Compl´ ement aux r´ esultats de l’article
3.1 Taux de diffusion et fonction spectrale
Afin de comprendre la forme qualitative des courbes de conductivit´e optique mon-tr´ees `a la figure 3 du chapitre pr´ec´edent, on peut tracer la distribution en ´energie de la densit´e spectrale `a une particule le long de certains segments de la zone de Brillouin.
Cette fonction peut ˆetre obtenue par le prolongement analytique de la fonction de Green de Matsubara en utilisant des approximants de Pad´e. La figure (3.1) montre la
den-79
80 Chapitre 3 : Compl´ement aux r´esultats de l’article (a)
kx/π(ky =kx)
ω
(b)
kx/π(ky =kx−π/2)
ω
(c)
kx/π(ky =kx)
ω
(d)
kx/π(ky =kx−π/2)
ω
Figure 3.1 – Distribution en ´energie de A(k, ω) `a la densit´e n=1.17 pour les segments k= (0,0) →k= (π, π)etk= (π/2,0) →k= (π, π/2)`aT =0.2tpour (a) et (b) etT =0.04t pour (c) et (d).
sit´e spectrale pour un dopage `a gauche du point critique au-dessus et en-dessous de la temp´erature de pseudogapT∗ pour deux segments de la zone de Brillouin. `A haute tem-p´erature, on comprend bien `a partir des figures (3.1)(a) et (b), pourquoi la conductivit´e optique, Fig. 3(a) de l’article, ne comporte qu’un seul pic tr`es large autour deω=0. Sous T∗, Figs.(3.1)(c) et (d), on observe l’apparition de “bandes interdites” `a deux endroits.
L’apparition de ces bandes interdites est dˆu `a la diffusion des quasi-particules sur les fluc-tuations d’onde de densit´e de spin. De plus, dans cette r´egion du diagramme de phase, ces fluctuations sont incommensurables pour les param`etres utilis´es et c’est pourquoi deux bandes interdites apparaissent. Le taux de diffusion de la figure (3.6)(a), dont la forme est expliqu´ee `a la fin de cette sous-section, permet de comprendre l’origine de ces deux
§3.1. Taux de diffusion et fonction spectrale 81 bandes interdites sousT∗. La pr´esence de la bande interdite `aω=0 pr`es dek= (π/2, π/2) explique pourquoi on obtient un pic centr´e environ `aω=0.5t dans la conductivit´e sur la figure 3(d) de l’article. La seconde structure, qui forme une “´epaule” dans la conductivit´e sans correction de vertex et une bosse, avec corrections, est due aux transitions entre la bande incoh´erente inf´erieure et la bande relativement ´etroite situ´ee au-dessus de ω=0.
(a)
kx/π(ky =kx)
ω
(b)
kx/π(ky =kx−π/2)
ω
(c)
kx/π(ky =kx)
ω
(d)
kx/π(ky =kx−π/2)
ω
Figure 3.2 – Distribution en ´energie de A(k, ω) `a la densit´e n=1.32 pour les segments k= (0,0) →k= (π, π)etk= (π/2,0) →k= (π, π/2)`aT =0.2tpour (a) et (b) etT =0.05t pour (c) et (d).
Les figures (3.2)(a) `a (d) montrent la distribution en ´energie de la densit´e spectrale
`
a haute et basse temp´erature `a droite du point critique pour les mˆemes segments de la zone de Brillouin que sur la figure (3.1). Ces figures aident `a comprendre l’allure des courbes de conductivit´e optique montr´ees aux figures 3(g) et 3(h) de l’article et compos´ees essentiellement d’un pic centr´e `a ω = 0. `A haute temp´erature, le pic est large, quoique
82 Chapitre 3 : Compl´ement aux r´esultats de l’article plus ´etroit qu’aux dopages plus pr`es du point critique, alors qu’il est tr`es ´etroit et intense
`
a basse temp´erature. Par contre les repr´esentations (3.2)(c) et (d) ne permettent pas de comprendre la partie `a haute fr´equence du spectre `a basse temp´erature (Fig.3(h) de l’article) puisque son intensit´e est trop faible par rapport au pic principal (1000 fois plus faible), du fait que l’intensit´e de la partie incoh´erente du spectre `a une particule est extrˆemement faible par rapport `a la partie tr`es ´etroite au voisinage deω=0. Les spectres
(a)
kx/π(ky =kx)
ω
(b)
kx/π(ky =kx−π/2)
ω
Figure 3.3 – Distribution en ´energie de A(k, ω) `a la densit´e n=1.32 pour les segments k= (0,0) →k= (π, π)etk= (π/2,0) →k= (π, π/2)`aT =0.01t. Seul les valeurs A(k, ω) plus faible que 0.2% de la valeur maximale deA(k, ω)sont conserv´ees. Le trait fin blanc indique la position du maximum de A(k, ω) pour chaque k.
montr´es aux figures (3.2)(c) et (d) sont ceux obtenus `a une temp´erature plus ´elev´ee que celle de la figure 3(h) de l’article car, `a une telle temp´erature, le spectre est trop ´etroit et intense pour que cette repr´esentation soit utile. Par contre, on peut observer la partie incoh´erente du spectre `a plus basse temp´erature sur la figure (3.3), o`u seules les valeurs plus faibles que 0.2% de la valeur maximale de A(k, ω) ont ´et´e conserv´ees. On constate que des transitions sont possibles entre la partie coh´erente du spectre `aω<0 et la partie incoh´erente `a ω>0 et vice versa. Ce sont ces transitions que l’on observe dans la partie de droite de la figure 3(h) de l’article.
D’autre part, les figures 3.4 et 3.5 montrent l’´evolution en fonction du dopage du taux de diffusion dˆu aux interactions´electron-´electron et de la densit´e spectrale au niveau de Fermi, toujours pour l’Hamiltonien avec sauts aux plus proches voisins seulement. Ces r´esultats sont obtenus par le prolongement analytique de la self-´energie par un simple lissage polynomial sur les quelques premi`eres fr´equences de Matsubara, ce qui est suffisant
§3.1. Taux de diffusion et fonction spectrale 83 (a)
kx/π ky/π
(b)
kx/π ky/π
(c)
kx/π ky/π
(d)
kx/π ky/π
Figure3.4 – (a) −Im Σ(k, ω =0)et (b) A(k, ω=0)dans le quart de la zone de Brillouin au dopage p=0.17 et `a la temp´erature T =0.1t (400K) (au-dessus de la temp´erature de pseudogap) et (c)−Im Σ(k, ω =0)et (d)A(k, ω =0), pourp=0.2 (pr`es du point critique) etT =0.06t (240K).
pour obtenir des r´esultats qualitatifs en fonction du vecteur d’onde. Les r´esultats sont montr´es pour des dopages en ´electrons, c’est pourquoi la surface de Fermi est centr´ee sur le vecteur d’ondek= (π, π). Le type de dopage n’a toutefois pas d’importance ici puisque l’Hamiltonien est invariant (`a une constante pr`es) pas rapport `a une transformation particule-trou. On remarque que, pour le dopage p=0.17 au-dessus de la temp´erature de pseudogap, figure 3.4(a) et (b), la surface de Fermi, en (b), est tr`es incoh´erente, sans point froid. Lorsque le dopage augmente, d’apr`es les figures 3.4(b) et (d) et 3.5(b) et (d), la surface de Fermi devient graduellement coh´erente et ce, de fa¸con plus ou moins uniforme.
Entre autre, pr`es du point critique autour de p=0.2, il n’y a aucun point froid dont le
84 Chapitre 3 : Compl´ement aux r´esultats de l’article taux de diffusion serait purement T2, mais seulement des points chauds dont le taux de diffusion a, d’apr`es les courbes de r´esistivit´e, la forme AT +BT2, avec un coefficient A qui diminue avec le dopage.
(a)
kx/π ky/π
(b)
kx/π ky/π
(c)
kx/π ky/π
(d)
kx/π ky/π
Figure3.5 – (a) −Im Σ(k, ω =0)et (b) A(k, ω=0)dans le quart de la zone de Brillouin au dopage p = 0.26 et `a la temp´eratue T = 0.06t (240K) et (c) −Im Σ(k, ω = 0) et (d) A(k, ω=0), pour p=0.5 et T =0.06t, deux dopages `a droite du point critique.
D’autre part, on remarque sur les figures 3.4(a) et (c) et 3.5(a) et (c) que le taux de diffusion est anisotrope `a faible dopage alors qu’il devient isotrope (par rapport `a q= (π, π)) `a haut dopage. Cela nous indique que le terme lin´eaire en T de la r´esistivit´e provient du taux de diffusion anisotrope, c’est-`a-dire de la diffusion sur les fluctuations d’onde de densit´e de spin. Notons toutefois qu’il y a toujours une certaine contribution enT2 `a la r´esistivit´e. Comme la r´esistivit´e est calcul´ee en sommant les conductivit´es des diff´erentes r´egions de la surface de Fermi et en inversant le r´esultat, ce qui correspond `a
§3.1. Taux de diffusion et fonction spectrale 85 additionner des r´esistances en parall`ele, la forme AT +BT2 de la r´esistivit´e signifie que la r´egion la plus conductrice a ce comportement. Il n’est donc pas clair s’il est possible d’attribuer les contributions en T et en T2 `a des m´ecanismes distincts. Il semble plutˆot que la diffusion due aux fluctuations antiferromagn´etiques produise `a la fois ces deux contributions.
(a)
kx/π ky/π
(b)
kx/π ky/π
Figure3.6 – (a) −Im Σ(k, ω =0)et (b) A(k, ω=0)dans le quart de la zone de Brillouin au dopagep=0.17 (`a gauche du point critique) et `a la temp´eratueT =0.04t(160K), plus petite que la temp´erature de pseudogap.
Enfin, la figure 3.6 montre le taux de diffusion et la fonction spectrale `a gauche du point critique et sous la temp´erature de pseudogap. On constate que la densit´e spectrale est fortement r´eduite sur une tr`es grande partie de la surface de Fermi et que les parties restantes sont tr`es incoh´erentes, ce qui explique que la r´esistivit´e sans correction de vertex soit ´elev´ee dans ce r´egime. On constate aussi que le taux de diffusion forme des lignes
´
etroites, ce qui refl`ete le fait que la susceptibilit´e de spin soit compos´ee de pics tr`es ´etroits en vecteur d’onde et en fr´equence. La distribution particuli`ere du taux de diffusion en fonction du vecteur d’onde est due au fait que les fluctuations sont incommensurables.
Les vecteurs d’onde pr`es des maxima de la susceptibilit´e de spin, situ´es `a (π±δ, π) et (π, π±δ), sont ceux transf´er´es aux quasi-particules lors de la diffusion sur les fluctuations de spin, de sorte que la distribution du taux de diffusion ressemble `a la superposition de quatre surfaces de Fermi d´eplac´ees par ces vecteurs.
86 Chapitre 3 : Compl´ement aux r´esultats de l’article