Preuve formelle du théorème de Lax–Milgram

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Submitted on 5 Sep 2017

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Preuve formelle du théorème de Lax–Milgram

Sylvie Boldo, François Clément, Florian Faissole, Vincent Martin, Micaela

Mayero

To cite this version:

Sylvie Boldo, François Clément, Florian Faissole, Vincent Martin, Micaela Mayero. Preuve formelle du théorème de Lax–Milgram. 16èmes journées Approches Formelles dans l’Assistance au Développement de Logiciels, Jun 2017, Montpellier, France. �hal-01581807�

Preuve formelle du th´eor`eme de Lax–Milgram

Vincent Martin3 Micaela Mayero4

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Introduction

La m´ethode des ´el´ements finis est fr´equemment utilis´ee pour r´esoudre num´eriquement des ´equations aux d´eriv´ees partielles qui interviennent par exemple en physique ou en biologie [4]. Pour augmenter la confiance dans les programmes qui l’impl´ementent, on doit commencer par la formalisation des notions math´ematiques n´ecessaires `a sa correction, `a l’aide par exemple de preuves formelles. Le th´eor`eme de Lax–Milgram est l’un de ces r´esultats fondamentaux. Il per-met, sous certaines hypoth`eses de coercivit´e et de compl´etude, de montrer l’existence et l’unicit´e de la solution de certains probl`emes aux limites et de leur version discr`ete. Cet article pr´esente une formalisation compl`ete du th´eor`eme de Lax–Milgram dans l’assistant de preuves Coq, et utilise plus particuli`erement la biblioth`eque Coquelicot pour l’analyse r´eelle [2]. Des r´esultats math´ematiques vari´es sont requis, provenant de l’alg`ebre lin´eaire, la g´eom´etrie et l’analyse fonc-tionnelle des espaces de Hilbert. Ce travail repose sur une preuve papier d´etaill´ee [3], est plus pr´ecis´ement d´ecrit dans [1] et est disponible : https://www.lri.fr/˜sboldo/elfic/.

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Espaces de Hilbert

On ´etend, `a l’aide du m´ecanisme de structures canoniques [5], la hi´erarchie de la biblioth`eque Coquelicot pour d´efinir les espaces pr´ehilbertiens et hilbertiens. Un espace pr´ehilbertien est un module ´equip´e d’un produit scalaire (avec les propri´et´es usuelles). On prouve qu’un espace pr´ehilbertien est un module norm´e, dont la norme se d´erive du produit scalaire. Un espace de Hil-bert est un espace pr´ehilHil-bertien complet. Dans ces espaces, on d´efinit des notions g´eom´etriques comme le projet´e orthogonal d’un vecteur sur un sous-espace ou le compl´ementaire orthogonal d’un sous-espace et on prouve formellement les r´esultats associ´es (lemmes d’existence ou de caract´erisation).

On formalise les espaces d’applications lin´eaires, puis on v´erifie l’´equivalence entre plu-sieurs d´efinitions de la continuit´e de telles fonctions. L’une d’elle est la finitude de la norme d’op´erateur |||f ||| d’une fonction f de E dans F , modules norm´es. On d´efinit ainsi clm(E, F ) l’espace des applications lin´eaires continues et on prouve que la norme d’op´erateur lui conf`ere la structure de module norm´e (le cas F = R est utilis´e dans la preuve du th´eor`eme de Lax–Milgram et correspond au dual topologique E0de E) :

Recordclm:= Clm { (* type d´ependant *)

m:> E−>F ; (* la fonction, avec une coercion pour usage direct *)

Lf: is_linear_mapping m; (* preuve de lin´earit´e *)

Cf: is_finite (operator_norm m) }. (* preuve de continuit´e *)

1. Inria, Universit´e Paris-Saclay, F-91120 Palaiseau - LRI, CNRS & Univ. Paris-Sud, F-91405 Orsay 2. Inria, 2 rue Simone Iff, CS 42112, FR-75589 Paris cedex 12, France

3. LMAC, UTC, BP 20529, FR-60205 Compi`egne, France

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Preuves des th´eor`emes de Riesz–Fr´echet et Lax–Milgram

Le th´eor`eme de Riesz–Fr´echet est un r´esultat interm´ediaire pour la preuve du th´eor`eme de Lax–Milgram. Il s’agit d’un r´esultat de repr´esentation, qui identifie, `a l’aide du produit scalaire, une fonction f de E0 `a un unique vecteur de l’espace hilbertien E. Ce th´eor`eme se d´emontre avec les lemmes de caract´erisations du projet´e orthogonal, le compl´ementaire orthogonal de ker(f ) et la compl´etude de E. Il est n´ecessaire de distinguer le cas o`u f est identiquement nulle, ce qui n’est pas d´ecidable. Ainsi, on ajoute des hypoth`eses de d´ecidabilit´e.

Le th´eor`eme de Lax–Milgram s’´enonce comme suit :

Th´eor`eme (Lax–Milgram). Soit E : Hilbert, f ∈ E0,0 < α, ϕ : E → Prop un sous-module complet. Soita une forme bilin´eaire sur E, born´ee et α-coercive.

On suppose∀f ∈ E0, decidable(∃u ∈ E, u ∈ ker(f ) ∧ ¬¬ϕ(u)) ∧ (∀u ∈ E, ∀ε ∈ R+, decidable(∃w ∈ E, ϕ(w) ∧ ku − wk < ε)).

Alors :∃!u ∈ E, ¬¬ϕ(u) ∧ ∀v ∈ E, ¬¬ϕ(v) =⇒ f (v) = a(u, v) ∧ kuk_E ≤ _α1 · |||f |||_ϕ.

Une simplification calculatoire et deux applications du th´eor`eme de Riesz–Fr´echet per-mettent de se ramener `a chercher l’unique point fixe d’une fonction contractante bien choisie. On applique alors un th´eor`eme de point fixe de Banach. On utilise les axiomes de P roof Irrele-vance et de F unctionalExtensionality dans les preuves d’analyse fonctionnelle. Ceci ´etant, on ne fait pas appel `a la logique classique et afin d’identifier certains points critiques, on pr´ef`ere ajouter des hypoth`eses de d´ecidabilit´e lorsque n´ecessaire ainsi que quelques doubles n´egations.

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Conclusion

On obtient une preuve formelle compl`ete du th´eor`eme de Lax–Milgram en Coq. Le d´evelop-pement Coq comporte environ 7 000 lignes de code, tout comme la preuve papier LA_TEX

d’envi-ron 50 pages. L’usage de Coq et de Coquelicot pose des ´ecueils non pr´esents dans les preuves papier, comme la repr´esentation des sous-espaces ou l’usage de filtres dans les raisonnements topologiques. Cette formalisation est la premi`ere ´etape d’un travail de certification autour de la m´ethode des ´el´ements finis, qui vise `a prouver des programmes l’impl´ementant.

R´ef´erences

[1] S. Boldo, F. Cl´ement, F. Faissole, V. Martin, and M. Mayero. A Coq Formal Proof of the Lax–Milgram theorem. In 6th Conference on Certified Programs and Proofs, Paris, 2017. [2] S. Boldo, C. Lelay, and G. Melquiond. Coquelicot : A user-friendly library of real analysis

for Coq. Mathematics in Computer Science, 9(1) :41–62, 2015.

[3] F. Cl´ement and V. Martin. The Lax-Milgram Theorem. A detailed proof to be formalized in Coq. Research Report RR-8934, Inria Paris, July 2016.

[4] A. Ern and J-L. Guermond. Theory and practice of finite elements, volume 159 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York, 2004.

[5] A. Mahboubi and E. Tassi. Canonical structures for the working coq user. In Interactive Theorem Proving - 4th International Conference, ITP 2013, Rennes, France, July 22-26, 2013. Proceedings, pages 19–34, 2013.