonction de leur position sur ce contour.

Il n’est toutefois pas n´ ecessaire d’entrer ici dans les d´ etails de ce contour, les d´ efinitions utiles dans un cas moins g´ en´ eral seront donn´ ees un peu plus loin. Maintenant en utili- sant (1.4), (1.11) et (1.12), la moyenne thermique de A ( t ) B ( t

), o` u A ( t ) = e

Ae

et B ( t

) = e

Be

, s’´ ecrit

⟨ A ( t ) B ( t

)⟩ =

∑

⟨ n ∣ e

A ( t ) B ( t

)∣ n ⟩ Z

= ∑

⟨ n ∣ e

U ˆ (− iβ, t ) A ˆ ( t ) U ˆ ( t, t

) B ˆ ( t

) U ˆ ( t

, 0 )∣ n ⟩

∑

⟨ n ∣ e

U ˆ (− iβ, 0 )∣ n ⟩

=

⟨ U ˆ (− iβ, t ) A ˆ ( t ) U ˆ ( t, t

) B ˆ ( t

) U ˆ ( t

, 0)⟩

0

⟨ U ˆ (− iβ, 0)⟩

0

,

(1.13)

o` u ⟨ . . . ⟩

signifie une moyenne par rapport au syst` eme dont l’Hamiltonien est H

. Notons que, puisque la trace ne d´ epend pas de la base, les ´ etats ∣ n ⟩ peuvent ˆ etre quelconques.

Evidemment, on choisi les ´ ´ etats propres de H

et c’est ce qui rend les calculs possibles.

Maintenant, pour calculer la fonction (1.13), directement, on devrait d´ evelopper l’ex- ponentielle dans les op´ erateurs d’´ evolution ˆ U , de sorte que le num´ erateur et le d´ enomi- nateur de (1.13) s’´ ecrivent chacun comme une s´ erie d’int´ egrales dans le plan complexe de valeurs moyennes de produits d’op´ erateurs ordonn´ es “chronologiquement” sur le contour d’int´ egration. La tˆ ache ` a accomplir semble tr` es lourde. Il y a toutefois une astuce math´ e- matique et trois th´ eor` emes qui permettent d’y arriver.

L’astuce consiste ` a d´ efinir une fonction analogue ` a (1.1), mais dont la coordonn´ ee

temporelle est imaginaire, de sorte que l’´ evolution de tous les op´ erateurs dans les va-

leurs moyennes se fasse sur l’axe imaginaire. Les int´ egrales se font ainsi uniquement sur

§1.1. Fonctions de Green et th´ eorie des perturbations 13 l’axe imaginaire plutˆ ot que sur un contour plus compliqu´ e dans le plan complexe [9].

Commen¸cons par d´ efinir cette fonction, appel´ ee fonction de Green de Matsubara, et nous verrons plus loin comment retrouver la fonction de Green en temps r´ eel ` a partir de cette derni` ere. Supposons que l’on d´ efinit un temps imaginaire t = − iτ, o` u τ est r´ eel, on d´ efinit la fonction de Green de Matsubara comme

G

( r

, r

; τ − τ

) = − ⟨ T

c

( r

, τ ) c

( r

, τ

)⟩

= − ⟨ c

(r

, τ ) c

(r

, τ

)⟩ θ ( τ − τ

) + ⟨ c

(r

, τ

) c

(r

, τ )⟩ θ ( τ

− τ ) , (1.14) o` u la d´ ependance des op´ erateurs sur τ est donn´ ee par O ( τ ) = e

Oe

. Cette expression d´ efinit aussi l’op´ erateur de produit chronologique dans le temps imaginaire T

, qui a le mˆ eme effet sur les op´ erateurs d´ ependants du temps imaginaire que T

dans le temps r´ eel.

Notons qu’ici T

est appliqu´ e ` a un produit d’op´ erateurs de fermions, qui doit changer de signe lorsque l’ordre de deux de ces op´ erateurs change. On note aussi que O

( τ ) n’est pas le conjugu´ e hermitique de O ( τ ), contrairement au cas correspondant en temps r´ eel. La fonction (1.14) n’est d´ efinie que pour − β < τ − τ

< β. De plus, elle a une discontinuit´ e ` a τ = τ

qui donne la relation d’anticommutation des op´ erateurs de fermions. La propri´ et´ e cyclique de la trace permet de montrer que

G

( r

, r

; − τ ) = − G

( r

, r

; − τ + β ) , 0 < τ < β . (1.15) C’est-` a-dire que G ( τ ) est anti-p´ eriodique. Comme G

(r

, r

; τ ) est d´ efini sur un intervalle de temps imaginaire fini, on peut l’exprimer comme une s´ erie de Fourier,

G

(r

, r

; τ ) = T ∑

n=−∞

e

G

(r

, r

; ik

) , (1.16) o` u la fr´ equence k

doit ˆ etre d´ efini comme

k

= (2n + 1) π

β = (2n + 1) πT (1.17)

pour satisfaire la propri´ et´ e d’anti-p´ eriodicit´ e (1.15). Les fr´ equences d´ efinies ainsi avec un

indice impair sont appel´ ees des fr´ equences de Matsubara fermioniques. Enfin, en utili-

sant l’anti-p´ eriodicit´ e, on peut exprimer G

(r

, r

; ik

) par la transform´ ee de Fourier de

14 Chapitre 1 : M´ ethodologie G

(r

, r

; τ ) sur l’intervalle ]0, β [ seulement,

G

(r

, r

; ik

) = ∫

β

0

dτ e

G

(r

, r

; τ ) . (1.18)

Maintenant, pour que la fonction de Green de Matsubara soit utile, on doit pouvoir retrouver la “vraie” fronction de Green, Eq.(1.1), ` a partir de celle-ci. Pour connaˆıtre le lien entre la fonction de Green de Matsubara, Eq.(1.14), et la fonction de Green en temps r´ eel, Eq.(1.1), on utilise la repr´ esentation de Lehmann. Pour obtenir cette repr´ esentation, on ´ ecrit explicitement la moyenne thermique dans dans la base des ´ etats propres de l’hamiltonien du syst` eme, ce qui permet de remplacer H dans le facteur de Boltzmann et les op´ erateurs d’´ evolution dans le temps par E

= ⟨ n ∣ H ∣ n ⟩ , ensuite on fait la transform´ ee de Fourier (TF) par rapport ` a t − t

. Pour la fonction de Green en temps r´ eel, Eq.(1.1), la repr´ esentation de Lehmann est

G

( r

, r

, ω ) = 1 Z lim

η→0

∑

nn^′

⟨ n ∣ c

(r

)∣ n

⟩⟨ n

∣ c

(r

)∣ n ⟩ ω + iη + E

− E

( e

+ e

) . (1.19) Le “iη” au d´ enominateur et la limite η → 0 sont tr` es importants. Lorsque l’on fait la TF sur t − t

, la fonction Heaviside de (1.1) pose un probl` eme puisque sa TF n’est pas d´ efinie.

La solution est d’introduire un facteur e

devant cette derni` ere, avec η > 0, de sorte que la TF soit d´ efinie, et ensuite de prendre la limite η → 0. Cette partie imaginaire infinit´ esimale dans l’´ energie est n´ ecessaire pour toutes les fonctions de corr´ elations. En effet, si η > 0 on a affaire ` a une fonction retard´ ee, donc proportionnelle ` a θ ( t − t

), alors que si η < 0 il s’agit d’une fonction avanc´ ee, proportionnelle ` a θ ( t

− t ), le cas η = 0 n’est donc pas d´ efini. Maintenant si on applique la proc´ edure menant ` a (1.19) ` a la fonction de Green de Matsubara, Eq.(1.14), on obtient

G

(r

, r

, ik

) = 1 Z ∑

nn^′

⟨ n ∣ c

(r

)∣ n

⟩⟨ n

∣ c

(r

)∣ n ⟩ ik

+ E

− E

( e

+ e

) . (1.20)

On note que les expression (1.19) et (1.20) sont analytiquement la mˆ eme fonction et que,

pour obtenir G

( r

, r

, ω ) ` a partir de G

( r

, r

, ik

) , on remplace ik

par ω + iη et on

prend la limite η → 0. Cette op´ eration est le prolongement analytique. Les expressions

§1.1. Fonctions de Green et th´ eorie des perturbations 15 (1.19) et (1.20) sont clairement des cas particuliers de la fonction

G

(r

, r

, z ) = 1 Z ∑

nn^′

⟨ n ∣ c

(r

)∣ n

⟩⟨ n

∣ c

(r

)∣ n ⟩ z + E

− E

( e

+ e

) , (1.21) o` u z est un nombre complexe, qui sera utilis´ e plus loin.

Une autre fonction importante est la fonction spectrale, d´ efinie comme

A

(r

, r

, ω ) = −2 Im G

(r

, r

, ω ) , (1.22) qui, ` a l’aide de (1.19) et de l’identit´ e

lim

1

x + iη = P 1

x − iπδ ( x ) , (1.23)

s’´ ecrit aussi

A

(r

, r

, ω ) = 2π 1 Z ∑

nn^′

⟨ n ∣ c

(r

)∣ n

⟩⟨ n

∣ c

(r

)∣ n ⟩ e

(1 + e

) δ ( ω − E

+ E

) . (1.24) D’autre part, l’expression (1.21) se r´ e´ ecrit comme

G

(r

, r

, z ) =

∫

∞

−∞

dω

1

Z

∑

⟨ n ∣ c

(r

)∣ n

⟩⟨ n

∣ c

(r

)∣ n ⟩ e

(1 + e

) δ ( ω − E

+ E

)

z − ω (1.25)

on obtient donc que

G

(r

, r

, z ) = ∫

∞

−∞

dω 2π

A

(r

, r

, ω )

z − ω . (1.26)

Cette expression est appel´ ee la repr´ esentation spectrale de la fonction de Green. La raison de cette appellation est que A

(r

, r

, ω ) contient la distribution spectrale des excitations

`

a une particule. L’expression (1.26) est une forme tr` es utile qui permet d’exprimer ` a la fois

la fonction de Green en fr´ equence de Matsubara et la fonction de Green en fr´ equence r´ eelle

simplement en rempla¸cant z par une fr´ equence imaginaire ou r´ eelle. Elle peut ˆ etre utile

entre autre pour faire le prolongement analytique par la m´ ethode d’entropie maximale,

lorsque la forme analytique de G ( ik

) n’est pas connue et donc il n’est plus possible de

remplacer directement ik

par ω + iη. D’ailleurs, le prolongement analytique ne se fait

pas, la plupart du temps, par une simple substitution analytique, puisque l’on ne connaˆıt

16 Chapitre 1 : M´ ethodologie g´ en´ eralement pas les ´ etats propres de H et on ne peut donc pas utiliser la repr´ esentation de Lehmann. Par cons´ equent, on doit connaˆıtre les conditions qui nous assurent que le prolongement analytique est unique, puisqu’il existe une infinit´ e de fonctions continues qui co¨ıncident en une s´erie de points discrets, en l’occurrence les fr´equences de Matsubara.

Ces conditions nous sont donn´ ees par un th´ eor` eme, dˆ u ` a Baym et Mermin [6], qui stipule que si

1. G ( z ) est analytique dans le plan complexe sup´ erieur, 2. G ( z ) = G ( ik

) pour tous les ik

,

3. lim

zG ( z ) = constante,

alors le prolongement analytique est unique.

Ce th´ eor` eme d’unicit´ e du prolongement analytique est le premier des trois th´ eor` emes mentionn´ es pr´ ec´ edemment et qui rendent les calculs par la th´ eorie des perturbations pra- ticables. Maintenant que l’on sait que l’on peut utliser le temps imaginaire pour faire nos calculs en pratique, on peut l’utiliser pour calculer les valeurs moyennes de pro- duits d’op´ erateurs quelconques. Pour ce faire on doit r´ e´ ecrire la fonction (1.13) en temps imaginaire. D’abord, l’op´ erateur d’´ evolution (1.9) en temps imaginaire s’´ ecrit

U ˆ ( τ, τ

) = T

exp (− ∫

τ τ0

dτ

V ˆ ( τ

)) , (1.27) o` u ˆ O ( τ ) = e

Oe

. Cette expression peut ˆ etre obtenue ` a partir de (1.9) en rempla¸cant t par − iτ . Elle peut aussi ˆ etre red´ eriv´ ee de la mˆ eme fa¸con que (1.9), mais directement en temps imaginaire. D’autre part, lorsqu’on on travaille en temps r´ eel, on calcule des valeurs moyennes d’anticommutateurs pour les fonctions de Green ou de commutateurs, de la forme ⟨[ A ( t ) B ( t

)]⟩, pour les fonctions de corr´ elation. En temps imaginaire le rˆ ole des (anti-)commutateurs est jou´ e par l’op´ erateur de produit chronologique. On calcule donc toujours des fonctions de la forme ⟨ T

A ( τ ) B ( τ

)⟩ . En tenant compte de l’ordre chronologique, l’´ equivalent de l’expression (1.13) s’´ ecrit, en temps imaginaire,

⟨ T

A ( τ ) B (0)⟩ =

⟨ U ˆ ( β, 0) T

[ U ˆ (0, τ ) A ˆ ( τ ) U ˆ ( τ, 0) B ˆ (0)]⟩

0

⟨ U ˆ ( β, 0)⟩

0

=

⟨ T

U ˆ ( β, 0 ) A ˆ ( τ ) B ˆ ( 0 )⟩

0

⟨ U ˆ ( β, 0)⟩

0

.

(1.28)

Le passage de la premi` ere ` a la deuxi` eme ligne se fait en tenant compte du produit chro-

§1.1. Fonctions de Green et th´ eorie des perturbations 17 nologique et en utilisant la propri´ et´ e

U ˆ ( τ, τ

) U ˆ ( τ

, τ

) = U ˆ ( τ, τ

) . (1.29)

F igure 1.1 – Repr´ esentation graphique de la s´ erie de perturbation pour la fonction de Green. Le double trait est la fonction de Green, ou le propagateur, du syst` eme H, les traits simples sont des propagateurs du syst` eme H

et les traits hachur´ es repr´ esentent le potentiel d’interaction V .

Les deux autres th´ eor` emes mentionn´ es plus haut sont le th´ eor` eme de Wick et le

th´ eor` eme des graphes connexes. Il n’est pas n´ ecessaire ici d’´ enoncer ces deux th´ eor` emes

pr´ ecis´ ement puisque nous n’aurons pas d’avantage besoin de la th´ eorie des perturba-

tions. Mentionnons seulement que le th´ eor` eme de Wick permet de transformer les valeurs

moyennes de produits d’op´ erateurs prises dans le syst` eme sans interactions en une somme

de produits de fonctions de Green de Matsubara ` a une particule. Quant au th´ eor` eme des

graphes connexes, il permet de factoriser, dans la s´ erie du num´ erateur de (1.28), une

s´ erie ´ egale au d´ enominateur. La valeur moyenne restante ne contient alors que des termes

compos´ es de produits de fonctions de Green connect´ ees les unes autres par des coor-

donn´ ees communes. Dans une repr´ esentation graphique, o` u les fonctions de Green sont

repr´ esent´ ees par des traits reliant leurs deux coordonn´ ees, ces termes forment des graphes

18 Chapitre 1 : M´ ethodologie connexes. D’apr` es ce th´ eor` eme, (1.28) devient

⟨ T

A ( τ ) B ( 0 )⟩ =

⟨ T

U ˆ ( β, 0 ) A ˆ ( τ ) B ˆ ( 0 )⟩

0

⟨ U ˆ ( β, 0)⟩

0

= ⟨ T

U ˆ ( β, 0) A ˆ ( τ ) B ˆ (0)⟩

0c

,

(1.30)

o` u ⟨ . . . ⟩

signifie la moyenne incluant seulement les graphes connexes. Si on utilise ce r´ esultat pour calculer la fonction de Green Eq.(1.14) pour l’hamiltonien H = H

+ V o` u les interactions sont dans le terme V , on obtient la s´ erie repr´ esent´ ee ` a figure 1.1. Chaque diagramme de cette figure repr´ esente l’int´ egrale d’un produit de fonctions de Green et de potentiels d’interaction. Les variables d’int´ egration sont les coordonn´ ees (r, τ, σ ) internes se trouvant ` a chaque intersection, appel´ ee vertex, des fonctions de Green et des potentiels.

La s´ erie repr´ esent´ ee sur la figure 1.1 se r´ e´ ecrit sous la forme d’une ´ equation int´ egrale, l’´ equation de Dyson, repr´ esent´ ee ` a la figure 1.2(a). Σ

, repr´ esent´ e en (b), est la somme

(a) = + Σ _ir

(b) Σ _ir = + + + + . . .

F igure 1.2 – Repr´ esentation graphique (a) de l’´ equation de Dyson et (b) de la self-´ energie irr´ eductible.

des diagrammes dit irr´ eductibles ` a une particule, c’est-` a-dire ceux qui ne peuvent pas ˆ

etre s´ epar´ es en deux morceaux en coupant seulement un trait repr´ esentant une fonction de Green. Math´ ematiquement, l’´ equation de Dyson s’´ ecrit

G

(r

, τ ; r

, τ

) = G

(r

, τ ; r

, τ

) + ∑

lm

∫ dτ

dτ

G

( r

, τ ; r

, τ

) Σ

( r

, τ

; r

, τ

) G

( r

, τ

; r

, τ

) (1.31) et sa solution formelle est

G

(r

, τ ; r

, τ

) = G

(r

, τ ; r

, τ

) − Σ

(r

, τ

; r

, τ

) , (1.32)

o` u G

et G

sont les fonctions inverse de G

et G

, respectivement. Si le syst` eme est

§1.1. Fonctions de Green et th´ eorie des perturbations 19 invariant sous translation, c’est-` a-dire que les fonctions G (r

, r

) et Σ(r

, r

) ne d´ ependent que de la diff´ erence r

− r

, leur transform´ ees de Fourier (TF) sont alors diagonales en vecteur d’onde (elles le sont toujours en fr´ equence). Dans ce cas, la transform´ ee de Fourier de l’´ equation (1.31) devient, pour un mod` ele ` a une seule bande, une simple ´ equation alg´ ebrique dont solution est

G

(k, iω

) =

1

G

(k, iω

) − Σ

(k, iω

)

=

1

iω

−

+ µ − Σ

(k, iω

) ,

(1.33)

o` u

est la relation de dispersion du syst` eme sans interaction et µ est le potentiel chi- mique.

Malgr´ e le fait que l’´ equation (1.31) ait ´ et´ e introduite ici dans un contexte de th´ eorie des perturbations, elle est est parfaitement g´ en´ erale. Elle peut aussi ˆ etre obtenue par l’´ equation du mouvement de la fonction de Green, ce qui permet de d´ efinir la self-´ energie

`

a l’aide de fonctions de Green ` a deux particules. Cette relation sera pr´ esent´ ee dans l’article qui constitue le chapitre suivant.

Pour terminer cette section, voyons les d´ efinitions des fonctions de corr´ elations ` a deux particules en temps r´ eel et en temps imaginaire. En temps r´ eel, la fonction de corr´ elation retard´ ee pour les observables A et B est

χ

( r

, r

, t − t

) = i ⟨[ A ( r

, t ) , B ( r

, t

)]⟩ θ ( t − t

) (1.34) et en temps imaginaire, la fonction de corr´ elation de Matsubara est

χ

(r

, r

; τ − τ

) = ⟨ T

A (r

, τ ) B (r

, τ

)⟩ . (1.35) Comme mentionn´ e en d´ ebut de section les fonctions de corr´ elations ` a deux particules ont la mˆ eme forme que la fonction de Green. Par contre, les fonctions ` a deux particules sont des fonctions bosoniques. C’est pourquoi on utilise un commutateur et non un anticom- mutateur dans la d´ efinition (1.34). D’autre part, lorsque τ

> τ dans l’expression (1.35), l’ordre de A et B est invers´ e sans changement de signe. Par cons´ equent, encore une fois en utilisant la propri´ et´ e cyclique de la trace, on montre que

χ

( r

, r

; − τ ) = χ

( r

, r

; − τ + β ) , τ > 0 , (1.36)

20 Chapitre 1 : M´ ethodologie et donc χ

(r

, r

, τ ) s’´ ecrit comme

χ

(r

, r

; τ ) = T ∑

n=−∞

e

χ

(r

, r

; iq

) , (1.37) o` u

q

= 2nπT (1.38)

est une fr´ equence de Matsubara bosonique.

Il y a aussi une repr´ esentation spectrale de χ

(r

, r

, z ), qui s’´ ecrit χ

(r

, r

, z ) = ∫

∞

−∞

dω π

χ

(r

, r

; ω )

ω − z , (1.39)

o` u

χ

(r

, r

; ω ) = Im χ

(r

, r

; ω ) (1.40) est l’´ equivalent du poids spectral A ( ω ) pour la fonction de Green. Lorsque A = B, χ

( ω ), contient l’information spectrale des modes collectifs de l’observable A. Les fonctions de corr´ elations peuvent s’´ ecrire en fonction des fonctions de Green ` a deux particules qui, en temps imaginaire, s’´ ecrivent

G

(r

, τ

; r

, τ

∣r

, τ

; r

, τ

) = ⟨ T

c

(r

, τ

) c

(r

, τ

) c

(r

, τ

) c

(r

, τ

)⟩ . (1.41) Ces fonctions de Green peuvent ˆ etre calcul´ ees par ce qu’on appelle g´ en´ eralement l’´ equa- tion de Bethe-Salpeter, d´ eriv´ ee ` a l’origine dans un contexte d’´ electrodynamique quan- tique. On pourrait aussi l’appeler l’´ equation de Dyson ` a deux particules puisqu’il s’agit de l’exact analogue de l’´ equation de Dyson, mais pour les fonction de Green ` a deux par- ticules. Cette ´ equation est repr´ esent´ ee sur la figure 1.3. La fonction Γ

, qu’on appelle le

= + Γ ir

F igure 1.3 – Repr´ esentation graphique de l’´ equation de Bethe-Salpeter. Le carr´ e hachur´ e

repr´ esente la fonction de Green ` a deux particules, les longs double-traits repr´ esentent la

fonction de Green ` a une particule du syst` eme et le carr´ e blanc est le vertex irr´ eductible

(la self-´ energie pour le fonction de Green ` a deux particules).

§1.2. La conductivit´ e optique en r´ eponse lin´ eaire pour le mod` ele de Hubbard 21 vertex irr´ eductible, est l’´ equivalent de la self-´ energie. La solution formelle est la mˆ eme que celle de l’´ equation de Dyson, c’est-` a-dire, dans une forme matricielle,

G

= G

− Γ

. (1.42) Une d´ erivation de l’´ equation de Bethe-Salpeter est donn´ ee dans l’annexe G. Cette d´ e- rivation utilise des d´ eriv´ ees fonctionnelles, qui sont discut´ ees dans la section 1.3. Une m´ ethode g´ en´ erale de r´ esolution de l’´ equation de Bethe-Salpeter est donn´ ee dans l’annexe H ainsi que les solutions pour des formes particuli` eres du vertex irr´ eductible Γ

. La s´ erie diagrammatique pour le vertex irr´ eductible s’obtient ` a partir de la s´ erie de Σ

, Fig.1.2(b), en enlevant un des propagateurs sur chaque diagramme. Chaque diagramme d’ordre deux et plus en interaction produit donc un diagramme pour chacun de ses propagateurs dans la s´ erie de Γ

.

Les fonctions de corr´ elations d’observables, Eq.(1.35), s’´ ecrivent comme des combi- naisons lin´ eaires des fonctions de Green ` a deux particules (1.41) pour des cas particuliers des indices (r

, τ

, σ

). Ces fonctions de corr´ elation s’obtiennent donc d’´ equations ` a la Bethe-Salpeter, d´ efinies avec le vertex irr´ eductible Γ

associ´ es aux observables A et B.

Un cas particulier qui se r´ esout de fa¸con compacte est celui ou Γ

ne d´ epend que des diff´ erences r − r

et τ − τ

. Dans ce cas, l’´ equation de Bethe-Salpeter devient math´ e- matiquement identique ` a l’´ equation de Dyson, la transform´ ee de Fourier de la fonction de corr´ elation (1.35) s’´ ecrit alors

χ

(q, iq

) =

1

χ

( q, iq

) − Γ

( q, iq

)

= χ

(q, iq

)

1 − Γ

( q, iq

) χ

( q, iq

) ,

(1.43)

o` u χ

(q, iq

) est la transform´ ee de Fourier de χ

(r

, τ ; r

, τ

) = −2G (r

, τ ) G (r

, τ

), o` u G (r

, τ ) est la fonction de Green ` a une particule.

1.2 La conductivit´ e optique en r´ eponse lin´ eaire pour le mod` ele de Hubbard

Soit un hamiltonien

H = H

+ H

( t ) , (1.44)