Classe de quatrième Les nombres en écriture fractionnaire

Classe de quatrième Les nombres en écriture fractionnaire I- Égalité de deux nombres en écriture fractionnaire :

Propriété : a

b étant un nombre en écriture fractionnaire et k un nombre non nul, on a k×a k×b=a

b

Autrement dit, si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d'un nombre en écriture fractionnaire par le même nombre non nul alors on obtient un quotient égal.

Application :

a) Simplification d’une fraction : 30

42=6×5 6×7=5

7

b) Réduction de fractions au même dénominateur :

Pour réduire des fractions au même dénominateur, on détermine un multiple commun (le plus petit possible) aux dénominateurs des fractions puis on détermine les nombres en fractions ayant ce nombre pour dénominateur :

Exemple : 3 15 et 7

6

Le plus petit multiple commun à 15 et 6 est 30 donc le dénominateur commun à ces deux fractions est 30 et on a alors :

3

15= 3×2 15×2= 6

30 et ⁷

6=7×5 6×5=35

30

Remarque : Cela permet de comparer deux ou plusieurs nombres en écriture fractionnaire.

II- Produit en croix Propriété :

Si a b=c

d , alors a×d=b×c.

Autrement dit, si deux quotients sont égaux, alors les produits en croix sont égaux.

Application :

Trouver le nombre x tel que 4 7=3

x

On a deux quotients égaux, donc les produits en croix sont égaux. D'où 4×x=7×3 , soit x=7×3 4 =5,25 III- Addition et soustraction de deux ou de plusieurs nombres en écriture fractionnaire :

Propriété :

Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire : On réduit les nombres au même dénominateur

On ajoute ou on soustrait les numérateurs obtenus (en conservant le même dénominateur).

Exemples : 3

54

5=34 5 =7

5

2 34

5=10 1512

15=22 15

III- Multiplication de fractions : Propriété :

a b et c

d étant deux nombres en écriture fractionnaire, on a : a b×c

d=a×c b×d

Autrement dit, pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple 1 : 3

5×7

2=3×7 5×2=21

10

Remarque : Pour calculer une fraction d’une quantité, on multiplie cette quantité par la fraction.

Exemple 2 :

Une pièce de tissu mesure 240 cm. On vend les 2/3 de la pièce. Combien de mètres a-t-on vendu ? 2

3×240=2×240 3 =480

3 =160 Nous avons vendu 160 mètres de tissu.

Calculer le produit de plusieurs nombres en écriture fractionnaire : Exemple : Calculer A=–14

9 × 6 –5×–3

7

• On détermine d’abord le signe du résultat en utilisant la règle des signes.

Ici, trois facteurs sont négatifs, donc le produit est négatif.

• On décompose le numérateur et le dénominateur en un produit de facteurs simples : A=–14×6×–3

9×–5×7 =–7×2×3×2×3 3×3×5×7

• Pour finir, on simplifie la fraction :

A=– 4 5 IV-Quotients de nombres en écriture fractionnaire

Définition :

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit vaut 1. En particulier, l’inverse d’un nombre a non nul est le nombre 1

a .

Tout nombre en écriture fractionnaire ^a

b admet un inverse qui est le nombre ^b a . Exemples :

L’inverse de 2 est ¹

2 car 2×1

2=1 L’inverse de

5

− 4 est 4

− 5 car 1

4 5 5

4  =



 

 −

×

− Propriété :

Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse.

Exemple : 2 3 1 2

3= × . Propriété :

Diviser une fraction par une autre fraction (non nulle), c’est multiplier la première fraction par l’inverse de la deuxième.

Exemple :

21 10 7

2 3 5 2 7 3 5 15

28 5 3

7 4 5 7 3 4 7 5 3

4  = −



 

 −

×

 =



 

 −

÷

× =

= ×

×

=

÷