À PROPOS DE L'ONDE SOLITAIRE D'AMPLITUDE FINIE

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MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N ° 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 197

NOTULE HYDRAULIQUE HYD R AU LIC BRIEFS

A propos de Tonde solitaire d'amplitude finie

On the solitary wave of finite amplitude

It is shomn that the équation to the profile of the solitary wave and the velociiy of propaga- tion can be obtained by a convenient process of successive approximation without deter- mining the velocity potential throughout the plane of flow. The method emptoys an operational form of the free surface condition given by LEVI-CIVITA (1911). The wave profile and velocity are. fourni to the third order in the ratio a / h , a being the wave amplitude and h the undisiurbed depth. For smatl values of this ratio the solution reduces to that of BOUSSINESQ. The velocity équation is in good agreement with measurements reported by DAILY and STBPHAN (1953).

Cette note montre que l'équation correspondant an profil de l'onde solitaire et à sa célérité, peut être obtenue par une méthode particulière, d'approximations successives sans qu'il soit nécessaire de déterminer le potentiel des vitesses dans l'ensemble du plan de l'écoule- ment. La méthode utilise une forme opération- nelle de la condition à la surface libre donnée par LEVI-CIVITA (1911). Le profil de l'onde et sa célérité sont données au S" ordre en ( a/ H ) , a étant l'amplitude de l'onde et h la hauteur d'eau non perturbée. Pour les petites ualeurs de ce rapport, la solution se ramène à celle de BOUSSINESQ. L'équation de la célérité est en bon accord avec les résultats de mesures publiés

nnr F U U V i>1 STRPHAN (1953).

I . — I n t r o d u c t i o n

A n i n t e r e s t i n g p r o b l e m i n t h e t h e o r y of g r a v i t y w a v e s c o n c e r n s t h e f o r m of t h e s o l i t a r y w a v e of finite a m p l i t u d e Avhich c a n b e p r o p a g a t e d w i t h o u t c h a n g e of s h a p e i n a c h a n n c l of c o n s t a n t d e p t h . T h e fîrst a p p r o x i m a t i o n i s n e c e s s a r i l y n o n - l i n e a r , i n c o n t r a s t t o t h e t h e o r y of p e r i o d i c w a v e s . F o r p e r i o d i c w a v e s w h o s e l e n g t h i s n o t a p p r e c i a b l y g r e a t e r t h a n t h e d e p t h , t h e first a p p r o x i m a t i o n f o r s m a l l v a l u e s of a/1 i s f o u n d f r o m t h e l i n e a r t h e o r y , w h i l e f o r l o n g p e r i o d i c w a v e s U R S E L L ( 1 9 5 3 ) lias d e m o n s t r a t e d t h a t t h e first a p p r o x i m a t i o n i s l i n e a r o n l y w h e n :

a A2/ / *3 < 1 .

I n t h e p r é s e n t p a p e r t h e e x a c t free s u r f a c e c o n d i t i o n s a r e e m p l o y e d i n a f o r m d e r i v e d b y L E V I - C I V I T A ( 1 9 1 1 a n d 1 9 2 4 ) , a n d u s e d b y W E I N S T E I N ( 1 9 2 6 ) i n c o n s i d e r i n g t h e v e l o c i t y of

I. — I n t r o d u c t i o n

L ' u n d e s p r o b l è m e s i n t é r e s s a n t d e l a t h é o r i e d e s o n d e s d e g r a v i t é c o n c e r n e la f o r m e d e l ' o n d e s o l i t a i r e d ' a m p l i t u d e finie q u i p e u t se p r o p a g e r d a n s u n c a n a l d e p r o f o n d e u r c o n s t a n t e e n c o n - s e r v a n t s o n profil. L a p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n e s t n é c e s s a i r e m e n t n o n l i n é a i r e c o n t r a i r e m e n t à l a t h é o r i e d e s o n d e s p é r i o d i q u e s . P o u r l e s o n d e s p é r i o d i q u e s d o n t l a l o n g u e u r n ' e s t g u è r e p l u s g r a n d e q u e l a p r o f o n d e u r , l a t h é o r i e l i n é a i r e d o n n e u n e p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n d a n s le c a s d e s p e t i t e s v a l e u r s d e a/1, a l o r s q u e p o u r l e s o n d e s p é r i o d i q u e s p l u s l o n g u e s , U R S E L L a d é - m o n t r é ( 1 9 5 3 ) q u e la p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n n ' e s t l i n é a i r e q u e si : al²/h^s ^ 1.

D a n s le p r é s e n t a r t i c l e , n o u s a d o p t e r o n s l e s c o n d i t i o n s e x a c t e s à la s u r f a c e l i b r e t e l l e s q u ' e l - les o n t é t é d é g a g é e s p a r L É V I - C I V I T A ( 1 9 1 1 e t 1 9 2 4 ) , e t e x p l o i t é e s p a r W E I N S T E I N ( 1 9 2 6 ) , d a n s l ' é t u d e d e l a c é l é r i t é d e l ' o n d e s o l i t a i r e . L e p r o f i l

7 Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955035

(2)

1 9 8 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5

t h e s o l i t a r y w a v e . T h e s o l u t i o n f o r t h e w a v e profile a n d t h e v e l o c i t y of p r o p a g a t i o n m a y t h e n b e o b t a i n e d b y s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n a n d a r e h e r e e v a l u a t e d t o t h e t h i r d o r d e r i n t h e r a t i o of t h e w a v e a m p l i t u d e t o t h e u n d i s t u r b e d d e p t h . F o r v e r y s m a l l v a l u e s of t h i s r a t i o t h e s o l u t i o n r e d u c e s t o t h a t o b t a i n e d b y BOUSSINESQ ( 1 8 7 2 ) . T h e c o m p a r a t i v e s i m p l i c i t y of t h e m e t h o d i s d u e t o t h e f a c t t h a t w e s e e k o n l y t h e s o l u t i o n a l o n g t h e f r e e s u r f a c e a n d n o t t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l t h r o u g h o u t t h e e n t i r e p l a n e of flow a s w o u l d b e n e c e s s a r y w h e n d e t e r m i n i n g t h e p a r t i c l e v e l o c i - t i e s . T o t h e t h i r d o r d e r t h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e a/h oî t h e h i g h e s t s o l i t a r y w a v e i s 0.92. T h e e x p r e s s i o n f o r t h e v e l o c i t y of p r o p a g a t i o n i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h m e a s u r - e m e n t s r e c e n t l y r e p o r t e d b y DAILY a n d STEPHAN (1953), a l t h o u g h i t differs f r o m t h e first o r d e r s o l u t i o n b y o n l y 2 % w h e n a/h = 0.92 a n d b y 0.6 % w h e n a/h = 0.5.

d e l ' o n d e e t s a c é l é r i t é p e u v e n t a l o r s ê t r e o b t e n u s p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s , e t n o u s les c a l - c u l e r o n s a u t r o i s i è m e o r d r e e n (a/h), r a p p o r t e n - t r e l ' a m p l i t u d e d e l ' o n d e e t la p r o f o n d e u r d ' e a u n o n p e r t u r b é e . P o u r les t r è s p e t i t e s v a l e u r s d e ce r a p p o r t , la s o l u t i o n se r a m è n e à celle o b t e n u e p a r B O U S S I N E S Q ( 1 8 7 2 ) . L a s i m p l i c i t é r e l a t i v e d e la m é t h o d e p r o v i e n t d e ce q u e n o u s r e c h e r c h o n s s e u l e m e n t l a s o l u t i o n le l o n g d e l a s u r f a c e l i b r e e t n o n le p o t e n t i e l d e v i t e s s e d a n s l ' e n s e m b l e d u p l a n d e l ' é c o u l e m e n t a i n s i q u ' i l s e r a i t n é c e s s a i r e p o u r d é t e r m i n e r la v i t e s s e d e s p a r t i c u l e s . A u t r o i - s i è m e o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n , les r é s u l t a t s m o n - t r e n t q u e l ' o n d e s o l i t a i r e l a p l u s h a u t e a p o u r a m p l i t u d e r e l a t i v e a/h : 0,92. L ' e x p r e s s i o n d e la c é l é r i t é e s t e n b o n a c c o r d a v e c les m e s u r e s r é - c e m m e n t p u b l i é e s p a r D A I L Y et STEPHAN ( 1 9 5 3 ) ; c e p e n d a n t , elle diffère de. la s o l u t i o n a u p r e m i e r o r d r e d e 2 % s e u l e m e n t l o r s q u e a/h — 0,92, e t d e 0,6 % l o r s q u e a/h — 0,5.

I I . — T h e E q u a t i o n s o f M o t i o n

W e c o n s i d e r t h e t w o - d i m e n s i o n a l m o t i o n of a fluid w h i c h i s r e g a r d e d a s i n c o m p r e s s i b l e a n d f r i c t i o n l e s s . T h e m o t i o n i s t h e n r e d u c e d t o r e s t b y t h e a d d i t i o n of a c o n s t a n t v e l o c i t y — c t o t h e flow, c b e i n g t h e v e l o c i t y of w a v e p r o p a g a t i o n . C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s Ox Oy a r e c h o s e n so t h a t t h e o r i g i n i s i n t h e b e d of t h e c h a n n e l b e n e a t h t h e w a v e c r e s t w i t h t h e a x i s Oy v e r t i c a l l y u p w a r d s .

T h e c o m p l e x v e l o c i t y w — u — iv i s o b t a i n e d f r o m t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l ç* a n d t h e s t r e a m f u n c t i o n ty* b y t h e r e l a t i o n :

w ^{— EU.}

dT ^{( 1 )}

w h e r e

a n d

/ ' * — cp* - f i «V*

= = •>• - f îy

If w e c h o o s e ,tp* t o b e z é r o o n t h e b e d y = 0, t h e n o n t h e free s u r f a c e y = y^t w e h a v e :

4,* =

ch

h b e i n g t h e u n d i s t u r b e d d e p t h of w a t e r . N o w w r i t i n g :

f * = chf a n d / = <p + i t|>,

II, — L e s é q u a t i o n s d e m o u v e m e n t N o u s c o n s i d é r o n s le m o u v e m e n t à d e u x d i - m e n s i o n s d ' u n fluide q u i e s t s u p p o s é i n c o m p r e s - s i b l e e t p a r f a i t . L e m o u v e m e n t p e u t ê t r e a n n u l é e n a j o u t a n t u n e v i t e s s e c o n s t a n t e — c h l ' é c o u l e - m e n t , c é t a n t l a c é l é r i t é de l ' o n d e . L e s c o o r d o n - n é e s r e c t a n g u l a i r e s O x Oy s o n t c h o i s i e s d e t e l l e s o r t e q u e l ' o r i g i n e s e t r o u v e s u r le f o n d d u c a n a l s o u s l a c r ê t e d e l ' o n d e , Oy é t a n t v e r t i c a l v e r s le h a u t .

L a v i t e s s e c o m p l e x e w = u — iv s ' o b t i e n t à p a r t i r d u p o t e n t i e l d e s v i t e s s e s 9 * et d e la f o n c - t i o n d e c o u r a n t <J/* p a r l a r e l a t i o n :

w = df*

dz ( D

d a n s l a q u e l l e : e t :

f* — 9 * - j - i

z = x -f- ùj

Si n o u s c h o i s i s s o n s d e t e l l e s o r t e q u ' e l l e s o i t n u l l e a u f o n d d u c a n a l (y — 0 ) , n o u s a u r o n s à la s u r f a c e l i b r e (y = y^t) ;

ty* = ch

h é t a n t l a h a u t e u r d ' e a u n o n p e r t u r b é e . Si m a i n - t e n a n t n o u s é c r i v o n s :

f * = chf e t f = cp - | - ï ii t h e free s u r f a c e i s g i v e n b y : la s u r f a c e l i b r e e s t d o n n é e p a r :

(3)

MARS-AVRIL 1955 - N " 2 LA H O U I L L E B L A N C H E 199

U s i n g t h e c h a n g e of v a r i a b l e i n t r o d u c e d b y L E V I - C I V I T A (1924) :

w = ce-lsù u> = 6 -f- i t (2) w e n e e d t o solve f o r u> (f) i n t h e r é g i o n o ^ ^ < 1

s u b j e c t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s :

6 = 0 o n <J> = 0 (3)

J * L _ - f^p r^si n 0 = 0 o n «J» = 1 (4)

d ç w h e r e :

p = gh/c'² (5)

E q u a t i o n (4) i s t h e u s u a l c o n d i t i o n of c o n s t a n t p r e s s u r e a l o n g t h e free s u r f a c e e x p r e s s e d i n t e r n i s of t h e n e w v a r i a b l e «> = 6 + i T. T h e c o n - d i t i o n t h a t t h e f r e e s u r f a c e s h a l l b e t h e s t r e a m l i n e 4> = l c a n b e w r i t t e n i n t h e o p e r a t i o n a l f o r m ( L E V I - C I V I T A , 1 9 1 1 ) .

w (<? + 0 = i e^iT> T⁰ (6)

w h e r e :

(I> = I"T⁰ o n $ — ù a n d D d é n o t e s d / d 9.

S e p a r a t i n g t h i s é q u a t i o n i n t o r e a l a n d i m a g i n - a r y p a r t s a n d e l i m i n a t i n g x⁰ w e h a v e :

T = — c o t D 9 (7)

o n $ = 1.

T h e s u r f a c e c o n d i t i o n s a r e t h u s :

D T = — p e-*⁷ s i n e (8)

a n d :

1 ) ; — I) c o t D 0 (9)

Si l ' o n a d o p t e le c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e p r o - p o s é p a r L É V I - C I V I T A (1924) :

w = ce-^ia> <O==Ô + I T (2) n o u s d e v o n s r é s o u d r e to (f) d a n s le d o m a i n e 0 ^ <f> ^ 1 e n r e s p e c t a n t les c o n d i t i o n s a u x l i m i - tes s u i v a n t e s :

6 = 0 s u r ^ = 0 (3) - 4 ^ + p e -^{: , T}s i n O = 0 s u r 4 = 1 (4)

u 9 où :

p == gh/c² (5)

L ' é q u a t i o n (4) e s t l a c o n d i t i o n c l a s s i q u e d e p r e s s i o n c o n s t a n t e le l o n g d e l a s u r f a c e l i b r e e x p r i m é e e n f o n c t i o n d e l a n o u v e l l e v a r i a b l e ai = 6 -f- i T. L a c o n d i t i o n e x p r i m a n t q u e l a s u r - face l i b r e d o i t c o r r e s p o n d r e a v e c la l i g n e d e c o u - r a n t 4* = 1 p e u t ê t r e é c r i t e s o u s l a f o r m e o p é - r a t i o n n e l l e ( L É V I - C I V I T A , 1911) :

w ( 9 - f

1) ==

i e^iD T⁰ (6) d a n s l a q u e l l e :

w = i T⁰ s u r «J» = 0 et D signifie d/d 9 . E n s é p a r a n t d a n s c e t t e é q u a t i o n la p a r t i e r é e l l e e t l a p a r t i e i m a g i n a i r e , e t e n é l i m i n a n t T„, o n o b t i e n t :

x = — c o t D 0 (7) s u r i|i = 1.

L e s c o n d i t i o n s e n s u r f a c e s o n t d o n c :

D T -— — p e~'-'-" s i n 0 (8) D x = — D c o t D 6 (9) I I I . — S o l u t i o n b y S u c c e s s i v e A p p r o x i m a t i o n s

E q u a t i o n (9) m a y b e i n t e g r a t e d b y s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s b y r e g a r d i n g x a s s m a l l t h r o u g h - o u t t h e r é g i o n of flow. W e r e p l a c e :

D = (d/d 9 ) b y (d x/d 9 ) (d/d x), a n d s u b s t i t u t e t h e v a l u e of (dx/d%) f r o m é q u a - t i o n ( 8 ) . T o t h e first a p p r o x i m a t i o n é q u a t i o n s (8) a n d (9) b e c o m e :

a n d :

4 ^ - = — p i d — st) a i )

d 9

I I I . — S o l u t i o n p a r a p p r o x i m a t i o n s s u c c e s s i v e s

O n p e u t i n t é g r e r l ' é q u a t i o n (9) p a r a p p r o x i - m a t i o n s s u c c e s s i v e s e n c o n s i d é r a n t q u e x e s t suf- f i s a m m e n t p e t i t d a n s l ' e n s e m b l e d e l ' é c o u l e m e n t . O n r e m p l a c e D — (d/d 9 ) p a r (d x/d 9 ) (d/d x) e t o n r e m p l a c e (dx)/(d<p) p a r s a v a l e u r t i r é e d e l ' é q u a t i o n 8. A u p r e m i e r o r d r e d ' a p p r o x i m a t i o n , les é q u a t i o n s 8 e t 9 d e v i e n n e n t :

- 1 1 . = — 6 4- 1 dx d / d ⁹ rf<>\/^1(r)

d⁹ 3 tf 9 dx \dx dx J^{K }}

e t :

J<1_ _ p⁹ ⁽i _ _ 3 ^T) (11)

a 9

(4)

200 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MAKS-AVML 1 9 5 5

W E I N S T E I N (1927) l i a s s h o w n t h a t t h e l i n e a r i z - e d f o r m of é q u a t i o n (9) a s a first a p p r o x i m a t i o n , (d x/d f ) = — p 0, l i a s n o n o n - z e r o b o u n d e d s o l u - t i o n i n t h e c a s e oi' t h e s o l i t a r y w a v e .

I n t é g r a t i o n of é q u a t i o n s (10) a n d (11) l e a d s t o t h e s o l u t i o n :

- j - P²«² = ~ f l> + ( ! — / > > ] (12) W r i t i n g R = — V at t h e c r e s t w h e r e Ô = 0, t h e n t o t h i s a p p r o x i m a t i o n :

1 (13)

W E I N S T E I N lias c a r r i e d t h i s p r o c é d u r e t o a s e c o n d a p p r o x i m a t i o n b y r e t a i n i n g t h e n e x t h i g h e r o r d e r t e r m i n é q u a t i o n (9) a n d f o u n d :

W E I N S T E I N (1927) a m o n t r é q u e la f o r m e li- n é a r i s é e d e l ' é q u a t i o n ( 9 ) , c o n s t i t u a n t u n e p r e - m i è r e a p p r o x i m a t i o n , d x/d <p = — /> 0, n ' a v a i t p a s

d e s o l u t i o n finie d i f f é r e n t e d e z é r o d a n s le c a s d e l ' o n d e s o l i t a i r e .

L ' i n t é g r a t i o n des é q u a t i o n s 10 et 11 c o n d u i t à la s o l u t i o n :

- y P ² ^m = T + — />>] <^{1 2}>

Si l ' o n é c r i t x = — v v e r s la c r ê t e où 0 = 0, o n a, à c e t t e a p p r o x i m a t i o n :

1 — p = v (13) W E I N S T E I N a é t e n d u s o n p r o c é d é à u n e s e c o n d e

a p p r o x i m a t i o n e n t e n a n t c o m p t e d u t e r m e d ' o r - d r e i m m é d i a t e m e n t s u p é r i e u r de l ' é q u a t i o n 9, et a t r o u v é :

p¹ ( 1 / d «²\ 2 . , d²0 M 1 , x^{2 r} .^M \-i i , „ , 3 ,

(14) S u b s t i t u t i n g f o r ¥ f r o m é q u a t i o n (12) i n t h e

t e r n i s of t h e f o u r t h o r d e r i n x w e h a v e :

E n r e m p l a ç a n t 0² p a r sa v a l e u r t i r é e d e l ' é q u a - t i o n (12), d a n s les t e r m e s a u 4 ' d e g r é en T, o n t r o u v e :

a n d (et)

/)2⁶2 = . T2⁺ _ i _ [ 1⁺( 1 .

1 — p = V •

• p ) ] + " î⁰- [ 5 d — p ) — d — P )³]

21 20

(15)

(16)

I n o r d e r t o o b t a i n t h i r d o r d e r e x p r e s s i o n s for t h e w a v e profile a n d t h e v e l o c i t y of p r o p a g a t i o n i t i s n e c e s s a r y t o r e t a i n a f u r t h e r t e r m i n é q u a t i o n (9) w h i c h b e c o m e s :

_L

D2 o - I —— D* 9 4 - -2- D⁸ 0 3 ^ 4 5 ^ 945

(17) R e p l a c i n g (d x/d <?) a n d i n t e g r a t i n g , t h i s é q u a - t i o n r e d u c e s t o :

Afin d ' o b t e n i r d e s e x p r e s s i o n s a u t r o i s i è m e o r - d r e p o u r le profil d e l ' o n d e et l a c é l é r i t é , i l c o n v i e n t d e t e n i r c o m p t e d ' u n t e r m e d e p l u s d a n s l ' é q u a t i o n (9) q u i d e v i e n t a i n s i :

d, = — 0 + - J - D 2 0 + A . I>(

945 ^{D « 0} (17) E n r e m p l a ç a n t (d x/d ç) p a r s a v a l e u r et e n i n - t é g r a n t , c e t t e é q u a t i o n se r é d u i t à :

( 1 — P ) + T»

_ J _ - E⁴( l ~ - P) f^P p²^N 8 "

- • £ 1 - . * « " "

2 1 4 + 3

90

945 O²

RFR

d² W\2

dx°-

a^{n 2}^d^{2 9 2} i 3

6 t 6 -oVT + T ^

0² d 6a d³ 6² d T d x^s

dW dx

d+

10

1 / d ' 6²y d²f l² 4 V d T J d T²

J L 10

(18)

S u b s t i t u t i n g é q u a t i o n s (15) a n d (16) i n t h e E n t e n a n t c o m p t e d e s é q u a t i o n s 15 et 16 f o u r t h a n d fifth o r d e r t e r m s , w e h a v e : d a n s les t e r m e s d e s 4^e et 5" o r d r e s , o n o b t i e n t :

(5)

MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N " 2 LA H O U I L L E B L A N C H E 2 0 1

9 1

_L

^T-i (1 — p)⁺

JL

, 3 (1 _ ^⁺ , 2 (1

I O 1

(19) T h e c o n d i t i o n a t t h e c r e s t 0 = 0 , ~. - ~ v,

g i v e s :

1 _^{p = v} 2 1² , 2 8 3^a ⁽² ⁰⁾

^ 2 0 ^ 4 2 0

I V . — T h e W a v e V e l o c i t y

T h e p r e s s u r e é q u a t i o n a t t h e free s u r f a c e m a y b e w r i t t e n :

Y M ⁱ + gy = y c'^iJrgh or, u s i n g t h e c h a n g e of v a r i a b l e i n é q u a t i o n (2) :

i - < - - . > + i . ( i = i ) = o

S i n c e a t t h e c r e s t y = a - j - /i, a b e i n g t h e w a v e a m p l i t u d e , w e h a v e :

p ( ^ . ) ^Œ , _ ^v . ⁺ ^ v . (21)

to t h e t h i r d o r d e r .

E l i m i n a t i n g v b e t w e e n é q u a t i o n s (20) a n d (21), o n e f i n d s t h a t t h e v e l o c i t y of p r o p a g a t i o n i s given t o t h e t h i r d o r d e r b y t h e r e l a t i o n :

(22) w h i c h i s i n close a g r e e m e n t w i t h r é c e n t m e a s u r - e m e n t s of t h e v e l o c i t y of t h e s o l i t a r y w a v e given

b y D A I L Y a n d S T E P H A N ( 1 9 5 3 ) . F o r t h e h i g h e s l

w a v e , I h e p a r t i c l e v e l o c i t y a t t h e c r e s t i s e q u a l t o t h e w a v e v e l o c i t y a n d s o :

c² = 2 ga

U s i n g é q u a t i o n (22) t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e of t h e h i g h e s t w a v e i s a c c o r d i n g l y g i v e n b y :

h ^ 2 0

V

h J 70 \ h) "•

f r o m w h i c h w e flnd :

(JL) = 0.92

T h e v a l u e of c/(gh)h'" given b y é q u a t i o n (22)

L a c o n d i t i o n à l a c r ê t e (0 = 0, T = — v) d o n n e :

l - / ' = v _ | l v » + - ^ . v » (20)

I V . — L a c é l é r i t é

L ' é q u a t i o n d e l a p r e s s i o n à l a s u r f a c e l i b r e p e u t s ' é c r i r e :

Y <wr + mi j c* + gh

o u , e n u t i l i s a n t le c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e d e l ' é q u a t i o n 2 :

P u i s q u e , à l a c r ê t e y = a - j - h, a é t a n t l ' a m p l i - t u d e , n o u s p o u v o n s é c r i r e :

P

( x )

⁼^v^— ^v ^{8 +} T " ^v * ⁽ ² ¹ ⁾

a u 3^e o r d r e .

E n é l i m i n a n t v e n t r e l e s é q u a t i o n s (20) e t ( 2 1 ) , o n t r o u v e q u e la c é l é r i t é e s t d o n n é e a u 3° o r d r e p a r l a r e l a t i o n :

(22) e x p r e s s i o n q u i c o n c o r d e b i e n a v e c l e s r é s u l t a t s d e m e s u r e r é c e n t s c o n c e r n a n t l a c é l é r i t é d e l ' o n d e

s o l i t a i r e c o m m u n i q u é s p a r D A I L Y e t S T E P H A N .

P o u r l ' o n d e la p l u s h a u t e , la v i t e s s e d e s p a r t i c u - les à la c r ê t e e s t égale à la c é l é r i t é e l p a r c o n - s é q u e n t :

c- = 2 ga

C o m p t e t e n u d e l ' é q u a t i o n ( 2 2 ) , l ' a m p l i t u d e r e - l a t i v e d e l ' o n d e l a p l u s h a u t e e s t d o n c d o n n é e p a r :

h ^ 2 0 \ h) ^ 70 \ h J d ' o ù l ' o n c o n c l u t q u e :

L a v a l e u r d e c/(ghVi- d o n n é e p a r l ' é q u a t i o n

(6)

202 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 2 - MARS-AVRIL 195g

differs l i t t l e f r o m t h e first o r d e r s o l u t i o n for s m a l l v a l u e s of a/h, t h e c o r r e c t i o n b e i n g 0.6 % w h e n a/h = 0.5 a n d 2 % w h e n a/h = 0.92.

(22) n e diffère q u e l é g è r e m e n t de la s o l u t i o n a u p r e m i e r o r d r e p o u r l e s p e t i t e s v a l e u r s d e a/h : l a c o r r e c t i o n e s t d e 0,6 % l o r s q u e a/h — 0,5, et de 2 % l o r s q u e a/h = 0,92.

V . — T h e W a v e P r o f i l e

V . Profil d e l ' o n d e

T h e n i e t h o d u s e d t o o b t a i n t h e w a v e profile i s a m o d i f i c a t i o n of t h a t u s e d b y L E V I - C I V I T A f o r p e r i o d i c w a v e s . T h e s e c o n d t r a n s f o r m a t i o n of t h e p l a n e of m o t i o n is a v o i d e d b y u s i n g é q u a - t i o n (19) C o n n e c t i n g 6 a n d t o n t h e f r e e s u r f a c e , a n d i n t e g r a t i n g t h r o u g h o u t i n t e r m s of T.

F r o m é q u a t i o n (1) w e h a v e :

- f

df* ch

f

^rdi

m (23)

w h e r e w = c e~^{ia (/)}-

O n t h e free s u r f a c e w e h a v e z — -, a n d df = d if, a n d s o :

h ^l" d o

Àlso, w e h a v e f r o m é q u a t i o n (4) d® = --- — e1 ^iT ad-.

o n z =Z{.

T h u s :

+^{i S} c o s e c 6 d T (24) S e p a r a t i n g t h i s i n t o r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s , w e h a v e t h e p a r a m e t r i c f o r m of t h e é q u a t i o n t o t h e free s u r f a c e :

h_

P

J e^coUdx (25)

= ~ J e^dx (26)

T o t h e t h i r d o r d e r , 6 i n é q u a t i o n (25) i s g i v e n b y f r o m é q u a t i o n (19) :

J2± \ A +^v ] 1 +

8

L a m é t h o d e u t i l i s é e p o u r o b t e n i r le p r o f i l d e l ' o n d e c o n s t i t u e u n e m o d i f i c a t i o n d e celle u t i l i s é e p a r L É V I - C I V I T A p o u r les o n d e s p é r i o d i q u e s . L a s e c o n d e t r a n s f o r m a t i o n d u p l a n d e l ' é c o u l e m e n t e s t é v i t é e e n se s e r v a n t d e l ' é q u a t i o n (19) q u i r e l i e 6 e t T s u r la s u r f a c e l i b r e , e t e n i n t é g r a n t e n f o n c t i o n d e T.

D ' a p r è s l ' é q u a t i o n (1), n o u s a v o n s :

, : c /( / • ' ' / • W J w

d a n s l a q u e l l e w — e c "^{i E}W .

S u r la s u r f a c e l i b r e , n o u s a v o n s : z — z^t e t df = d ç, si b i e n q u e :

Z{ = h

j

^e^ia^d⁹

P a r c o n s é q u e n t , d ' a p r è s l ' é q u a t i o n (4)

(23)

s u r z — z^t. A i n s i ;

d 9 = — — ë^{A 1} P

c o s e c 8 d T

P J

+^{i e} c o s e c 0 d T (24) E n s é p a r a n t l a p a r t i e r é e l l e e t l a p a r t i e i m a - g i n a i r e , n o u s o b t e n o n s l ' é q u a t i o n d e l a s u r f a c e l i b r e s o u s f o r m e p a r a m é t r i q u e .

x,. ⁼ ^f ^#

P J

h-

f

e^d P J

Tc o t 6 d T (25) (26) A u t r o i s i è m e o r d r e , 0 d a n s l ' é q u a t i o n (25) e s t c a l c u l é e d ' a p r è s l ' é q u a t i o n (19) :

, 907 173 . 5 021 ,

V _ t" 640^X" 960 ^T ^V ⁺ 9 600^V (27)

E v a l u a t i n g t h e i n t é g r a i s (25) a n d (26), t h e w a v e profile i s g i v e n t o t h e t h i r d o r d e r b y t h e r e l a t i o n s :

A p r è s c a l c u l d e s i n t é g r a l e s (25) e t ( 2 6 ) , le profil d ' o n d e e s t d o n n é a u t r o i s i è m e o r d r e p a r l e s r e l a - t i o n s ;

(7)

MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N " 2 x L A H O U I L L E B L A N C H E

2 /i ' ~ V V

, , 5 1 , 2 7 1 , , . .

1 _|^v ,-,;r,.r v - ) t a n ! )

9 . 0 0 0

V

2 5 7 1. 9 2 0

2 3 \ r~

Jmï^v ; ^V ^t

( r 2 v ) \ / T 4 - v

E l i m i n a t i n g T b e t w e e n t h è s e t w o é q u a t i o n s , w e h a v e :

Si l'on é l i m i n e t e n t r e ces d e u x é q u a t i o n s , o n a :

1 /" a

J L = 1 4 - (^JL)^Se c h -^Y x 4 - - i . f^-g-f s e c h² Y X t a n h^y a: ( 5 y x — 3 l a n h^Y .r)

— f — ^^S s e c h² Y » i sech-' y V A J

, 8 4 1 .

^ T ^ t a n h ^T . r + ^ . ^T ^ ² )

w h e r e ( o ù )

a n d (et) :

- f l a n h »^Y x ( l + - | - Y ² *² ) 4 - ^ Y * t a n h Y *

V 3 v

a | 2 3 / a h + 60~

( 2 8 )

( 2 9 )

( 3 0 )

I w i s h t o t h a n k t h e D i r e c t o r of H y d r a u l i e s R e s e a r c h f o r p e r m i s s i o n t o p u b l i s h t h i s w o r k .

R E F E R E N C E S

BOUSSINESQ J . ( 1 8 7 2 ) . J. Math. Pures Appl. 17, 5 5 . DAILY J . W . & STEPHAN C . ( 1 9 5 3 ) . Trans, AJS.C.E, 118, 5 7 5 . LBVI-CIVITA T . ( 1 9 1 1 ) . Rend. Ace. Line. (5) 2 0 , 6 0 5 . LEVI-CIVITA T. ( 1 9 2 4 ) . Rend. Acc. Line. (5) 33, 1 4 1 . URSEM, F . ( 1 9 5 3 ) . Proe. Camb. Phil. Soc. ->i9, 0 8 5 . WEINSTEIN A . ( 1 9 2 6 ) . Rend. Acc. Line. ( 6 ) 3, 4 6 3 . WEINSTEIN A. ( 1 9 2 7 ) . Rend. Acc. Line. (6) 5, 259

J e t i e n s à r e m e r c i e r M. le D i r e c t e u r d e l a R e - c h e r c h e H y d r a u l i q u e p o u r a v o i r b i e n v o u l u m ' a u - t o r i s e r à p u b l i e r ce t r a v a i l .

J . N . H U N T ,

H y d r a u l i c s R e s e a r c h S t a t i o n H o w b e r y P a r k , W a l l i n g f o r d , B e r k s

U . K.