Développements limités implicites
Exercice 1. tan(x) =x
1) Montrer que l’équation tanx=xpossède une unique solutionxn dans
nπ−π
2, nπ+π 2
(n∈N).
2) Quelle relation liexn et arctan(xn) ?
3) Donner un DL dexn en fonction denà l’ordre 0 pourn→ ∞.
4) En reportant dans la relation trouvée en2), obtenir un DL dexn à l’ordre 2.
Exercice 2. maximum dexcosnx On notefn(x) =xcosnx. Soitxn∈
0, π2
tel quefn(xn) soit maximal.
1) Existence et unicité dexn ? 2) Chercher limn→∞xn. 3) Montrer quex2n∼ 1
n (n→ ∞).
4) Trouver un équivalent defn(xn).
Exercice 3. Développement asymptotique Soitf :x7→ x+ 1
x ex.
1) Tracer la courbeCreprésentative def.
2) Soitλ∈R+. Siλest assez grand, la droite d’équationy=λcoupeCen deux points d’abscissesa < b.
a) Montrer quea∼ 1
λ, eteb ∼λpourλ→+∞.
b) Chercher la limite deba quandλtend vers +∞.
Exercice 4. Polytechnique MP∗ 2000 Soit f(x) = ln|x−2|
ln|x| . Montrer que pour tout n∈N∗, il existe un unique xn vérifiant f(xn) = 1− 1 n. Trouver la limite et un équivalent de la suite (xn) en +∞.
Exercice 5.
Soit un une suite réelle telle que pour tout n on ait u5n+nun −1 = 0. Trouver un développement asymptotique à deux termes deun.
Exercice 6. Mines MP 2001
Montrez que pour n entier (n > 0) l’équation ex = n−x admet une unique solution positive xn. Déterminer les trois premiers termes du développement asymptotique de xn en fonction den.
Exercice 7. Centrale MP 2001
Pour toutnentier naturel non nul, on donnefn(x) =nxn+1−(n+ 1)xn−12. 1) Montrer quefn admet une unique racine positive notéexn.
2) Montrer que la suite (xn) converge vers une limite `et trouver un équivalent dexn−`.
Exercice 8. Mines 2017 Soit pourλ >0,fλ:
]0,+∞[ −→ R
x 7−→ x−λexp(1/x).
Montrer qu’il existe une unique solution à l’équation fλ(x) = 1 et en donner un développement asymp- totique à trois termes quandλ→+∞.
dlimpl.tex – vendredi 28 septembre 2018
solutions
Exercice 1.
4) xn=nπ+π 2 − 1
nπ + 1 2n2π+o
1
n2
n→∞
. Exercice 2.
1) fn0(x) = 0 ⇐⇒ cotanx=nx.
2) 0.
3) xntanxn = 1 n. 4) ln
yn xn
>−1
e=⇒yn∼ √1 ne. Exercice 3.
2) b)a∼e−b=⇒alnb >0 =⇒ba>1.
Exercice 4.
Existence et unicité dexn par étude de f sur [3,+∞[ (pourx≤3 on ne peut pas avoir 0< f(x)<1).
On a facilementxn −→
n→∞+∞.
ln(xn−2) = 1−1
n
ln(xn) =⇒ln 1− 2
xn
=−ln(xn)
n =⇒xnln(xn)∼2n=⇒xn∼ 2n lnn. Exercice 5.
un= 1 n− 1
n6 +o 1 n6
. Exercice 6.
Existence et unicité dexn par étude de la fonctionx7→ex+xsurR+. On a clairementxn −→
n→∞+∞et n=exn+xn d’où :
lnn= ln(exn+xn) =xn+ ln(1 +xne−xn) =xn+xne−xn−x2n
2 e−2xn+o(x2ne−2xn).
On en déduit xn∼lnn. «Ecrivonsxn = lnn+yn : 0 =yn+xne−xn−x2n
2 e−2xn+o(x2ne−2xn) d’oùyn −→
n→∞0 etyn ∼ −xne−xn∼ −lnn
n e−yn ∼ −lnn
n . «Ecrivons maintenantyn=−lnn n +zn : 0 =−lnn
n +zn+ (lnn+yn)e−yn n −x2n
2 e−2xn+o(x2ne−2xn)
=zn+(lnn)(−yn+o(yn))
n +yne−yn n −x2n
2 e−2xn+o(x2ne−2xn)
=zn+(lnn)(−yn+o(yn))
n +yne−yn n − x2n
2n2e−2yn+ox2ne−2yn n2
=zn+ln2n
2n2 +oln2n n2
d’oùzn ∼ −ln2n
2n2 et finalement, xn= lnn−lnn
n −ln2n
2n2 +oln2n n2
.
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Exercice 7.
2)
nxnn(xn−1) =xnn+1
2=⇒fn+1(xn) =n+ 1 n
xn+1n +xn 2
−xn+1n −1
2 = xn+1n
n +(n+ 1)xn−n 2n >0
=⇒xn+1< xn.
Donc la suite (xn) est décroissante et minorée par 1, elle converge vers `≥1.
0≤xn−1 = 1 n+ 1
2nxnn −→
n→∞0 donc`= 1.
Soit yn = n(xn−1) = 1 + 1
2xnn. On a f(yn) = ln(2(yn−1)) yn
= − lnxn
xn−1 = −g(xn) et f, g sont strictement coissantes sur [1,+∞[ donc les suites (xn) et (yn) varient en sens contraire. On en déduit que la suite (yn) décroît donc admet une limiteλ≥1, soitxn = 1 +λ
n+o1 n
. Alorsxnn −→
n→∞eλ d’où λ= 1 + 1
2eλ. Exercice 8.
ln(fλ(x)) = 1/x−λln(x), quantité strictement décroissante décrivant ]0,+∞[ quand x décrit ]0,+∞[.
Donc l’équation ln(fλ(x)) = 0 admet une unique solution notéexλ. Avec ln(fλ(1)) = 1, on axλ>1 et de plus si µ > λ alors ln(fµ(xλ)) = (λ−µ) ln(xλ) <0 doncxµ < xλ. En conséquence, xλ admet une limite `>1 quandλ→+∞.
On a λxλln(xλ) = 1 doncxλln(xλ)∼1/λ. Ceci implique successivement
`= 1,
xλ−1∼1/λ,
xλ= 1 + 1/λ+o(1/λ),
λln(xλ) = 1/xλ= 1−1/λ+o(1/λ),
xλ= exp(1/λ−1/λ1+o(1/λ2)) = 1 + 1/λ−1/(2λ2) +o(1/λ2).
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