G2960. Après de laborieux calculs
Diophante a choisi deux nombres premiers p et q tels que 5 < p < q < 101.
Il donne à Zig le nombre premier p et lui demande de dénombrer tous les sous-ensembles non vides de {1,2,3,4, … ,p – 2,p – 1} tels que le reste de la division de la somme de leurs termes par p est égal à 5.
Il pose la même question à Puce avec le nombre premier q.
Après de laborieux calculs Zig et Puce constatent qu’ils obtiennent deux nombres qui ont le même nombre de chiffres.
Déterminer p et q.
SOLUTION
Soit 𝐸" = {1,2,3,4, … , 𝑝 − 2, 𝑝 − 1}.
𝐸" possède 2"/0− 1 sous-ensembles non-vides.
D’après le Petit Théorème de Fermat, comme 𝑝 est premier, 2"/0≡ 1 [𝑝].
Ainsi, 𝑁" =2"/0− 1 𝑝 ∈ ℕ.
Notons 𝑆",= (0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝 − 1) le nombre de sommes des termes des sous-ensembles non-vides de
𝐸" congrues à 𝑖 modulo 𝑝.
Intuitivement, il semble assez évident que pour tout 𝑖 ∈ ⟦0; 𝑝 − 1⟧, 𝑆",= = 𝑁". Ce résultat n’est peut-être pas si simple à démontrer ; aussi, m’en abstriendrai-je ...
Je me contenterai de dire qu’il est vérifié pour tous les nombres premiers inférieurs à 12 ...
Dès lors, il suffit d’étudier le nombre de chiffres des 𝑁" pour tout 𝑝 premier dans ⟦7; 97⟧.
Il est égal à : 𝐶" = RlogT𝑁"UV + 1 = Xlog Y2"/0− 1
𝑝 Z[ + 1.
On constate que 𝐶\0 = 𝐶\] = 20 et que ce sont les seuls 𝐶= égaux entre eux.
Conclusion : (𝒑; 𝒒) = (𝟕𝟏; 𝟕𝟑) .
