Le théorème d'Ax-Schanuel décrit les relations algébriques entre des séries formelles non constantesx1(t), . . . , xn(t) et leurs exponentielles exp(x1(t)), . . . ,exp(xn(t)) :
Si le degré de transcendence du corps engendré sur C par ces 2n séries formelles est inférieur ou égal à n alors il existe une relation monomiale entre les exponentielles.
Plusieurs preuves diérentes et généralisations ont été publiées depuis la preuve d'Ax en 1970.
Le but de ces séances est de présenter la preuve d'Ax de ce théorème puis d'étendre cette preuve à des solutions d'équations diérentielles plus générales en utilisant le formalisme des connexions principales et la réduction de leurs groupes structuraux. Le plan est le suivant :
(1) Conjecture de Schanuel, Théorème d'Ax-Schanuel, preuve du théorème ;
(2) Equations diérentielles / Fibré principaux muni d'une connexions principales, forme de connexion, réduction rationnel du groupe structural.
(3) (CP1,PSL2(C))-structures rationnelles sur la droite complexe.
(4) La preuve du théorème de Pila-Tsimerman (Ax-Schanuel pour la fonction j) Prérequis :
Un premier cours de géométrie algébrique
Une introduction aux groupe algébrique linéaires et algèbres de Lie.
Un peu de géométrie diérentielles (variétés, brés, formes diérentielles) Références :
J. Ax On Schanuel's conjectures ; Annals of Mathematics. 93 (1971) (2) : 252268.
R.W. Sharpe Dierential Geometry : Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program ; Graduate Texts in Math. Springer 166
D. Bertrand Théories de Galois diérentielles et transcendance ; Annales de l'Ins- titut Fourier, Tome 59 (2009) no. 7, p. 2773-2803
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