1. Dérivation d’une fonction d’une variable

(1)

GI – Mathématiques

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.1 Introduction

x et y sont deux variables liées : y est fonction de x, y = f(x)

x augmentant à vitesse constante, quelles sont les variations de y ?

x y

∆x

∆y

∆y A

B

B A

du point A au point B :

taux de variation de f : V = ∆y

∆x

= vitesse moyenne de variation de y par rapport à x

= pente du segment [AB]

= tan ( i , AB )

(2)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.1 Introduction

Exemple : parcours d’un bus

A

O

V_OA = 7 10

B

C

C’

y (km) 16

10 7

t (min) 10 18 28 35

= 0,7 km/min V_AB = 0

8 = 0 km/min V_BC = 9

17 = 0,5294 km/min V_BC’ = 3

10 = 0,3 km/min V_C’C = 6

7 = 0,8571 km/min

V

_C’

= ?

(3)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.1 Introduction

Exemple : parcours d’un bus

A

O

B

C

C’

y (km) 16

10 7

t (min) 10 18 28 35

V

_C’

= f ’(28)

y = f(x)

vitesse

instantanée en C’

nombre dérivé de f en C’

(4)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.2 Nombre dérivé f ’(a) :

« pente de la courbe » pente de la tangente à la courbe en A

x y

A ∆x

∆y M

a

∆x M

∆y

∆x M

∆y M

∆x

∆y M

∆x

∆y M

∆x∆y

A

∆y

∆x f ’(a) = lim

x → a

(5)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.2 Nombre dérivé

f ’(a) = lim f (x) – f (a) x - a

x → a 1.

f ’(x) = lim f (x+h) – f (x) h

h → 0 2.

(6)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.2 Nombre dérivé

lim f (h) – f (0) h

h → 0⁺ 3.

1.2.4 Dérivée à droite, à gauche

( )

³ ² ¹

f x = x + x = x x +

= lim h + 1 = 1

h → 0⁺

lim f (h) – f (0) h

h → 0^-

= lim - h + 1 = -1

h → 0^-

f n’est pas dérivable en 0.

(7)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.3 Dérivée et variations [Dérivée = pente de la courbe]

x I

Sur un intervalle I, … f ’(x) > 0

x I

f ’(x) < 0

x I

f ’(x) = 0

(8)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.3 Dérivée et variations [Dérivée = pente de la courbe]

x I

Sur un intervalle I, f ’(x) ≠ 0 sauf en a à l’intérieur de I : x < a : f ’(x) < 0

x > a : f ’(x) > 0

x I

x

a a I

x < a : f ’(x) > 0 x > a : f ’(x) > 0 x < a : f ’(x) > 0

x > a : f ’(x) < 0

a

(9)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.4 Expressions de dérivées

(10)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

(11)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.4 Expressions de dérivées fonction constante : f (x) = k

f ’(x) = lim f (x+h) – f (x) h

h → 0

f ’(x) = lim k – k h

h → 0 = lim 0 = 0

h → 0 4.

(12)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.4 Expressions de dérivées fonction identité : f (x) = x

f ’(x) = lim f (x+h) – f (x) h

h → 0

f ’(x) = lim x+h – x h

h → 0 = lim 1 = 1

h → 0 5.

(13)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.4 Expressions de dérivées opérations usuelles

6.

k.u, u + v u.v

f

°

^u

1 v u v

f f ’

f ^-1

k.u’, u’ + v’ u’.v + u.v’

-v’ v²

u’.v - u.v’ v²

u’× (f ’

°

^u)

1 f ’

°

^f^-1

(14)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

fonctions puissances (n ∈ N) f (x) = xⁿ f ’(x) = n.x^n-1 ?

n = 0

initialisation n = 1 n = 2

f (x) = 1 f ’(x) = 0 ?

f (x) = x f ’(x) = 1 ?

f (x) = x² f ’(x) = 2x ?

f (x) = x.x

f ’(x) = x’x+xx’ = 1.x+x.1 = 2x

récurrence f (x) = xⁿ

f ’(x) = n.x^n-1

⇒ ^?

^{f (x) = x}ⁿ⁺¹

f ’(x) = (n+1).xⁿ

f (x) = xⁿ⁺¹ = xⁿ.x f ’(x) = (xⁿ)’x+xⁿx’ = n.x^n-1.x+xⁿ.1 = (n+1).xⁿ 7.

(15)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.4 Expressions de dérivées fonction composée f

°

^u

8.

( ^{f u} ) ( ) ^′ ^x ⁼ ^d _d ^y _x ⁼ _d ^d _u ^y ^× ^d _d ^u _x ⁼ ^f ^′ ( ) ( ) ^u ^× ^{u x} ^′ ⁼ ^f ^′ ( ^{u x} ( ) ) ^× ^{u x} ^′ ^{( )}

( ) ( ) ( ) ⁽ ^{)( )}

u f

x U ∈  → u x ∈  F → = y f u x = f u x

(16)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.4 Expressions de dérivées fonction composée f

°

^u

( )( )

y = f u x exemples :

( )

.

y′ =u f u′ ′

u = 0,01x+2 u’ = 0,01

f (u) = A.sin(u) f ’(u) = A.cos(u)

y = ln(3x²+1) y = e^1-2x y = A.sin(0,01x+2)

y’ = 0,01A.cos(0,01x+2)

u = 3x²+1 u’ = 6x

f (u) = ln(u) f ’(u) = 1/u y’ = 6x/(3x²+1)

u = 1-2x u’ = -2

f (u) = e^u y’ = -2e^1-2x

f ’(u) = e^u

(17)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1.4 Expressions de dérivées fonction réciproque f ^-1

9.

( ) ^;

¹

( )

y = f x x = f

⁻

y

( ) ( ) ( ( ) )

1

1 1

f y

f x f f y

−

′ = =

−

′ ′

(18)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

10.

( ) ^;

¹

( )

y = f x x = f

⁻

y

exemples :

x = √y x’(y) = 1/2x = 1/(2√y) y = x² (x ≥ 0)

( )

¹

( )

x y′ = y x

′

11. x = lny

x’(y) = 1/e^x = 1/e^lny = 1/y y = e^x

d 1

d d

d x

y y

x

=

(19)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

12.

exemples :

( )

¹

( )

x y′ = y x

′

y = arcsin(x)

y’(x) = 1/cosy = 1/√(1-sin²y) = 1/√(1-x²) x = siny

(-π/2 ≤ y ≤ π/2)

d 1

d d

d x

y y

x

=

y = ⁿ√x = x^1/n

x = yⁿ y’(x) = 1/(ny^n-1) = 1/(nx^1-1/n) = 1/n.x^1/n ^{- 1}

(20)

2. Développements limités

2.1 Introduction

(21)

h = ∆x

2. Développements limités

2.2.1 Différentielle d’une fonction d’une variable

( ) ( ) ^. ^. ( )

f a + − h f a = λ h + h ε h

( )

lim

0

et

0

h

ε h

→

=

13.

x y

∆y B

A

a a + h C

AH = h HB = ∆y = f (a+h) – f (a) H

HC = f ’(a).h = λ^.h CB = h.ε^(h)

Pour h très faible, f (a+h) – f (a) ≈ λ^.^h^, dy = f ’(a).dx

14.

or , donc λ ^{= f} ^’(a)

(22)

2. Développements limités

2.3 Obtention f (x) = x² - lnx

A

M

x a

f (a) f (x) = ?

approx1 approx2

f (a)

(x-a).f ’(a) (x-a)²

2 f ’’(a)

( ) ( ) ( ) ( )

ⁿ

f x = P x + − x a ε x

(23)

2. Développements limités

( )

ⁿ

( ) ( ) ( )

ⁿ

f x = P x + − x a ε x

2.3 Obtention

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ( ) ( )

( ) ⁽ ⁾ ( )

! ! ... ! !

2 1

1

1 2 1

n n

x a x a x a x a

f x f a f a f a f a f c

n n

+

− ′ − ′′ − − +

= + + + + +

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^...

( )

( ) ( ) ( )

! ! ! !

2

1 2

n n

x a x a x a n x a

f x f a f a f a f a x

n n ε

− − − −

′ ′′

= + + + + +

partie régulière (degré n)

reste

DL de f en a, à l’ordre n

(24)

2. Développements limités

15.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^...

( )

_{( )}

( )

! ! !

2

1 2

n

x a x a x a n

f x f a f a f a f a reste

n

− ′ − ′′ −

= + + + + +

2.3 Obtention

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ln 1 1₂

1 0 1 1 1 1

f x x f x f x

x x

f f f

′ ′′

= = = −

′ ′′

= = = −

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ln : ln . . .

.

2

2 2

DL 1 0 1 1 1 1 1

2

3 1

2 1

2 2

x x x x x

x x x x

ε ε

= + − + − − + −

= − + − + −

Exemple :

Taylor-Young :

(25)

2. Développements limités

16.

( ) ( ) ( ) ( )

^... ^{( )}

( ) ( )

! ! !

2

0 0 0 0

1 2

n

n n

x x x

f x f f f f x x

n ε

′ ′′

= + + + + +

2.3 Obtention

McLaurin :

2.3.2 McLaurin : DL en zéro

DL en 1 de lnx = DL en 0 de ln(1+x)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

ln ; ;

; ;

2

1 1

1 1 1

0 0 0 1 0 1

f x x f x f x

x x

f f f

′ ′′

= + = = −

+ +

′ ′′

= = = −

( ) ( ) ( ) ( )

ln . .

2 2

1 0 1 1

2 2

x x

x x x ε x x x ε x

+ = + + − + = − +

(26)

2. Développements limités

17.

( ) ( ) ( ) ( )

^... ^{( )}

( ) ( )

! ! !

2

0 0 0 0

1 2

n

n n

x x x

f x f f f f x x

n ε

′ ′′

= + + + + +

2.3 Obtention

McLaurin :

2.3.2 McLaurin : DL en zéro

DL complet en 0 de f (x) = 4x³ + 2x² + x + 1

( ) ( ) ( )

^{( )}

( )

; ; ; ,

; ; ;

12 2 4 1 24 4 24 3

0 1 0 4 0 24 ⁿ 0

f x x x f x x f x n

f f f f x

′ = + + ′′ = + ′′′ = ∀ >

′ = ′′ = ′′′ = =

( )

¹ ^.¹ ² ^.⁴ ³ ^.²⁴ ¹ ² ² ⁴ ³

2 6

x x

f x = + x + + = + +x x + x

(27)

2. Développements limités

( ) ( ) ( ) ( )

f x ≈ f a + −x a f ′ a

(

¹

) ( )

¹ ^.

( )

¹ ^avec ¹

f + h ≈ f + h f ′ h <<

pour x proche de a 2.3 Obtention 2.3.3 calcul approché au 1^er ordre

( ) ( )

;

2 2

1 1 1 2

f x x f x x

f f

= ′ =

(

¹⁺ ^h

)

² ^{≈ +}^{1 2}^h ^avec ^h ^<< ¹

( ) ( )

;

1 2

1 1 1 1

2

f x x f x

x

f f

= ′ =

1 1 avec 1

2

h h h

+ ≈ + <<

18.

19.

(28)

2. Développements limités

2.4 Opérations sur les DL linéarité et produit ( )( )^cos ^{: cos} ² ⁴ ⁴ ( )

4 1

DL 0 1

2 24

x x

x = − + + x ε x ^DL⁴ ( )( )^sin ⁰ ^{: sin} ³ ⁴ ² ( )

6

x = −x x + x ε x

( )( ) ( )

( ) ( )

sin cos : sin .cos

sin .cos

3 2 4

4 4

3 3 3

4 4

DL 0 1

6 2 24

arrêté au degré 4 2

2 6 3

x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x x x

ε

ε ε

  

× = −  − + +

  

= − − + = − +

On remarque d’ailleurs qu’il s’agit bien de ^DL⁴ ^sin

( ) ( )

² ⁰

2

 x 

 

 

.

(29)

2. Développements limités

composition de fonctions

DL₂ de cos en zéro :

.

DL₂ de ln en 1 :

( ) ( )

ln 3 1 ² ² . ₂

2 1

2 2

x = − + x − x + −x ε x

en zéro :

( )

( ) ⁽ ⁾ ^{( )}

( ) ( )

ln cos : ln cos .

2 2 2

2 2

arrêté au degré 2

2 2

2 2 2

3 1

DL 2 1 1

2 2 2 2

3 1

2 2 2 2 2

x x

x x x x

x x

x x x x x

ε

ε ε

   

= − +  − −  −  +

   

= − + − − + + = − +

( )

cos

2

1 1

2

x = − x + x ε x

2.4 Opérations sur les DL

(30)

3. Fonctions de deux ou plusieurs variables

3.3 Dérivation : dérivées partielles exemples :

f (x, y) =

−−−

_x _{+ 1}^y

(

¹

)

²

f y

x x

∂ = −

∂ +

1 1 f

y x

∂ =∂ + f (x, y) = x.lny f ln

x y

∂ =∂

f x y y

∂ =∂

f (x, y) = xy.(x + y) ^f ^{y y}

(

²^x

)

∂ =x +

∂ ^f ^{x x}

(

²^y

)

∂ = +y

∂

(31)

3. Fonctions de deux ou plusieurs variables

3.3.2 Différentielle exemple : f (x, y) = x² - y² – xy + y + 1

f 2

x y

∂ = −x

∂ f 2 1

y x

∂ = − − +y

∂

21.

en (-1, 0.4) : f (A) = 2.64

( )

^.

∂ = −

∂f A 2 4

x ^∂_∂^f

( )

^A ⁼ ^{1 2}^.

y df (A) = -2.4 dx + 1.2 dy

22.

20. x = -1 : f (-1, y) = - y² + 2y + 2

f est croissante sur ]-∞ ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[

(32)

. ₁ . ₂ ... .

1 2

d d d d _n

n

f f f

f x x x

x x x

∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂

3. Fonctions de deux ou plusieurs variables

3.3.2 Différentielle

f (x, y) = x² - y² - xy + y + 1

A(-1 , 0.4 , 2.64) df (A) = -2.4 dx + 1.2 dy

dx = 0.02 ; dy = -0.01 df (A) = -0.06

23.

dx = 0.5 ; dy = -0.1 df (A) = -1.32

24.

Or f (-0.5, 0.3) = 1.61

∆f = -1.03

x y

-1

1 2 0

-2

0 -2

A

0,4

2

(33)

3. Fonctions de deux ou plusieurs variables

3.4 Extrema locaux

f (x, y) = x² - y² – xy + y + 1

25.

= 2 −

p x y

= − − +2 1

q y x

( )

x y y p

x x

q x

 =

= 

= 

 

⇔ ⇔

  

− − + =

 =   =

2

0 2 5

2 2 1 0

0 1

5

; ;

= 2 = −1 = −2

r s t

: − = − <² en tout point rt s 5 0

On a graphiquement un col en ce point.

(34)

3. Fonctions de deux ou plusieurs variables

3.4 Extrema locaux

f (x, y) = xy(x + y – 1)

26.

= 2 + ² −

p xy y y

= 2 + −²

q xy x x

= = + − =

 

⇔

 

= = + − =

 

0 0 ou 2 1 0

p y x y

q x y x

= + − = = + − =

   

⇔    

= = + − = + − =

   

0 2 1 0 0 2 1 0

ou ou ou

0 0 2 1 0 2 1 0

y x y y x y

x x y x y x

 =

= = = 

   

⇔    

= = =

    =

1

0 1 0 3

ou ou ou

0 0 1 1

3

y y y y

x x x

x

(35)

3. Fonctions de deux ou plusieurs variables

3.4 Extrema locaux

f (x, y) = xy(x + y – 1)

26.

= 2 + ² −

p xy y y

= 2 + −²

q xy x x

( )

^, ^: ^{− = − <}²

en 0 0 rt s 1 0

; ;

= 2 = 2 +2 −1 = 2

r y s x y t x

( )

^, ^: ^{− = − <}²

en 0 1 rt s 1 0

( )

^, ^: ^{− = − <}²

en 1 0 rt s 1 0

, :

 

− = >

 

 

1 1 2 1

en 0

3 3 rt s 3

f admet un extrémum en ce point, et comme r > 0,

il s’agit d’un minimum.

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

V

= ?

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

V

= f ’(28)

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

( )

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

°

°

°

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

⇒ ?

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

°

( f u ) ( ) ′ x = d d y x = d d u y × d d u x = f ′ ( ) ( ) u × u x ′ = f ′ ( u x ( ) ) × u x ′ ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

x U ∈  → u x ∈  F → = y f u x = f u x

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

°

( )( )

( )

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

( ) ;

( )

y = f x x = f

y

( ) ( ) ( ( ) )

1 1

f y

f x f f y

′ = =

′ ′

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

( ) ;

( )

y = f x x = f

y

( )

( )

1. Dérivation d’une fonction d’une variable

( )

( )

2. Développements limités

2. Développements limités

( ) ( ) . . ( )

f a + − h f a = λ h + h ε h

( )

lim

0

ε h

=

2. Développements limités

( ) ( ) ( ) ( )

f x = P x + − x a ε x

2. Développements limités

( )

( ) ( ) ( )

f x = P x + − x a ε x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2. Développements limités

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. Développements limités

( ) ( ) ( ) ( )

⇒ ^?

( ^{f u} ) ( ) ^′ ^x ⁼ ^d _d ^y _x ⁼ _d ^d _u ^y ^× ^d _d ^u _x ⁼ ^f ^′ ( ) ( ) ^u ^× ^{u x} ^′ ⁼ ^f ^′ ( ^{u x} ( ) ) ^× ^{u x} ^′ ^{( )}

( ) ( ) ( ) ⁽ ^{)( )}

( ) ^;

( ) ^;

( ) ( ) ^. ^. ( )

( ) ⁽ ⁾ ^{( )}