Problème G241. La grille aux 2010 carrés
Louis ROGLIANO
Je dénombre2010carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensionsaetb, entiers naturels tels quea > b > 2. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées entières. Les bords des carrés reposent sur le quadrillage et peuvent se chevaucher. Quelles sont les dimensions de la grille ?
Il y a autant de carrés qu’il y a de diagonales orientées, par exemple, de haut à gauche vers le bas à droite.
Un décompte du nombreN de ces diagonales donne:
N = 1
6 b(b+ 1)(1−b+ 3a)
Il faut donc résoudre en nombres entiers supérieurs à2l’équation:
b(b+ 1)(1−b+ 3a) = 12060 = 22×32×5×67 Il n’y a qu’une solution: a= 202etb= 4.
1
