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Algèbre 1 Devoir surveillé n

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Academic year: 2022

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Université de Bordeaux

Licence de Sciences et Technologies 2014-2015

Algèbre 1 Devoir surveillé n

1

19 mars 2015, Durée 1h30

Documents non autorisés

Exercice 1. Résoudre dansR3le système d’équations linéaires suivant en appliquant la méthode du pivot de Gauss :





x + 2y − 3z = 1

x + 3y − 4z = 2

2x + 3y − 5z = 1

x + y − z = 1

Exercice 2. Soient

E=n(x,y,z)∈ R3| x+y+z=0 et x+y−z=0o et

F=Vect{(1,−1, 0),(0, 1,−1)}. 1. Justifier queEest un sous-espace vectoriel deR3.

2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez,en le justifiant, si elle est vraie ou fausse :

a) F ⊂E.

b) E ⊂F.

Exercice 3. DansR4, on considère les vecteurs

e1 = (1, 1, 0, 0), e2 = (0, 1, 1, 0), e3 = (0, 0, 1, 1), e4 = (0, 1, 0, 1), e5 = (1, 0, 0, 1) et e6 = (1, 0, 1, 0). 1. La familleF ={e1,e2,e3,e4,e5,e6}est-elle libre ?

2. Montrer que la familleB0 ={e1,e2,e3,e4}est une base deR4. 3. Montrer que la familleB1 ={e1,e2,e3,e5}n’est pas une base deR4. Exercice 4. Soit

e1, . . . ,ep une famille libre de vecteurs deRn.

1. Montrer que pour tout vecteur u de Rn n’appartenant pas à Vect

e1, . . . ,ep , la famille

e1+u, . . . ,ep+u est libre.

2. (Hors barème, mais donnant lieu à un bonus de points)

On suppose maintenant que uest une combinaison linéaire des vecteurs e1, . . . ,ep, c’est-à-dire qu’il existe des scalairesλ1, . . . ,λptels que

u=λ1e1+. . .+λpep.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur lesλi pour que la fa- mille

e1+u, . . . ,ep+u soit libre.

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