Intégration temporelle

(1)

Intégration temporelle

Méthodes d’intégration d’équations d’évolution

D. Ryckelynck Centre des Matériaux

Approche universelle :

description de transformations de l’état d’un système, en respectant le principe de causalité.

En physique et en mécanique, pas de méthode de description d’état de façon absolue (questions philosophiques ou spirituelles)

Choix du système à isoler :

matière ou domaine dont l’état est affecté par la

transformation.

(2)

Etat de traction uniforme

F

-F

Méthode d’intégration temporelle.

Méthode d’intégration des équations différentielles en temps D. Ryckelynck

Mots clés

Problème de Cauchy

Le temps sert à représenter l’effet des couplages avec d’autres équations (champs de température agissant en plasticité). Différence finie, Méthode pas à pas, Euler implicite, Euler explicite, réponse instationnaire, régime transitoire, stabilité, critère de Rougth?, schéma à un pas, série de Taylor tronquée, theta-methode (explicite, Cranck-Nicholson, implicite), méthode des trapèzes généralisée, matrice d’amplification (sans sollicitations), Newmark, méthodes analytiques, équations différentielles linéaires à coefficients constants, équation caractéristique, méthodes par récurrence, équation "quasi-harmoniques", réponse libre, réponse périodique, réponse harmonique, réponse transitoire, pas de temps critique en thermique, Runge-Kutta, formule de quadrature des trapèzes, du point milieu, contrôle d’erreur, adapatation du pas de temps, algorithme SSpj (schéma à un pas d’ordre j approximation de q d’ordre p)

forme faible, formulation variationnelle

Méthode Galerkin discontinu TDG méthode de Hilber-Hughes-Taylor conditions CFL réduction de modèles

Plan :

Pourquoi l’intégration en temps, différence avec les méthode de quadrature car calcul de prévisions.

Schéma d’intégration pour les équa diff du premier ordre, lien avec formule des trapèzes, différence finie, théta méthode Runge Kutta, stabilité, application à la thermique.

Schéma pour les pb d’ordre 2, coût de résol des systèmes linéaires, Newmark, stabilité, application régime transitoire en dynamique

Intérêt et limites des approches analytiques (étude des vibrations, sens des formes propres, cas linéaire découplé, certains cas non-linéaires)

Remarques sur la réduction de modèles, base modale, POD

1 Introduction

Notation:

e₁ x₁ u(x, t) u(x + dx, t) du = Grad(u).dx

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

∂t² Lien avec les formules de quadrature.

I =

! _t

0 {f}({q},τ) dτ avec{q˙} = {f}({q}, t) on obtient {q}(t) = I + {q}(0) θ-méthode

Pourquoi des schémas pour les équations du second ordre?

Mécanique et physique : description de transformations, cas particuliers transfo linéaires en régime station- naire ou quasi statique description d’un état

Pour les transformation besoin d’une prévision au cours du temps (régimes transitoires, pb quasi statiques non linéaires) donc d’un schéma d’intégration temporel.

Principe de causalité (le présent est indépendant du futur) , méthode de récurence 1

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ x₁ u(x, t) u(x + dx, t) du = Grad(u).dx

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

I =

! _t

0 {f}({q},τ) dτ avec{q˙} = {f}({q}, t) on obtient {q}(t) = I + {q}(0) θ-méthode

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ x1

u(x, t) u(x + dx, t) du = Grad(u).dx

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

I = ! t

Description de l’état à l’instant t

Il est plus universel de décrire un problème d’évolution...

1. Introduction

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ e₂ x₁

u₁(x₁, t) = ε₁₁(t) x₁ u₂(x₂, t) = −νε₁₁(t) x₂

σ11(t) = E ε11(t) F(t) = S σ11(t)

u ∈ VD

!

Ω

v ρ u dΩ¨ + !

Ω

ε(v) : σ dΩ −

!

Ω

v fd dΩ−

!

∂ΩN

v F_d dΓ = 0 ∀v ∈ V

σ = K ε(u) ∀x u|t=0 = u_o ∀x

˙

u|t=0 = w_o ∀x 1

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ e₂ x₁

u₁(x₁, t) = ε₁₁(t) x₁ u2(x₂, t) = −ν ε11(t) x2

σ₁₁(t) = E ε₁₁(t) F(t) = S σ₁₁(t)

u ∈ V_D

!

Ω

v ρ u dΩ¨ + !

Ω

ε(v) : σ dΩ −

!

Ω

v f_d dΩ −

!

∂Ω_N

v F_d dΓ = 0 ∀v ∈ V

σ = K ε(u) ∀x u|t=0 = u_o ∀x u˙ |^t=0 = w_o ∀x

1

éprouvette

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ e₂ x₁ σ =





F

S 0 0

0 0 0 0 0 0





(e₁, e₂, e₃)

u1(x₁, t) = ε11(t) x1

u₂(x₂, t) = −ν ε₁₁(t) x₂ σ₁₁(t) = E ε₁₁(t)

F(t) = S σ₁₁(t)

u ∈ V_D

%

Ω

v ρ u dΩ¨ + %

Ω

ε(v) : σ dΩ −

%

Ω

v f_d dΩ −

%

∂ΩN

v F_d dΓ = 0 ∀v ∈ V

1

(Etat isostatique)

...en exploitant des équations d’évolution.

(3)

1.1.Transformation mécanique

élastodynamique infinitésimale (eq. linéaire) Méthode d’intégration temporelle.

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

I = ! t

Principe de causalité (le présent est indépendant du futur) , méthode de récurence

1

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

I = ! t 0

{f}({q},τ) dτ avec{q˙} = {f}({q}, t) on obtient {q}(t) = I + {q}(0) θ-méthode

1

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

I = ! t

1

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

I = ! t

1

Déplacement d’un milieu continu Position

initiale Position à l’instant t

Formulation variationnelle:

Trouver à chaque instant t le champ

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ x₁

u₁(x₁, t) = ε₁₁(t) x₁ σ11(t) = E ε11(t)

F(t) = S σ₁₁(t)

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

I = ! t

0 {f}({q},τ) dτ avec{q˙} = {f}({q}, t) on obtient {q}(t) = I + {q}(0) 1

avec

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ x1

u₁(x₁, t) = ε₁₁(t) x₁ σ11(t) = E ε11(t)

F(t) = S σ₁₁(t)

u ∈ H_g¹(Ω)

!

Ω

v ρ u dΩ¨ + !

Ω

ε(v) : σ dΩ −

!

Ω

v f_d dΩ −

!

∂FΩ

v F_d dΓ = 0 ∀v ∈ H₀¹(Ω)

σ = K ε(u) ∀x u|t=0 = u_o ∀x

˙

u|t=0 = w_o ∀x

1

Données du modèle de transformation

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ x₁

u₁(x₁, t) = ε₁₁(t) x₁ σ11(t) = E ε11(t)

F(t) = S σ₁₁(t)

u ∈ V_D

!

Ω

v ρ u dΩ¨ + !

Ω

ε(v) : σ dΩ −

!

Ω

v f_d dΩ −

!

∂ΩN

v F_d dΓ = 0 ∀v ∈ V

σ = K ε(u) ∀x u|t=0 = u_o ∀x u˙ |^t=0 = w_o ∀x

1

Ω,∂ΩD, u_d sur∂ΩD, ρ, K, f_d, F_d, u_o, w_o

s(x, t) =^T {N}(x).{q}(t) {q}

{q˙} = ∂{q}

∂t {¨q} = ∂²{q}

I = ! t

0 {f}({q},τ)dτ avec{q˙} = {f}({q}, t) on obtient {q}(t) = I +{q}(0) θ-méthode

2 Méthode à un pas

Euler Explicite

[A] (t1) = [A] (t0) +"

A˙#

([A] (t0) , t0) ∆t (1)

Euler Implicite

[A] (t1) = [A] (t0) +"

A˙#

([A] (t1) , t1) ∆t (2)

Lorsque la zone de contact est connue,[B]est connu et le problème est linéaire.

On pose :

{Q_c} = [B]^T {λ}

3 Algorithme d’Usawa

Pour trouver {q} , {Qc} et [B] on utilise un algorithme d’Usawa. Cet algorithme permet de déterminer {Qc}à l’aide d’une suite de corrections{∆Qc}n.

Première étape : pour{Qc} donné on recherche{q}n tel que :

{q^∗}^T $

[K] +k [B]^T [B]%

{q} = {q^∗}^T $

k [B]^T [B]{jo}+{Qc}+{F}%

(3) Deuxième étape : calculer localement les jeux, en chaque point d’intégration du bord succeptible d’être en contact:

{j} = {jo}−"

&

B#

{q} (4)

Troisième étape : adapter[B]pour prendre en compte les points d’intégration ne vérifiant pas les conditions de contact.

Quatrième étape : adapter la valeur des actions de contact en fonction du jeu, à partir des points d’intégration ne vérifiant pas les conditions de contact :

{Qc} = {Qc}−k "

&

B#T

{j}

2

Mots clés

Problème de Cauchy

Plan :

1 Introduction

Notation:

e₁ x₁

u1(x₁, t) = ε11(t) x1

σ₁₁(t) = E ε₁₁(t) F(t) = S σ₁₁(t)

u ∈ V_D

!

Ω

v ρ u dΩ¨ +

!

Ω

ε(v) : σ dΩ −

!

Ω

v f_d dΩ−

!

∂ΩN

v F_d dΓ = 0 ∀v ∈ V

σ = K ε(u) ∀x u|^t=0 = u_o ∀x

˙

u|t=0 = w_o ∀x

1

Besoin d’un modèle de l’état initial (méconnaissance de l’état initial)

(4)

Dans de nombreux domaines de la physique des milieux continus (mécanique, thermique, diffusion, électromagnétisme) :

modèle linéaire

& méthode des éléments

finis

système linéaire

différentiel du premier ou du second ordre

Ω,∂ΩD, u_d sur ∂ΩD, ρ, K, f_d, F_d, u_o, w_o

s(x, t) = {N}^T (x).{q}(t)

{q} {q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

∂t²

[M] ¨{q} + [C] ˙{q} + [K] {q} = {F} Lien avec les formules de quadrature.

I = ! t

2 Méthode à un pas

Euler Explicite

[A] (t₁) = [A] (t₀) + "

A˙#

([A] (t₀) , t₀) ∆t (1)

Euler Implicite

[A] (t₁) = [A] (t₀) + "

A˙#

([A] (t₁) , t₁) ∆t (2)

Lorsque la zone de contact est connue, [B] est connu et le problème est linéaire.

On pose :

{Q_c} = [B]^T {λ}

3 Algorithme d’Usawa

Pour trouver {q} , {Q_c} et [B] on utilise un algorithme d’Usawa. Cet algorithme permet de déterminer {Qc} à l’aide d’une suite de corrections {∆Q_c}_n.

Première étape : pour {Q_c} donné on recherche {q}_n tel que : {q^∗}^T $

[K] + k [B]^T [B]%

{q} = {q^∗}^T $

k [B]^T [B]{j_o} + {Q_c} + {F}%

{j} = {jo} − "

&

B#

{q} (4)

Troisième étape : adapter [B] pour prendre en compte les points d’intégration ne vérifiant pas les conditions de contact.

{Qc} = {Qc} − k "

&

B#T

{j}

2

variable d’état

Fonctions de forme définies par morceaux

inconnues

Ω,∂Ω_D, u_d sur ∂Ω_D, ρ, K, f_d, F_d, u_o, w_o

s(x, t) = {N}^T (x).{q}(t)

{q}

{q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

∂t²

[M] ¨{q} + [C] ˙{q} + [K] {q} = {F} Lien avec les formules de quadrature.

I = ! t

2 Méthode à un pas

Euler Explicite

[A] (t₁) = [A] (t₀) + "

A˙#

([A] (t₀) , t₀) ∆t (1)

Euler Implicite

[A] (t₁) = [A] (t₀) + "

A˙#

([A] (t₁) , t₁) ∆t (2)

On pose :

{Qc} = [B]^T {λ}

3 Algorithme d’Usawa

Pour trouver {q} , {Qc} et [B] on utilise un algorithme d’Usawa. Cet algorithme permet de déterminer {Q_c} à l’aide d’une suite de corrections {∆Q_c}_n.

Première étape : pour {Q_c} donné on recherche {q}_n tel que : {q^∗}^T $

[K] + k [B]^T [B]%

{q} = {q^∗}^T $

k [B]^T [B]{jo} + {Qc} + {F}%

{j} = {j_o} − "

&

B#

{q} (4)

{Q_c} = {Q_c} − k "

&

B#T

{j}

2

Ω,∂Ω_D, u_d sur ∂Ω_D, ρ, K, f_d, F_d, u_o, w_o

s(x, t) = {N}^T (x).{q}(t)

{q} {q˙} = ∂ {q}

∂t {¨q} = ∂² {q}

∂t²

[M] ¨{q} + [C] ˙{q} + [K] {q} = {F} [M] = 0

Lien avec les formules de quadrature.

I =

! t

2 Méthode à un pas

Euler Explicite

[A] (t₁) = [A] (t₀) + "

A˙#

([A] (t₀) , t₀) ∆t (1)

Euler Implicite

[A] (t₁) = [A] (t₀) + "

A˙#

([A] (t₁) , t₁) ∆t (2)

On pose :

{Q_c} = [B]^T {λ}

3 Algorithme d’Usawa

Pour trouver {q} , {Q_c} et [B] on utilise un algorithme d’Usawa. Cet algorithme permet de déterminer {Qc} à l’aide d’une suite de corrections {∆Q_c}_n.

Première étape : pour {Qc} donné on recherche {q}_n tel que : {q^∗}^T $

[K] + k [B]^T [B]%

{q} = {q^∗}^T $

k [B]^T [B]{j_o} + {Q_c} + {F}%

{j} = {j_o} − "

&

B#

{q} (4)

{Q_c} = {Q_c} − k "

&

B#T

{j} 2

thermique, diffusion :

1.2 Systèmes différentiels linéaires

Intégration temporelle