10-Les étoiles

(1)

Version 2021 10 – Les étoiles 1

1.

La distance est

( )

(sec)

3, 262 3, 262 0, 0394 82,8

al

D al

al al

= θ

=

2.

La parallaxe est

( )

(sec)

(sec) (sec)

1 73, 6 1

0, 0136

al

D pc

pc pc θ

θ θ

=

= ′′

3.

La triangulation se ferait alors avec l’orbite de Mars. On aurait alors la situation suivante.

www.astrosurf.com/voyager3/astro/unites.htm

(2)

Version 2021 10 – Les étoiles 2 On aurait alors

2, 28 1011

tan m

θ = ^×D

En général, l’angle est très petit (le plus grand dépasse à peine 0,0002°). On peut donc utiliser l’approximation des petits angles

tan

θ θ

≈

où l’angle est en radian. On a donc

11

( )

11

( )

2, 28 10 2, 28 10

rad

m D D m

θ

= ×

Généralement, on mesure l’angle en seconde d’arc, qui vaut 1/3600 degré (chaque degré est divisé en 60 minutes d’arc et chaque minute d’arc est divisé en 60 secondes d’arc). Aussi, on veut obtenir une réponse en année-lumière. On va donc transformer cette équation pour qu’on puisse utiliser les angles en secondes pour obtenir une distance en année-lumière.

Le lien entre l’angle en seconde et l’angle en radian est

( ) ( )

deg

sec deg

sec

1

3600 180

rad rad

θ =θ ⋅ ⋅ π

On divise l’angle en seconde par 3600 pour obtenir les degrés, puis on transforme les degrés en radian avec la fraction de droite dans l’équation.

On a donc

11

( )

11 deg

(sec) sec deg

11 (sec) deg

sec deg

2, 28 10 2, 28 10

1

3600 180

1 2, 28 10 1

3600 180

rad

D m

m

m θ

θ π

= ×

⋅ ⋅

= ⋅ ×

⋅

(3)

Version 2021 10 – Les étoiles 3 En calculant la valeur du terme de droite, on obtient

16

(sec)

4, 7028 10 m

D θ

= ×

Le parsec aurait donc une longueur de 4,7028 x 10¹⁶ m.

La distance faite par la lumière pendant une année sur Mars est

( )

8 16

3 10 686, 971 24 60 60 1, 7806 10

m s

D ct

s m

=

= × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ×

Le nombre de parsecs par année-lumière est

16 16

4, 7028 10

2, 641 1, 7806 10

m m

× =

× On aurait donc

1 pc = 2,641 al au lieu de 1 pc = 3,262 al

4.

La vitesse tangentielle est liée à la vitesse angulaire par vt

ω =D Puisque la distance est

1, 496 1011m

D θ

= ×

On arrive donc à

1, 496 1011

vt D

m ω

ω θ

=

= × ⋅

(4)

Version 2021 10 – Les étoiles 4 Dans cette formule, la vitesse angulaire est en radians par seconde et l’angle est en radians. Inutile de changer les radians en secondes d’arc puisqu’on fera ce changement en haut et en bas de la division et les facteurs de conversion s’annuleraient. Toutefois, il faut changer les secondes en années. On a alors

11 1

1, 496 10

365, 25 24 60 60 4740

4, 74

t

m an s

km an s

v D

m an

s ω

ω θ ω

θ ω θ

=

= × ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

5.

On trouve la luminosité avec la formule suivante.

( )

2 8

² 15 2

27

4 1, 29 10

4 16, 7 9, 46 10 4, 046 10

W m

I L

D L

m

L W

π π

−

=

× =

⋅ ⋅ ×

= ×

En luminosité solaire, cette luminosité est

27

26

4, 046 10 1 10, 6

3,828 10

W L L

× ⋅ W =

×

⊙

6.

On trouve premièrement que l’intensité lumineuse est de

0,4 8

²

8 0,4 0,90

² 8

²

2, 518 10 10 2, 518 10 10 5, 768 10

mbol

W m W m W m

I ⁻ ⁻

− − ⋅ −

−

= × ⋅

= ×

On trouve la luminosité avec la formule suivante.

(5)

( )

2 8

² 15 2

31

4 5, 768 10

4 863 9, 46 10 4,831 10

W m

I L

D L

m

L W

π π

−

=

× =

⋅ ⋅ ×

= ×

31

26

4,831 10 1 126 211

3,828 10

W L L

× ⋅ W =

×

⊙

7.

On trouve premièrement que l’intensité lumineuse est de

8 0,4

²

8 0,4 0,58

² 8

²

2, 518 10 10 2, 518 10 10 4, 296 10

W m m W m W m

I ⁻ ⁻

− − ⋅ −

−

= × ⋅

= ×

On trouve ensuite la distance de l’étoile

( )

(sec)

3, 262 3, 262 0, 089 36, 65

al

D al

al al

= θ

=

On trouve ensuite la luminosité avec la formule suivante.

( )

2 8

² 15 2

28

4 4, 296 10

4 36, 65 9, 46 10 6, 490 10

W m

I L

D L

m

L W

π π

−

=

× =

⋅ ⋅ ×

= ×

28

26

6, 490 10 1 170

3,828 10

W L L

× ⋅ W =

×

⊙

(6)

8.

L’intensité minimale est

8 0,4

²

8 0,4 6

² 10

²

2, 518 10 10 2, 518 10 10 1, 00 10

W m m W m W m

I ⁻ ⁻

− − ⋅

−

= × ⋅

= ×

On a donc

2

11 26

10

² 2

23

4

10 3,828 10 1, 00 10

4 1, 743 10

W m

I L

D

W d

d m

π π

−

=

⋅ ×

× =

= ×

En année-lumière, cette distance est 18,43 millions d’années-lumière

9.

La magnitude absolue est

78, 7 2, 5 log

6, 93 2, 64

M L

L L L

 

=  

 

 

=  

 

=

⊙

10.

_{On a}

78, 7 2, 5 log

78, 7 2, 04 2, 5 log

515 M L

L L L

L L

 

=  

 

 

− =  

 

=

⊙

11.

_{On a}

(7)

Version 2021 10 – Les étoiles 7 32, 62

5 log

32, 62 4, 7 5 log

326, 2 9, 7 M m al

D m al

al m

 

= +  

 

 

= +  

 

=

12.

_{a) On a}

32, 62 5 log

32, 62 0,851 5 log

139 4, 0

M m al

D

al al

 

= +  

 

 

= − +  

 

= −

b) On a

78, 7 2, 5 log

78, 7 4, 0 2, 5 log

3129 M L

L L L

L L

 

=  

 

 

− =  

 

=

⊙

13.

_{On a}

2, 43log 4, 05 10

2, 43log 48 4, 05 10

5, 71

V

M P

j j j

 

= −  −

 

 

= −  −

 

= −

14.

La magnitude absolue est

(8)

Version 2021 10 – Les étoiles 8 2, 43log 4, 05

10

2, 43log 8 4, 05 10

3,81

V

M P

j j

j

 

= −  −

 

 

= −  −

 

= −

Avec la magnitude, on trouve ensuite la distance 32, 62 5 log

32, 62 3,81 2, 72 5 log

661

V V

M m al

D al D

D al

 

= +  

 

 

− = +  

 

=

15.

Puisque c’est une étoile RR de la Lyre on va prendre une luminosité de 45L⊙. Avec une telle luminosité, la magnitude bolométrique absolue est

78, 7 2, 5 log

45 0, 61

bol

M L

L L L

 

=  

 

 

=  

 

=

⊙

On trouve finalement la distance avec la formule 32, 62 5 log

32, 62 0, 61 12, 26 5 log

6974

bol bol

M m al

D al D

D al

 

= +  

 

 

= +  

 

=

16.

a) La période est

(9)

( )

3

11 3

11 ² 30

² 8

2

9 1, 496 10

2 6, 674 10 2, 7 1, 9885 10 5,1854 10

16, 43

tot

Nm kg

T r

GM

m

kg s

ans π

π −

=

⋅ ×

= ⋅

× ⋅ ⋅ ×

= ×

=

b) Les rayons des orbites se trouvent avec ces deux équations.

1 2

1 1 2 2

r r r M r M r

= +

= On a donc

1 2

1 1 1

2 1 1

2

1

1 1

9 9

9 1

9 1 1,8 0,9

9 3

3 UA r r UA r M r

M UA r M

M UA r

UA r r UA

= +

 

=  + 

 

 

= ⋅ + 

 

= ⋅

= De là, on trouve que

2 6

r = UA

c) La vitesse de l’étoile de 1,8 MA est

( )

2 1

²

11 30

²

11

6, 674 10 2, 7 1,9885 10 0, 9

2, 7 9 1, 496 10

5438

tot tot

kgm s

m s

M GM

v M r

kg m

−

=

× ⋅ ⋅ ×

= ⋅

⋅ ×

=

(10)

Version 2021 10 – Les étoiles 10 La vitesse de l’étoile de 0,9 MA est

( )

1 2

²

11 30

²

11

6, 674 10 2, 7 1,9885 10 1,8

2, 7 9 1, 496 10

10 876

tot tot

kgm s

m s

GM v M

M r

kg m

−

=

× ⋅ ⋅ ×

= ⋅

⋅ ×

=

N.B. On aurait pu aussi trouver ces vitesse avec

( )

11 1

1 8

11 2

2 8

2 3 1, 496 10

2 5438

5,1854 10 2 6 1, 496 10

2 10 876

5,1854 10

m s

v r

T s

v r

T s

π π π π

⋅ ×

= = =

×

⋅ ×

= = =

× d) L’énergie mécanique est

( ) ( )

( )

1 2

²

11 30 30

²

11 38

2

6, 674 10 0, 9 1, 9885 10 1,8 1, 9885 10 2 9 1, 496 10

1, 588 10

mec

kgm s

E GM M r

kg kg

m J

−

= −

× ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ×

= −

⋅ ⋅ ×

= − ×

17.

On trouve la masse avec la formule suivante

( )

2 3 2

2 11 3

11 ² 2

² 30

4

4 15 1, 496 10

, 674 10 32 365, 25 24 60 60 6, 555 10

tot

Nm kg

M r

GT

m

kg π

π

−

=

⋅ ⋅ ×

=

6 × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ×

En masse solaire, cette masse est

30

6,555 10 1 3,30

1,9885 10

kg M M

× ⋅ kg =

×

⊙

(11)

18.

On trouve la distance entre les étoiles avec

( )

15 12

17, 6 2

3600 360 4, 36 9, 46 10 3, 519 10

rad

r D

rad r

m

r m

θ

° π

=

 

⋅ =

 

° ⋅ ×

 

= ×

La masse totale est donc

( )

2 3 2

2 12 3

11 ² 2

² 30

4

4 3, 519 10

, 674 10 79, 9 365, 25 24 60 60 4, 055 10

tot

Nm kg

M r

GT

m

kg π

π

−

=

⋅ ×

=

6 × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ×

En masse solaire, cette masse est

30

4, 055 10 1 2, 04

1,9885 10

kg M M

× ⋅ kg =

×

⊙

Notre première équation est donc

2, 04

A B

M +M = M_⊙ Avec l’équation du centre de masse, on a

( ) ( )

'' ''

2 2

3600 360 3600 360

A A B B

A A rad B B rad

A B

A A B B

M r M r

M D M D

M M

rad rad

M M

θ θ

θ π θ π

θ θ

=

   

⋅ = ⋅

   

  °   °

   

= On a donc

(12)

( )'' ( )''

7, 9 9, 7 1, 2278

A A B B

A B

M M

θ = θ

⋅ = ⋅

= ⋅

En utilisant ce résultat dans notre autre équation, on a 2, 04

1, 2278 2, 04

2, 2278 2, 04 0, 92

A B

B B

M M M

M M

+ =

=

⊙

Ainsi, la masse de l’autre étoile est

2, 04 0,92 2, 04

1,12

A B

A A

M M M

M M

+ =

=

⊙

⊙ ⊙

⊙

19.

_a)

Quand les étoiles sont au plus près l’une de l’autre, elles sont toutes les deux à leur périapside, de chaque côté du centre de masse.

L’étoile la plus massive a le plus petit demi-grand axe. Le demi grand-axe de Sirius A est donc de 6,433 UA. La distance entre le centre de masse et Sirius A à la périapside est alors

( )

1

6, 433 1 0,5923 2, 623

pA A

r a e

UA UA

= −

= ⋅ −

=

La distance entre le centre de masse et Sirius B est alors

( )

1

13, 268 1 0, 5923 5, 409

pB B

r a e

UA UA

= −

= ⋅ −

=

La distance entre les deux étoiles est alors la somme de ces deux distances. Elle est donc de 8,032 UA.

(13)

Version 2021 10 – Les étoiles 13 b) Quand les étoiles sont au plus loin l’une de l’autre, elles sont toutes les deux à leur

apoapside, de chaque côté du centre de masse.

La distance entre le centre de masse et Sirius A est alors

( )

1

6, 433 1 0,5923 10, 243

aA A

r a e

UA UA

= +

= ⋅ −

=

La distance entre le centre de masse et Sirius B est alors

( )

1

13, 268 1 0,5923 21,127

aB B

r a e

UA UA

= −

= ⋅ +

=

La distance entre les deux étoiles est alors la somme de ces deux distances. Elle est donc de 31,37 UA.

c) On trouve la masse totale des étoiles avec la formule de la période. La valeur de a dans cette formule est la somme des deux demis grands axes, soit 19,701 UA.

On a donc

( )

3

11 3

11 ²

² 30

2

19, 701 1, 496 10 50, 09 365, 25 24 60 60 2

6, 674 10 6, 061 10

3, 048

tot

Nm tot kg tot

tot

T a

GM s m

M

M kg

M M

π

π ₋

=

⋅ ×

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

× ⋅

= ×

= _⊙

On peut ensuite utiliser

6, 433 13, 268 2, 062

A A B B

A B

M a M a

M M

=

⋅ = ⋅

= ⋅

En utilisant ce résultat dans notre autre équation, on a

(14)

Version 2021 10 – Les étoiles 14 3, 048

2, 062 3, 048

3, 062 3, 048 0, 995

A B

B B

M M M

M M

+ =

=

⊙

Ainsi, la masse de l’étoile A est

3, 048 0, 995 3, 048

2, 053

A B

A A

M M M

M M

+ =

=

⊙

⊙ ⊙

⊙

d) On a

( )

11 ² 30

²

11

1 1

6, 674 10 6, 061 10 1 0,5923 1 0,5923 19, 701 1, 496 10

5928

tot a

Nm kg

m s

GM e

v a e

kg m

−

= −

+

× ⋅ × −

= ⋅

⋅ × +

=

La vitesse de l’étoile de Sirius A est

0, 995 3, 048 5928 1935

B

aA a

tot

m s m

s

v M v M

M M

=

= ⋅

=

⊙

et la vitesse de Sirius B est

2, 053 3, 048 5928 3993

A

aB a

tot

m s m

s

v M v M

M M

=

= ⋅

=

⊙

e) L’énergie mécanique de ce système est

(15)

( ) ( )

( )

11 ² 30 30

²

11 37

2

6, 674 10 0,995 1, 9885 10 2, 053 1,9885 10 2 19, 701 1, 496 10

9,145 10

A B

Nm kg

E GM M a

kg kg

m J

−

= −

× ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ×

= − ⋅ ⋅ ×

= − ×

20.

Quand les étoiles sont au plus près l’une de l’autre, elles sont toutes les deux à leur périapside, de chaque côté du centre de masse.

La distance entre le centre de masse et procyon A est alors

(

1

)

pA A

r =a −e

La distance entre le centre de masse et Procyon B est alors

(

1

)

pB B

r =a −e La somme de ces distances est

( ) ( )

( )( )

( )

1 1

p pA pB

A B

r r r

a e a e

a a e

a e

= +

= − + −

= + −

= −

Ainsi, la valeur de a est

( )

1

9, 004 1 0, 407 15,184

rp a e UA a

a UA

= −

= ⋅ −

=

On trouve la masse totale des étoiles avec la formule de la période. On a donc

(16)

( )

3

11 3

11 ²

² 30

2

15,184 1, 496 10 40,82 365, 25 24 60 60 2

6, 674 10 4,178 10

2,101

tot

Nm kg tot

tot tot

T a

GM

m

s M

M kg

M M

π

π ₋

=

⋅ ×

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

× ⋅

= ×

= _⊙

Il nous manque une équation. On va l’obtenir avec la vitesse du centre de masse, qui est

1 1 2 2

1 2

cm

M v M v

v M M

= +

+ (Une formule vue en mécanique)

Ici, la vitesse du centre de masse est nulle. Il y a alors une étoile qui va dans la direction positive (on va dire l’étoile A) et une autre qui va dans la direction négative (l’étoile B). On a alors

( )

0 ^{A A} ^B ^B

A B

M v M v

M M

+ −

= +

Avec cette équation, on arrive à

A A B B

M v =M v

Avec l’information concernant les vitesses, on obtient cette deuxième équation.

2, 5 2, 5

A A B B

A A B A

A B

M v M v

M v M v

M M

=

⋅ = ⋅

= ⋅

En utilisant ce résultat dans notre autre équation, on a 2,101

2,5 2,101

3,5 2,101 0, 600

A B

B B

M M M

M M

+ =

=

⊙

Ainsi, la masse de l’étoile A est

(17)

Version 2021 10 – Les étoiles 17 2,101

0, 600 2,101 1,501

A B

A A

M M M

M M

+ =

=

⊙

⊙ ⊙

⊙

21.

On trouve le diamètre à partir

(rad)

diamètre θ = D

Pour calculer le diamètre, il nous faut donc la distance de l’étoile. Cette distance est

( )

(sec)

3, 262 3, 262 0, 00589 553,8

al

D al

al al

= θ

=

= Le diamètre est donc

( )

15 11

0, 0373

3600 180 553,8 9, 46 10 9, 474 10

1361

rad

diamètre D

rad diamètre m

diamètre m

diamètre R θ

° π

=

 

⋅ =

 

° ⋅ ×

 

= ×

= _⊙

22.

On trouve le diamètre avec la formule

(rad)

diamètre θ = D

Pour le trouver, il nous faut l’angle et la distance. La largeur angulaire de l’étoile est

6

8

1,33 1,33 5 10

317 2, 098 10

d

m m

rad θ λ

−

=

= ⋅ ×

= ×

(18)

Version 2021 10 – Les étoiles 18 La distance est

( )

(sec)

3, 262 3, 262

0, 0023 1418

al

D al

al al

= θ

=

= Le diamètre est donc

( )

8

15 11

2, 098 10

1418 9, 46 10 2,815 10

404, 5 202, 3

rad

diamètre D

diamètre

rad m

diamètre m

diamètre R

rayon R

θ

−

=

× =

⋅ ×

= ×

=

⊙

23.

a) La durée de vie est

10,9 1 1

1,92 1

10,9 1 16, 6

10,9 1,92

16, 6 1, 26

vie

M L

t Ga

M L

Ga M L

Ga Ga

= ⋅ ⋅

= ⋅

=

⊙

⊙ ⊙

b) La durée de vie est

(19)

Version 2021 10 – Les étoiles 19 10,9 1

1

0,144 1

10,9 1 0, 0035

0,144 10,9 0, 0035

448

vie

M L

t Ga

M L

Ga M L

Ga Ga

= ⋅ ⋅

= ⋅

=

⊙

⊙ ⊙

c) La durée de vie est

3

10,9 1 1

18 1

10,9 1 126 000 10,9 18

126 000 1,56 10

1,56

vie

M L

t Ga

M L

Ga M L

Ga Ga Ma

−

= ⋅ ⋅

= ⋅

= ×

=

⊙

⊙ ⊙

24.

a) La durée de vie de l’étoile est

3

10,9 1 1

18 1

10,9 1 60 000 10,9 18

60 000 3, 27 10 3, 27

vie

M L

t Ga

M L

Ga M L

Ga Ga Ma

−

= ⋅ ⋅

= ⋅

= ×

=

⊙

⊙ ⊙

L’énergie libérée par la fusion pour cette étoile est donc

(

²⁶

) (

⁶

)

45

60 000 3,828 10 3, 27 10 365, 25 24 60 60 2,37 10

E L tvie

W s

J

= ⋅

= ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ×

(20)

Version 2021 10 – Les étoiles 20 On trouve la masse qui fusionne avec le rendement de la fusion de l’hydrogène.

45 14

30

2,37 10 6, 397 10 3, 7 10

J kg

E R M

J M

M kg

= ⋅

× = × ⋅

= ×

Le pourcentage de la masse de l’étoile qui a fusionné est donc

30 30

3, 7 10

0,104 10, 4%

18 1, 9885 10 kg

kg

× = =

⋅ ×

b) La durée de vie de l’étoile est

10,9 1

vie 1

M L

t Ga

M L

= ⋅ ⋅ ^⊙

⊙

L’énergie libérée par la fusion pour cette étoile est donc E=L t⋅ vie

On trouve la masse qui fusionne avec le rendement de la fusion de l’hydrogène.

fusionnée

vie fusionnée

E R M M E

R M Lt

R

= ⋅

=

Le pourcentage de la masse de l’étoile qui a fusionné est donc 1

1 1

10,9 1 1 1

10,9 1

fusionnée vie

M Lt

M M R

L M L

M R Ga M L Ga L

R M

=

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⊙

Avec les valeurs, on obtient

(21)

26

14 30

19 1

191 17

1 3,828 10

10, 9

6, 397 10 1, 9885 10

3, 0093 10 10, 9 3, 0093 10 3, 4398 10 0,104

fusionnée

J kg

s s

M W

M Ga kg

Ga s

−

= ⋅ ⋅ ×

× ×

= × ⋅

= × ⋅ ×

=

25.

La baisse relative d’intensité est

( )

2 2

2 2 5

6371 695700 8, 386 10 0, 008386%

planète étoile

I R I R

km km

−

∆ =

=

= ×

=

26.

a) On trouve la taille de la planète avec la formule de baisse d’intensité

( )

2 2

2

2 7

0, 005

1,1 695700 5, 411 10

8, 49

planète étoile

planète

planète planète

I R I R

R

km

R m

R R_⊕

∆ =

=

⋅

= ×

=

b) On trouve le demi-grand axe de l’orbite avec

3

2

étoile

T a

π GM

=

On a alors

(22)

( )

3

11 ² 30

² 11

3, 2 365, 25 24 60 60 2

6, 674 10 1, 2 1, 9885 10 3, 452 10

Nm kg

s a

kg

a m

π −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

× ⋅ ×

= ×

Comme une unité astronomique est de 1,496 x 10¹¹ m, cette distance est de 2,31 UA.