Ondes de pression osmotique dans les solutions de 3He dans 4He superfluide

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Ondes de pression osmotique dans les solutions de 3He dans 4He superfluide

A. Ghozlan

To cite this version:

A. Ghozlan. Ondes de pression osmotique dans les solutions de 3He dans 4He superfluide. Journal de

Physique, 1972, 33 (4), pp.415-422. �10.1051/jphys:01972003304041500�. �jpa-00207265�

ONDES DE PRESSION OSMOTIQUE

DANS LES SOLUTIONS DE 3He DANS 4He SUPERFLUIDE

A. GHOZLAN

Institut d’Electronique Fondamentale (*)

Bâtiment 220, Université Paris-XI, 91, Orsay (Reçu ^{le 21} juillet 1971, révisé le 4 novembre 1971)

Résumé.

Une formule thermodynamique simple reliant la pression fontaine, ^la pression

tique ^et la vitesse du second

est établie. Elle permet d’interpréter simplement le second

dans les mélanges ^{3He-He II}

^onde correspondant ^{à la} pression osmotique ^{totale du}

fluide normal _par rapport

superfluide. ^{Elle est} appliquée à la détermination de la vitesse du second

à toute température, ^{à l’aide de} l’expression récente de la pression osmotique ^{de Varo-}

quaux. La comparaison ^{effectuée entre} les valeurs expérimentales de la vitesse du second

et celles qui ^sont déduites des

de pression osmotique ^{conduit à}

bon accord entre

deux ensembles de

Abstract.

We have derived

simple thermodynamical relationship between second sound

velocity in 3He-4He mixtures and osmotic and fountain pressures. This connection shows the intimate nature of second sound in helium mixtures

of osmotic _pressure of the whole normal fluid with respect ^{to the} superfluid component. ^{With the} help ^{of this} formula, ^{and the} expres- sion for the osmotic _pressure given by Varoquaux

compute the second sound velocity : ^the

results found

valid ^at all temperatures.

The two sets of measurements for

and uII

found to be in good agreement.

Classification : Physics ^Abstracts

14.00, 14.70

1. Introduction.

L’influence des atomes de 3He dissous dans un bain de 4He superfluide ^{a fait} l’objet

de nombreuses investigations ^{tant sur le} plan théorique qu’expérimental. ^La première ^étude théorique ^{a été}

faite _par Pomeranchuk [1], qui ^{a déterminé la valeur}

de la vitesse du second son en supposant que le

système ^{de ’He en solution} dans He II se comportait

comme un gaz de quasi-particules libres, ^{de masse}

M03 participant ^{au mouvement du fluide normal.}

Dans la région ^de température semi-classique (T > TF), l’expression de la vitesse du second son

est la suivante :

où TF désigne ^la température de Fermi du système

de 3He. Lorsque ^{celui-ci est} complètement dégénéré,

la vitesse du second son est reliée à la vitesse de Fermi des quasi-particules par la formule :

Les formules (1) ^et (2) peuvent s’interpréter ^en

considérant le second son comme une onde de _pres-

sion osmotique, ^ce qui ^{mène au concept de}

^son osmotique ».

La pression osmotique exercée par les ^atomes de soluté au sein de la solution ^est définie comme la différence de pression existant, ^à l’équilibre ^thermo- dynamique, ^{entre un} bain de solvant pur ^{et un} mélange 3He-He II séparés ^{entre eux} par ^une superfuite, qui

réalise ainsi une membrane semi-perméable ^{ne lais-}

sant passer que le superfluide. ^On peut induire des variations de pression osmotique ^{en faisant varier}

la température ^{ou la} concentration de la solution.

Ces perturbations ^se propagent, comme nous allons le montrer, ^en régime ondulatoire ^et non en régime

de diffusion : l’onde correspondante ^{est le son osmo-} tique.

Si nous calculons la vitesse d’une telle onde dans

une solution suffisamment diluée _{pour que} la pression osmotique [2] y soit égale ^{à la} pression d’un gaz idéal à la même température ^et ayant ^{la même densité} numérique que le système ^des quasi-particules ^de

’He dissoutes dans He II, ^{en utilisant les formules}

habituelles pour la pression d’un gaz de Fermi [3],

nous trouvons une expression ^de la vitesse du second

son qui ^{se réduit aux formules} (1) ^et (2) ^{dans les}

limites où le système obéit à la statistique de Boltzmann

(T > 7p) ^d’une part, ^{et est} complètement dégénéré (T

0) ^{d’autre part.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003304041500

416

Un calcul rigoureux ^{va nous} permettre ^de géné-

raliser l’interprétation précédente ^{en utilisant une}

relation thermodynamique exacte entre la pression osmotique, ^la pression ^{fontaine et} la vitesse du second

son. Cette formule inclut tous les effets dus à la

compressibilité, ^{à la} dilatation thermique, ^{aux exci-}

tations de He4 ^{et aux} interactions entre quasi-par-

ticules de He3. ^{Dans la} première partie ^{de ce} travail,

nous donnerons une démonstration complète ^de

cette formule, qui ^{a été} publiée ^ailleurs [6]. ^{Dans la}

seconde partie, ^nous étudierons quelques-unes ^de

ses applications ; ^nous déterminerons d’abord la vitesse du second son à toute température ^{en fonction}

du potentiel d’interaction effectif entre les quasi- particules ^de He3, ^{en utilisant} l’expression ^{de la} pression osmotique ^obtenue par Varoquaux [4],

dans le cadre d’un modèle thermodynamique simple

des solutions qu’il ^{a récemment} traité ; ^les expressions

de la vitesse du second son résultant d’une part ^de

ce calcul, ^d’autre part ^du calcul effectué _par Throop

et van Leeuwen [16] ^seront analysées à la fin de ce

paragraphe ; ^nous achèverons ce travail _par une

comparaison des valeurs expérimentales de la vitesse du second son [5] ^{à celles} que nous avons déduites des mesures de pression osmotique [7], [8] ^et qui

conduit à ^un bon accord ^entre les deux ensembles de valeurs.

2. Etablissement de la formule thermodynamique

reliant la pression fontaine, ^la pression osmotique ^{et la}

vitesse du second son dans les solutions diluées. - Nous commençons ^ce paragraphe par ^un bref exposé

des résultats de London [9] ^et Khalatnikov [10] qui

ont généralisé, dans le cadre d’un traitement appro- fondi de l’hydrodynamique des solutions diluées, ^les expressions de la vitesse du second son obtenues par Pomeranchuk.

1) HYDRODYNAMIQUE ^{DES SOLUTIONS DILUÉES.}

L’utilisation d’une approximation ^{linéaire dans les} équations ^de l’hydrodynamique ^{conduit au} système

suivant :

Le système (3) ^{est valable tant que :}

-

le modèle à deux fluides garde ^{un sens ;}

-

les effets de diffusion sont négligeables.

Les notations utilisées ici sont celles de London [9] :

p, o, ^et pn désignent respectivement ^{les densités} massiques ^{de la} solution, ^du superfluide ^{et du fluide} normal ; ^P représente ^la pression régnant ^{au sein de}

la solution ; s, w, 714 caractérisent l’entropie ^{de la} solution, ^sa concentration en He3 et le potentiel

chimique partiel ^de He4 ; ^ces grandeurs ^sont exprimées

par gramme de solution et sont affectées d’une barre

lorsqu’elles ^{sont relatives à} l’un des deux composants.

Les deux premières équations ^de (3) correspondent

à des ondes de densité et d’entropie couplées ; ^le

troisième mode est un mode dégénéré qui ^{ne se} propage pas ^et qui traduit la conservation dans le temps ^{de la} quantité s/w : ^{cette dernière relation nous a amenés}

à considérer le second son comme une onde de

pression localement adiabatique.

Pour résoudre le système (3), ^nous adoptons ^le jeu de variables P, s, ^{w et nous éliminons w en utilisant} la relation (3c), ^ce qui ^{nous conduit aux deux} équa-

tions suivantes :

ul ^et U2 correspondent ^{aux vitesses des deux ondes en}

l’absence de couplage (e

0) ^{et sont données} par les expressions suivantes :

8 est une quantité petite ^et représente ^le coefficient de couplage ^{entre les} deux ondes :

L’expression de la vitesse du second son obtenue par Khalatnikov ^en résolvant le système (4) ^{est la}

suivante :

L’expression (6) ^{ne se} prête guère ^{à une} interpré-

tation physique simple ^du phénomène ^{de second son}

dans les mélanges ^3He-He II. Nous allons établir maintenant la formule _que nous avons présentée

dans l’introduction et exposer l’interprétation phy- sique du second son qui ^{en résulte} directement.

2) ^RELATION ENTRE LA PRESSION OSMOTIQUE, ^LA PRESSION FONTAINE ET LA VITESSE DU SECOND SON.

a) Considérons d’abord le lien qui peut ^{exister entre} la pression ^fontaine PF ^{et la} pression ^{du gaz d’exci-}

tations de 4He. Dans un bain de 4He dont la tempé-

rature est inférieure à la température ^de transition TÀ,

le fluide normal est constitué des excitations élémen-

taires de 4He, phonons et rotons. Leur nombre n’est

pas fixé ; ^{il est} déterminé par la condition de minimum

de l’énergie ^{libre du} gaz d’excitations :F. Le potentiel chimique ^des phonons ^{et des} rotons est donc nul.

La pression du gaz ^ne dépend, ^{dans ce cas} particulier,

que de la température ^{et sa} différentielle a la forme suivante :

Q désigne ^{le volume} occupé par le gaz ^et S son entropie.

Cette relation est identique ^à la relation de définition de la pression fontaine formulée _par London [11].

Nous pouvons alors en conclure _que la pression ^fon-

taine est égale ^{à la} pression du gaz d’excitations de 4He et apparaît ^{ainsi comme la} pression osmotique

du fluide normal en solution dans le superfluide.

L’effet thermomécanique peut ^{alors être} simplement interprété ^{comme une} perturbation ^de l’équilibre osmotique ^du système ^{constitué de deux} récipients

de He II reliés par ^une superfuite, lorsqu’on ^introduit

une différence de température ^{entre les deux bains.}

b) Considérons maintenant le système physique

suivant :

Trois récipients A, B, ^{C sont reliés entre eux} par des superfuites. ^Le premier, A, ^contient de l’He II pur, ^au zéro absolu et à une certaine pression Po ;

le second contient de l’He II pur à ^une certaine tem-

pérature ^{T et} le troisième est rempli ^d’un mélange He3-He II de concentration w et à la même tempé-

rature T. Lorsque ^le système ^{est à} l’équilibre ^les pressions Po, PB et Pc ^sont telles que :

Donc la pression Pc, qui correspond ^{à la} pression hydrostatique réelle au-dessus de la solution, ^est reliée directement à la pression ^{fontaine et à la} pression osmotique

par la relation :

Po ^{a une} signification physique simple : ^{c’est la} pression régnant ^au sein d’un bain de He II au zéro absolu séparé par ^une superfuite ^d’un récipient

contenant une solution de He3 dans He II, ^{et avec} lequel ^{il se trouve en} équilibre ; Po ^{est ainsi une fonc-}

tion des trois variables P, T, w, caractérisant la pres- sion au sein de la solution, ^sa température ^{et sa}

concentration en He 3

La condition d’équilibre ^du système ^{des trois}

bocaux A, B, C, requiert l’égalité ^des potentiels ^chi-

miques ^{du solvant de} part ^{et d’autre des} superfuites ;

elle se traduit donc _par la relation :

Cette relation nous permet ^d’une part, ^{d’avoir une} définition précise ^de Po, ^d’autre part, d’exprimer dJl4

sous la forme d’une différentielle totale exacte :

dfi4 = W40(PO) dPo , (8)

où W40 désigne ^{le volume} massique ^{de He4} pur, ^au zéro absolu et sous la pression Po.

Lorsque l’équilibre mécanique ^du système ^est réalisé, c’est-à-dire lorsque ^la pression extérieure P est constante, ^{la condition} dïl4

0, ^traduisant l’équilibre thermodynamique ^du système ^est équi-

valente à la condition d(PF ⁺ n)

^{0 : la somme de}

la pression ^{fontaine et de la} pression osmotique,

n

PF ^{+ n, reste donc constante dans un} récipient

contenant une solution de He3 dans He II, lorsque

la température ^{et la} concentration varient au sein du mélange.

Nous pouvons remplacer dp4 par ^sa valeur (8)

dans le système (3) ^{dont la} résolution conduit aux

deux équations suivantes :

où nous avons posé :

81 et B2 correspondent ^aux coefficients de couplage

entre les deux ondes de densité et d’entropie ^{et sont}

donnés _{par les} expressions :

Nous montrerons au paragraphe suivant que ^ces coefficients sont égaux (81

E2

e) ; ^nous pouvons alors résoudre le système (9a), (9b) ^{de la même manière}

que Khalatnikov [10] ^{et obtenir} l’expression ^{de la}

vitesse du second son sous la forme suivante :

où p *

m* n3 dans la limite des basses températures (excitations ^{de 4He} négligées ^T 0,5 °K) ^{et des}

solutions diluées.

418

Le second son apparaît ^{ainsi comme une onde de} pression osmotique ^totale (les quantités n ^et PF

interviennent ensemble) ^{du fluide} normal par rapport

au superfluide. ^La présence ^{du terme} s/w peut ^être expliquée ^{de la} façon suivante : une petite ^variation

de concentration en He3 de la solution entraîne une

variation de la concentration du fluide normal (et

par suite de la pression fontaine) ; ceci revient à considérer _que les excitations de He4 ^et les quasi-par-

ticules de He3 ^se déplacent simultanément de telle

façon que l’entropie par quasi-particule ^{de He3 reste}

constante. Le processus à s/w ^constant correspond

donc à ^un régime ^de collisions fortes entre les phonons

et les quasi-particules ^{de ’He et ceci ne sera} plus

nécessairement vrai à basse température ; ^mais

dans ^ce _cas, les excitations de 4He disparaissant, ^la pression fontaine devient négligeable ^{et seule reste}

la pression osmotique.

3. Discussion de la formule établie. Valeur de la vitesse du second son au voisinage ^{du zéro absolu.}

La discussion de la formule établie portera ^{sur les} deux points ^{suivants :}

1) comparer les formules (10b) ^et (11a) (ou 11 b)

aux expressions correspondantes (5b) ^et (5c), ^obtenues

par London et montrer qu’elles ^{leur sont} strictement

équivalentes ; 2) ^{étudier la valeur} limite de la formule établie lorsque la concentration en ’He de la solution tend vers zéro.

Considérons d’abord les expressions (lla) ^et (llb)

des coefficients de couplage 81

et 82. L’identification des coefficients 81 ^{et 8} (5c) ^est obtenue aisément ^en introduisant dans (Ila) l’expression ^de l’entropie partielle s, de 4He en fonction de l’entropie ^{de la}

solution s [9] :

Pour montrer l’égalité ^des coefficients E2 et ^e,

nous utilisons les relations de définition des volumes

partiels ^{de ’He et 4He} [9], ainsi que la transformation des dérivées d’une grandeur thermodynamique par la méthode des jacobiens [3] ; ^nous obtenons alors les expressions suivantes :

L’identification des coefficients _{82 et}

résulte direc- tement de l’introduction de ces relations dans la formule ( 11 b).

Il nous reste à montrer l’équivalence ^des expressions (5b) ^et (10b) ; développons ^{cette dernière en trans-}

formant les dérivées partielles par la méthode utilisée

précédemment ; puis utilisons la relation de Gibbs- Duhem [12] ^{entre les} potentiels chimiques partiels Ji3

et Ji4, après ^avoir remplacé dJï4 par ^son expression (8)

en fonction de la pression ^{fontaine et de la} pression osmotique. ^{Nous obtenons ainsi une stricte identité}

entre nos résultats et ceux de London.

Nous pouvons également comparer la formule (12)

à l’expression de la vitesse du second son (6) ^obtenue

par Khalatnikov ; l’équivalence ^{est moins} stricte que dans le cas précédent ^{dans la mesure où} la dilatation

thermique, négligée ^par Khalatnikov dans la déter- mination de la vitesse du second _son, figure ^dans l’expression ^du coefficient de couplage ^{que nous}

avons obtenue.

Nous étudions maintenant le cas particulier ^{où la}

concentration en ’He de la solution tend vers zéro.

Dans cette limite, ^{seule la} pression fontaine contribue à la valeur de 7r, ^ce qui permet d’exprimer u2 ^sous

la forme :

Nous obtenons ainsi la valeur de la vitesse du second son dans He II pur [11] ] (lorsque ^le système

des équations ^de l’hydrodynamique ^{est résolu en} adoptant ^le jeu de variables P, s).

La valeur de la vitesse du second son au voisinage

du zéro absolu a fait l’objet ^{de la} conjecture ^suivante

formulée _par Mc Clintock et coll. [18] : ^{en raison du}

fait que la contribution (17b) ^{due à} l’influence des interactions attractives croît avec la concentration

plus rapidement que la contribution ^« cinétique » d’origine répulsive (17a), la vitesse du second son

devait s’annuler _pour des concentrations suffisamment élevées.

Il nous a paru possible ^et intéressant de discuter cette suggestion ^{en étudiant les} conséquences ^d’une

valeur nulle de la vitesse du second son à travers nos

formules thermodynamiques ; il résulte de l’appli-

cation de (12) qu’une telle valeur de uii entraîne ^une valeur nulle de (èif/èw)p,s/w ^{(en effet le} coefficient

est toujours positif ^et garde toujours ^{une valeur} finie). ^{Nous pouvons} décomposer

en une somme de deux termes

dont le second est toujours positif ^{et dont le} premier

va être discuté.

Nous _pouvons réécrire ce terme, ^à l’aide de la

relation (8)

Le signe ^de (OJi4/0W)P,T ^est fixé par la condition de stabilité du système :

Donc (on/ow)p,s/w ^{a toujours une valeur positive.}

Nous en déduisons que la vitesse du second son d’une solution diluée ne peut ^s’annuler lorsque ^la tempé-

rature tend vers zéro.

4. Détermination de la vitesse du second son à toute

température.

^{Nous allons} maintenant appliquer

la formule (12) ^à l’évaluation de la vitesse du second son, lorsque ^la pression osmotique ^{est connue. Nous} utiliserons, pour effectuer ^ce calcul, l’expression ^de

la pression osmotique ^de Varoquaux [4] ^{et nous}

comparerons, à la fin de ^ce paragraphe, la valeur de la vitesse du second son résultant de ce calcul à celle

qui ^a été obtenue par Throop ^{et van Leeuwen} [16].

La pression osmotique ^{est donnée à toute} tempé-

rature par l’expression ^suivante [4] :

n

est ici une fonction de la température, ^{de la} pression ^{et de la densité} numérique n3 des 3He en

solution dans le superfluide ; dans la limite des tem-

pératures semi-classiques, ^le développement ^corres- pondant ^en puissances ^de n3 ^est limité aux termes du second ordre inclus ; pour des valeurs de la ^tem-

pérature ^{où le} système ^de 3He est dégénéré, ^{le déve-} loppement ^{est limité aux termes d’ordre} 8/3 ^inclus.

Vo ^et Yl caractérisent le potentiel d’interaction

entre les quasi-particules ^de 3He, qui ^{dans le modèle}

traité par Varoquaux [4], ^{est un} potentiel ^{local à}

deux corps, analogue ^au potentiel de Mac Millan [14]

où le développement ^en puissances de q ^{est limité}

aux termes du second ordre :

Vo ^et Fi ^ont été évalués par BBP [13] ^{et Mac}

Millan [14] ; q c ^est le moment caractéristique ^défini

par la relation: qc

m4 s, s désignant la vitesse du

son dans He4 _{pur. En} supposant que l’utilisation d’un potentiel ^{local et de} l’approximation de Hartree- Fock est encore valable à haute température, ^les propriétés thermodynamiques ^du mélange ^{sont alors}

déterminées et exprimées ^{à l’aide des fonctions de}

Fermi F(il) ; ^{la fonction} CP(r¡) ^{est définie} par la rela- tion :

il ^est reliée au potentiel chimique y, du système ^de fermions libres de masse m * _par la formule :

kB TII = y, ; rot correspond ^au volume d’excès des atomes de He3 dissous dans le superfluide : Wl = W3 - W4 ~ aw40, où

est le paramètre ^de

BBP [13]. L’expression (13) ^{de la} pression osmotique appelle ^toutefois la remarque suivante : la principale

différence entre (13) ^{et les} expressions précédentes

de la pression osmotique [2], [15] réside dans la correction introduite _{par le} volume d’excès des atomes de He3 ; ^en effet, ^cette correction est ici

proportionnelle ^à rot’ tandis que le terme correspon- dant dans les expressions ^des références [2] ^et [15]

est proportionnel ^à rot ^{+ w40. Ce} point ^{est discuté}

en détail dans la référence [4].

1) EXPRESSION DE LA VITESSE DU SECOND SON A TOUTE

TEMPÉRATURE.

Pour pouvoir ^utiliser l’expres-

sion (13) ^{de la} pression osmotique dans l’évaluation de la vitesse du second _son, nous transformons la formule (Sb) ^en y introduisant le système de variables

(T, P, n3), ^ce qui conduit à la relation suivante :

Cv représente ^{la chaleur} spécifique volumique ^{de la}

solution et le terme de couplage ^est de la forme :

Nous pouvons remarquer ^en considérant (13), que la

pression osmotique

^{est une somme de deux termes}

dont le premier nF correspond ^{à la} contribution du _gaz idéal de fermions de masse m * et dont le second _ni rend compte des effets dus aux interactions effectives

entre les quasi-particules ^{et au} volume d’excès des atomes de He3 en solution. La même remarque ^est

applicable ^{à la chaleur} spécifique Cv [4] ; ^{nous inclu-}

rons toutefois dans Cv; ^la contribution due aux excita- tions de He4 (qui ^{est très} petite ^devant CvF). ^Nous

pouvons alors décomposer (14) en une somme de deux termes traduisant l’influence de ces deux contri- butions après ^{avoir tenu} compte du fait que C; ^et ni sont d’un ordre supérieur ^en n3 par rapport ^aux gran- deurs correspondantes ^{pour le} système ^{idéal de Fermi}

et les expressions ^{que nous obtenons sont les} suivantes :

420

Ces formules sont valables à toute température ; les différentes grandeurs thermodynamiques ^sont exprimées simplement ^à l’aide des fonctions de Fermi :

_ _

_

où nous avons posé

Il est loisible de négliger, pour des valeurs de la tempé-

rature inférieures à 0,5 ^{OK la} contribution des excita- tions de He4 à la densité du fluide normal et d’écrire le terme qui ^{se trouve en} facteur dans les dcux expres- sions (15a) ^et (1 Sb) ^{sous la forme :}

où J1Fo désigne ^le potentiel chimique ^d’un système ^de

fermions libres, ^{de masse} m*, ^{au zéro absolu :}

Dans la limite où la température ^est nulle, l’expres-

sion (17a) ^{se réduit à} la vitesse du second son donnée par Pomeranchuk (2) :

Nous allons considérer maintenant les limites de ces

formules lorsque ^le système ^{de He3 est} dégénéré ^d’une part ^et lorsqu’il ^se comporte ^{comme un} gaz de Boltz-

mann d’autre part.

2) ^{LIMITE BASSE} TEMPÉRATURE (T « TF).

^Pour

déterminer uÎ F ^et u2IIi, ^nous utilisons les développe-

ments des fonctions de Fermi à basse température [4]

en puissances ^de (PFIKT) ^{et les} expressions que ^nous obtenons sont les suivantes :

Dans l’évaluation de l’expression (17b) ^{nous avons} négligé l’influence simultanée des contributions dues

aux interactions, ^{à la} température ^{et au volume d’excès ;}

les expressions ^{ainsi obtenues sont valables} jusqu’à

l’ordre 5/3 ^en n3 (inclus).

3) ^{LIMITE HAUTE} TEMPÉRATURE (T > TF).

^Nous

utilisons les développements des fonctions de Fermi

en puissances ^de exp(PF/kT) pour déterminer U;IF

et u Î, ^{et les} expressions que ^nous obtenons sont les

suivantes :

La formule (18a) permet ^{de retrouver le résultat de} Pomeranchuk (L), lorsque ^l’on néglige ^la contribution des excitations de He4 (ainsi que les interactions). ^Les expressions de la vitesse du second son que ^nous

venons d’obtenir sont valables jusqu’au premier ^ordre

en n3.

Un calcul analogue ^a été effectué par Throop ^et

van Leeuwen [16] ; ^{ce calcul} appelle ^les remarques suivantes : 1) ^{Le modèle} thermodynamique utilisé par

ces auteurs diffère de celui qui ^{a servi de cadre à notre} calcul ; ^les expressions ^du potentiel chimique 93 d’un atome de He3 en solution, ^à partir desquelles ^est

construite la thermodynamique ^des mélanges, ^{ne sont}

pas les mêmes dans les deux _{cas ;} 2) ^La présence ^des

excitations de He4 est négligée dans le modèle de ces

auteurs ; 3) ^Le potentiel d’interaction effectif choisi par ^eux pour déterminer la vitesse du second son est celui d’Ebner [15]. ^{Les résultats de ce travail et de la}

référence [16] ^{ne sont} donc pas directement _compa- rables. Fondés tous deux sur des modèles thermo-

dynamiques cohérents mais différents, ^{ils ne sont} valables qu’à l’intérieur de leurs modèles respectifs ^ou

en vue d’une comparaison expérimentale : toutefois ils

ne conduisent _pas aux mêmes valeurs du potentiel

d’interaction [4].

5. Comparaison des valeurs expérimentales ^{de la}

vitesse du second son aux valeurs déduites des mesures

de pression osmotique.

La vitesse du second son

d’une solution diluée de He3 dans He II, ^{de concentra-} tion molaire x

0,35 %, ^a été mesurée par Sandi- ford et Fairbank [5] pour des valeurs de la tempéra-

ture T telles que 0,25 ^{oK T} 0,6 ^{OK et} pour diffé- rentes valeurs de la pression ^P (on peut remarquer que pour ^cette valeur de la concentration la tempéra-

ture se trouve donc dans la région semi-classique

T ii TF).

Nous avons comparé ^{les valeurs de} Un mesurées à

pression ^{nulle et la} pression ^P

^{20 atm à celles que}

nous avons déduites des mesures récentes de pression osmotique [7], [8].

Pour pouvoir ^{utiliser ces} mesures, ^nous devons d’abord exprimer la vitesse du second son dans le _sys- tème de variables T, P, ^{x, où x} désigne ^la concentration molaire en He3 ; la formule (12) ^{se met alors sous la}

forme :

C, S, S4 désignent respectivement ^{la chaleur} spécifique

de la solution, ^son entropie, l’entropie partielle ^{de He4}

et sont exprimées par mole de solution.

1) COMPARAISON DES VALEURS MESURÉES ET CALCU-

LÉES DE Un A PRESSION NULLE.

Les mesures de pres-

sion osmotique utilisées dans ce premier ^{cas sont celles}

de la référence [8]. ^La pression osmotique peut ^être considérée comme une somme de deux termes :

Le premier correspond ^{à la} pression ^d’un gaz idéal de fermions de masse m* et inclut la correction due à la différence de volume partiel ; ^son expression ^{dans le}

domaine de température semi-classique ^{est la sui-}

vante [4] :

L’interprétation récente des mesures de pression osmotique ^effectuée par Varoquaux [4] ^{lui a} permis ^de

déterminer la pression osmotique d’interaction _n;,

en soustrayant 1tF à la valeur mesurée ; il obtient :

Nous pouvons alors calculer u2j à l’aide de la for- mule (19), ^{en utilisant} pour valeurs de PF, C, S, S4o

celles qui ^ont été tabulées _par Radebaugh [20]. ^La comparaison ^{entre les} valeurs de la vitesse du second

son mesurées et calculées conduit à un bon accord entre les deux ensembles de mesures :

La valeur de la masse effective M0*3 ^{déduite de cette}

comparaison ^{est la suivante :}

Ainsi une analyse plus fine que celle de Sandiford et

Fairbank, ^rendue possible par la connaissance de la

pression osmotique ^{et de la formule} (12), ^{abaisse la}

valeur de la masse effective (m*03S.F

^2,54 M3). Cepen- dant, ^{la valeur} 2,47 que ^nous proposons ^{est encore} plus

élevée que celles déduites des mesures de chaleur

spécifique [21] (mÓ3

^2,35 m3) ^{et des mesures de} pression osmotique [8]-[4] (mÓ3

^2,28 m3) ^effectuées

à basse température.

2) COMPARAISON DES VALEURS MESURÉES ET CAL-

CULÉES DE Un ^{A LA PRESSION} P

20 atm.

Les

mesures de pression osmotique utilisées ici sont celles de la référence [7]. Les valeurs tabulées de _7r, T, x,

nous ont permis ^d’évaluer Uli, ^et U2li

^{où n} représente

donc la pression osmotique ^mesurée.

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Nous avons pu alors calculer Un ^et comparer les valeurs obtenues aux valeurs expérimentales ^{de Sandi-}

ford et Fairbank. Nous ^trouvons un bon accord entre les deux ensembles de _mesures, avec une valeur de la

masse effective de : MO*3

2,9 m3.

Ainsi l’utilisation combinée des mesures de pression osmotique ^et de vitesse du second son, à l’aide de la formule (12) permet ^une détermination précise ^{de la}

masse effective [17].

6. Conclusion.

Nous espérons avoir montré _que le phénomène ^{de second son dans les} solutions diluées

peut ^être interprété physiquement ^{de manière} simple :

il apparaît ^{comme une onde de} propagation de la pres- sion osmotique totale du fluide normal ; la formule qui

relie ^ces deux grandeurs ^{nous a} permis ^{d’évaluer la}

vitesse du second son à partir ^de l’expression ^osmo- tique ^{à toute} température, établie par Varoquaux [4].

Pour savoir ce que devient la vitesse du second ^son à la séparation ^de phase, ^il convient de reprendre ^la

démonstration de la formule (12) lorsque ^{les deux} phases coexistent, ^{en tenant} compte ^{de la} discontinuité de la dérivée du potentiel chimique M3 résultant de

l’apparition ^{de la} phase concentrée.

Il peut ^se produire, dans certaines conditions, ^{cela a} d’ailleurs été observé par Landau ^et coll. [19], ^un

retard au changement ^de phase ^{pour des solutions}

dont la concentration est comprise ^{entre 6} % ^{et 16} % ;

nous suggérons que les ^mesures de la vitesse du second

son au voisinage ^{de la courbe de} séparation ^de phase

constituent un moyen très sensible de détection de l’existence de ces états métastables. Les applications ^de

la formule (12) ^{sont donc} nombreuses et importantes.

Remerciements.

Je suis reconnaissante à E. Varo- quaux d’avoir suggéré ^{ce travail et} de m’avoir aidée de nombreux conseils et d’explications. ^{Je remercie}

J. Seiden _pour de fréquents ^{et fructueux entretiens}

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La valeur de la

effective obtenue récemment par cette méthode _par Brubaker et coll. m03

2,28 m3, est inférieure à celle _que

trouvée ; ^les valeurs expérimentales de la vitesse du second

sont ici supérieures ^{à celles de Sandiford et} Fairbank,

qui explique

partie la différence entre les deux valeurs de la

effective m03.

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