Universit´e de Picardie Jules Verne 2008-2009
Facult´e de Sciences Master 1 Th´eorie des groupes
Feuille d’exercices 5.
Exercice 1
1) Les groupes suivants sont-ils de torsion, sans torsion ou mixtes:
(Q,+), (R,+), (C∗,×), (Z×Z/5Z,+)?
2) D´eterminer les groupes de torsion des groupes de la question 1).
Exercice 2 Le groupeQ est-il de type fini?
Exercice 3 On consid`ere le sous-ensemble de Rsuivant:
A={a+b√ 2 +c√
3|a, b, c∈Z} Montrer que c’est un groupe ab´elien libre. Quel est son rang?
Exercice 4 On consid`ere un entier naturel n≥1 et les groupes additifs Qn etRn. Soit H un sous-groupe de type fini de Rn.
a) D´emontrer que le groupe ab´elien H est libre de rang fini.
Dans la suite de l’exercice, on noter le rang de H.
b) D´emontrer que, siH est contenu dans Qn, alorsr ≤n.
c) Donner un exemple o`u n= 1 etr > n.
Exercice 5 Soient a et b deux entiers non tous les deux nuls. Soit H le sous-groupe de Z2 form´e des
´
el´ements (na, nb) pour n∈Z. Quel est le rang de H?
On consid`ere le sous-ensemble H de Z2 form´e des ´el´ements proportionnels `a (a, b). Montrer que c’est un sous-groupe deZ2. D´ecrire uneZ-base deH. Existe-t’il uneZ-base deZ2obtenue en compl´etant uneZ-base de H? D´ecrire le quotient Z2/H, puis le quotientZ2/H.
Exercice 6 Dans le groupe G=Z2, on consid`ere le sous-groupeH engendr´e par les vecteursv1 = (6,0) et v2 = (0,15).
Les questions A), B) et C) peuvent ˆetre trait´ee ind´ependamment les unes des autres.
A) i) Donner explicitement un homomorphisme de groupes surjectif θ : G→ (Z×6Z)×(Z/15Z) dont le noyau soit ´egal `a H.
ii) Trouver deux nombres entiersd1 ≥1 et d2 ≥1 tels que d1 divised2 et que le groupe-quotient G/H soit isomorphe `a Z/d1Z×Z/d2Z.
B) i) On note I1 l’ensemble des valeurs prises sur H par les formes lin´eaires sur G. D´eterminer l’entier naturelb1 tel queI1 =b1Z, et trouver ´el´ementf1 deH et une forme lin´eaireφ1 surGtels queφ1(f1) =b1. ii) V´erifier qu’il existe un ´el´ement e1 de Gtel quef1 =b1e1.
iii) Trouver un g´en´erateur de Ker(φ1) et un g´en´erateur de Ker(φ1)∩H.
iv) D´eduire de ce qui pr´ec`ede une base de Gadapt´ee `a H.
C) On noteI2 l’ensemble des valeurs prises surH×H par les formes 2-lin´eaires altern´ees sur G.
D´eterminer l’entier naturelb2 tel queI2=b2Z.
Exercice 7 a) Soient f : G → G0 un isomorphisme de groupes et H un sous-groupe distingu´e de G.
D´emontrer que le sous-groupeH0=f(H) est distingu´e dansG0 et que les groupes-quotientsG/H etG0/H0 sont isomorphes.
b) Dans le groupe G=Z2, on consid`ere le sous-groupe H engendr´e par les vecteurs (m,0) et (0, n), o`u m et n sont deux nombres entiers naturels non nuls donn´es. Construire explicitement un isomorphisme du groupe quotient G/H sur le groupe (Z/mZ)×(Z/nZ).
c) On note (1, 2) la base canonique du groupe G = Z2 et on consid`ere les sous-groupes K, L, M de G d´efinis par
K =h31,62i, L=h1,182i, M =h21,92i 1
c1) Donner les facteurs invariants et les diviseurs ´el´ementaires de chacun des trois groupes quotients G/K, G/L,G/M.
c2) D´emontrer qu’il n’existe aucun automorphisme f du groupe Z2 tel quef(K) =L.
c3) V´erifier que les groupesG/L etG/M sont isomorphes.
c4) On pose e1 = (2,9). D´eterminer un vecteur e2 de Z2 et deux entiers naturels a1 et a2 tels que (e1, e2) soit une base deZ2 et (a1e1, a2e2) une base deM.
c5) En d´eduire un automorphisme gde Z2 tel queg(L) =M.
2
