(1)A432 – Le tapis d’Ali Baba

A432 – Le tapis d’Ali Baba [**** à la main]

Solution

On se place d’abord dans le salon. Soit z sa longueur exprimée en nombre entier de centimètres.

Soient x et y les dimensions du tapis avec y > x exprimées elles aussi en nombres entiers de centimètres.

On pose AI = a et AL = b. D’où BI = z – a et DL = 500 – b. Les triangles AIL et BJI étant semblables, on a

IL JI AL

BI AI

BJ  , d’où

x y b

a - z a

b -

500   .

En posant x

y= k avec k rationnel, on en déduit

1 k

z a 500k₂



  et

1 k

500 b kz₂



  .

De la même manière en se plaçant dans le bureau, on obtient les deux relations :

1 k

z c 380k₂



 

et k 1

380 d kz₂



 

Or a²b²c²d² x², ce qui entraîne une relation entre z et k : 0

220 zk

220k²   .Comme k est rationnel, il en résulte que le discriminant de cette équation du second degré en k est le carré d’un nombre entier ou d’un nombre rationnel. On a

 = z²4.220²z²440². Comme z est un entier,  doit être le carré d’un entier p. D’où l’équation (z + p)*(z – p ) = 440² = 193600.

La décomposition de 193600 sous la forme du produit de deux nombres pairs A et B donne alors les valeurs possibles de z et de p, d’où k puis a, b, c et d et enfin x et y qui doivent être des entiers.

Le tableau ci-après fait apparaître la seule solution possible z = 550 cm , x = 250 cm et y = 500 cm.

Le tapis a donc pour dimensions 2,5 mètres sur 5 mètres.