Problèmes d’algèbre linéaire 2

Problèmes d’algèbre linéaire

2

partie

______________

« La langue de l’algèbre, mystérieuse et lumineuse, me saisissait. Ce que j’admirais surtout dans cet idiome, c’est qu’il ne consent à exprimer, à articuler que des vérités générales, universelles, et qu’il dédaigne les vérités particulières. Je lui attribuais en cela une fierté que je refusais aux idiomes humains ; à ce point de vue l’algèbre me semblait la langue du Dieu de l’esprit. »

Edgar Quinet, Histoire de mes idées

Sont ici réunis quelques dizaines de problèmes d’algèbre linéaire, mis au point au cours de trente années d’enseignement, de 1979 à 2014. En somme, pour reprendre la belle expression de Laurent Schwartz, il s’agit de mon « château intérieur » linéaire : tours de guet, donjon, redoutes, murs d’enceinte, machicoulis, pont-levis, douves, j’espère que rien ne manque à ce très pacifique monument d’architecture militaire. Une forteresse de mathématiques est toujours, en quelque manière, une forteresse contre les mathématiques, mais c’est d’abord, et avant tout, une façon efficace de compléter le cours, et d’organiser les savoirs.

Les énoncés ont des sources diverses : cours de taupe, manuels français et étrangers, problèmes et exercices de concours (les références sont indiquées chaque fois que possible), mais ils ont parfois été remaniés à des fins pédagogiques. Il arrive souvent que plusieurs problèmes abordent le même thème : un professeur est obligé de poser régulièrement un problème sur un sujet important, avec de légères variantes selon les idées mises en valeur ou l’état d’avancement du programme. Ainsi, plusieurs énoncés portent sur les pseudo-inverses (thème fort à la mode dans les années 1980), les produits tensoriels, les endomorphismes monogènes, le théorème de Jordan... Enfin, la plupart de ces problèmes sont corrigés.

Pierre-Jean Hormière

____________

Documents :

Adhérence d’une classe de similitude : RMS novembre 1990, p. 198 (Sifre) Dimension maximale d’un sev de M_n(C) ne rencontrant pas Gl_n(C) : RMS 1988-89 n° 7, 1989-90 n° 2 et 8 (Barani, Exbrayat, Clarisse) Dimension maximale d’une sous-algèbre commutative de M_n(C) :

RMS Octobre 1993, p. 186 ; ENS 1998, Oral n° 294 ; ENS 2005, Oral n° 149, RMS mai 2006.

Dimension maximale d’un sous-espace formé de matrices diagonalisables : RMS mars 1992, Randé Hyperplans de M_n(K) stables par le crochet de Lie : RMS 2001 n° 3, p. 234, Gozard

Sous-espaces vectoriels de matrices nilpotentes : RMS oct 2007, de Seguins Pazzis Sous-espaces vectoriels de matrices de rang au plus p : RMS mai 2008, de Seguins Pazzis Dénombrement de matrices nilpotentes d’indice donné : RMS septembre 2010

40. L’algèbre Kⁿ, algèbres diagonales.

41. D’Hamilton à Frobenius.

42. Matrice de Vandermonde des racines de l’unité.

43. Primarité des nombres de Mersenne.

44. Matrices de tournoi.

45. Théorème de l’amitié d’Erdös.

46. Graphes et arbres ; théorème de Borchardt-Cayley.

47. Propriétés du polynôme caractéristique.

48. Un théorème de Kronecker.

49 et 50. Résultant et déterminant d’Hermite.

51 et 52. Endomorphismes monogènes.

53. Equations matricielles du second degré.

54. Racines carrées de matrices.

55. Endomorphismes semi-simples.

56, 57, 58. Endomorphismes nilpotents.

59. Trace.

60. I est-il un commutateur ? 61. Trace et commutateurs.

62. s-triplets.

63. Algèbres de Lie, théorème de Lie.

64. Endomorphismes de LLLL(E), de Mn(K).

65 et 66. Produits kroneckériens.

67. Topologie matricielle.

68. Géométrie matricielle.

69, 70, 71. Matrices stochastiques.

72. Puissances d’une matrice.

73. Contractions larges.

74. Applications semi-linéaires.

75. Fonctions propres d’un noyau.

76. Matrices à éléments polynomiaux.

77. Générateurs de Sl2(Z) et Gl2(Z).

78. Matrices à éléments dans un anneau euclidien.

79. Modules sur les anneaux commutatifs.

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Problème 40 : Algèbres diagonales

Rappels et notations :

Soit K un corps commutatif. On rappelle qu’une K-algèbre est un K-espace vectoriel A muni d’une multiplication interne (x, y) ∈ A×A → x.y ∈ A qui est K-bilinéaire. L’algèbre A est dite commutative, resp. associative, resp. unifère, si la multiplication interne est commutative, resp.

associative, resp. unifère. Si A est une K-algèbre commutative et unifère d’unité 1_A, on appelle :

• idéal de A tout sous-espace vectoriel I de A vérifiant ∀(x, y) ∈ I×A x.y ∈ I ;

• sous-algèbre de A tout sous-espace vectoriel B contenant 1A et vérifiant ∀(x, y) ∈ B×B x.y ∈ B.

Enfin, si A et B sont deux K-algèbres unifères d’unités 1_A et 1_B, un morphisme d’algèbres de A dans B est une application linéaire f : A → B vérifiant f(1A) = 1_B et ∀(x, y)∈A×A f(x.y) = f(x).f(y).

Dans ce problème, on munit Kⁿ, où n ≥ 2, des trois lois :

• Addition : (x₁, x₂, … , x_n) + (y₁, y₂, … , y_n) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, … , x_n + y_n)

• Multiplication externe : λ.(x1, x₂, … , x_n) = (λx1, λx2, … , λxn)

• Multiplication interne : (x₁, x₂, … , x_n).(y₁, y₂, … , y_n) = (x₁.y₁, x₂.y₂, … , x_n.y_n) Il est clair que ces trois lois confèrent à Kⁿ une structure de K-algèbre commutative et associative.

A. Première partie : caractères et automorphismes de Kⁿ.

1) On note BBBB _{= (e1, e2, … , en}) la base canonique de Kⁿ, où e_i = (0, ..., 0, 1, 0, …, 0), le 1 étant à la i-ème place. Calculer e_i.e_j. Montrer que Kⁿ admet un élément unité (pour la multiplication). Quels sont les éléments inversibles de Kⁿ ?

2) Etablir que les seuls homomorphismes f d’algèbre de Kⁿ dans K sont les formes linéaires (c₁, c₂, … , c_n) où c_i est la i-ème forme coordonnée dans la base E, c’est-à-dire l’application

x = (x₁, x₂, … , x_n) → x_i ; on pourra utiliser les images par f des vecteurs de E.

3) Soit f un automophisme d’algèbre de Kⁿ (homomorphisme bijectif). Si χ est un homomor- phisme d’algèbre de Kⁿ dans K, que dire de χ o f ? En déduire tous les automorphismes d’algèbre de Kⁿ. Pourquoi y en a-t-il n! ?

B. Deuxième partie : idéaux, sous-algèbres de Kⁿ.

1) Soit I un idéal de Kⁿ. On note c1 , c2, …, cn les restrictions de c₁, c₂, … , c_n à I et l’on suppose ici qu’il existe k tel que c1 , …, c_k soient non nulles, c_k+1, …, cn soient nulles.

a) Montrer que e₁, e₂, … , e_k appartiennent à I.

b) Montrer que I = { x = (x₁, x₂, … , x_n) ; x_k+1 = … = x_n = 0 }.

2) A l’aide de 1), trouver la forme générale des idéaux de Kⁿ. Combien y en a-t-il ? Si 0 ≤ k ≤ n, combien y a t-il d’idéaux de dimension k ?

3) Si P est une partie de Kⁿ, on appelle sous-algèbre de Kⁿ engendrée par P l’intersection des sous-algèbres contenant P. Etant donné un élément a de Kⁿ, démontrer que la sous-algèbre engendrée par a est Kⁿ si et seulement si les coordonnées de a dans la base E sont toutes distinctes.

4) Soit A une sous-algèbre de Kⁿ ; on note c₁, c₂, …, cn les restrictions de c₁, c₂, … , c_n à A.

On suppose ici qu’il existe k tel que c₁ , c₂, …, c_k soient distinctes, et que, pour tout i > k, il existe j ≤ k vérifiant ci = cj.

a) Etablir que c1 , c2, …, cn sont toutes non nulles.

b) Montrer que, pour tout couple (i, j) d’entiers tels que i ≠ j , 1 ≤ i ≤ k et 1 ≤ j ≤ k, il existe u_ij ∈ A tel que c_i(u_ij) = 1 et c_j(u_ij) = 0.

c) En déduire l’existence, pour tout entier i allant de 1 à k, d’un w_i ∈ A tel que : c_i(w_i) = 1 et c_j(w_i) = 0 pour tout j vérifiant j ≠ i et 1 ≤ j ≤ k .

d) w₁, w₂, … , w_k sont-ils liés ? Quelle est leur somme ? Quel est le sous-espace vectoriel de Kⁿ qu’ils engendrent ?

5) Déduire de la question précédente une méthode de construction de toutes les sous-algèbres de dimension k de Kⁿ .

6) a) Donner la liste des sous-algèbres de Kⁿ dans les cas n = 2, n = 3, n = 4. Il est signalé que, par exemple, l’ensemble des (α, α, β), où (α, β) décrit K², est une sous-algèbre de dimension 2 de K³. On demande, pour chacune des sous-algèbres de Kⁿ, de donner un mode de génération analogue à celui-là.

b) Combien Kⁿ a-t-elle de sous-algèbres de dimension 2, de dimension n − 1 ?

c) Interprétation combinatoire du nombre S(n, k) des sous-algèbres de dimension k de Kⁿ. C. Troisième partie : algèbres diagonales.

Une K-algèbre A de dimension finie n est dite diagonale si elle admet une base (e₁, e₂, … , e_n) telle que ∀(i, j) e_i.e_j = δij.e_i , autrement dit si elle est isomorphe, en tant qu’algèbre, à Kⁿ.

1) Montrer que E = FFFF(Z/nZ, C) est une C-algèbre commutative, associative, unitaire de dimension n pour l’addition et la multiplication par un scalaire usuelles des fonctions, et pour la loi * ^définie par : ( f * ^{g )(x) =}

∑

∈ −

nZ Z y

y x g y f

/

) ( ).

( . Préciser son élément neutre.

2) On pose ω = exp n i

π

2 . Pour tout x ∈ Z/nZ, on pose ω^x = ω^k , pour tout entier k dont la classe modulo n est x. Si f est élément de E, on pose, pour tout x : (FFFF _{f )(x) =}

∑

∈ZnZ a

axf a

/

)

ω

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

b) Montrer que, pour tout a , f(a) =

∑

∈

− nZ Z x

ax

n _/

1 ω ^{(FFFF f)(x) .} c) Soient f et g deux éléments de E. Montrer que

∑

∈ZnZ a

a g a f

/

) ( ).

( =

∑

∈ZnZ

nx _/

1 ₍F _{f )(x).(}F _{g)(−x) .}

d) Montrer que, pour tout x : FFFF_(f * ^{g)(x) = (}FFFF_{f )(x).(}FFFF_g)(x).

e) En déduire que E est une algèbre diagonale. Caractériser ses éléments inversibles.

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Corrigé partiel

C. Troisième partie : algèbres diagonales.

1) L’algèbre de convolution E.

E = FFFF(Z/nZ, C) est un C-espace vectoriel pour les lois usuelles, de dimension n, car f ∈ E → ( f(0) , f(1) , …, f(n−1)) ∈ Cⁿ est un isomorphisme.

Une base de E est formée des fonctions canoniques ϕx définies par ϕx(y) =

δ

On a, pour tout x : ( f _* g )(x) =

∑

∈ −

nZ Z y

y x g y f

/

) ( ).

( =

∑

= +z x y

z g y f( ). ( ).

La loi ( f, g) → f _* g est commutative, en vertu de la symétrie de l’expression

∑

= +z x y

z g y f( ). ( ) Elle est bilinéaire à gauche, donc bilinéaire à droite.

Elle est associative, car ( f _* ( g _* h ))(x) =

∑

= +z x s

s

f ).( ( g _* h )(z) = f(s).g(t).h(u)

x u t s

∑

Cette expression est invariante par permutation de (f, g, h), donc : ( f _* ( g _* h ))(x) = ( h _* ( f _* g ))(x) = (( f _* g )_* h ))(x)

Enfin, on vérifie que ϕx∗ϕy = ϕx+y . Il en résulte que ϕ0 est le neutre de E.

Conclusion : E est une C-algèbre commutative, associative, unitaire de dimension n . 2) Transformation de Fourier discrète.

Si f est élément de E, on pose, pour tout x : (F _{f )(x) =}

∑

∈ZnZ a

axf a

/

)

ω

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

1^ère méthode : Si a = 0,

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

Sinon,

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

∑

∈ + nZ Z x

x a /

) 1

ω

Donc

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

2^ème méthode : Si a ≠ 0,

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

∑

= 1

0 n

k

ωak ⁼ a an

ωω

−

− 1

1 = 0.

Conclusion :

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

∑

∈ZnZ x

ax /

ω

b) Vérifions que, pour tout a : f(a) =

∑

∈

− nZ Z x

ax

n _/

1 ω ^{(F f)(x).}

∑

∈

− nZ Z x

ax

n _/

1 ω ^{(F f)(x) =}

∑

∈

− nZ Z x

ax

n _/

1 ω

∑

∈ZnZ b

bxf b

/

)

ω

∑

∈ZnZ

nb _/

1

∑

∈

− nZ Z x

x a

b f b

/ )

( ). ( )

(

ω

en vertu de a), car n

1

∑

∈

− nZ Z x

x a b /

)

ω

c) Soient f et g deux éléments de E. En vertu de b) :

∈

∑

a g a f

/

) ( ).

( =

² 1

n

∑ ∑ ∑

∈ZnZ ∈ ∈ a / x Z/nZy Z/nZ

) (x y a +

ω

=

² 1

n

∑ ∑ ∑

∈ZnZ ∈ ∈ x / y Z/nZ a Z/nZ

(

ω

= n

1

∑

∈ZnZ x /

(FFFF _{f )(x).(}FFFF _{g)(−x) .} Conclusion :

∑

∈ZnZ a

a g a f

/

) ( ).

( =

∑

∈ZnZ

nx _/

1 ₍FFFF _{f )(x).(}FFFF _{g)(−x) .}

d) Montrons que, pour tout x : FFFF_{( f * g)(x) = (}FFFF_{f )(x).(}FFFF_g)(x).

F F F

F_{( f * g)(x) =}

∑

∈ZnZ a

ax /

ω

∑ ∑

∈ ∈ −

nZ Z a

ax nZ

Z t

t a g t f

/ /

).

( )

(

ω

∑ ∑

∈

−

∈ −

nZ Z a

t a x nZ

Z t

atg a t t

f

/

) ( /

).

( )

(

ω ω

₌

∑ ∑

∈

−

∈ −

nZ Z t

t a x nZ

Z a

at g a t

t f

/

) ( /

).

( )

(

ω ω

∑ ∑

∈ZnZ ∈

t

xu nZ Z u

at gu

t f

/ /

).

( )

(

ω ω

e) L’algèbre E est diagonale.

En effet, l’application FFFF _{: f ∈} (E, + , . , ∗ ) →FFFF _{f ∈ (E, + ., ×}) est linéaire, injective en vertu de b), donc bijective, et c’est un morphisme de l’algèbre de convolution E sur l’algèbre E usuelle.

Comme l’algèbre usuelle (E, + ., ×) est diagonale, il en est de même de l’algèbre de convolution E.

Les deux algèbres sont isomorphes. Le neutre de (E, *) est la fonction ϕ telle que FFFF_ϕ soit la fonction constante égale à 1. ϕ(a) =

∑

∈

− nZ Z x

ax

n _/

1 ω ^(FFFFϕ)(x) =

∑

∈

− nZ Z x

ax

n _/

1 ω = 1 si a = 0, 0 sinon.

Enfin, les inversibles de (E, ∗) sont les f telles que, pour tout x, FFFF _{f(x) ≠ 0.}

Remarque : Il découle de la partie B que (E, ∗) a 2ⁿ idéaux, dont on connaît la structure, ainsi que S(n, k) sous-algèbres de dimension k.

Références : Centrale P’ 1985, ENS 2009.

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Problème 41 : d’Hamilton à Frobenius

Dans ce problème, toutes les R-algèbres sont supposées associatives et unifères. On se propose de classifier à isomorphisme près toutes les R-algèbres de dimension finie et sans diviseurs de zéro.

A. Première partie.

1) On se place dans M₂(C) considérée comme R-algèbre. En indiquer la dimension et une base.

2) Pour tout couple (α, β)∈C², on note M(α, β) =





−αβ αβ . Soit H l’ensemble de ces matrices.

a) Montrer que H est, pour les lois usuelles, une R-algèbre associative et unifère.

b) On note E =



 1 0

0 1 , I =





−i i 0

0 , J =





−10 1

0 , K =



 0 0

i

i . Que dire de (E, I, J, K) ?

c) Calculer les produits deux à deux des matrices E, I, J, K. Présenter les résultats dans un tableau en précisant l’ordre.

3) Si M = M(α, β) ∈ H, on note M* = M(

α

a) Montrer que M → M* est une symétrie vectorielle de H, et que : ∀(M, M’) ∈ H×H (M.M’)* = M’*.M* .

b) Montrer que ∀M∈H M.M* = M*.M = N(M).E, où N(M) est un réel ≥ 0 que l’on calculera.

c) Déduire de ce qui précède que H est un corps.

4) L’algèbre H est-elle commutative ? Quel est son centre ?

5) Résoudre dans H les équations M² = E et M² = −E. Ce résultat contredit-il le théorème relatif au nombre de racines d’une équation ?

6) De combien de façons peut-on plonger C dans H comme R-algèbre ?

7) Montrer que G = {± E , ± I , ± J , ± K} est un groupe multiplicatif. Préciser les ordres de chacun de ses éléments. G est-il cyclique ? Montrer que tous les sous-groupes stricts de G sont cycliques.

B. Deuxième partie.

1) Soit A une R-algèbre de dimension finie et sans diviseurs de zéro. On plonge R dans A via a ∈ R → a.1_A ∈ A.

a) Montrer que A est un corps [ Considérer m_x : y → x.y et m’x : y → y.x. ]

b) On suppose dim_R A > 1. Montrer que, pour tout x ∈ A, tel que x ∉ R, la famille (1, x, x²) est liée, et que { a + bx ; (a, b) ∈ R² } est une sous-algèbre de A, de dimension 2. On la note A_x. [ On considérera le polynôme minimal de x. ]

c) Montrer que (∃y ∈ Ax) y² = −1, et que Ax est isomorphe à C.

2) Dans cette question, on suppose A commutative de dimension n > 1. Soit x ∈ A tel que x ∉ R.

En notant que l’équation ξ² = −1 a deux solutions dans A, montrer A = Ax , et l’isomorphie A ≈ C.

3) On suppose désormais A non commutative de dimension n.

a) Montrer (∃i ∈ A) i² = −1. On plonge désormais C dans A en identifiant −1 ^{et i.}

b) Montrer que la loi externe (α, x) ∈ C×A → α.x∈A, jointe à l’addition, munit A d’une structure de C-espace vectoriel. On note A₊ = { x ∈ A ; x.i = i.x } et A₋ = { x ∈ A ; x.i = − i.x }.

c) Montrer que A₊ et A₋ sont des C-sous-espaces vectoriels supplémentaires de A, et C ⊂ A₊ d) Montrer que A₊ est une C-algèbre de dim finie sans diviseurs de 0. En déduire A₊ = C.

e) Montrer ∃u ∈ A₋−{0}. En considérant l’image de A₊ par x → x.u, montrer dim_C A₋ = 1.

f) Montrer que u² ∈ R*₋ . En déduire (∃j ∈ A₋) j² = −1.

g) On pose k = i.j. Montrer que (1, i, j, k) est une R-base de A. Quelle est la table de multiplication de cette base ?

4) Enoncer le résultat obtenu (Théorème de Frobenius).

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Problème 42 : Matrice de Vandermonde des racines de l’unité

Dans ce problème, on se place dans l’algèbre M_n(C) des matrices carrées d’ordre n à éléments complexes. On note I la matrice unité, ω = exp

n i

π

h = ω^h (∀h ∈ Z).

A. Etude d’un exemple.

Dans cette partie, on pose j = − 2 1_{+ i}

2

3, et on note P ∈ M3(C) la matrice définie par P =











 j j

j j

² 1

² 1

1 1 1

1) Calculer P², puis P⁴ . P est-elle diagonalisable ? Que dire de ses valeurs propres ? 2) Pour chacune des valeurs propres éventuelles λ de P, déterminer Ker(P −λ.I).

3) Achever la réduction de P.

B. Deuxième partie.

On note P ∈ Mn(C) la matrice d’élément général p_hk = ω^{(h−1)(k−1)} ( 1 ≤ h, k ≤ n).

On note D le déterminant de P, T sa trace.

1) Calculer les sommes N_k =

ω

ω

ω

2) Calculer P.P . En déduire l’inverse de P et la valeur de |D|.

3) Calculer P², puis Q = n

1_P² _{et Q}². En déduire les puissances P^h de P (h ∈ Z), et la valeur de D².

4) Montrer que D = 2 )

exp(

).

sin(

. 2

1

π π ^ip _n^q n

p i q

n q p

− +

∏

≤

. Calculer

∑

≤

<

≤

+

n q p

q p

1

)

( .

En déduire la valeur de D. Quand a-t-on D ∈ R ? 5) Pour tout r ∈ Z, on note Tr =

∑

= 1 + 0

)² ( n

k k

ωr ^.

a) En considérant T_r+1 − Tr , montrer que (∀r) Tr = T.

b) En déduire que | T |² =

∑

= 1

0 n

r

∑

=

− 1 + 0

² )² ( n

s

r s

ω r ^.

 n si n = 2p + 1

c) Montrer à partir de cette expression que | T | =  2n si n = 4p  0 si n = 4p + 2 6) Montrer que Q est diagonalisable ; quelles sont ses valeurs propres possibles ?

En discutant selon la parité de n, déterminer les espaces propres de Q et préciser leurs dimensions.

7) Montrer que P est diagonalisable, et a pour valeurs propres possibles n, − n, i n, −i n. 8) On note a_n, b_n, c_n et d_n les ordres de multiplicité respectifs des valeurs propres éventuelles n,

− n, i n, −i n de P.

a) Exprimer T en fonction de a_n, b_n, c_n et d_n. En déduire (a_n − bn)² + (c_n − dn)² en fonction de n.

b) Calculer a_n + b_n et c_n + d_n en fonction de n, selon sa parité.

c) Quelle relation supplémentaire obtient-on à l’aide de la valeur de D ?

9) Calculer (a_n , b_n , c_n , d_n) en distinguant quatre cas : n = 4k + 1, 4k + 3, 4k + 2 et 4k.

Que peut-on seulement conclure lorsque n = 4k ? B. Deuxième partie.

1) Soit ν(n) = card{ (h, k) ∈ [1, n]² ; p_hk = 1 } le nombre de 1 figurant dans la matrice P.

Montrer que ν(n) = card{(h,k) ∈ (Z/nZ)² ; h.k =0} =

∑

= 1

0

) , gcd(

n

h

n h

p =

∑

h d

d._ϕ( d n ₎ où ϕ est l’indicateur d’Euler.

2) Montrer que ν est une fonction « multiplicative », en ce sens que : ν(1) = 1 , pgcd(m, n) = 1 ⇒ ν(m.n) = ν(m).ν(n).

3) Si p est premier, et k ≥ 1, montrer que ν(p^k) = p^k−1 ( p + k.(p−1)) ; en particulier, ν(p) = 2p−1.

Exprimer ν(n).

C. Troisième partie

A tout (a₀, a₁, ..., a_n−1) ∈ Cⁿ on associe la matrice cyclique d’ordre n :

M(a₀ , ... , a_n−1) =

















−

−

−

0 1 2

1

1 0 2

1 0 1

1 1

0

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

a a a a

a a a

a a a

a a

a

n n

n

, et on note Ω = M(0, 1, 0, ..., 0) =

















0 0 ...

0 1

1 0 ...

0 0

...

...

...

...

...

0 ...

1 0 0

0 ...

0 1 0

,

1) Montrer que M(a₀, a₁, ... , a_n−1) = a₀.I + a₁.Ω + ... + a_n−1.Ωⁿ⁻¹ . Calculer Ωⁿ .

2) Montrer que l’ensemble E des matrices M(a₀, a₁, ..., a_n−1) est une sous-algèbre commutative, de dimension n de M_n(C).

3) Trouver les valeurs et vecteurs propres de Ω. Diagonaliser Ω.

4) Déduire de ce qui précède que toutes les matrices M(a₀ , a₁, ... , a_n−1) sont diagonalisables.

Soit f(z) = a₀ + a₁.z + ... + a_n−1.zⁿ⁻¹ . Montrer que det M(a₀ , a₁, ... , a_n−1) =

∏

0

) (

n

k

f ωk ^.

Application : calculer

1 1 ...

2

...

...

...

...

...

2 ...

1 1

1 ...

2 1

...

3 2 1

n n

n n

n

n n

n

−

−

− −

.

5) Convergence et limites des suites (a_n), (b_n) et (c_n) définies par : a_n+1 =

4 1_b

n + 4 3_c

n , b_n+1 = 4 3_a

n + 4 1_c

n , c_n+1 = 4 1_a

n + 4 3_b

n . __________

Solution

Références :

Mines Ponts 1982, RMS fév. 83, p. 263 ENS Ulm-Lyon 2001

Queysanne, Algèbre, n° 258-259, p. 364

Faddeev-Sominski, Exercices d’algèbre, n° 126 p. 19 et n° 933-934 p. 126 Arnaudiès-Fraysse, Algèbre 1, ex. 9 p. 637

Borevitch-Shafarevitch, Théorie des nombres Monier, Analyse 2, p. 128-129

___________

Problème 43 : Primarité des nombres de Mersenne

Dans ce problème, p désigne un nombre premier > 3, F_p le corps quotient Z/pZ, et n la classe modulo p de l’entier n.

Si A est un anneau fini d’unité e, on appelle ordre d’un élément inversible a de A le plus petit entier n > 0 tel que aⁿ = e.

Pour toute matrice carrée M à coefficients dans un corps, on note ∆(M) son déterminant, T(M) sa trace.

Les questions III.1) et III.2) sont indépendantes des parties I et II.

I

1) Soit A_p l’ensemble des matrices à coefficients dans F_p de la forme R = λ.M + µ.I, où M = 

 





−10 1

4 et I = 

 



 1 0

0

1 _{, (λ, µ) ∈ F}

p

2. Montrer que Ap est un anneau commutatif pour les opérations usuelles. Donner le nombre des éléments de Ap .

2) Calculer T(R) et ∆(R) pour R ∈ A_p ; puis exprimer T(R²) et ∆(R²) en fonction de T(R) et ∆(R).

3) Montrer que deux quelconques des conditions suivantes impliquent la troisième : a) T(R) = 0 ; b) ∆(R) = 1 ; c) l’ordre de R est 4.

4) On considère la suite des entiers (Y_k)_k≥0 définie par : Y₀ = 2 , Y_k+1 = 2Y_k² − 1, k ≥ 0.

Comparer Y_k et T(M^2k ).

5) Montrer que M est d’ordre 2^k si et seulement si p divise Y_k−2. II

1) Montrer que A_p est un corps si et seulement si 3 n’est pas le carré d’un élément de F_p. 2) Dans cette question, on suppose que 3 est un carré dans F_p ( avec 3 = a² , a ∈ F_p ).

a) Montrer que M est semblable à une matrice diagonale.

b) En déduire que A_p est isomorphe à l’anneau produit F_p×F_p, puis donner le nombre des éléments de A_p de déterminant 1, ainsi que celui de ses éléments inversibles.

3) Dans cette question, on suppose que 3 n’est pas un carré dans F_p.

a) Montrer que ∆ donne un homomorphisme du groupe multiplicatif des éléments non nuls de A_p dans celui des éléments non nuls de F_p.

En déduire que le nombre des éléments de l’image de ∆est un diviseur de p − 1, et que celui des éléments du noyau de ∆ est un multiple de p + 1.

b) Vérifier que pour tout λ ∈ Fp il y a au plus 2 éléments µ ∈ Fp tels que ∆(λ.M + µ.I) = 1. Donner le nombre des éléments de A_p de déterminant 1.

4) Montrer que l’ordre de M divise le nombre des éléments de A_p de déterminant 1. En déduire que p divise Y_k−2 ⇒ 2^k divise p − 1 ou p + 1.

III

On suppose dans cette partie que p est de la forme 2^m − 1.

1) Montrer que m est impair et que 3 divise p − 1. Etablir aussi que 2 est un carré dans F_p, et que

−1 n’en est pas un.

2) Montrer que les ordres des éléments non nuls de F_p divisent p − 1, mais ne divisent pas tous 3

−1

p . En déduire qu’il existe un élément b de F_p d’ordre 3. Calculer ( 2b + 1 )².

3) Montrer que ni 3 ni 6 ne sont des carrés dans F_p. Prouver que les ordres des éléments de A_p de déterminant 1 divisent 2^m mais ne divisent pas tous 2^m−1.

4) Résoudre l’équation X² = M , X ∈ Ap. 5) Quel est l’ordre de M ?

IV

1) Etablir le critère suivant :

« Soit q un entier ≥ 3 ; alors 2^q− 1 est premier si et seulement si 2^q – 1 divise Y_q−2 » . 2) Décomposer Y₃ en facteurs premiers. Montrer que 2⁷ − 1 est premier.

___________

Corrigé : test de Lucas de primarité des nombres de Mersenne

A la frontière de l’arithmétique, de l’algèbre générale et de l’algèbre linéaire, ce problème de théorie algébrique des nombres, vieux de 40 ans est doublement remarquable : d’une part, son énoncé est simple, et était parfaitement adapté aux programmes d’alors ; d’autre part, il démontre un résultat utile et profond, le test de primarité des nombres de Mersenne trouvé en 1876 par le mathématicien Edouard Lucas (1842-1891). Or les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne et la recherche des très grands nombres premiers est d’un grand intérêt en cryptographie.

Le moine philomathe Marin Mersenne (1588-1648) s’est intéressé au nombres qui portent son nom parce qu’ils sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs stricts. Au 4^e siècle av J.C., Euclide avait démontré que si M = 2^p – 1 est un nombre premier, alors M(M + 1)/2 = 2^p−1( 2^p – 1 ) est un nombre parfait. Au 18^ème siècle, Euler a prouvé que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme (aucun nombre parfait impair n’est connu).

Première partie : l’anneau A_p .

1) Montrons que A_p est un anneau commutatif à p² éléments.

a) Pour montrer que A_p est un anneau pour les opérations usuelles, il suffit de montrer que c’est un sous-anneau de M₂(F_p), c’est-à-dire que I ∈ A_p , R et R’ ∈ A_p ⇒ R − R’ ∈ A_p et R.R’ ∈ A_p.

Les deux premières assertions sont faciles, seule la troisième demande à être justifiée.

Pour démontrer que R et R’ ∈ Ap ⇒ R.R’ ∈ Ap, il suffit de démontrer que M² ∈ Ap. Cela peut se vérifier directement, car M² = 

 





−

−4 1 4

15 ₌

4.M – I

Ou bien, de manière plus savante, en utilisant le théorème de Hamilton-Cayley, qui affirme que M annule son polynôme caractéristique X² − T(M).X + ∆(M).

M² − T(M).M + ∆(M).I = M² − 4.M + I = 0 implique derechef M² = 4.M – I . La commutativité de A_p découle de ce que I et M commutent.

b) L’application (λ, µ) ∈ Fp

2 → λ.M + µ.I ∈ Ap est bijective, donc A_p a p² éléments.,

A_p est un sous-anneau commutatif à p² éléments de l’anneau non commutatif M₂(F_p) à p⁴ éléments.

Remarque : A_p est même une sous-algèbre commutative de M₂(F_p).

M n’est pas une homothétie, donc M et I sont libres dans M₂(F_p), et A_p est le plan vectoriel engendré par (M, I).

En vertu du théorème d’Hamilton Cayley, M² − T(M).M + ∆(M).I = M² − 4.M + I = 0,

donc M² = 4.M − I. Il en résulte, par bilinéarité du produit, que le produit de deux éléments de A_p est élément de A_p. Par conséquent, A_p est une sous-algèbre unifère de M₂(F_p).

La table de multiplication de la base (I, M) est donnée par : ×××× I M

I I M M M − I + 4M Elle est symétrique, donc A_p est commutative.

Cette algébre est isomorphe à l’algèbre quotient F_p[X]/(X² − 4X + 1), car le morphisme d’évaluation P ∈ F_p[X] → P(M) ∈ M₂(F_p) a pour noyau l’idéal (X² − 4X + 1) engendré par le polynôme minimal de M, et pour image A_p.

2) Traces et déterminants.

Soit R = λ.M + µ.I = 



−+ µ λµ λ λ .

4 _{∈ A}

p .

Par linéarité de la trace, T(R) = λ.T(M) + µ.T(I) = 4λ + 2µ

Et ∆(R) = (4λ + µ).µ + λ² = λ² + 4λµ + µ² = (λ + 2µ)² − 3µ². La multiplicativité du déterminant implique aussitôt que ∆(R²) = ∆(R)².

Pour exprimer T(R²), le mieux est d’observer (Hamilton-Cayley) que R²− T(R).R + ∆(R).I = 0, Donc R² = T(R).R − ∆(R).I et, par linéarité de la trace, T(R²) = T(R)² − 2.∆(R).

3) Montrons que deux quelconques des conditions suivantes impliquent la troisième : a) T(R) = 0 ; b) ∆∆∆∆(R) = 1 ; c) l’ordre de R est 4.

a) et b) ⇒ c). Si T(R) = 0 et ∆(R) = 1 , R² = T(R).R − ∆(R).I = − I, donc R⁴ = I.

L’ordre de R est ≤ 4, et même égal à 4, puisque R² ≠ I.

a) et c) ⇒ b). Si T(R) = 0, R² = T(R).R − ∆(R).I = − ∆(R).I, donc R⁴ = ∆(R)².I.

Comme R est d’ordre 4, R⁴ = I, donc ∆(R)² = 1, donc ∆(R) = ±1. Comme R²≠ I, donc ∆(R) = 1.

Attention, R⁴ = I n’implique pas R² = ± I, mais seulement que R² est une symétrie vectorielle.

b) et c) ⇒ a). Si ∆(R) = 1, T(R²) = T(R)²− 2.∆(R) = T(R)²− 2. D’où R⁴= T(R²).R²−∆(R²).I = ( T(R)²− 2).R²−I

Comme R⁴= I , ( T(R)² − 2).R² = 2 I (*).

Comme p > 2, 2 _≠ 0 ainsi que T(R)²− 2, donc R² = _α.I. Comme R⁴= I , α² = 1, donc α = ±1. Comme R² ≠ I, α = −1.

Reportant dans (*), il vient T(R)² = 0, donc T(R) = 0. 4) Etude d’une suite récurrente.

La suite d’entiers (Y_k)_k≥0 définie par : Y₀ = 2 , Y_k+1 = 2Y_k² − 1 , k ≥ 0 , commence ainsi : (Y_k ) = ( 2 , 7 , 97 , 18817 , 708158977 , … ).

T(M²⁰) = T(M) = 4.

T(M^2k+1) = T((M^2k)²) = T(M^2k)² − 2.∆(M^2k ) = T(M^2k)² − 2..

Par conséquent, la suite (T(M^2k )) commence ainsi :

(T(M^2k)) = ( 4 , 14 , 194 , 37634 , 1416317954 , … ) Il apparaît que : T_k = T(M^2k) = 2.Yk dans F_p.

Une récurrence facile confirme cette conjecture.

Remarque : la suite (Y_k) « se calcule », en ce sens que, si l’on pose : Y₀ = ch a , ou plutôt a = Argch 2 , il vient aussitôt, par récurrence :

Y_k = ch(2^k.a) = ½ ( exp(2^k.a) + exp(−2^k.a) ) = ½ ( exp(2^k.a) + o(1).

Il en résulte que la suite d’entiers (Y_k) tend très vite vers l’infini.

5) Montrons que M est d’ordre 2^k si et seulement si p divise Y_{k−−−−2}.

M et toutes ses puissances appartiennent au groupe Gl₂(F_p), et même à Sl₂(F_p) = { A ; det A = 1} . M n’est pas d’ordre 2, car M² = 

 





−

−4 1 4

15 _{≠ I ( −}

1≠ 1 notamment, car p > 2).

• Si M est d’ordre 2^k, alors k ≥ 2 et M^2k−2 est d’ordre 4. Comme ∆(M^2k−2) = 1, on a, en vertu de (I.3, b) et c) ⇒ a)) T(M^2k−2) = 0, i.e.T_k−2 = 0, i.e. 2.Y_k−2 = 0, i.e. p | 2.Y_k−2 .

Comme p est premier impair, p | Y_k−2 .

• Si p divise, p | Y_k−2 , T(M^2k−2) = 0. Comme ∆(M^2k−2) = 1, on a, en vertu de (I.3, a) et b) ⇒ c)), M^2k−2 est d’ordre 4, donc M est d’ordre 2^k.

Deuxième partie : les deux structures possibles de l’anneau A_p.

1) Montrons que A_p est un corps si et seulement si 3 n’est pas un carré dans F_p. a) Supposons 3 non carré dans F_p.

Alors ∀(a, b) ∈ Fp×Fp a² – 3.b² = 0 ^⇒ a = b = 0 car b ≠ 0 impliquerait 3 = ( a / b )² .

Soit R = λ.M + µ.I ∈ Ap . On a vu que ∆(R) = (λ + 2µ)² − 3µ².

Donc ∆(R) = 0 ^⇒ (λ + 2µ)² − 3µ² = 0 ⇒ λ + 2µ = µ = 0 ⇒ λ = µ = 0 ^⇒ R = 0.

Du coup, R ≠ 0 ⇒∆(R) ≠ 0. R est inversible, et son inverse est élément de A_p en vertu de Hamilton Cayley, car R ( R −T( R).I ) = ( R − T(R).I ).R = −∆(R ).I

implique R^–1 = ) (1

∆−R _{( R − T(R).I ) ∈ Ap.} b) Si 3 non carré dans F_p, 3 = a².

Posons R = ( a − 2).M + I. C’est un élément non nul de A_p, de déterminant nul ∆(R) = a²− 3. R est non inversible dans A_p. Donc A_p n’est pas un corps.

Mieux, même ! R.( R – T(R).I ) = 0. Comme a ≠ 2, R n’est pas une homothétie, R et R – T(R).I sont non nulles, donc A_p n’est pas intègre.

Remarque : Nous avons vu en I que A_p est isomorphe à l’anneau quotient F_p[X]/(X²− 4X + 1), lequel est un corps ssi le polynôme X²− 4X + 1 est irréductible dans F_p[X], i.e. si son discriminant

∆ = 4(4 ₋1) = 4.3 n’est pas un carré ; cela équivaut à dire que 3 n’est pas un carré.

2) Structure de A_p lorsque 3 est un carré.

a) Montrons que M est diagonalisable dans M₂(F_p) .

M a pour polynôme caractéristique X²− 4X + 1, lequel a pour racines 2 _± a

Or ces deux racines sont distinctes, car a ≠ 0 ( c’est là qu’intervient l’hypothèse p > 3 ).

Par conséquent, M a deux valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable dansM₂(F_p) . ∃P ∈ Gl₂(F_p) P⁻¹.M.P = 

 



 + −

a a

2 0

0 2

b) Montrons que A_p est isomorphe à l’anneau produit F_p×Fp, Soit R = λ.M + µ.I. On a P⁻¹.R.P = 

 





+ + −

+ µ λ µ

λ

) 2 ( 0

0 )

2 (

a

a .

Toutes les matrices R sont simultanément diagonalisables.

L’application R → P⁻¹.R.P est un isomorphisme de l’anneau A_p sur l’anneau des matrices diagonales, lequel est isomorphe à F_p×F_p .

Conclusion : l’application R → (λ(2 + a) + µ, λ(2 − a) + µ) est un isomorphisme de l’anneau Ap

sur l’anneau F_p×F_p . c) Dénombrements.

Les éléments inversibles de F_p×Fp sont les éléments de F_p*×Fp* ; ils sont au nombre de (p − 1)². Le groupe multiplcatif des inversibles de A_p a donc (p − 1)² éléments.

Les éléments de A_p de déterminant 1 correspondent aux couples (α, 1/α), où α est un élément non nul de F_p. Ils sont donc au nombre de p – 1.

3) Structure de A_p lorsque 3 n’est pas un carré.

a) ∆ donne un homomorphisme du groupe multiplicatif des éléments non nuls de A_p dans celui des éléments non nuls de F_p.

Im ∆ est un sous-groupe de Fp*, donc d = card ( Im ∆ ) divise p – 1. Posons p – 1 = dq.

Ker ∆ est un sous-groupe (distingué) de A_p* de cardinal

) (Im

*) ( ∆ card

A card ^p

= p q p

/ ) 1 (

1

−²− = ( p + 1 ).q.

En déduire que le nombre des éléments de l’image de ∆est un diviseur de p − 1, et que celui des éléments du noyau de ∆ est un multiple de p + 1.

b) Cardinal de Ker ∆.

Fixons λ ∈ Fp L’équation ∆(λ.M + µ.I) = 1 s’écrit µ² + 4λµ + λ² − 1 = 0.

C’est une équation du second degré dans le corps F_p ; elle a au plus deux solutions.

Ainsi, Ker ∆ a au plus 2p éléments. Le seul multiple de p + 1 qui soit ≥ 1 et ≤ 2p est p + 1.

Par conséquent :

card Ker ∆ = p + 1 et card Im ∆ = p – 1. L’homomorphisme ∆ est surjectif.

4) M est élément du groupe Ker ∆, donc son ordre divise le cardinal de Ker ∆, p + 1 lorsque 3 n’est pas un carré, p – 1 lorsque 3 est un carré.

Si p divise Y_k−2 , par I.5), M est d’ordre 2^k donc 2^k divise p − 1 si 3 est un carré, p + 1 si 3 n’est pas un carré.

Troisième partie : nombres de Mersenne premiers.

Remarque préliminaire : nombres de Mersenne.

A tout entier m ≥ 0 on associe le nombre de Mersenne M_m = 2^m – 1.

La suite (M_m) = ( 0 , 1 , 3 , 7 , 15 , 31 , 63 , 127 , 257 , … )

des nombres de Mersenne est une suite récurrente arithmético-géométrique, donnée par : M₀ = 0 , M_m+1 = 2.M_m + 1 .

Les nombres de Mersenne sont les repunit en base 2, puisque leurs développements binaires sont : (M_m) = ( 0 , 1 , 11 , 111 , 1111 , 11111 , 111111 , … )

Exercice : 1) Démontrer que m | n ⇒ M_m | M_n .

2) Démontrer que le pgcd de deux nombres de Mersenne en est un, plus précisément que : pgcd( M_m , M_n ) = M_{pgcd(m, n)} .

Proposition : Si M_m est premier, m est premier. La réciproque est fausse.

Preuve : Tout d’abord, M_m est premier, m est ≥ 2.

Si m est composé, écrivons m = ab, avec a et b > 1.

Alors M_m = 2^m – 1 = 2^ab – 1 = ( 2^a – 1 )( 2^a(b-1) + 2^a(b-2) + … + 2^a + 1 ).