ATS 2021-22 TD EM6
EM6 - DETERMINATION DU CHAMP B
µo= 4.π.10−7H/m
1 Champ magnétique créé par un câble électrique**
Les lignes à haute-tension sont portées à une hau- teur moyenne de 30 m et servent à acheminer l’électricité des centres de production jusqu’aux transformateurs char- gés d’en abaisser la tension avant l’acheminement jusqu’au consommateurs. L’intensitéI typique parcourant les câbles est de l’ordre de 1.4 kA.
Un câble électrique de ligne à haute-tension est constitué d’un faisceau tressé de fils de petits diamètre afin de limiter l’effet de peau, défavorable à la conductivité du milieu :
La partie conductrice du câble présenté ci-dessus a un dia- mètre de 5cmet nous modéliserons le faisceau de fils par un cylindre uniformément parcouru par une densité volumique de courant~j:
1. Exprimezj en fonction des données et évaluez le numériquement.
2. Déterminez en tout point de l’espace le champ magnétique créé par le câble en fonction deI et r(entre autre). Tracer l’allure de B(r).
3. Déterminez l’ordre de grandeur des champs ma- gnétiques produits par les lignes à hautes-tension au niveau des habitations situées sous leur pas- sage.
4. Exprimez la puissance des pertes dissipée dans L= 100 kmde câble. Evaluez en numériquement l’ordre de grandeur pour le cuivre et l’aluminium.
A comparer avec les prix réciproques d’installa- tion de la ligne.
Materiau γ(106) µ(103) prix (103$/t)
Cuivre 5,8 8,9 9,4
Aluminium 3,7 2,7 2,5
Réponse : 1)j = 7.1 105 A/m2; 3) B = 9µT; 4)P = 10M W
2 Carte d’un aimant en U*
Que dire du champ magnétique dans la zone de l’entrefer ? On justifiera la réponse.
Pointer une zone où le champ est fort, en justifiant.
3 Expérience d’Ampère**
Soient deux trés longs fils conducteurs verticaux pa- rallèles, distants d’une longueurD= 2 cm.
1. En travaillant en base cylindrique, trouver le champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant I.
2. Prédire qualitativement ce qui va se produire lors- qu’on fait passer par les fils un courantI = 1 A de même sens (ascendant).
3. Exprimer la force subie par un fil sur une longueur del= 1m. AN.
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4. Déterminer le champ magnétique total en un point du plan médiateur des deux fils. Même ques- tion si le sens du courant est descendant dans le fil de droite.
Réponse : 3)F = 2,5µN
4 Intensité d’une nappe de cou- rant*
Soit un plan infini (Oxy) parcouru par des courants de surface de densité surfacique j~s=Kx. ~Ux , K étant une constante positive.
1. Représenter la situation. Retrouver la dimension dejs.
2. Exprimer l’intensité traversant un segment co- linéaire à Oy, compris entre les points (x,0) et (x,L).
3. Exprimer l’intensité traversant un segment co- linéaire à Ox, compris entre les points (0,y) et (L,y).
Réponse : 2)I=KxL, 3)I= 0
5 Câble coaxial**
On considère un câble coaxial (cylindre conducteur plein entouré d’un espace cylindrique isolant, lui-même en- touré d’un autre cylindre conducteur) de longueur infinie dont une section présente la géométrie ci-dessous (les zones grises sont conductrices) :
La même intensité I circule dans l’âme centrale et dans la gaine extérieure, le sens du courant étant vers vous dans l’âme et vers l’arrière dans la partie extérieure. La densité de courant est uniforme au sein de chacune des parties conduc- trices.
1. Exprimer, en fonction de I entre autre, les den- sités volumiques de courant~j et~j0 circulant res- pectivement dans l’âme et la gaine.
2. Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace.
3. Quel est l’avantage du câble coaxial sur un câble classique ?
Réponse : 1) ~j = πRI2 1
~
uz ~j0 = π(R−I2
3−R22)~uz; 2) r <
R1 : B~ = 2ΠRµoIr2 1
U~θ; R1 < r < R2 : B~ = µ2ΠroIU~θ; R2 <
r < R3 : B~= µ2ΠroI(R
2 3−r2
R23−R22)U~θ; r > R3: B~ =~0
6 Bobine torique**
Soit une bobine de spires carrés, bouclée sur elle- même à la manière d’un tore de rayon R. Le côté d’une spire vaut 2a, on compte en tout N spires, l’ensemble est parcouru par le courant I (contrairement à ce que laisse penser le schéma, les spires sont reliées les unes aux autres).
1. Déterminer la direction du champ B~ et ses va- riables de dépendance, puis son expression en tout point de l’espace.
2. Montrer que le flux magnétique (RRB. ~~ ds pour rappel...) à travers une spire vaut :
Φ =µoN Ia
π ln(R+a R−a)
3. Exprimer l’énergie magnétique totale contenue dans la bobine et en déduire l’inductance de celle- ci. On fournit l’énergie volumique associée à la présence d’un champB~ :evol= 2µB2
o.
Réponse : 1) B~ = µ2πroN I~eθ ou B = 0 ; 2) L =
µoN2a
π ln(R+aR−a)
7 Relation de passage*
1. Soit un plan conducteur infini xOy. Dans le demi- espace z > 0,B~ =~0 et dans le demi-espace z < 0, B~ =Bocos(ωt−kz). ~Ux. Déterminer l’expression des éventuels courants surfaciques parcourant le plan infini.
2. Soit un cylindre creux d’axe Oz parcouru en sur- face par des courants circulaires ~js = js~eθ. On admet que B~ est nul à l’extérieur du cylindre et uniforme à l’intérieur. Exprimer le champ inté- rieurB~int au voisinage des parois.
Réponse : a)~js=−Bµo
o cos(ωt)~uy
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8 Bobines*
Soit 2 spires d’axe (Oz) situées symétriquement par rapport àOet parcourues par une même intensité. Grâce à la carte de champ :
1. Donner et justifier la direction du champ en tout point de l’axeOx.
2. Tracer l’allure des variations de la composanteBz
du champ magnétique depuis z = −∞ jusqu’à z = +∞, en justifiant leur accord avec la topo- graphie. On pourra suivre un tube de champ.
3. Justifier le sens de parcours du courant dans les bobines.
4. Pourquoi cette carte ne peut-elle pas décrire les lignes de champ d’un champ électrostatique ?
9 Perturbation magnétique due à la foudre**
On a vu au chapitre EM1 qu’un éclair transportait depuis un nuage vers la Terre une charge d’environq= 20C en l’espace d’une milliseconde. Evaluer le champ magnétique à la distanced= 1mde l’éclair en expliquant votre modé- lisation du phénomène.
Réponse :B≈4.10−3 T
10 Solénoïde infini**
On suppose que le champ magnétique est nul à l’ex- térieur du solénoïde. Ce dernier comptenspires par mètres, est de longueur infini et est parcouru par un courant d’in- tensitéI.
En utilisant le contour ci-dessous, déterminer en tout point de l’espace l’expression du champ magnétique créé par le solénoïde infini.
11 Carte d’un solénoïde*
Pointer les zones où le champ est fort et celles ou il est faible, en justifiant.
Déduire des lignes de champs le sens du courant dans le circuit.
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Equation de Maxwell-Thomson
Connaitre les 3 propriétés des LDC magnétiques.
Tracer intuitivement celles des circuits simples
2,8,11 Utiliser et connaître le théorème d’Ampère 1,3,5,6
9,10 Utiliser et connaître la relation de passage du champ magnétique
7 Connaître le champ magnétique d’un solénoïde infini (Chap EM4) Définition de l’intensité en fonction de la densité volumique de courant
1,5
3
