G123
Notons A les pi`eces situ´ees `a droite et `a gauche du vestibule, B les pi`eces situ´ees au-dessus et au-dessous du vestibule, C les pi`eces situ´ees aux angles. A l’instant 0, la souris est en V. Apr`es un nombre impair de changements la souris est en A ou en B, apr`es un nombre pair elle est en V ou en C. Du 1 mars `a 0h au 31 mars `a 23h55 il y a eu 31×24×12−1 changements (nombre impair) donc la souris est en A ou en B: la probabilit´e qu’elle soit en V est donc nulle.
Notonspn (resp. qn) la probabilit´e que la souris soit en V (resp C) apr`es 2n changements. On a donc p0 = 1 et pn+qn = 1. La formule des probabilit´es totales donnepn= (12+12×13)×pn−1+13×qn−1(passages V-A-V et V-B-V d’une part, C-B-V d’autre part), d’o`u avecqn−1 = 1−pn−1: pn = 13pn−1+13. Si la suite (pn) converge, sa limite est donc 12. On ´ecrit alorspn−12 =13(pn−1−12) d’o`u pn−12 = (13)n(p0−12) et finalementpn=12(1 +31n). Pourn= 31×24×12/2 = 4464,pn= 12(1 + (1/3)4464).
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