D211-La dixième part du gâteau

D211-La dixième part du gâteau Solution

On projette les dix sommets A, B, C,….et J sur les dix segments ZB, ZC, ZD,….ZA aux points K, L, M, ….,T. On désigne par a, b, c, d et e les angles ABZ (et FZG), BZC (et GZH), CZD (et HZI, DZE (et IZJ), EZF (et JZA) avec e = 180° – a – b – c –d. Enfin X désigne la surface de la dixième part ZJA.

On a les dix relations ci-après qui expriment les surfaces des dix parts de gâteau :

ZB*ZA*sin(a) = 2 (1)

ZC*ZB*sin(b) = 4 (2)

ZD*ZC*sin(c) = 6 (3)

ZE*ZD*sin(d) = 8 (4)

ZF*ZE*sin(e) = 10 (5)

ZG*ZF*sin(a) = 12 (6)

ZH*ZG*sin(b) = 14 (7)

ZI*ZH*sin(c) = 16 (8)

ZJ*ZI*sin(d) = 18 (9)

ZA*ZJ*sin(e) = 2*X (10)

En faisant (1)*(3)*(5)*(7)*(9) / (2)*(4)*(6)*(8)*(10), tous les termes du 1er membre se simplifient et il reste 1 = 2*6*10*14*18 / (4*8*12*16*2*X).D’où X = 945/384. On constate que X ne dépend pas de la valeur des angles a, b, c et d.

Ce résultat très simple ne peut être généralisé qu’avec les polygones ayant 4*p+2 sommets (p1). En effet avec les polygones ayant 4*p (p2) sommets les simplifications observées

précédemment ne se réalisent plus et la surface X dépend de la valeur des angles a,b,c,…

comme le montre l’exemple de l’octogone. En reprenant les notations précédentes, on les 8 relations :

ZB*ZA*sin(a) = 2 (1)

ZC*ZB*sin(b) = 4 (2)

ZD*ZC*sin(c) = 6 (3)

ZE*ZD*sin(d) = 8 (4)

ZF*ZE*sin(a) = 10 (5)

ZG*ZF*sin(b) = 12 (6)

ZH*ZG*sin(c) = 14 (7)

ZI*ZH*sin(d) = 2*X (8)

En faisant (1)*(3)*(5)*(7) / (2)*(4)*(6)*(8), on obtient sin²(a)sin²(c)/sin²(b)sin²(d) = 2*6*10*14 / (4*8*12*2*X) . Cette fois-ci X dépend de a,b et c et on ne sait pas répondre.

Avec les polygones à 4*p+2 sommets, la dernière part vaut X = 3*5*7*….*(2*p+1) / (2*4*….*(2*p-2)) = (2p1)! / (2^2pp!²)