ax ≡ bmod m

Faulté des Sienes de Rabat

Département d'Informatique

Av Ibn battouta, B.P 10 14 Rabat

Email : ouahidifsr.a.ma

Tél : 037 77 54 71

Théorie des Nombres Appliquée à la Cryptographie

Ce fasiule 1

regroupe une série d'exeries sur la théorie des nombres appliquée à la

ryptographie mathématique. Ils s'adressent aux étudiants de master Mathématiques et

Informatique.

1) Montrer que

pgcd(a, m) = 1 ⇐⇒ a

^{est invesrible modulo}

m

2) Soit l'équation:

ax ≡ bmod m

^{monter qu'elle a:}

d = pgcd(a, m) solutions si d | b 0 solutions si d 6 | b

3) Soit

p

^{premierimpair,}

t ∈ N ^∗

^,

e ≥ 1

^{, montrer que l'équation en}

x

^:

x ^t ≡ 1 mod p ^e

admet

pgcd(t, ϕ(p ^e ))

^solutions.

Montrer que l'équation en

x

^:

x ^t ≡ − 1 mod p ^e

^admet

pgcd(t, ϕ(p ^e ))

^{solutions si}

pgcd(t, ϕ(p ^e )) | ^ϕ(p ₂ ^{e )}

^et

0

^{solutions sinon.}

4) Soit les trois équationssuivantes :







f (x) ≡ 0 mod m ∗ n (1) f (x) ≡ 0 mod m (2) f (x) ≡ 0 mod n (3)

Soit

n 1 , n 2 , n 3

^{lenombre de solutions}respetivementde (1),(2)etde (3). Montrerque :

n ₁ = n ₂ ∗ n ₃

^.

5) Résoudre le système suivant :







x ≡ 2 mod 3 x ≡ 4 mod 5 x ≡ 6 mod 7

6) Quels sont les nombres premiers

p

^{pour lesquels}

− 2

^{est un arré modulo}

p

^{, même}

question en remplaçant

− 2

^par

3

^.

7) Soit

n = 2 ^{2 k} + 1

^{Montrer que}

n

^{est premiersi}

5

^{est un non résidu modulo}

n

^.

Montrer que:

n

^{est premier}

⇐⇒ 5 ^{n− 2 1} ≡ − 1mod n

^.

2

1)Montrerquedansl'algortithmede alulde larelationde bezout

am +bn = pgcd(m, n)

les oeients

a

^et

b

^vérient

| a | ≤ n

^et

| b | ≤ | m |

^.

2) Calulerl'inverse de

5

^dans

Z

^/

17Z

^.

3) Quelssont lesgénérateurs de

Z

^/

nZ

^{? Quels sont les}automorphismes de

Z

^/

nZ

^{('est à}

dire les bijetionsde

Z

^/

n Z

^{dans luimême vériant}

f(a + b) = f (a) + f (b))

^.

4) Montrer que tout sous-groupe d'un groupe ylique est ylique? Calulerle nombre

de sous-groupe de

Z

^/

n Z

^.

5) Quels sont les générateursde

(Z/13Z) ^∗

^?

6)Soit

p

^{unnombrepremierdonné.Érireun} algortithmequireherhe un générateurde

(Z/pZ) ^∗

^.

7) Résoudre les ongurenes simultanées :



 

 

 



 

 

 



x ≡ 1 mod 2 x ≡ 2 mod 3 x ≡ 4 mod 5 x ≡ 6 mod 7 x ≡ 18 mod 29 x ≡ 31 mod 53

8) Soit

n ≥ 1

^{, montrer que la fration}

¹ _n

^{a un} développement déimal périodique de période

r

^etque

r

^{est l'ordre de}

10

^{dans le groupe}

(Z/13Z) ^∗

^{. (On suppose que}

2 6 | n

^et

5 6 | n

^{). De façongénérale étudierle} développement dèimalde

1 n

^.

9) Montrer que si

x ² ≡ a mod p ^α

^alors

Si

y ≡ 2 ^{− 1} (x + ^a _x ) mod p ^2α

^ona

y ² ≡ a mod p ^2α

(Si l'on onnaît un résidu quadratique de

a

^module

p ^α

^{, on peut onnaître son résidu}

quadratique modulo

p ^2α

^.

1) Résoudre les ongruenes :

x ⁷ ≡ 15 [29]

x ⁷ ≡ 12 [29]

2) Démontrer lethéorème de Wilson :

(p − 1)! ≡ − 1 [p] ⇐⇒ p

^{est premier}

3) Résoudre l'équation :

y ² = x ³ + 2x + 3

^dans

Z /5 Z

^,

Z /7 Z

^,

Z /35 Z

^.

4)Lenombrede fauxtémoinspour

n

^{,'estàdire lenombre de}

a

^,

1 ≤ a ≤ n − 1

^,vériant

a ^{n − 1} = ≡ [n]

^{est égal à:}

Q

p | n pgcd(p − 1, n − 1)

Appliation:

n = 561, n = 341.

5) Quels sont les nombres premiers p pour lesquels

− 2

^{est un fateur arré}

[p]

^{? Même}

question pour

3

^.

6) Érire un algorithme alulantle symbole de Jaobi

( _m ⁿ )

^.

7) Pour

n

^{xé, onstrure un tableau}

Q (1)

^{, ...,}

Q (a)

^{, ...,}

Q (n)

^{, telque}

Q (a) = 1

^si

a

^est

un arré

[n

^et

Q(a) = − 1

^sinon.

Puis aluler le nombre de arrés

[n]

^{, que l'on appelle}

q(n)

^{. Montre que}

q(n)

^{est une}

fontion multipliative(

(m, n) = 1 ⇒ q(mn) = q(m)q(n)

^{et que :}

q(p ^α ) = p ^α+1

2(p + 1) + 1 si p 6 = 2 et q(2 ^α ) = 2 ^α 6 + 2.

Calulerq

(110880)

^.

1) Soit

p ≡ 2 [3]

^{. Montre que}

x 7→ x ³

^{est un} automorphisme de

( Z /p Z ) ^∗

^{. Caluler le}

nombre de solutionsde

y ² = x ³ + a

^dans

Z/pZ

^.

2) Soit

n = 2 ^{2 k} + 1

^{Montrer que is}

n

^{est premier; 5 est un non résidu} quadratique pour

n

^{. Montrer que:}

n est premier ⇐⇒ 5 ^{n − 2 1} ≡ − 1 [n]

3) On suppose que

n = 2 ^{2 k} + 1

^{a un diviseur premier}

p

^{. Montrer que l'ordre de}

2

^dans

(Z/pZ) ^∗

^est

2 ^k+1

^{. En déduire, lorsque}

k ≥ 2

^que

2

^{est un arré dans}

(Z/pZ) ^∗

^{. Soit}

y

^tel

que

y ² = 2

^{. Quel est l'ordre de}

y

^{.En déduire que}

p ≡ 1 [2 ^k+2 ]

^{. Appliation}

k = 5

^{: quels}

sont les

p

^possibles.

4) Montrer que

n = 2 ^{2 k} + 1

^{est psp-2, est pspf-2.}

Soit

p

^{un nombre premier, montrer que}

n = 2 ^p − 1

^{est psp-2, pspf-2.}

5) Soit

n ≡ 5 [8]

^{. Montrer que}

n est pspe − 2 ⇒ n est pspf − 2

Soit

n ≡ 5 [12]

^{.Montrer que}

n est pspe − 3 ⇒ n est pspf − 3

6) Montrer que

6m + 1

^,

12m + 1

^,

18m + 1

^{sont des premiers, leur produit est un nombre}

de Carmihael.

7) Montrer que

n

^{est un nombre de Carmihael est équivantà :}

∀ a ∈ Z, a ⁿ ≡ a [n]

^.

8) Soit

n = 1729

^{. Caluler}

a ^{n− 2 1} [n]

^lorsque

(a, n) = 1

^.

1) Caluler

mod(111, 555), mod( ^{10 21} ₉ ^{− 1} , 5 ^{10 14} ₉ ^{− 1} )

^.

2) Soit

n = 2 ^s t + 1

^ave

t

^{impair. On suppose qu'il existe}

b

^{tel que}

b ^{n− 2 1} ≡ − 1 [n]

^.

Montrer quesi

p

^{est diviseur premier de}

n

^alors

p = 2 ^s d + 1

^{, où}

d ∈ N

^{. Montrer que si}

a

est telque

a ^{n − 2 1} ∈ {± 1 } [n]

^{alors forément}

a ^{n − 2 1} ≡ ( ^a _n ) [n]

^.

On observera quesi

n =

k

Y

i=1

p i

^ave

p i = 2 ^s d i + 1

^ona

k

X

i=1

d i

^impair

.

3) Soit

n = 1729

^{. Quel est le nombre de bases de bases}

b

^,

1 ≤ b ≤ 1729

^{pour lesquelles}

n

est pp-fen base

b

^{. Même question pour}

n = 49939

^.

n = 99877

4) Soit

p

^{un nombre premier}

6 = 2

^{. Montrer que la ongruene}

x ⁴ ≡ − 1[p]

^{a une solution}

si etseulement si

p ≡ 1[8]

^.

Montrerq'ilexisteuneinnitédenombrespremiers

p ≡ 1[8]

^{.Onraisonneraparl'absurde,}

en supposant qu'ily en aun nombre ni

p ₁ , . . . p n

^{et en onsidérant}

(p ₁ p ₂ . . . p n ) ⁴ + 1

5) Soit

n = p ^α ₁ ¹ . . . p ^α _k ^k

^{, ave}

p i = 2 ^{s i} t i + 1

^ave

s 1 ≤ s 2 ≤ . . . ≤ s k

^et

n = 1 + 2 ^s t

^ave

t

et

t i

^{impairs. Montrer que le nombre des bases}

b

^{pour lesquelles}

n

^{est un ppe en base}

b

vaut : (ave

1 ≤ b ≤ n − 1)

^{) :}

δ

k

Y

i=1

( n − 1

2 , p i − 1)

^où

δ ∈ { 2, 1

2 , 1 }

1)Onsupposeque

n

^{adeuxdiviseurspremiers}

p 1

^et

p 2

^vériant

p 1 = 2 ^{s 1} t 1 +1

^,

p 2 = 2 ^{s 2} t 2 +1 t ₁

^,

t ₂

^impairs,

s ₁ ≤ s ₂

^{, et qu'ilexiste}

b ≤ 2 log ² (p ₂ )

^ave

( _p ^b

2 ) = − 1

^{. Montrer que}

n

^n'est

pas un ppf-b.

On suppose maintenant que

s ₁ = s ₂

^{, et qu'il existe}

b

^{tel que}

( _p ^b

1 ) = +1

^et

( _p ^b

2 ) = − 1

^.

Montrerquel'ordrede

b

^dans

(Z/p 2 Z) ^∗

^{est delaforme}

2 ^{s 1} β 1

^ave

β 1

^{impair,etquel'ordre}

de

b

^dans

(Z/p ₁ Z) ^∗

^{est de la forme}

2 ^{s ′} β ₁

^ave

s ^′ ≺ s ₁

^{. En déduire que}

n

^{n'est pas ppf-}

b. Montrer que ei justie le test de primalité de Miller sous l'hypothèse de Reimann

généralisée.

2) Érire un ertiat de primalitépour le nombre

127

^.

3) Montrer que tous sous graphe additif de

R

^{est disret, ou dense dans}

R

^{. Montrer que}

l'ensemble

{ a + 2πb; a ∈ Z , b ∈ Z }

^{est un sous groupe de}

R

^{. On admettra que}

π

^est

irrationnel. Quelles sont les valeurs d'adérene de lasuite

(cos(n)) n ≥ 0 ?

4)Exeriedeprogrammation:Entrerunnombreréel

θ ≻ 0

^{,etunnombreentier}

N

^.Pour

0 ≤ n ≤ N

^{, onstruire le tableau}

X(n) = { nθ }

^{= partie} frationnaire de

nθ

^{. Ordonner}

e tableau en un tableau ordonné

Y (n)

^,

0 ≤ n ≤ N

^ave

Y (0) ≤ Y (1) ≤ . . . ≤ Y (N )

^.

Caluler les diérenes

Y (n + 1) − Y (n)

^{. Qu'observet-on?}

5) Soit

n ≥ 2

^,

a ≥ 1

^et

n | (a ² + 1)

^{. Montrer qu'il existe deux nombres entiers}

s

^et

t

^tels

que

n = s ² + t ²

^{. On hoisira pour}

s

^{le plus grand} dénominateur

q k

^{qui soit}

≤ √ n

^{, des}

réduites du nombre

a

n

^{. On montrera que}

| ^a n − ^p q ^k k | ≤ _{(q k ([} ^{√ 1} _n]+1)

^{. Montrer que tout nombre}

premier

p ≡ 1[4]

^{est lasomme de deux raines arrés.}

1) Trouver le nombre rationnel de la forme

a

b

^ave

1 ≤ b ≤ 100

^{le plus près possible de}

√ 2

^.

2) Soit une fration ontinue

[a 0 , a 1 , . . . , a n ] = ^p _q ⁿ

n

. Montrer que

[a n , a n − 1 , . . . , a 1 ] = _q ^{q n}

n− 1

,

et que

[a n , . . . , a 1 , a 0 ] = _p ^{p n}

n− 1

.

3) Soit d un nombre entier sans fateur arré ('est à dire

p

^{premier divise}

d ⇒ p ²

^ne

divise pas

d

^{). Montrer que, si l'équation}

x ² − dy ² = 1

^{a une raine}

(x, y) ∈ N × N

^{, alors}

x

y

^{est une reduite de}

√ d

^.

4)

a) Soit

a, n, k

^{des entires}

≥ 0

^,

a 6 = 0

^{, on pose :}

u n,k = 2 ⁿ ((n + k)!)

k!(2n + 2k)!

1 a ^{2 k} v n =

∞

X

k=0

u n,k , w n = a v n

u n

Montrer que

w n

^{vérie la relationde réurrene}

w n = (2n + 1)a + _w ¹

n+1

Endéduire ledéveloppeme en frationontinue de

cosh(a)

sinh(a)

^{et elui de}

e − 1 e+1

^.

b)

b

^et

c

^{étantdesentiers positifs,}

(g n ) n ≥ 0

^{une suited'entiersstritementpositifs(sauf}

g ₀

qui peut être négatif)on pose :

α = [g 0 , b, c, g 1 , b, c, g 2 , b, c, . . .]

α ^′ = [g 0 (bc + 1) + b + c, g 1 (bc + 1) + b + c, . . .]

Soit

p n

q n

et

p ^′ _n

q ^′ _n

^les

n ^imes

^{réduites de}

α

^et

α ^′

Montrer que

p 2n+3 = p ^′ _n − bq _n ^′

^;

q 3n+2 = (bc + 1)q _n ^′

^.

Caluler

α ^′

^{en fontion}

α

^{. Du}développement en frationontinue de

e − 1

e+1

^{, déduireelui}

e

^.

1) Soit

x

^réel

≥ 1

^{. Soit}

( ^p _q ⁿ

n ) n ≥ 0

^{l'ensemble de ses réduites. Montrer que l'ensemble des}

réduites de

1

x

^est

{ 0 } ∪ { ( ^p _q ⁿ

n ) n ≥ 0 }

^.

2) On veut adapter la méthode de S.Lehmann pour montrer que

n

^{n'a pas de diviseurs}

entre

√ n 10

^et

√ n

^{. Quel est le oût de et algorithme?}

3) On pose

P (m, n) = ^{m(m − 1)...(m} _m n ^{− n − 1)}

^pour

1 ≤ n ≤ m

^{. En utilisant la formule de}

sommatoire de d'Euler Ma Laurin,montrer qu'il existe

θ 1 ≻ θ ≻ 1

^{tel que:}

log(P (m, n)) = (m − n + 1

2 )log( m

m − n ) − n − θn 12m(m − n)

Appliation: Caluler

P (365, 23)

4) Caluler

R _∞

0 e ^{− t} t ⁿ dt

^{eten déduireque :}

n!

n ⁿ

n

X

k=0

n ^k k! =

Z _∞

0

e ^{− t} (1 + t n ) ⁿ dt

Enutilisantlesinégalités:

log(1 + u) ≥ u − ^u ₂ ²

^et

n! ≤ n ⁿ e ^{− n} √

2πn exp( _12n ¹ )

^montrerque:

n

X

k=0

n ^k k! ≥ 1

2 exp(n − 1 2n )

5) Caluler la queue et le yle de la suite liée à l'appliation de

Z17Z

^{dans lui même}

dénie par

f (x) = x ² + 1 [17]

^{et que}

x 0 = 3

^.

6) Soit

E m

^{un ensemble à}

m

^{éléments et}

x 0 ∈ E m

^{. On suppose que haque}

x 0 ∈ E m

^et

que haque

f ∈ F (E m , E n )

^sont équiprobables. Caluler l'espérane mathématique de la longueur

λ

^{de la suite}

x n+1 = f(x n )

√ N

Exerie 1 :

a) Soit

w = 2 ^s t

^,

s ∈ N

^,

t

^{impair. On onsidère la suite}

x 0 = 1, x k ≡ 2x k − 1 [w]

^{. Montrer}

quesi

e

^{est l'ordrede}

2

^dans

(Z/tZ) ^∗

^{,laqueuede lasuite}

x k

^{est forméede}

1, 2, . . . , 2 ^{s − 1}

etle yle de

2 ^s , . . . , 2 ^{s+e − 1}

^{.Montrer quel'épate vaut}

⌈ ^s e ⌉ e

^.

b) Soit

p

^{un nombre premier.}

f : Z/pZ → Z/pZ

^{dénie par}

f(x) = x ² , a 0 = a, a k = f(a k − 1 ) = a ^{2 k} [p]

^{. Soir}

w

^{l'ordre de}

a

^dans

(Z/pZ) ^∗

^{. Caluler la queue, le yle et}

l'épate de lasuite

a k

^{. Appliationp=59, a=2.}

) Soit

a 6 = 1

^,

a ∈ (Z/pZ) ^∗

^{. On pose}

x 0 = a + ¹ _a

^,

f (x) = x ² − 2 [p]

^,

x k = f(x k − 1 )

^{. On a}

ainsi

x k = a ^{2 k} + a ^{− 2 k}

^{.Montrer quesi}

a + ¹ _a = b + ¹ _b [p]

^{, ona soit}

a = b

^,soit

a = ¹ _b

^.Soit

w = 2 ^s t

^{, l'ordre de}

a

^dans

(Z/pZ) ^∗

^{. Montrer que}

x 0 , x 1 , . . . x s

^{sont distints. Montrer}

que si l'équation en

w

^:

2 ^w = − 1[t]

^{a aumoins une raine, le yle vaut}

¹ _e

^{, si ellen'en}

a pas, leyle vaut

e

^{. Déterminerla queue, le yle, l'épate.}

d) Soit

x 0 ∈ (Z/pZ) ^∗

^{.Onsuppose qu'iln'existepasde}

a ∈ (Z/pZ) ^∗

^telque:

x 0 = a + 1/a

^.

Soit IF

p ²

^{le orps à}

p

^{éléments. Soit}

α ∈

^IF

p ²

^{tel que}

x ₀ = α + 1/α

^{. On a}

α ^p = 1/α

soit

α ^p+1 = 1

^{dans IF}

p ²

^{. Soit}

w

^{l'ordre de}

α

^{dans IF}

^∗ _p ²

^,

w

^divise

(p + 1)

^,

w = 2 ^s t

^,

e

^est

l'ordrede

2

^dans

(Z/tZ) ^∗

^{.Montrer que}

α, α ² , . . . , α ^{2 s}

^{sonttous distintsdansIF}

p ²

^etque

α ^{2 s+e} = α ^{2 s}

^{.Montrer que}

x 0 , . . . , x s

^{sont distints. S'ilexiste}

w

^ave

w ≡ = 1 mod t

^,le

ylevaut

e

^{/2,s'iln'existepasun tel}

w

^,leylevaut

e

^{.Appliationnumérique:}

p = 5

^,

x ₀ = 1.

2) Montrer que si

2 ≤ a ≤ b

^{, on a:}

ψ(x, b) = ψ(x, a) + X

a<p ≤ b

ψ( x p , p)

Appliationnumérique:

b = x

^,

a = x ^α ( ¹ ₂ ≤ α < 1)

^.

On montrera que si

y ≥ x, ψ(x, y) = [x]

^{. On donne la formule:}

X 1

p = loglogx + c + O( 1

logx )

1)Fairelalistelistedesformesquadratiquesbinaires,primitives,réduitesde disriminant

△ = − 163

⁽

1

^lasse),

− 167

⁽

11

^lasses),

− 75

⁽

2

^lasses),

− 455

⁽

20

^lasses),

− 959

⁽

36

lasses).

2)Soit

Z + iZ

^lequadrillagedu plan omplexe(entiers de Gauss).Trouverune basede e réseau.

w ~ 1

^,

w ~ 2

^{telle que la longueur des veteurs de base soit}

≥ 100

^{. Quelle est la forme}

quadratique assoiée? A quelle forme réduiteest elle équivalente?

3)Soit

M =

α β γ δ

∈ SL 2 (Z)

^.Soit

ax ² +bxy+cy ²

^{uneformeréduite.Onlatransforme}

par :

x y

= M X

Y

en une formequadratique

AX ² + BXY + CY ²

^{.On appliquera}

à ette dernière formel'algorithme de rédution. On pose :

S =

0 1

− 1 0

,

T =

1 1 0 1

.

Montrer qu'ilexiste une suite nie

n 1 , n 2 , . . . , n k ∈ Z

^{telle que:}

M = ± IT ^{n 1} ST ^{n 2} S . . . ST ^{n k− 1} ST ^{n k}

^.

4) Soit

N = 91

^{. On onsidère lesongruenes mod}

N

^:

95 ≡ 5; 90 ≡ − 1; 88 ≡ − 3; 81 ≡ − 10; 75 ≡ − 16

^.

Soit

g

^{un générateur de de}

(Z/pZ) ^∗

^ave

p

^divisant

N

^{, et}

− 1 = g ^{x 1} , 2 = g ^{x 2} , 3 = g ^{x 3} , 5 = g ^{x 4} , 11 = g ^{x 5}

^.

Traduire les ongruenes i dessus en équations linéaires en

x 1 , . . . , x 5

^{. En ajoutant les}

équations

1, 3

^et

5

^{, montyrer que}

12x ₂ = 0

^{et que}

(2 ⁶ − 1, N )et(2 ⁶ + 1, N )

^{sont des}

fatuesr non triviaux de

N

^.

1) Soit

(a, b, c)

^{une forme} quadratiquede disriminant

△ < 0

^{. On suppose que :}

a ≤

√ |△|

2

^et

b ≤ a

^{, montrer que la formeest semi réduite.}

a ≤ q |△|

3

^et

b ≤ a

^{, montrer que}

| b | ≤ c

^{, et que l'une des deux formes}

(a, b, c)

^ou

(c, − b, a)

^{est semi réduite.}

2) On donne les

5

^{formes linéairesen}

x, y, z, t

^{àoeients dans}

Z/2Z

^:

f ₁ = x + y + z

^,

f ₂ = x + z

^,

f ₃ = y + t

^,

f ₄ = x + z + t

^et

f ₅ = z + t

^.

Trouver une relation linéairede dépendene linéaire.

3) On veut fatoriser

5777

^{par la méthode du ribe} quadratique, on pose

f(A) = A ² + 152A − 1

^{. Résoudre}

f(A) ≡

^{0 mod}

7

^{. Résoudre}

f(A) ≡

^{0 mod}

49

^{. Résoudre}

f(A) ≡

⁰

mod

2 ^k

^ave

3 ≤ k ≤ 8

^{. Cribler par les puissanes de 2 et de 7 les nombres}

f (A)

^ave

− 12 ≤ k ≤ 12

^{. Pour quelles valeurs de}

A

^vériant

| A | ≤ 12 f(A)

^{se fatorise t-ilsous le}

forme

± 1.2 ^α 7 ^β

^{? Fatoriser}

5777

^.

4) On pose

△ = − 224

^{. Lister les}

8

^formes quadratiques réduites, primitives de derimi- nants

△

^{.On pose}

q = (5, 4, 12)

^et

Q = (4, 4, 15)

^{. Caluler}

q ² , q ³ , q ⁴ , Qq, Qq ² , Qq ³ , Q ²

et en déduire lastruture du groupe des formes quadratiques

H ( − 224)

^.

5) Soit

△ = − 198596

^{. aluler}

n = Y

2 ≤ p ≤ 41

p p − ^△ _p

et en déduire une valeur approhée de

h( △ )

^{. Montrer que}

(2, 2, ^−△ ₈ ⁺⁴ )

^{est ambigueet en}

déduire que

h( △ )

^{est pair.}

Montre que

F = (3, − 2, 16550)

^{est un générateur du groupeylique}

H ( △ )

^.

1) On onsidère un système RSA :

n = pq

^,

e

^{l'exposant publi de hirage. Soit}

M

^un

message, et

C = M ^e

^mod

n

^{le message hiré. On onstruit la suite}

C ₁ = C ^e

^mod

n

^,

...

C j+1 = C _j ^e

^mod

n

^.

Montrer qu'il existe un indie

j

^{tel que}

C j = C

^mod

n

^{. Que vaut}

C j − 1

^{. Montrer que et}

indie

j

^divise

ϕ(ϕ(n))

^.

Appliation:

n = 47 ∗ 59

^et

e = 17

^{, Dérypter lemessage odé}

C = 1504

^.

Montrer quesi

p − 1 2

^et

q − 1

2

^{sont premiers, ette méthode de déryptage est peu eae.}

2) Trouver un plynme

f(x)

^{de degré}

≤ 3

^{, à oeients dans}

Z/11Z

^{tel que}

f (1) ≡ 8, f (2) ≡ 2, f (3) ≡ 4

^mod

11

^{.On pourra utiliserlaforme}quadratiquede Lagrange.

3) On rappelle que tout élément

a ∈ (Z/2 ^k Z) ^∗

^{peut s'érire sous la forme}

( − 1) ^α 5 ^β

^ave

α ∈ { 0, 1 }

^et

0 ≤ β ≤ 2 ^{k − 2} − 1

^{, etei de façonunique lorsque}

k ≥ 3

^.

Trouver

alpha

^et

β

^lorsque

k = 4

^et

a = 7

^{. Résoudre les équations}

7x ⁹ ≡ 11

^mod

32

^et

3 ^x ≡ 17

^mod

32

^.

Montrer que l'équation

x ² ≡ a

^mod

2 ^k

^{a ou bien zéro solutions, ou bien exatement}

4

solutions.

Faulté des Sienes de Rabat

Département de Mathématiques et d'Informatique

Pr Bouabid El Ouahidi,Email:ouahidifsr.a.ma

Examen, durée 4heures : Master SMI

Porblèmen1

Soit

n ∈ N ^∗

^{, onpose}

E n = ( Z /n Z ) ^∗

^,

E _n ² = { x ² ; x ∈ E n }

^.

Lorsque

n

^{est impair, ondésigne par}

( _n ^x )

^{lesymbolede Jaobi,}

et onpose

E _n ⁺ = { x ∈ E n ; ( ^x _n ) = +1 }

^.

1) Montrer que

E _n ² ⊂ E _n ⁺

2) On suppose que

n ≡ 3

^mod

4

^{, et que}

n

^{est pseudo premier en base}

a

^{('est à dire}

a ^{n− 2 1} ≡ ( _n ^x )

^mod

n

^{) pour}

a ∈ E n

^{. Montrer que si}

( ^x _n ) = +1

^{, alors}

a ∈ E n 2

, et indiquer

un algorithme de alul de sa raine arrée (mod

n

^), déterministe, et polynomial en

log n

^.

3) Soit

p

^et

q

^{deux nombres premiers}

≡ 3

^mod

4

^{. On suppose que}

n = pq

^{. Montrer}

que l'appliation

α : E _n ² ← E _n ² x → x ²

^{est un} isomorphisme de groupe. On notera

β

l'isomorphismeréiproque.Montrer que si

x ∈ E _n ⁺

^{,l'un des deux nombres}

x

^ou

− x

^est

dans

E _n ²

^.

4) On suppose que l'on onnaît

p

^et

q

^{. Donner un algorithme de alul de}

β(a)

^{, déter-}

miniset, polynomial en

log n

^.

On suppose que l'on onnaît

p

^et

q

^{, mais que l'on sait aluler}

β(a)

^pour

a ∈ E _n ²

^,

onstruire inalgorithme probabiliste quifatorise

n

^.

5) Soit une boite magique, qui pour l'entrée

x ∈ E _n ²

^{fournit la réponse oui si}

1 ≤ β(x) ≤ n/2

^{et non dans le as ontraire. Utiliser ette boite magique pour résoudre}

leproblème de résidualité quadratique: Entrée

x ∈ E _n ⁺

^{, sortie oui si}

x ∈ E _n ²

^.

6) On suppose maintenant que

n = pqr

^ave

p = 67

^,

q = 103

^,

r = 239

^{. On admettera}

que

p, q, r

^{son premeirs.}

1. Quel est lenombre d'éléments de

E n , E _n ⁺ , E _n ²

^?

2. Quel est l'ordremaximum d'un élément de

E n , E _n ⁺ , E _n ²

^?

3. Répéter parmi les

6

^nombres

p ± 1, q ± 1, r ± 1

^{eux qui divisent}

n + 1

^{; aluler}

(n + 1) (q + 1)

P

^{ne divisepas ni}

d

ⁿⁱ

a ² − db ²

^{, montrer que:}

(a + b √

d ) ^{p − 1} ≡ 1

^mod

P

^.

8) Montrer que

(a, b) ∈ Z ²

^{, ona (ave}

n = 67.103.239

⁾

(n, a ² − 2b ² ) = 1 ⇒ (a + √

2 ) ⁿ⁺¹ ∈ Z

^mod

n

^.

9) Montrer qu'il n'existe pas de

d

^{sans fateur arré,}

d ∈ N

^{, tel que}

( ^d _q ) = − 1

^{et pour}

tout

(ab, b) ∈ Z ²

^ave

(n, a ² − 2b ² ) = 1

^,

(a + b √

d ) ⁿ⁺¹ ∈ Z

^mod

n

^.

Problème n2

Alie veut envoyer à Bob les plans d'une mahine de Turing révolutionnaire permettant

de fairele produit de

2

^{nombres unaires . (}

5

^s'érit

11111

^).

1) une Construire une telle mahine (non neessairementrévolutionnaire).

2) Alie et Bob sont réliés par l'intermédiaire d'un entral. Comment peuvent-ils être

misenrelation? Votre solutiondevra bienpréiserleshypothèsesdans lesquellesvous

vous plaez.

3) Alieériten déimallesplansdesamahineequidonneunnombrede

2000

^digits.

Commentpeut-elletransmettreeplanàBob?Laséuritéommanded'abordqu'Alie

etBob onstruisentune lé non onnue du entral.

4) Alieseravise etdéide de partager son plan entre

3

^{personnes de telle sortequ'une}

personne seule ne puisse onstruire le plan, mais que

2

^{personnes réunies puissent le}

faire.Quel message envoie-t-elle àhaun des ses orrespondants.