Preuve du théorème de transfert

Preuve du théorème de transfert

Complément 4

Soit X une variable aléatoire admettant une densité f_X nulle en dehors de ]a, b[

(a, b ∈ R∪ {±∞}), et soit ϕ :]a, b[→ R une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points.

E(ϕ(X)) existe si et seulement si Z b

a

ϕ(x)f_X(x)dx converge absolument. Et en cas de convergence absolue, on a :

E(ϕ(X)) = Z b

a

ϕ(x)f_X(x)dx.

Théorème 1(de transfert)

Preuve. On se limite ici au cas où X(Ω) = R (c’est à dire a = −∞, b = +∞), ϕ est de classe C¹ surR,ϕ(R) =Retϕ⁰>0 surR.

Remarquons tout d’abord queϕest continue et strictement croissante sur Rdonc elle réalise une bijection de Rsurϕ(R) =Ret sa bijection réciproqueϕ⁻¹est strictement croissante surR. De plus, commeϕest de classe C¹surRet queϕ⁰ ne s’annule pas sur Ralorsϕ⁻¹ est de classeC¹ surR.

Commeϕest une fonction continue surR, ϕ(X) est une variable aléatoire réelle.

Déterminons sa fonction de répartition.

Soitx∈R. On a [ϕ(X)≤x] = [X ≤ϕ⁻¹(x)] carϕ⁻¹ est croissante surR.

En notantFX la fonction de répartition deX etF_ϕ(X)la fonction de répartition deϕ(X), on a alors : F_ϕ(X)(x) =F_X(ϕ⁻¹(x)).

Montrons queϕ(X) est à densité.

Comme X est une variable aléatoire à densité, FX est continue sur R et elle est de classe C¹ sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Comme ϕ⁻¹ est de classe C¹ sur R, on en déduit que F_ϕ(X) est continue sur R et de classe C¹ sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points doncϕ(X) est une variable aléatoire à densité.

On en détermine alors sa densité : pour tout réelxen lequelFX est dérivable, on aF_ϕ(X)⁰ (x) =F_X⁰ (ϕ⁻¹(x))× (ϕ⁻¹)⁰(x) donc la variable aléatoireϕ(X) admet pour densité la fonction

x7→f(ϕ⁻¹(x))×(ϕ⁻¹)⁰(x).

On étudie maintenant l’existence et l’expression deE(ϕ(X)).

ϕ(X) admet une espérance si et seulement si Z +∞

−∞

xf(ϕ⁻¹(x))×(ϕ⁻¹)⁰(x)dxconverge ou encore si et seulement si

Z +∞

−∞

|xf(ϕ⁻¹(x))×(ϕ⁻¹)⁰(x)|dx= Z +∞

−∞

|x|f(ϕ⁻¹(x))×(ϕ⁻¹)⁰(x)dxconverge.

Or, par le changement de variable x=ϕ(t) (possible car ϕ est de classeC¹, strictement croissante sur Ret réalise une bijection deR surR), les intégrales

Z +∞

−∞

|x|f(ϕ⁻¹(x))×(ϕ⁻¹)⁰(x)dxet Z +∞

−∞

|ϕ(t)|f(t)dt sont de même nature.

Ainsi, ϕ(X) admet une espérance si et seulement si l’intégrale Z +∞

−∞

ϕ(t)f(t)dt converge absolument, et on a dans ce cas (toujours par théorème de changement de variable) :

E(ϕ(X)) = Z +∞

−∞

xf(ϕ⁻¹(x))×(ϕ⁻¹)⁰(x)dx= Z +∞

−∞

ϕ(t)f(t)dt.