D291– A la croisée des chemins [**** à la main]
Zig part du sommet A₁ d'un polygone régulier A₁A₂A₃...A2n de 2n côtés et de centre O. Il parcourt en ligne droite la diagonale A₁A₃, puis la diagonale A₃An, puis la diagonale AnAn-1, puis la diagonale An-1A₂ qui croise la
diagonale A₃An au point P, puis la diagonale A₂A2n-2 qui croise la diagonale A₁A₃ au point Q.
Démontrer que le triangle QOP est isocèle.
Solution proposée par Bernard Vignes
Dans le cercle (C) circonscrit au polygone, A₁An+1 est un diamètre passant par O et A₂A2n est une corde
perpendiculaire à ce diamètre qui coupe A₁A₃ au point R.
Le quadrilatère A₂A₃An-1An est un trapèze isocèle dont la base A₂An est parallèle à A₁An+1. Le point P à l'intersection des digonales A₂An-1 et A₃An est donc sur la médiatrice de A₁An+1. Les droites (A₂A2n) et (OP) sont donc parallèles.
On pose A₁OA₂ = 2α = π/n. On a les relations d'angles:
A₂RA₃ = A₂A₁A₃ + A₁A₂A2n = α + α = 2α = A₂OA₃.
A₂OP = π/2 − A₁OA₂ = π/2 − 2α, D'autre part A₂A₃P =A₂A₃An
soit A₂A₃P =A₁A₃An+1 − A₁A₃A₂ −An A₃An+1 ou encore A₂A₃P = π/2 − α − α = π/2 − 2α = A₂OP Les points R et P sont donc sur le même cercle (Γ) circonscrit au triangle OA₂A₃.
Il en résulte que RA₂ et OP sont deux cordes parallèles de (Γ). OPA₂R est un trapèze isocèle.
Comme RA₂Q=A₂RQ, OQP est un triangle isocèle de sommet Q. C.q.f.d.
![Attention : il faut bien repérer la diagonale [AC]. C A B On mesure la diagonale [AC] et on place son milieu I.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)