A2849 – Comme des gicognes
G1 - a et b étant deux entiers distincts > 1, démontrer que l’expression dans laquelle il y a une infinité de radicaux imbriqués les uns dans les autres converge vers une limite L.
Déterminer les couples (a,b) tels que :
1) L prend la valeur entière la plus petite possible 2) L = 2021
G2 - On considère l’expression Ak = 2 – dans laquelle les radicaux sont imbriqués les uns dans les autres k fois. Déterminer k de sorte que l’écriture décimale de Ak contient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4..
Solution proposée par Nicolas Petroff
(G1) Posons pour plus de commodité d’écriture , ,
: expression dans laquelle le signe figure 2n fois . , , en itérant 4 fois on obtient :
, et en généralisant on obtient : .
1) La plus petite valeur de L est obtenue avec a = 2 et b = 3 ou a = 3 et b = 2 . La plus petite valeur est obtenue avec a = 2 et b = 3 L = 2.2894 .
2) L = 2021 = 43*47 , donc avec et , on obtient a = 282 et b = 103801 . Avec et , on obtient a = 322 et b = 79614 .
(G2) Soit .
Il existe une relation de récurrence simple entre et qui est : . , et .
Par récurrence supposons que et montrons que :
Or et la suite est croissante . De plus
quand La relation de récurrence devient à la limite : lim( lim( .
A ce niveau de démonstration, deux modes calcul par approximation apparaissent : 1er mode de calcul :
En partant de et en répétant la relation de récurrence entre et , vers les k croissants, on obtient à partir d’un certain rang : où représente le chiffre 9 répété fois .
Or et nous allons montrer que l’apparition du chiffre 6 pour (ou 4 pour ) se produit tous les 5 fois pour k et tous les 3 fois pour .
En effet en réitérant la relation de récurrence entre et , on obtient bien : -
- -
-
- .
Or 2021 = 3p + 1 p et 3 + 5p = 3368 = k . 2ième mode de calcul :
Soit et ,
de même
.
(note : est le logarithme népérien)
Les résultats obtenus par les deux méthodes sont, en valeurs relatives (3/1000), pas très éloignés…
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