1 - Autour du théorème de Cesàro

POIRET Aurélien FFFFFFFF

Théorèmes Taubériens

Table des matières

1 - Autour du théorème de Cesàro

1.1 - Le théorème de Cesàro . . . 2

1.2 - Réciproques partielles du théorème de Cesàro . . . 3

1.3 - Applications . . . 6

1.4 - Versions continues . . . 7

1.4.1 - Version continue numéro 1 . . . 7

1.4.2 - Version continue numéro 2 . . . 8

2 - Autour du théorème d'Abel

2.1 - Le théorème d'Abel . . . 9

2.2 - Réciproques partielles du théorème d'Abel . . . 10

2.3 - Version continue . . . 14

2.4 - Réciproque totale du théorème d'Abel . . . 16

Dans ce cours, on démontre les théorèmes de Cesàro et d'Abel sous toutes leurs formes.

1 Autour du théorème de Cesàro

1.1 Le théorème de Cesàro

Soient(u_n) une suite réelle et posons, pourn∈N,

v_n= u0+· · ·+un

n+ 1 . Si(u_n) tend vers`∈Ralors(v<sub>n</sub>) tend vers `.

Théorème 1 : Théorème de Cesàro

Démonstration. Trois cas s'orent à nous.

• Cas où `∈R:

Soit >0. Comme (un) converge vers`,

∃N₀∈N/∀n∈N, n>N₀ ⇒ |u_n−`|6. (?) Soitn>N₀. Nous avons

|v_n−`|=

1 n+ 1×

n

X

k=0

u_k−`

= 1

n+ 1×

n

X

k=0

(u_k−`) .

Par l'inégalité triangulaire,

|v_n−`|6 1 n+ 1×

N0−1

X

k=0

|u_k−`|+ 1 n+ 1×

n

X

k=N0

|u_k−`|.

En combinant ce qui précède à (?), on obtient

|v_n−`|6 1 n+ 1×

N0−1

X

k=0

|u_k−`|+ 1 n+ 1×

n

X

k=N0

6 1 n+ 1×

N0−1

X

k=0

|u_k−`|+ n−N₀+ 1 n+ 1 ×.

Puis comme ^n−N_n+1⁰⁺¹ 61, on a alors établi

∀n∈N, n>N₀ ⇒ |v_n−`|6 1 n+ 1×

N0−1

X

k=0

|u_k−`|+. (??)

Or lim

n→+∞

1 n+ 1×

N0−1

X

k=0

|u_k−`|= 0donc

∃N₁∈N/ ∀n∈N, n>N₁ ⇒ 1 n+ 1×

N0−1

X

k=0

|u_k−`|6.

On pose N = max(N0, N1). En combinant ce dernier résultat à (??), on obtient

∀n∈N, n>N ⇒ |v_n−`|62.

On a donc démontré que

∀ >0, ∃N ∈N /∀n∈N, n>N ⇒ |v_n−`|62.

Cela permet d'armer que(v_n) converge vers`.

• Cas où `= +∞ :

SoitA∈R⁺. Comme (un) tend vers+∞,

∃N₀∈N/∀n∈N, n>N₀ ⇒ u_n>4A.

Sin>N₀ alors

vn= u0+· · ·+uN0−1

n+ 1 +uN0+· · ·+un

n+ 1 > u0+· · ·+uN0−1

n+ 1 + 4A×

n−N0+ 1 n+ 1

. (?) Comme lim

n→+∞

n−N₀+1

n+1 = 1 alors

∃N₁ ∈N/ ∀n∈N, n>N₁ ⇒ n−N₀+ 1 n+ 1 > 1

2. (??)

Comme lim

n→+∞

u0+···+u_N0−1

n+1 = 0 alors

∃N₂ ∈N/ ∀n∈N, n>N₂ ⇒ u0+· · ·+u_N0−1

n+ 1 >−A. (? ? ?) On pose alors N = max(N₀, N₁, N₂). En combinant (?), (??) et (? ? ?), on obtient que

∀n∈N, n>N ⇒ v_n>A.

On a donc prouvé que

∀A∈R⁺, ∃N ∈N/∀n∈N, v_n>A.

Cela permet d'armer que lim

n→+∞vn= +∞.

• Cas où `=−∞ :

La suite−utend vers+∞. Par le cas précédent, on en déduit que la suite−v tend vers+∞ (puisque la moyenne des opposés est égale à l'opposé de la moyenne). Par conséquent, v tend vers−∞.

Ce théorème se généralise sans diculté au cas d'une suite complexe.

Remarque I

1.2 Réciproques partielles du théorème de Cesàro La réciproque du théorème de Cesàro est fausse.

En eet, considérons la suite u déni par

∀n∈N, u_n= (−1)ⁿ.

Pour tout n ∈ N, 0 6 vn 6 _n+1¹ . Par le théorème d'encadrement, on en déduit que la suite (vn) converge vers0. En revanche, la suiteuest une suite divergente de seconde espèce et la réciproque du théorème de Cesàro est bien fausse.

Mais, on peut tout de même établir une réciproque partielle au théorème de Cesàro en ajoutant une hypothèse supplémentaire. Trois versions sont proposées.

Soient(un) une suite réelle et posons, pourn∈N,

v_n= u₀+· · ·+u_n n+ 1 .

Si(v_n) tend vers `∈Ret si(u<sub>n</sub>)est monotone alors (u<sub>n</sub>) tend vers`. Théorème 2

Démonstration. Commeuest monotone, par le théorème de la limite monotone, la suiteuadmet une limite`⁰∈R. Par le théorème de Cesàro, on en déduit queu etv tendent vers la même limite et alors

`=`⁰. Par conséquent,u tend vers`.

Soient(un) une suite réelle et posons, pourn∈N,

v_n= u₀+· · ·+u_n n+ 1 . Si(v_n) tend vers `∈Ret siu_n+1−u_n= ◦

n→+∞

1 n

alors(u_n)tend vers `. Théorème 3 : Théorème de Hardy, version faible

Démonstration. Par une transformation d'Abel, nous obtenons :

n

X

k=0

(k(uk+1−uk)) =

n

X

k=0

kuk+1−

n

X

k=0

kuk

=

n+1

X

k=1

(k−1)u_k−

n

X

k=1

ku_k

=−

n

X

k=1

u_k+nun.

Ainsi,

∀n∈N, u_n= n+ 1

n × 1

n+ 1×

n

X

k=0

(k(u_k+1−u_k))−u₀

n +n+ 1

n ×v_n. (?) Or, par hypothèse, lim

n→+∞n(u_n+1−u_n) = 0 donc, par le théorème de Cesàro,

n→+∞lim 1 n+ 1×

n

X

k=0

(k(u_k+1−u_k)) = 0.

En passant à la limite dans (?), nous obtenons que lim

n→+∞u_n=`.

Soient(un) une suite réelle et posons, pourn∈N,

v_n= u₀+· · ·+u_n n+ 1 . Si(vn) tend vers `∈Ret siun+1−un= O

n→+∞

1 n

alors(un)tend vers `. Théorème 4 : Théorème de Hardy, version forte

Démonstration. Posons, pour n∈N,xn=un+1−un. Soient06n < m.

u_n+1+· · ·+u_m

m−n −u_n= 1 m−n×

m

X

i=n+1

(u_i−u_n)

= 1

m−n×

m

X

i=n+1





i−1

X

j=n

(u_j+1−u_j)





= 1

m−n×

m−1

X

j=n





m

X

i=j+1

x_j



=

m−1

X

j=n

m−j m−n ×x_j.

En exploitant que x_n= O

n→+∞

1 n

, on obtient l'existence d'une constante K >0telle que

∀n < m,

u_n+1+· · ·+u_m m−n −u_n

6K×

m−1

X

j=n

m−j m−n×1

j 6K×

m−1

X

j=n+1

1 j.

L'inégalité des accroissements nis permet d'obtenir que

∀j>2, 1

j 6ln(j)−ln(j−1).

Ainsi,

∀n < m,

un+1+· · ·+um

m−n −un

6K×

m−1

X

j=n+1

(ln(j)−ln(j−1))

Puis, par télescopage,

∀n < m,

u_n+1+· · ·+u_m m−n −u_n

6K×ln

m−1 n

.

Par ailleurs, comme ^un+1_m−n^+···+um = ^vm−

n+1 m+1vn

1−ⁿ⁺¹

m+1

, nous obtenons

∀n < m,

vm−_m+1ⁿ⁺¹vn

1−_m+1ⁿ⁺¹ −u_n

6K×ln

m−1 n

. (?)

Par l'inégalité triangulaire, pour tous n < m,

|u_n−`|6

v_m−_m+1ⁿ⁺¹v_n 1− _m+1ⁿ⁺¹ −un

+

v_m−_m+1ⁿ⁺¹v_n 1−_m+1ⁿ⁺¹ −`

6K×ln

m−1 n

+ 1

1−_m+1ⁿ⁺¹ ×

|v_m−`|+ n+ 1

m+ 1× |v_n−`|

6K×ln

m−1 n

+ m+ 1

m−n× |v_m−`|+ n+ 1

m−n× |v_n−`|.

6K×ln

m−1 n

+ m+ 1

m−n×(|v_m−`|+|v<sub>n</sub>−`|). SoitΛ>1. Choisissonsm= 1 +bΛnc. Alors ^m−1_n 6Λ et ^m+1_m−n 6 _Λ−1^Λ donc

∀n∈N, ∀Λ>1, |u_n−`|6Kln(Λ) + Λ + 2

Λ−1 × |v_1+bΛnc−`|+|v<sub>n</sub>−`|

.

Soit >0. Comme lim

Λ→1 Kln(Λ) = 0alors, il existe Λ>1tel que Kln(Λ)6 ₂. Comme lim

n→+∞

m+1

m−n×(|v_m−`|+|v<sub>n</sub>−`|) = 0 alors

∃N ∈N/∀n∈N, n>N ⇒ m+ 1

m−n×(|v_m−`|+|v<sub>n</sub>−`|)6 2. On a donc prouvé que

∀ >0, ∃N ∈N/ ∀n∈N, n>N ⇒ |u_n−`|6. Le suite (u<sub>n</sub>) converge donc vers `.

Le théorème précédent reste valide si `=±∞. Remarque II

1.3 Applications

Exemple 1 : Soit (un) une suite réelle telle que un+1 −un −→

n→+∞ α 6= 0. Donnons un équivalent simple deu_n.

D'après le théorème de Cesàro, 1 n+ 1×

n

X

k=0

(u_k+1−u_k) −→

n→+∞α.

Par télescopage, cela signie que

u_n+1

n+ 1− u₀

n+ 1 −→

n→+∞α.

Ainsi,

un+1

n+ 1 = un+1

n+ 1− u0

n+ 1

| {z }

n→+∞−→ α

+ u0

n+ 1

| {z }

n→+∞−→ 0

n→+∞−→ α.

Puis ^u_n+1ⁿ⁺¹ ∼

n→+∞α. Ainsi, u_n ∼

n→+∞αn .

Exemple 2 : Soit(u_n)une suite de réels strictement positifs telle que u_n+1

u_n −→

n→+∞`∈]0,+∞[. Montrons que

√n

u_n→`.

L'hypothèse permet d'armer que

ln(u_n+1)−ln(u_n) −→

n→+∞ln(`).

En utilisant le théorème de Cesàro, nous obtenons 1

n+ 1×

n

X

k=0

(ln(uk+1)−ln(uk)) −→

n→+∞ln(`).

Par télescopage, cela signie que

ln(un+1)

n+ 1 −ln(u0) n+ 1 −→

n→+∞ln(`).

Ainsi,

ln(u_n+1)

n+ 1 = ln(u_n+1)

n+ 1 −ln(u₀) n+ 1

| {z }

n→+∞−→ ln(`)

+ln(u₀) n+ 1

| {z }

n→+∞−→ 0

n→+∞−→ ln(`).

Ainsi, ^ln(u_nⁿ⁾ −→

n→+∞ln(`)puis, en composant par la fonctionexp, nous obtenons √ⁿ

u_n −→

n→+∞`. 1.4 Versions continues

1.4.1 Version continue numéro 1

Soitf ∈ C⁰([0,+∞[). S'il existe `∈Rtel que lim

x→+∞ f(x) =`alors lim

x→+∞

1 x

Rx

0 f(t)dt=`.

Théorème 5 : Cesàro, version continue 1

Démonstration. Traitons le cas où`∈R, les cas où `=±∞ n'étant pas bien dicile.

Soit >0. Comme lim

x→+∞ f(x) =`alors

∃A>0/ ∀t>0, t>A ⇒ |f(t)−`|6. Ainsi, par l'inégalité triangulaire, six>A alors

1 x

Z _x

0

f(t)dt−`

= 1 x

Z _x

0

(f(t)−`)dt 6 1

x Z A

0

|f(t)−`|dt+ 1 x

Z x A

|f(t)−`|dt

6 1 x

Z A 0

|f(t)−`|dt+ 1 x

Z x A

dt

6 1 x

Z A 0

|f(t)−`|dt+. Or lim

x→+∞

1 x

RA

0 |f(t)−`|dt= 0 alors

∃B >0 /∀x>0, x>B ⇒ 1 x

Z A 0

|f(t)−`|dt6.

On pose C= max(A, B) pour obtenir que

∀x>0, x>C ⇒ 1 x

Z x 0

f(t)dt−` 62.

Cela signie que lim

x→+∞

1 x

Rx

0 f(t)dt=`.

La réciproque de ce théorème est fausse comme le montre l'exemple de la fonction cos. En revanche, elle devient vrai sous l'hypothèse f monotone à l'aide du théorème de la limite monotone.

Remarque III

1.4.2 Version continue numéro 2

Soitf ∈ C⁰([0,+∞[). S'il existe `∈Rtel que lim

x→+∞ f(x+ 1)−f(x) =` alors lim

x→+∞

f(x) x =`. Théorème 6 : Cesàro, version continue 2

Démonstration. Tout d'abord, on peut se ramener au cas où `= 0 en posantf˜(x) =f(x)−`x. Six>2, on a

f(x)

x = f(x−[x])

x + 1

x

[x]−1

X

k=0

(x−[x] +k)

où (x) = f(x+ 1)−f(x). étant continue et tendant vers 0 en +∞, on peut poserA_k= sup

[k,k+1]

||

et armer que lim

k→+∞ A_k = 0. On a

f(x−[x]) x

6 max_[0,1]|f|

x donc, par encadrement, lim

x→+∞

f(x−[x]) x = 0. D'autre part,

1 x

[x]−1

X

k=0

(x−[x] +k)

6 1

[x]−1

[x]−1

X

k=0

A_k

et, comme d'après le théorème Cesàro,

n→+∞lim 1 n

n−1

X

k=0

A_k = 0,

on obtient par composition et encadrement :

x→+∞lim 1 x

[x]−1

X

k=0

(x−[x] +k) = 0.

Finalement, lim

x→+∞

f(x) x = 0.

La réciproque de cette version continue est fausse comme le montre l'exemple de la fonctioncos. Remarque IV

Exemple 3 : La fonction ln est une fonction continue sur ]0,+∞[ vériant ln(1 +x)−, n(x) = ln 1 + ¹_x

x→+∞−→ 0. Le théorème précédent d'applique (le fait que ln ne soit pas déni en 0 ne pose aucun problème puisque l'étude a lieu en+∞).

On retrouve ainsi le résultat de croissance comparée lim

x→+∞

ln(x) x = 0 .

2 Autour du théorème d'Abel

2.1 Le théorème d'Abel

Soitf :x7→P

a_nxⁿ une série entière de rayon de convergence égal à 1. Si la sérieP

a_n converge alorsf possède une limite lorsquex→1⁻ et lim

x→1⁻f(x) =

+∞

X

n=0

a_n. Théorème 7 : Théorème d'Abel

Démonstration. Par le théorème d'interversion limite et somme, pour établir le résultat il sut de prouver que la série de fonction P

a_nxⁿconverge uniformément sur [0,1[. Soientx∈[0,1[etn∈N. Posons

R_n(x) =

+∞

X

k=n+1

a_kx^k etR_n=R_n(1).

Par une transformation d'Abel, nous obtenons R_n(x) =

+∞

X

k=n+1

R_kx^k

!

×(1−x)−R_nxⁿ⁺¹.

Soit >0. Comme (R_n) converge vers0alors

∃N ∈N/∀n∈N, n>N ⇒ |R_n|6. Par conséquent, si n>N alors

|R_n(x)|6

+∞

X

k=n+1

|R_k|x^k×(1−x) +|R_n|xⁿ⁺¹

6

+∞

X

k=n+1

x^k×(1−x) +xⁿ⁺¹

6×xⁿ⁺¹+62.

On a donc démontré que

∀ >0, ∃N ∈N/∀n∈N,∀x∈[0,1[, n>N ⇒ |R_n(x)|6. Cela signie bien que la série de fonctionsP

a_nxⁿconverge uniformément sur [0,1[.

Ce théorème se généralise bien évidement dans le cas d'un rayon de convergence diérent de1. Dans le théorème nous avons montré que la série entièreP

a_nxⁿconvergeait uniformément sur[0,1[. On peut, en réalité, montrer la convergence uniforme deP

a_nzⁿ sur

∆_θ0 =

z∈C /|z|<1et∃ρ >0, ∃ϕ∈[−θ₀, θ₀]/ z = 1−ρe^iϕ pour toutθ0 ∈

0,^π₂ . Remarque V

2.2 Réciproques partielles du théorème d'Abel La réciproque du théorème d'Abel est fausse.

En eet, considérons la suite u déni par

∀n∈N, an= (−1)ⁿ. La série entière P

anxⁿ possède bien un rayon de convergence égal à 1 et, pour tout x ∈]−1,1[, f(x) = _1+x¹ . Ainsi,f possède bien une limite en1⁻. En revanche, la sérieP

an diverge grossièrement puisque son terme général ne converge pas vers0. La réciproque du théorème d'Abel est bien fausse.

Mais, on peut tout de même établir une réciproque partielle au théorème d'Abel en ajoutant une hypothèse supplémentaire. Trois versions sont proposées.

Soitf :x7→P

anxⁿ une série entière de rayon de convergence égal à 1.

Sif possède une limite lorsquex→1⁻ et si la suite(an)est positive alors la série P

an converge et

x→1lim⁻ f(x) =

+∞

X

n=0

an. Théorème 8

Démonstration. Soitx∈[0,1]. Comme la suite (a_k)est positive, nous avons

∀n∈N,

n

X

k=0

a_kx^k6f(x).

En faisant tendre xvers 1⁻, il vient

∀n∈N,

n

X

k=0

a_k6 lim

x→1⁻ f(x).

Par conséquent, la suite des sommes partielles associées à la série de terme général a_k est majorée : c'est donc une série convergente puisque à termes positifs. De plus, en faisant tendrenvers+∞dans l'inégalité précédente, nous obtenons

+∞

X

k=0

a_k6 lim

x→1⁻ f(x).

Par ailleurs, pour tout 06x61.

f(x)6

+∞

X

k=0

a_k.

En faisant tendre xvers 1, nous aboutissons à

x→1lim⁻ f(x)6

+∞

X

k=0

ak.

Par double inégalité, le résultat est établi.

Soitf :x7→P

a_nxⁿ une série entière de rayon de convergence égal à 1. Si f possède une limite lorsque x → 1⁻ et si an = ◦

n→+∞

1 n

alors la série P

an converge et lim

x→1⁻ f(x) =

+∞

X

n=0

a_n.

Théorème 9 : Théorème Taubérien, version faible

Démonstration. Soientn∈Netx∈[0,1[. PosonsM_n= sup

k>n

|k|a_k| |. Par hypothèse, lim

n→+∞M_n= 0. Par ailleurs,

∀k∈N, 1−x^k = (1−x)(1 +x+· · ·+x^k−1)6k(1−x). (?) De plus, en utilisant (?) et la dénition de Mn, nous avons

f(x)−

n

X

k=0

a_k

6

+∞

X

k=n+1

|a_k|x^k+

n

X

k=0

|a_k|(1−x^k)

6

+∞

X

k=n+1

k|a_k| x^k k +

n

X

k=0

|a_k|k

!

×(1−x)

6Mn +∞

X

k=n+1

x^k k +

n

X

k=0

|a_k|k

!

×(1−x)

6 Mn

n

+∞

X

k=n+1

x^k+

n

X

k=0

|a_k|k

!

×(1−x)

6 M_n

n(1−x) +

n

X

k=0

|a_k|k

!

×(1−x).

Choisissonsx=xn= 1−_n¹. Alors _n(1−x)^Mn =Mn −→

n→+∞0. De plus, par le théorème de Cesàro,

n

X

k=0

|a_k|k

!

×(1−xn) =

n

X

k=0

|a_k|k

!

× 1

n+ 1×n+ 1

n −→

n→+∞0.

On a donc prouvé que

n→+∞lim f(xn)−

n

X

k=0

ak= 0.

Par ailleurs,

x→1lim⁻ f(x)−

n

X

k=0

a_k= lim

x→1⁻ f(x)−f(xn) +f(xn)−

n

X

k=0

a_k.

Ainsi, par caractérisation séquentielle de la limite, la suite lim

x→1⁻ f(x)−

n

X

k=0

a_k

!

converge vers 0. On en déduit que la sérieP

an converge et lim

x→1⁻f(x) =

+∞

X

n=0

an.

Soitf :x7→P

a_nxⁿ une série entière de rayon de convergence égal à 1. Si f possède une limite lorsque x → 1⁻ et si an = O

n→+∞

1 n

alors la série P

an converge et lim

x→1⁻ f(x) =

+∞

X

n=0

a_n.

Théorème 10 : Théorème Taubérien, version forte

Démonstration. Quitte à remplacer a0 para0−lim

1⁻ f, on peut supposer quelim

1⁻ f = 0. On introduit le sous-espace vectoriel deF([0,1],R),Θdéni par

θ= (

θ: [0,1]→R /∀x∈[0,1[,

+∞

X

n=0

a_nθ(xⁿ)converge et lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

a_nθ(xⁿ) = 0 )

.

Étape N^o1 : Montrons que pour établir le théorème, il sut de prouver queg=1[¹₂^,1]∈Θ. Remarquons que l'on axⁿ< ¹₂ dès que n >−^ln(2)_ln(x). Dès lors, si l'on pose N_x=j

−^ln(2)_ln(x)k alors

+∞

X

n=0

a_ng(xⁿ) =

Nx

X

n=0

a_n.

Supposons avoir montrég∈Θ. Alors lim

x→1⁻ Nx

X

n=0

a_n= 0. Soit p ∈ N^? et posons xp = exp

−^ln(2)_p

. Notons que lim

p→+∞ xp = 1. Alors, par caractérisation séquentielle de la limite, nous obtenons

p

X

n=0

an=

N_xp

X

n=0

an −→

p→+∞0.

Ainsi, la série P

a_n converge vers0.

Étape N^o2 : Montrons que XR[X]⊂Θ.

Pour montrer ce résultat, il sut de vérier que chaque monômeX^k, pourk∈N^? est dansΘ, puisque Θest stable par combinaison linéaire.

La série entièreP

a_nx^kn converge pour 06x <1 puisque06x^k <1 et que P

a_nxⁿ converge. De plus, par composition de limite, lim

x→1⁻ +∞

X

k=0

a_kx^kn= 0 puisque lim

x→1⁻ +∞

X

k=0

a_kxⁿ= 0. Étape N^o3 : Montrons que

∀P ∈R[X], (1−x)×

+∞

X

n=0

xⁿP(xⁿ) −→

x→1⁻

Z ₁

0

P(t) dt.

Par linéarité, il sut d'établir le résultat lorsqueP est un monôme.

SiP =X^k alors

(1−x)×

+∞

X

n=0

xⁿP(xⁿ) = (1−x)×

+∞

X

n=0

x^1+k

n

= (1−x)× 1 1−x^1+k

= 1

1 +x+· · ·+x^k −→

x→1⁻

1 1 +k =

Z ₁

0

P(t) dt.

Étape N^o4 : Approximation par des polynômes.

Considérer la fonctionh(x) =^g(x)−x_x(1−x). Alorsh(x) = _x−1¹ si06x < ¹₂ eth(x) = ¹_x si ¹₂ 6x61. Soit >0. On approchehpar deux fonctions continuess1 ets2 vériants1 6h6s2etR1

0 s2−s₁6. Puis d'après le théorème de Weierstrass, il existe deux polynômes T₁ etT₂ tels que |T₁−s₁|6 et

|T₂−s₂|6.

On pose enn U1=T1−etU2=T2+. Ainsi nous avonsU1 6h6U2 etR₁

0 U2−U165.

Compte tenu de ce qui vient d'être fait, on poseP₁(x) =x+x(1−x)U₁(x),P₂(x) =x+x(1−x)U₂(x) etQ(x) = ^P2(x)−P_x(1−x)^1(x).

Les polynômes P₁ etP₂ vérient

P1(0) =P2(0) = 0, P1 6g6P2 et06 Z 1

0

Q65.

Étape N^o5 : Preuve du théorème.

Par hypothèse, il existe M ∈ R⁺ tel que, pour tout n∈N, an 6 ^M_n. En utilisant l'étape N^o4, nous obtenons

+∞

X

n=0

ang(xⁿ)−

+∞

X

n=0

anP1(xⁿ)

6

+∞

X

n=0

|a_n| |g−P1|(xⁿ)

6M×

+∞

X

n=0

1

n |P₂−P1|(xⁿ)

6M×

+∞

X

n=0

1

n xⁿ(1−xⁿ)Q(xⁿ).

Or1−xⁿ6n(1−x) donc

+∞

X

n=0

ang(xⁿ)−

+∞

X

n=0

anP1(xⁿ)

6M(1−x)×

+∞

X

n=0

xⁿQ(xⁿ).

Par l'inégalité triangulaire, on en déduit que

+∞

X

n=0

ang(xⁿ)

6

+∞

X

n=0

anP1(xⁿ)

+M(1−x)×

+∞

X

n=0

xⁿQ(xⁿ).

D'après l'étape N^o3, lim

x→1⁻ M(1−x)×

+∞

X

n=0

xⁿQ(xⁿ) =M Z 1

0

Q(t) dt. Or06MR1

0 Q(t)65M , donc, il existeδ1>0tel que

∀x∈[1−δ1,1[, M(1−x)×

+∞

X

n=0

xⁿQ(xⁿ)610M .

De plus, P1 ∈XR[X]. Ainsi, d'après l'étape N^o2, lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

anP1(xⁿ) = 0. Donc, il existe δ2 >0 tel que

∀x∈[1−δ2,1[,

+∞

X

n=0

anP1(xⁿ)

6.

On pose δ= min(δ1, δ2). On a ainsi montré que

∀x∈[1−δ,1[,

+∞

X

n=0

a_ng(xⁿ)

6(1 + 5M).

Ainsig∈Θet le théorème est donc démontré.

2.3 Version continue

Soitf une fonction continue et bornée sur[0,+∞[. On appelle transformée de Laplace def l'applica-

tion L(f) : ]0,+∞[ → R

t 7→ R+∞

0 e^−txf(x) dx.

Dénition A : Transformée de Laplace

Soit t > 0. g :x 7→ e^−txf(x) est une fonction continue sur [0,+∞[ vériant g(x) = ◦

x→+∞

1 x²

. Par conséquent, g est intégrable sur [0,+∞[ puis la quantité L(f)(t) est bien dénie. On en déduit que l'applicationL(f) est correctement dénie.

Remarque VI

Soitf une fonction continue et bornée sur [0,+∞[. SiR+∞

0 f(x)dx converge alors lim

t→0⁺ L(f)(t) =R+∞

0 f(x) dx. Théorème 11 : Abel, version continue

Démonstration. ConsidéronsF :x7→R+∞

x f(t) dt. La fonction F vérie

∀x∈[0,+∞[, F(x) =− Z x

0

f(t)dt+ Z +∞

0

f(t) dt.

Par conséquent, lim

x→+∞F(x) = 0,F est une fonction de classeC¹ vériant F⁰ =−f.

SoitA >0. Les fonctionsu:x7→ −F(x)etv :x7→e^−tx sont de classeC¹ sur le segment [0, A]donc, par intégration par parties,

Z A 0

e^−txf(x) dx=

−e^−txF(x) x=A

x=0

−t Z A

0

e^−txF(x)dx

=F(0)−e^−tAF(A)−t Z A

0

e^−txF(x)dx.

La fonction F est continue et admet une limite en +∞ (donc est bornée) sur [0,+∞[ ainsi, il est possible de passer à la limite quand A tend vers+∞ dans l'égalité précédente pour obtenir

Z +∞

0

e^−txf(x) dx= Z +∞

0

f(x) dx−t Z +∞

0

e^−txF(x) dx.

Soit >0. Comme lim

x→+∞ F(x) = 0 alors

∃B >0/ ∀x∈[0,+∞[, x>B ⇒ |F(x)|6. Ainsi,

t

Z +∞

0

e^−txF(x)dx 6t

Z B 0

e^−tx|F(x)|dx+t Z +∞

B

e^−tx|F(x)|dx

6tB||F||_∞+e^−Bt 6tB||F||_∞+. Or lim

t→0tB||F||∞= 0alors

∃δ >0 /∀t >0, 0< t6δ ⇒ tB||F||_∞6.

On a donc montré que

∃δ >0 /∀t >0, 0< t6δ ⇒ t

Z +∞

0

e^−txF(x) dx 62.

On peut donc armer que lim

t→0⁺ tR+∞

0 e^−txF(x) dx = 0. Par encadrement, on a donc établi que

t→0lim⁺ L(f)(t) =R+∞

0 f(x) dx. Exemple 4 : CalculonsR+∞

0

sin(x) x dx.

Á l'aide d'un prolongement par continuité en0et d'une intégration par parties, on démontré aisément que l'intégrale R+∞

0

sin(x)

x dxconverge.

Par ailleurs, la fonctionx7→ ^sin(x)_x est continue sur[0,+∞[et y est bornée.

Le théorème précédent permet d'armer que lim

t→0⁺ L(f)(t) =R+∞

0

sin(x) x dx.

Le théorème de dérivation sous le signe intégrale permet de montrer queLest de classeC¹ sur]0,+∞[

et

∀t∈]0,+∞[, L(f)⁰(t) =− Z +∞

0

sin(x)e^−xt dx

=−Im

Z +∞

0

e^(−t+i)x

= Im 1

−t+i

=− 1 1 +t². Par conséquent, il existe C∈R tel que pour toutt >0,L(f)(t) =−arctan(t) +C. Le théorème d'interversion limite et intégrale permet de montrer que lim

t→+∞L(f)(t) = 0. Par conséquent,C = ^π₂ et, pour toutt >0,L(f)(t) = ^π₂ −arctan(t) = arctan ¹_t

. On en déduit que R+∞

0

sin(x)

x dx= lim

t→0⁺ arctan ¹_t

= ^π₂.

La réciproque de cette version continue est fausse comme le montre l'exemple de la fonction sin. En revanche, elle devient vrai sous l'hypothèse f(x) = O

x→+∞

1 x

comme c'était le cas pour le théorème Taubérien.

Remarque VII

2.4 Réciproque totale du théorème d'Abel

Soitf :x7→P

anxⁿ une série entière de rayon de convergence égal à 1.

La série P

a_n converge si, et seulement si, f possède une limite nie lorsquex→1⁻ et

n

X

k=0

ka_k= ◦

n→+∞(n). Dans ce cas, lim

x→1⁻ f(x) =

+∞

X

n=0

a_n. Théorème 12

Démonstration. ” ⇒ ”: Le théorème d'Abel permet d'armer que f possède une limite en1⁻. NotonsR_n le reste d'ordrenassociée à la sérieP

a_n. Par une transformation d'Abel, nous obtenons 1

n ×

n

X

k=0

ka_k=R_n+ 1 n×

n−1

X

k=0

R_k.

Le théorème de Cesàro permet de conclure que

n

X

k=0

ka_k= ◦

n→+∞(n).

” ⇐ ” : Pour n∈N, notons An=

n

X

k=0

kak. Par une transformation d'Abel, nous obtenons

n

X

k=0

a_k =a₀+

n

X

k=1

ka_k×1

k =a₀+An

n −

n−1

X

k=1

A_k k(k+ 1). Par le théorème de Cesàro, ^A_nⁿ

converge vers 0. Par conséquent, la série P

a_k converge si, et seulement si, la série P _Ak

k(k+1) converge.

Soitx∈[0,1[. Par une transformation d'Abel, nous obtenons

n

X

k=1

akx^k =a0+

n

X

k=1

kak×x^k

k =a0+Anxⁿ

n −

n−1

X

k=1

Ak

k(k+ 1)x^k+ (1−x)×

n−1

X

k=1

Ak

k+ 1x^k. En faisant tendre nvers+∞, nous obtenons

f(x) =a₀−

+∞

X

k=1

A_k

k(k+ 1)x^k+ (1−x)×

+∞

X

k=1

A_k k+ 1x^k.

Comme lim

k→+∞

Ak

k = 0, on montre que la fonction x7→(1−x)×

+∞

X

k=1

A_k

k+ 1x^k tend vers 0 lorsque x tend vers 1⁻. Comme f possède une limite en 1⁻, on en déduit que la série entière P _Ak

k(k+1)x^k possède une limite en1⁻. Mais _k(k+1)^Ak ◦

k→+∞

1 k

et le théorème de Hardy (faible) permet d'en déduire queP Ak

k(k+1) converge.

Le théorème analogue pour la version continue est valide.

Remarque VIII