ETUDE DE LA PROPAGATION DES ONDES IONIQUES AVEC UN MODELE DE FONCTIONS DE DISTRIBUTION DE MACHINE Q

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Submitted on 1 Jan 1971

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ETUDE DE LA PROPAGATION DES ONDES

IONIQUES AVEC UN MODELE DE FONCTIONS DE DISTRIBUTION DE MACHINE Q

Jean-Max Buzzi

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Jean-Max Buzzi. ETUDE DE LA PROPAGATION DES ONDES IONIQUES AVEC UN MODELE

DE FONCTIONS DE DISTRIBUTION DE MACHINE Q. Journal de Physique Colloques, 1971, 32

(C5), pp.C5b-102-C5b-104. �10.1051/jphyscol:1971590�. �jpa-00214809�

ETUDE DE LA PROPAGATION D E S O N D E S I O N I Q U E S AVEC UN MODELE D E F O N C T I O N S DE DISTRIBUTION DE MACHINE Q.

J e a n - M a x Buzzi

Laboratoire d e P h y s i q u e d e s Milieux Ionisés, Ecole P o l y t e c h n i q u e , P a r i s Equipe d e Recherche associée au C.N.R.S.

S o m m a i r e

Nous calculons d'abord une équation d e dispersion exacte d e s o n d e s i o n i q u e s pour d e s f o n c t i o n s d e d i s t r i b u t i o 6 ? ~ a x w e l l i e n n e s du type existant en machine Q. P u i s nous utilisons d e s méthodes d e calcul a p p r o c h é d e la réponse du plasma applicables B d e s f o n c t i o n s connues seulement par d e s mesures. Nous comparons les r é s u l t a t s d e c e s méthodes B la solution exacte.

Abstract

We calculate an exact dispersion relation f o r non maxwellian d i s t r i - bution f u n c t i o n s similar to that existing in Q-machines. Then w e c a l c u l a t e the plasma response by approxirnate rnethods which may be applied t o the c a s e where the distribution f u n c t i o n s a r e determined only by measuements. W e c o m p e - r e t h e r e s u l t s of these m e t h o d s ta the exact calculation.

1. INTRODUCTION.

plasma.

Oans les machines Q à un é m e t t e u r , on

peut r e n c o n t r e r des f o n c t i o n s d e d i s t r i b u - II. EQUATION D E DISPERSION EXACTE.

tion ioniques qui, d'après la t h é o r i e s a n s

collisions sont du t y p e

P o u r les f o n c t i o n s d e distribution

considérées i c i , l'équation d e dispersion oour les oscillations f o r c é e s s'écrit

où Y est la fonction échelon d e H e a v e s i d e , m = { m , / ~ ~ } l / ~ ~ Z ' d é r i v é e d e la f o n c t i o n d e V le potentiel plasma et T la température dispersion plasma; c = w / k a i et

P

d e l'émetteur. Les m e s u r e s d e Fi[wl [Il

9 ' 1 [ ~ 1

sont en accord avec [Il B ceci près que la (41 Q 1 ~ 5 I = f - dv+in[ 1 - ~ [ 5 ~ 1 ] ~ ' ~ [ ~ ) c o u p u r e est adoucie. On peut a l o r s r e p r é - v - c

s e n t e r Fi[wl par la f o n c t i o n e n t i è r e

€[XI : "fonction" signe.

Nous c a l c u l o n s Q'(51 en évaluant n u - mériquement l'intégrale f i g u r a n t d a n s ( 4 ) v = w / a i

a i

{2kT/mi)1'2 c e qui n e présente p a s da d i f f i c u l t é s si

qi(vl+exp[-v2) pour v+- en accord a - on soustrait la singularité d e l'intégrant vec [ I l et la coupure aux vitesses f a i b l e s au voisinage d e l'axe réel. Nous o b t e n o n s e s t a d o u c i e , conformément aux expériences. a i n s i u n e équation d e dispersion exacte Quant aux électrons, on peut les c o n s i d é - D[w,kl pour vi(vl d o n n é e par (21. O[.w,kl r e r comme maxwelliens en équilibre avec possède u n e infinité d e r a c i n e s c o r r e s p o n - l'émetteur [T =Ti), d a n s les c o n d i t i o n s ex- dant aux modes i o n i q u e s , chacun étant c a - périmentales habituelles [ l]. r a c t é r i s 6 par u n e vitesse d e phase v=vp/ai

En vue d'une comparaison plus précise et un amortissement r é d u i t s a=ki/kr. C o m m e entre les expériences d e propagation d e o n - d a n s le c a s maxwellien, nous o b t e n o n s deux d e s ioniques et la t h é o r i e microscopique, modes d o m i n a n t s , m a i s c e s m o d e s peuvent ici nous c a l c u l o n s d'abord l'équation d e dispep s e P r o p a g e r d a n s la même direction (onde sion exacte en utilisant la fonction d e dis- lente et o n d e r a p i d e ) du f a i t d e la vitesse tribution (21 pour un problème d'oscilla- m o y e n n e d e s i o n s i'

t i o n s f o r c é e s [conditions aux limites]. Nous avons représenté fig. 1 un exem- N o u s d i s c u t o n s ensuite d e deux methodes d' ple d e résultats numériques. La températu- approximation du calcul d e la r é p o n s e du r e d e s i o n s est d é f i n i e par

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1971590

ETUDE DE LA PROPAGATION DES ONDES IONIQUES. .

v

- - ^{onde rapide -}

--,. onde lente

-

- e œ œ - -

es#===

- ^y---

_---

- =

a

0. , ^{1. ,2. f/fpi -}

ri

2mi/k!q [ V I ( v - 7 1 'dv i

cas du cesium Te/Ti ~ 4 . 2 Yi = ^2.55

Fig.1. V i t e s s e d e p h a s e V e t a m o r t i s s e m e n t r 6 d u i t s a d e s d e u x m o d e s i o n i q u e s d o m i n a n t s e n f o n c t i o n d e la f r é q u e n c e . L a f o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n d e s i o n s e s t u n e m a x w e l l i e n n e t r o n q u é e ( E q u a . 21.

V

III. U T I L I S A T I O N DES P O L Y N ~ M E S D ~ H E R N I T E . L e c a l c u l d u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t e s t g é n é r a l i s a b l e

t o u t e f o n c t i o n qi[vl e n t i è - re. m a i s s i v.[v1 e s t c o n n u e expérirnentale- m e n t , o n

i n t é r e t

e m p l o y e r d ' a u t r e m é - t h o d e s . P a r m i l e s d i f f é r e n t e s t e c h n i q u e s d e c a l c u l p o u v a n t ê t r e é g a l e m e n t a p p l i q u é e s à d e s f o n c t i o n s e x p é r i m e n t a l e s , n o u s a v o n s d l a b . o r d uti.1is.é l e d é v e l o p p e m e n t d e vi[vl a

e n p o l y n ô m e s d ' H e r m i t e . L e t r a i t e m e n t d e l a t h é o r i e m i c r o s c o p i q u e l i n é a i r e à l ' a i d e d e c e s p o l y n ô m e s e s t c l a s s i q u e d a n s l e c a s d e s é l e c t r o n s m a x w e l l i e n s e n c o n d i t i o n s i n i t i a - l e s [2]. N o t r e o p t i q u e e s t i c i l é g è r e m e n t d i f f é r e n t e

c e n'est p a s l a f o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n p e r t u r b é e q u i e s t r e p r é s e n t a e p a r l e s p o l y n ô m e s d ' H e r m i t e , m a i s la f o n c - t i o n d e d i s t r i b u t i o n à l ' é q u i l i b r e ; d e p l u s n o u s t r a i t o n s l e s y s t è m e V l a s o v - P o i s s o n 3 la m a n i è r e d e L a n d a u . C e f a i s a n t , n o u s n e r e n c o n t r o n s p a s l a l i m i t a t i o n s i g n a l é e p a r F e i x [ 21 l i é e a u f a i t q u e l e s o s c i l l a t i o n s d e la f o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n p e r t u r b é e n e p e u v e n t ê t r e r e p r é s e n t é e c o r r e c t e m e n t p a r l e s p o l y n ô m e s d ' H e r m i t e p o u r l e s t e m p s l o n g s o u l e s g r a n d e s d i s t a n c e s . D e p l u s a u l i e u d ' o b t e n i r u n e é q u a t i o n d e d i s p e r s i o n à r a c i n e s r é e l l e s . n o u s o b t e n o n s u n e é q u a t i o n

a r a c i n e s c o m p l e x e s c e q u i r e n d p o s s i b l e l a c o m p a r a i s o n a v e c la s o l u t i o n e x a c t e d a n s 1' e s p a c e fu,kl. P o u r o b t e n i r c e t t e B q u a t i o n d e d i s p e r s i o n . l e d é v e l o p p e m e n t t r o n q u é a

l ' o r d r e N d e Vi[v) [51 e s t p o r t é d a n s ( 4 1 , u t i l i s a n t l e s p r o p r i é t é s d e s p o l y n ô m e s d'

H e r m i t e e t d e s d é r i v é e s d e l e f o n c t i o n Z o n o b t i e n t (61.

C e t t e d e r n i è r e r e l a t i o n p a r a i t t r è s i n t é r e s s a n t e p u i s q u e 9'[51 p o u r u n e f o n c - t i o n q u e l c o n q u e s ' e x p r i m e

l'aide d e f o n c - t i o n s c o n n u e s . fiais l a q u e s t i o n e s t d e s a - v o i r s i l e d é v e l o p p e m e n t [61 c o n v e r g e r a p i - d e m e n t . L a r é p o n s e d é p e n d é v i d e m m e n t d e vi[vl. N o u s a v o n s c a l c u l é 4 ' ( c l e t l ' é q u a -

N

t i o n d e d i s p e r s i o n c o r r e s p o n d a n t e DN(m kl p o u r qi(v) d o n n é e p a r l ' é q u a t i o n ( 2 1 . F i g . 2 n o u s c o m p a r o n s p o u r l e s m o d e s i o n i q u e s d o - m i n a n t s , e n f o n c t i o n d e N , la v i t e s s e d e p h a s e V N e t l ' a m o r t i s s e m e n t r é d u i t s a N a u x v a l e u r s e x a c t e s c a l c u l é e s a u p a r a g r a p h e pr&

c é d e n t . O n c o n s t a t e q u e p o u r l a f o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n c h o i s i e , l a c o n v e r g e n c e e s t as- s e z l e n t e , . p l u s r a p i d e p o u r la v i t e s s e d e p h a s e q u e p o u r l ' a m o r t i s s e m e n t . e l l e d i m i - n u e l o r s q u e l ' a m o r t i s s e m e n t a u g m e n t e [ces

c o n s t a t a t i o n s s o n t v a l a b l e s p o u r l e s p ô l e s d ' o r d r e p l u s é l e v é é g a l e m e n t ] . L a l e n t e u r d e la c o n v e r g e n c e o b s e r v é e e s t c e r t a i n e m e n t

onde lente

N-,

F i g . 2. C o m p a r a i s o n a v e c l e s v a l e u r s e x a c - t e s e n f o n c t i o n d e N d e la v i t e s s e d e p h a s e V N et d e l ' a m o r t i s s e m e n t a ~ c a l c u l é s a p a r - t i r d'un d 4 v e l o p p e m e n t d e la f o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n i o n i q u e 9 (vl e n p o l y n ô m e s d ' H e r m i t e t r o n q u é à i l o r i r e N . qi[v) e s t l a m a x w e l l i e n n e c o u p é e d é f i n i e p a r l ' é q u a t i o n

( 2 1 . L e s c o n d i t i o n s s o n t l e s m ê m e s q u e c e l - l e s d e la f i g . 1 .

l i é e a u f a i t q u e l a f o n c t i o n vi(vl q u e n o u s

a v o n s c h o i s i e d e r e p r é s e n t e r s ' é c a r t e n o t a -

b l e m e n t d e la m a x w e l l i e n n e

n o u s s o m m e s

d o n c d a n s u n c a s d é f a v o r a b l e p o u r l ' u t i l i -

J . M . BUZZI

sation des polynômes d'Hermite.

IV. UTILISATION DU MULTIPLE-WATER-BAG.

Le professeur Feix nous a suggéré d' appliquer B notre problème le multiple-wa- ter-bag (M.W.B.) récemment utilisé par P. Bertrand et M. Navet [3] pour des élec- trons maxwelliens en conditions initiales.

L'équation de dispersion du M.W.B. ne pos- sédant que des racines réelles, on ne peut faire la comparaison dans l'espace (w,k) a- vec la solution exacte. On doit donc calcu- ler la dépendance spatiale du champ électri- que. Pour ce calcul les électrons sont con- sidérés comme maxwelliens (Te=T), de masse nulle, et la fonction de distribution des ions (2) est représentée par N "bags".Nous avons d'autre part calculé la solution exac te ~ ( z ) / f ~ en évaluant numériquement à la manière de Gould [4] l'intégrale :

m

~ ( z ) / f ~

i/n 6 Im { l / ~ ~ e ~ " d n

Fig.3 nous donnons les résultats comparés des deux méthodes dans le cas de l'approxi- mation T.B.F. L'accord trouvé sur l'ampli- tude est également vérifié pour la phase.

Dans le cas de la fig.3 l'amortissement est faible et nous sommes dans un cas favorable

- ^{E caicui exact}

- -

..S..-.. A pour 50-b*"

-

- =lS

z =wx/q -

10 20 30 40

1

Fig.3. Amplitude du champ électrique réduit en fonction de la distance. A représente le rapport entre le champ calculé par la métho de exacte et celui calculé par le M.W.B.

Les électrons sont maxwelliens, me/mi%O, w/wpi%O. La fonction de distribution des ions est une maxwellienne tronquée (équa.2) TelTi-4.2 et 7;-2.55 .

Ce nombre peut paraitre élevé, mais on doit remarqüer que les paramètres entrant dans le calcul du M.W..B. sont beaucoup plus ac- cessibles à partir d'une mesure expérimenta- le que les moments utilisés par les polynô- mes d'Hermite.

V. CONCLUSION.

Nous avons traité le problème des on- des ioniques en conditions aux limites pour des ions non nécessairement maxwelliens par différentes méthodes. La première qui cor- respond au traitement classique de Landau suppose que les fonctions de distribution sont des fonctions entières. Nous avons montré qu'il est toujours possible de cal- culer numériquement l'équation de disper- sion dans ce cas. Nous avons ensuite utili- sé deux autres méthodes d e calcul qui sont applicables au cas où les fonctions de dis- tribution sont connues expérimentalement et testé leur validité dans un cas particuliec les polynômes d'Hermite et le multiple-wa- ter-bag. L e champ d'application des polynô- mes d 1 X e r m i t e est pratiquement limité aux fcnctions p r ~ c h e s d'une g a u s ~ i e n n e . En re- vanche le multiple-water-bag parait généra- lisable

des fonctions quelconques.

REMERCIEMENTS,

Je tiens à remercier vivement le Professeur M.R. Feix, pour les discussions fructueuses que nous avons eues

propos de ce travail.

BIBLIOGRAPHIE.

1 J.M. Buzzi, H.J. Doucet, D. Grésillon, Phys. Fluids, 1970, 13. 3041.

2 F.C. Grant. M.R. Feix. Phvs. Fluids.

3 P. Bertrand, M. Navet, Phys. Letters, 1971, %, ^117.

4 R.W. Gould, Phys. Rev.,1964, 136,

A991 .

au M.W.B. Le cas des ions maxwelliens avec T,=Ti demande plus d'une centaine de "bags"

-

pour obtenir une précision satisfaisante.