ABBA BBCB ''' CBBBBA ''''.' '' LLLL Espaces vectoriels

Espaces vectoriels

1. Axiomes des espaces vectoriels.

2. Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels.

3. Intersections et sommes de sous-espaces.

4. Applications linéaires.

5. Produits directs, sommes directes externes et quotients.

6. Exemples d’espaces vectoriels et d’applications linéaires.

7. Sommes directes, supplémentaires, projecteurs et symétries.

8. Espaces vectoriels d’applications linéaires.

9. Algèbres ; l’algèbre

L L L L

(E) des endomorphismes de E.

10. Notion de module.

Pierre-Jean Hormière ___________

« Soit une multiplicité vectorielle.

Un corps opère seul, abstrait, commutatif... » André Weil

Introduction : de Thalès à Peano.

Voici comment Plutarque, dans Le banquet des sept sages, décrit le théorème attribué à Thalès de Milet (640-546 av. J.C.) : « Après avoir planté le bâton à la limite de l'ombre projetée par la pyramide – et lorsque se formèrent deux triangles à partir du point de contact du rayon de lumière – , tu montras que le rapport entre la pyramide et le bâton était le même que celui existant entre leurs ombres respectives. » Et c’est ainsi que Thalès mesura la hauteur des pyra- mides...

En clair AB

B A '' ₌

' ' ' BB

C

B _{⇒ AB =} ' '

' '.

' C B

BB B

A

« Comme bien sûr son nom l'indique, l'algèbre linéaire a puisé ses sources dans la géométrie classique d'une part, issue de l'optique, et dans la mécanique d'autre part », note avec humour C.-P.

Bruter ¹, qui rappelle que « la notion mathématique de vecteur est due au mathématicien italien Bellavitis en 1830. Nombre de concepts généraux – génération des espaces vectoriels, différents types de produit – furent établis vers 1844 par le mathématicien et philosophe allemand Grassmann (1809-1877). L'axiomatique du mathématicien italien Peano, donné en 1888, complétée par H. Weyl dans l'ouvrage Espace, temps, matière, marque l'achèvement de ce processus. »

Moins polémique, Bourbaki note que « l'algèbre linéaire est à la fois l'une des plus anciennes branches des mathématiques, et l'une des plus nouvelles», et rappelle que l’un de ses points de départ fut la résolution des équations a.x = b et des systèmes d’équations linéaires du premier degré, avant d'ajouter : « Le XIXè siècle, plus qu'aucune autre époque de notre histoire, a été riche en mathématiciens de premier ordre ; et il est difficile en quelques pages, même en se bornant aux

traits les plus saillants, de décrire tout ce que la fusion de ces mouvements d’idées vient produire entre leurs mains. Entre les méthodes purement "synthétiques" d’une part, espèce de lit de Procuste où se mettent eux-mêmes à la torture leurs adeptes orthodoxes, et les méthodes analytiques liées à un système de coordonnées arbitrairement infligé à l'espace, on sent bientôt le besoin d’une espèce de calcul géométrique, rêvé mais non créé par Leibniz, imparfaitement ébauché par Carnot : c’est d’abord l’addition des vecteurs qui apparaît, implicite chez Gauss dans sa représentation géométrique des imaginaires et l’application qu’il en fait à la géométrie élémentaire, développée par Bellavitis sous le nom de "méthode des équipollences", et qui prend sa forme définitive chez Grassmann, Möbius, Hamilton. (...) À la même époque, et parmi les mêmes hommes, s’effectue le passage, si naturel (dès qu’on est engagé dans cette voie) que nous l'avons déjà vu annoncé par Fermat, du plan et de l’espace "ordinaire" à l’espace à n dimensions. »

_____________

1. Axiomes des espaces vectoriels.

Définition : Soit K un corps commutatif d’éléments neutres 0 et 1. On appelle K-espace vectoriel tout ensemble E muni :

• d’une loi interne, additive (x, y) ∈ E²→ x + y ∈ E faisant de E un groupe commutatif ; • d’une loi externe, (λ, x) ∈ K×E →λ.x ∈ E , vérifiant les quatre axiomes :

(EV I) ∀λ ∈ K ∀(x, y) ∈ E² λ.(x + y) = λ.x + λ.y ; (EV II) ∀(λ, µ) ∈ K² ∀x ∈ E (λ + µ).x = λ.x + µ.x ; (EV III) ∀(λ, µ) ∈ K² ∀x ∈ E λ.(µ.x) = (λ.µ).x ; (EV IV) ∀x ∈ E 1.x = x .

Les éléments de E sont les vecteurs,² ceux de K sont les scalaires.

Ne pas confondre 0_K et 0_E, bien qu’on les note tous deux 0.

Commentaires :

La structure d’espace vectoriel comporte donc 8 axiomes (18 en tout si l’on inclut ceux de K), énoncés par Giuseppe Peano en 1888. Les axiomes EVI et II sont les distributivités mixtes de la loi externe par rapport aux additions de K et E ; l’axiome EVIII énonce la compatibilité de la multiplication interne de K avec la loi externe. Géométriquement, les axiomes (EVII à IV) signifient que l’on peut transporter la structure de corps de K sur chacune des droites vectorielles K.x, si x ≠ 0, via la bijection λ → λ.x ; mais cette bijection n’est pas unique : elle dépend de l’unité choisie. L’axiome EVI relie entre elles les droites, et est la forme axiomatique moderne du théorème de Thalès.³

Conséquences des axiomes :

1) On a les identités : λ.(x − y) = λ.x −λ.y , (λ−µ).x = λ.x −µ.x et (

∑

= n

i i 1

λ ^).(

∑

= p

j

xj 1

) =

∑

×

∈[1,][1, ] )

, (

.

p n j i

j ix λ ^. 2) On a l’équivalence : λ.x = 0 ⇔ λ = 0_K ou x = 0_E .

Il en résulte que pour tout x ≠ 0, λ→λ.x est une bijection de K sur (la droite) K.x.

Exercice 1 : Montrer que la commutativité de l’addition des vecteurs découle des 7 autres axiomes.

Exercice 2 : Montrer que R*₊ est un R-espace vectoriel pour les deux lois suivantes :

2 Vecteur vient du latin vector, celui qui transporte, de vehere, porter, qui représente la racine sanscrite vah, porter, conduire.

3 La nécessité de chacun des quatre axiomes est étudiée dans B. Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques (Ellipses).

• addition (x, y) → x⊕y = x.y • multiplication par un scalaire (α, x) →α^ox = x^α . Commentaires ? 2. Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels.

Définition 1 : Soit E un K-espace vectoriel. On dit que le vecteur x est combinaison linéaire des vecteurs x₁, ... , x_n si ∃(λ₁, ... , λ_n) ∈ Kⁿ tel que x =

∑

= n

i i ix

1

λ. . Plus généralement, si (x_i)_i∈I est une famille de vecteurs indexée par l’ensemble I (fini ou infini), on dit que x est combinaison linéaire de (x_i)_i∈I s’il existe une famille (λi)_i∈I à support fini de scalaires telle que x =

∑

∈I i

i i.x

λ

^.

On appelle support de (λi)_i∈I l’ensemble S = { i ∈ I ; λ_i ≠ 0 }, et la somme

∑

∈I i

i i.x

λ

vaut en réalité

∑

i∈S i i.x

λ

. Dire que x est combinaison linéaire de (x_i)_i∈I équivaut à dire que x est combinaison linéaire d’une sous-famille finie de (x_i)_i∈I . Rappelons qu’en algèbre on ne peut effectuer que des sommes finies. La question de l’unicité des scalaires sera examinée plus loin.

Définition 2 : Une partie F de E est dite sous-espace vectoriel de E si F est stable pour les deux lois interne et externe, et est un espace vectoriel pour les lois induites (en abrégé : sev).

Propriétés caractéristiques :

1) Si F est un sev, toute combinaison linéaire de vecteurs de F est un vecteur de F.

2) F est un sev de E ssi : F ≠∅ , ∀(x, y) ∈ F² x + y ∈ F , ∀(λ, x) ∈ K×F λ.x ∈ F .

3) F est un sev de E ssi : F ≠∅ , ∀(x, y) ∈ F² ∀(λ, µ) ∈ K² λ.x + µ.y ∈ F [ou λ.x + y ∈ F] . 4) En 2) et 3), on peut remplacer F ≠∅ , par 0_E ∈ F .

3. Intersections et sommes de sous-espaces vectoriels.

Proposition 1 : Si (F_i)_i∈I est une famille de sev de E,

I

I i

Fi

∈

est un sev vectoriel.

Corollaire : Soit A une partie de E. L’ensemble FFFF = {F ; F sev de E et A ⊂ F} est non vide, car E∈

F F F

F. L’intersection I_F∈FFFFF est un sev de E, et c’est le plus petit sev de E contenant A.

On l’appelle sous-espace vectoriel engendré par A, et on le note Vect(A).

Proposition 2 : i) Si A = ∅ , Vect(A) = {0} ;

ii) Si A = { x₁, ... , x_n }, Vect(A) est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs x_i ; iii) Si A = { x_i ; i ∈ I }, Vect(A) est l’ensemble des combinaisons linéaires de la famille (x_i)_i∈I . Exemples :

1) Fonctions polynomiales.

Soit E le K-espace vectoriel des fonctions de K dans K. Notons e_n : x → xⁿ pour n ∈ N. Les fonctions engendrées par les e_n sont les fonctions polynomiales K → K.

Soit E le K-espace vectoriel des fonctions de K×K dans K. Notons e_m,n : (x, y) → x^m.yⁿ pour m, n

∈ N. Les fonctions engendrées par les e_m,n sont les fonctions polynomiales K×K → K.

Généralisation aux fonctions Kⁿ → K.

2) Polynômes trigonométriques. Soit E le C-espace vectoriel des fonctions continues 2π-pério- diques de R dans C. Soit e : θ → e^inθ pour n ∈ Z. Les fonctions engendrées par les e sont les

polynômes trigonométriques f =

∑

∈Z n

n ne

c . , où (c_n)_n∈Z est à support fini. Comme supp(c_n) ⊂ [−N, N]

pour N assez grand, on peut écrire f = n N

N n

ne

∑

c .

−

=

.

Définition : Soient F₁, ... , F_n des sev de E. On appelle somme des F_i l’ensemble : F₁+ ... + F_n= { x₁+ ... + x_n; (x₁, ... , x_n) ∈ F₁ × ... × F_n}.

Plus généralement, si (F_i)_i∈I est une famille de sev de E, on appelle somme de la famille, et on note

∑

i∈I

Fi , l’ensemble des vecteurs de E de la forme : x =

∑

∈I i

xi , où x_i∈ Fi pour tout i ∈ I , la famille (xi)_i∈I étant à support fini.

Proposition 3 :

∑

∈I i

Fi est le plus petit sous-espace vectoriel contenant les F_i . Autrement dit :

∑

i∈I

Fi = Vect ( i I i

U

F

∈

) .

En résumé, l’ensemble V(E) des sous-espaces vectoriels de E, ordonné par l’inclusion, est un

«ensemble ordonné achevé» — on dit aussi un «treillis complet» — en ce sens que toute famille (F_i)i∈I a une borne inférieure, c’est-à-dire un plus grand minorant : son intersection, et une borne supérieure, c’est-à-dire un plus petit majorant : sa somme.

Exercice 1 : Montrer que V(E) vérifie les identités dites "modulaires" : Pour tous F, G, H ∈ V(E) G ⊂ F ⇒ F ∩ ( G + H ) = ( F ∩ G ) + ( F ∩ H ) = G + ( F ∩ H )

G ⊃ F ⇒ F + ( G ∩ H ) = ( F + G ) ∩ ( F + H ) = G ∩ ( F + H ) Montrer l’implication [ F ∩ ^{G = F} ∩ H , F + G = F + H , G ⊂ H ] ⇒ G = H .

Exercice 2 : Soient U, V, U’ et V’ des sous-espaces vectoriels de E, tels que U ∩ V = U’ ∩ V’.

Montrer que U = ( U + (V ∩ U’) ) ∩ ( U + (V ∩ V’) ).

Exercice 3 : Montrer que si E n’est pas de dimension 0 ou 1, V(E) n’est pas un treillis distributif, i.e.

aucune des lois ∩ et + n’est distributive par rapport à l’autre.

Exercice 4 : Quels sont les éléments minimaux pour l’inclusion de V(E) − {{0}} ? Quels sont les éléments maximaux pour l’inclusion de V(E) − {E} ?

Exercice 5 : Soient F et G deux sev de E. Montrer que F ∪ G est un sev ssi F ⊃ G ou G ⊃ F.

Soit H un sev de E. Montrer que H ⊂ F ∪ G ⇒ H ⊂ F ou H ⊂ G.

Exercice 6 : On suppose le corps K infini. Montrer que, pour qu’une réunion finie de sev de E soit un sev, il faut et il suffit que l’un d’eux contienne tous les autres.

Exercice 7 : 1) Soit (F_n)_n∈N une suite croissante de sev de E. Montrer que ⁿ

N n

U

F

∈

est un sev . 2) Plus généralement, si (F_i)_i∈I est une famille filtrante croissante de sev de E, i

I i

U

F

∈

est un sev. [ Une famille est dite filtrante croissante si : ∀(i, j) ∈ I×I ∃k ∈ I Fi ⊂ Fk et F_j ⊂ Fk].

3) Applications :

a) Montrer que les suites nulles à partir d’un certain rang forment un sous-espace vectoriel de C^N. b) Montrer que les suites u = (u_n) ∈ C^N périodiques forment un sous-espace vectoriel de C^N. En indiquer une ou deux familles génératrices, ainsi qu’une base.

c) Montrer que les suites récurrentes linéaires à coefficients constants forment un sous-espace vectoriel de C^N. En indiquer une base.

4. Applications linéaires.

Définition : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application u : E → F est dite linéaire si : (A) additivité : ∀(x, y) ∈ E² u(x + y) = u(x) + u(y) ;

(H) homogénéité : ∀(λ, x) ∈ K×E u(λ.x) = λ.u(x) .

On parle aussi d’homomorphisme d'espaces vectoriels. Si E = F, on parle d’endomorphisme. Si u est bijective, d’isomorphisme ; si E = F et si u est bijective, d’automorphisme de E.

Exemples : 1) Si α∈ K, l’application h_α : x →α.x est un endomorphisme de E ((H) découle de ce que K est commutatif) ; c’est l’homothétie de rapport α.

2) Si F est un sev de E, l’injection canonique i : F → E est linéaire.

Propriétés des applications linéaires :

1) Les axiomes (A) et (H) équivalent à l’axiome unique :

(L) ∀(λ, µ) ∈ K² ∀(x, y) ∈ E² u(λ.x + µ.y) = λ.u(x) + µ.u(y) ; 2) Si u est linéaire, u(0_E) = 0_F et u(

∑

= n

i i ix

1

λ. ^{) =}

∑

= n

i

i i u x

1

) ( λ. ^.

3) L’additivité n’implique pas, en général, l’homogénéité. Mais elle l’implique dans certains cas : − Si K = Q ou F_p = Z/pZ ( p premier ), qui sont des corps premiers.

− Si E et F sont des R-espaces vectoriels normés et u est continue (par densité de Q dans R).

4) La composée de deux applications linéaires est linéaire ; id_E est linéaire. Ainsi, les K-espaces vectoriels sont les objets d’une catégorie dont les flèches, ou morphismes, sont les applications linéaires.

5) Si u : E → F est un isomorphisme, la bijection réciproque u⁻¹ : F → E est linéaire.

7) L’ensemble des automorphismes de E est un groupe pour la composition : c’est le groupe linéaire de E, noté Gl_K(E) ou Gl(E). Nous verrons plus tard que c’est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau LLLL(E), et qu’en dimension finie, Gl(E) = { u ∈ LLLL(E) ; det u ≠ 0 }.

8) Noyau d’une application linéaire.

Si u : E → F est linéaire, on appelle noyau de u : Ker u = { x ∈ E ; u(x) = 0 } = u⁻¹({0_F}) . C’est un sev de E. De plus : u injective ⇔ Ker u = {0}.

Plus généralement, si M est un sev de F, son image réciproque u⁻¹(M) est un sev de E.

9) Image d’une application linéaire.

Si u : E → F est linéaire, l’image de u est : Im u = { u(x) ; x ∈ E } = { y ∈ F ; ∃x ∈ E y = u(x) }.

C’est un sev de F. De plus : u surjective ⇔ Im u = F.

Plus généralement, si L est un sev de E, son image directe u(L) est un sev de F.

10) Équations linéaires.

Si u : E → F est linéaire, on appelle équation linéaire une équation de la forme (E) u(x) = b , où b est un vecteur de F. On a alors l’alternative suivante :

• Si b ∉ Im u, l’équation est impossible.

• Si b ∈ Im u, il existe x₀ tel que b = u(x₀), et l’ensemble des solutions de (E) est S = x₀ + Ker u.

C’est le sous-espace affine de E de direction Ker u, passant par x₀.

(On appelle sous-espace affine de E le translaté d’un sous-espace vectoriel).

En d’autres termes, la solution générale d’une équation linéaire est la somme d’une solution particulière et de la solution générale de l’équation homogène associée u(x) = 0 .

Exercice 1 : Soient E et H deux espaces vectoriels, F et G deux sous-espaces vectoriels de E,

u : F → H et v : G → H deux applications linéaires coincidant sur F ∩ G. Montrer qu’elles se prolongent de manière unique en une application linéaire w : F + G → H. ⁴

Exercice 2 : Noyaux.

Soient u une application linéaire E → F, i : Ker u → E l’injection canonique. Démontrer que u o i = 0 et que, pour toute application linéaire f : G → E telle que u o f = 0, il existe une unique application linéaire g : G → Ker u telle que f = i o g. ⁵

Exercice 3 : Suites exactes.

Soient E, F, G trois espaces vectoriels, u : E → F et v : F → G deux applications linéaires.

On dit que E → F → G est une suite exacte si Im u = Ker v.

Plus généralement, les applications linéaires u_i : E_i→ Ei+1 (1 ≤ i ≤ n) forment une suite exacte si, pour tout i, Im u_i = Ker u_i+1.

Lorsque E ou F est réduit à {0}, l’application u : E → F est l’application nulle.

1) Soit u : E → F linéaire. Quand les suites

{0} → E → F , E → F → {0} , {0} → E → F → {0} sont-elles exactes ? 2) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E,

u : x ∈ F ∩ G → (x, −x) ∈ F×G et v : (x, y) ∈F×G → x + y ∈ F + G.

Montrer que {0} → F ∩ G → F×G → F + G → {0} est une suite exacte.

3) Soit u : (x₁, x₂) ∈ K²→ (x₂, 0) ∈ K². Vérifier que (u, u) est une suite exacte.

4) Soient u : (x₁, …, x_n) ∈ Kⁿ→ (x₁, x₁ + x₂, x₂, x₂ + x₂, x₃, …, x_n−1, x_n−1 + x_n, x_n) ∈ K²ⁿ⁻¹ et v : (y₁, …, y_2n−1) ∈ K²ⁿ⁻¹ → (y1 − y2 + y₃, y₃ − y4 + y₅, …, y_2n−3 − y_2n−2 + y_2n−1) ∈ Kⁿ⁻¹ Montrer que {0} → Kⁿ → K²ⁿ⁻¹ → Kⁿ⁻¹ → {0} est une suite exacte.

5) Soient u : c ∈ K → (c, c, …, c) ∈ Kⁿ et v : (x₁, …, x_n) ∈ Kⁿ→ (x₂− x₁, x₃− x₂, …, x_n − x_n−1)

∈ Kⁿ⁻¹. Montrer que {0} → K → Kⁿ→ Kⁿ⁻¹→ {0} est une suite exacte.

6) Compléter v : (x₁, …, x_n) ∈ Kⁿ → (x3 − 2x2 + x₁, x₄ − 2x3 + x₂, …, x_n − 2x_n−1 + x_n−2) ∈ Kⁿ⁻² en une suite exacte. Idem pour y ∈ C¹(I, R) → y’ − y ∈ C⁰(I, R) ( I intervalle de R ).

7) Soient U un ouvert étoilé de R³,

grad : f ∈ C²(U, R) → grad f ∈ C¹(U, R³) où grad f = ( x

∂f

∂ _, y

∂f

∂ _, z

∂f

∂ )

Si V est un champ de vecteurs M(x, y, z) ∈ U → V (M) = (A(M), B(M), C(M)) ∈ R³, on appelle rotationnel de ce champ de vecteurs le champ de vecteurs défini par :

(∀M ∈ U) Rot(V)(M) =

(

y

∂C

∂ ₋ z

∂B

∂ _, z

∂A

∂ ₋ x

∂C

∂ _, x

∂B

∂ ₋ y

∂A

∂

)

et divergence de ce champ de vecteurs le champ scalaire défini par : (∀M ∈ U) div(V )(M) =

x

∂A

∂ ₊ y

∂B

∂ ₊ z

∂C

∂ _.

Démontrer que f → grad f , V_→ Rot(V) et V _→ div(V ) forment une suite exacte.

4 Ce résultat s’applique aux intégrales de Riemann et Newton ; w est alors restriction de l’intégrale de Henstock.

5 En théorie des catégories, le noyau de u n’est pas Ker u mais l’injection canonique de Ker u dans E.

Exercice 4 : Grand lemme des cinq.

On considère le diagramme suivant : E₁

→

^E2

→

^E3

→

^E4

→

^E5

f₁

↓

^f2

↓

^f3

↓

^f4

↓

^f5

↓

E’₁

→

^E’2

→

^E’3

→

^E’4

→

^E’5

formé d’espaces vectoriels et d’applications linéaires u_i : E₁

→

^E2 et u’_i : E_i

→

^Ei+1.

On suppose que ses lignes sont exactes, en ce sens que (∀i) Ker u_i+1 = Im u_i et Ker u’_i+1 = Im u’_i, et que le diagramme est commutatif, i. e. : (∀i) f_i+1o u _i = u’_io f _i .

1) Montrer que si f₂ et f₄ sont injectives, et f₁ surjective, alors f₃ est injective ; 2) Montrer que si f₂ et f₄ sont surjectives, et f₅ injective, alors f₃ est surjective ; 3) En déduire que si f₁ , f₂ , f₄ et f₅ sont bijectives, alors f₃ aussi.

5. Produits directs, sommes directes externes et quotients.

5.1. Produits d’espaces vectoriels.

Proposition 1 : Soit (E_i)_i∈I une famille de K-espaces vectoriels. Le produit cartésien

∏

_i∈I ^{Ei est un}

espace vectoriel pour les lois : (x_i)i∈I + (yⁱ)i∈I = (xⁱ + y_i)i∈I et λ.(x_i)i∈I = (λ.x_i)i∈I . On l’appelle espace vectoriel produit de la famille (E_i)_i∈I .

Chacune des projections p_i : (x_i)i∈I → x_i est linéaire surjective de

∏

_∈I

i

Ei dans E_i . Proposition 2 : propriété universelle du produit direct.

Pour tout espace vectoriel F et toute famille (u_i)i∈I d’applications linéaires ui : F → E_i , il existe une application linéaire u : F →

∏

_i∈I ^Ei et une seule, telle que : (∀i ∈ I) p_io u = u_i .

Preuve : Il ne peut s’agir que de u(y) = (u_i(y))i∈I . La vérification est aisée.

5.2. Sommes directes externes d’espaces vectoriels.

Ce § abstrait est à réserver à une seconde lecture. Il éclaire les développements du § 7, et mieux vaut le lire après le § 7.4.

Proposition 3 : Soit (E_i)_i∈I une famille de K-espaces vectoriels, P =

∏

_i∈I ^Ei le produit cartésien de cette famille. L’ensemble S des familles (x_i)i∈I de P à support fini est un sous-espace vectoriel de P.

On l’appelle somme directe externe de la famille (E_i)_i∈I , et on le note S = ⊕_i∈I E_i ou C_i∈I E_i . Notons que lorsque I est fini, S = P ; les notions de produit et de somme directe se confondent.

Pour tout i ∈ I, soit s_i l’application qui à x_i∈ E_i associe l'élément x de E tel que : p_i(x) = x_i et p_j(x) = 0 pour j ≠ i .

s_i est une injection linéaire de E_i dans S, appelée injection canonique. Son image est le sous-espace E'_i de S formé des familles x = (x_j)j∈I telles que x^j = 0 pour j ≠ i .

On peut écrire : ∀x = (x_i)i∈I ∈ P x = (x_j)j∈I =

∑

_i∈I s_i(x) =

∑

_i∈I s_i(p_i(x)) . Proposition 4 : propriété universelle de la somme directe.

Pour tout espace vectoriel G et toute famille (u_i)i∈I d’applications linéaires uⁱ : E_i → G, il existe une application linéaire u : S = ⊕_i∈I E_i→ G et une seule, telle que : (∀i ∈ I) u o s_i = u_i .

Preuve : Il ne peut s’agir que de u : x = (x_i)i∈I → u(x) =

∑

∈I i

i i x

u( ); cette somme a bien un sens, puisqu’à support fini. La vérification est aisée. Cette propriété est duale de celle des produits directs.

Le lien entre les notions de somme directe interne et externe est facile à comprendre : la somme directe externe S = ⊕_i∈I E_i est aussi la somme directe interne des sous-espaces E'_i , qui sont isomorphes resp. aux espaces E'_i : S = ⊕_i∈I E'_i . La confusion des notations ⊕ est sans danger.

La notion de somme directe externe sert à fabriquer des espaces vectoriels abstraits, pour les besoins des algébristes. Considérons par exemple l’espace FFFF(R, R) des fonctions R → R et l’espace FFFF(R², R) des fonctions R² → R. Leur somme directe externe n’est autre que leur produit. Les éléments de cet espace sont donc les couples (f, g), notés aussi f + g , c’est-à-dire (f, 0) + (0, g), formés d’une fonction d’une variable et d’une fonction de deux variables. Mais bien entendu, il est impossible d’ajouter concrètement une fonction d’une variable et une fonction de deux variables ! Autrement dit, f + g existe en tant que vecteur, non que fonction, et

F F F

F_{(R, R) ⊕} FFFF(R², R) existe en tant qu’espace vectoriel abstrait, non comme espace de fonctions.

5.3. Espaces vectoriels quotients.

Définition 1 : Soit E un K-ev, F un sev de E. Les vecteurs x et y de E sont dits congrus modulo F, et on écrit x ≡ y ( mod F ), ssi x − y ∈ F.

Proposition 5 : La congruence modulo F est une relation d’équivalence dans E, compatible avec sa structure vectorielle, en ce sens que :

• x ≡ y ( mod F ) et x' ≡ y' ( mod F ) ⇒ x ≡ y ( mod F ) • x ≡ y ( mod F ) ⇒ (∀λ) λ.x ≡λ.y ( mod F ) .

Notons x = s(x) la classe de x. L’ensemble quotient de E par cette relation, muni des deux lois, l’une additive interne, x+y = s(x + y) , l’autre externe : λ.x = s(λ.x), est un K-ev, appelé espace vectoriel quotient de E par F, et noté E/F.

L’application s : x → x est une surjection linéaire de E sur E/F, de noyau F.

Remarque : Réciproquement, on montre que toute relation d’équivalence compatible avec la structure vectorielle de E est de la forme x ≡ y ( mod F ), où F est un sev de E (à savoir la classe du vecteur 0).

Description géométrique de E/F.

Comme tout ensemble quotient d’un ensemble par une relation d’équivalence, E/F est à la fois un ensemble de vecteurs, et un ensemble de parties de E. La classe de x est x= x + F : c’est le sous-espace affine parallèle à F et translaté de F par le vecteur x. Ces sous-espaces affines s’ajoutent et se multiplient par un scalaire, en un sens illustré par les figures ci-contre.

Intérêt de la notion de quotient. Les espaces vectoriels quotients ne sont pas indispensables, en ce sens que E/F est isomorphe à tout supplémentaire de F dans E. En revanche,

dans le cadre plus général des modules, on ne peut se passer des quotients, un sous-module n’admettant pas toujours de supplémentaire. Par exemple, dans Z considéré comme Z-module, les seuls sous-modules ayant un supplémentaire sont {0} et Z, les autres étant les nZ (n ≥ 2).

En algèbre, les quotients servent souvent à mesurer des « obstacles », des « écarts ». Par exemple, soient E un espace vectoriel, A une sous-algèbre de LLLL(E). Soit B le sous-espace vectoriel de A engendré par les endomorphismes uov − vou, où u et v décrivent A. L’espace quotient A/B est réduit à {0} ssi A est commutative. Dans le cas général, il mesure l’écart à la commutativité de A. Mais l’exemple le plus important est celui des modules d’homologie.

Voici un important exemple d’espace quotient, rencontré en analyse :

Soit E l’espace vectoriel des suites réelles, F le sev des suites nulles à partir d’un certain rang.

Deux suites sont congrues modulo F ssi elles sont égales à partir d’un certain rang : on appelle germe de la suite x = (x_n) sa classe modulo F. Ce qu’on appelle propriété locale ou asymptotique d’une suite est une propriété qui ne dépend que de son germe : ainsi, le fait d’être bornée, convergente, convergente en moyenne de Cesàro, ou d’être le terme général d’une série convergente.

La limite, les limites supérieure et inférieure, l’ensemble des valeurs d’adhérence, les équivalents et développements asymptotiques sont des propriétés locales.

Factorisation canonique d’une application linéaire.

Soit u : E → F linéaire. Notons s : E → E/Ker u la surjection et i : Im u → F l’injection canoniques. La classe x = s(x) de x modulo Ker u est l’ensemble des vecteurs congrus à x modulo Ker u, i.e. ayant même image que x par u. Cette image u(x), ne dépend que de x : notons-la b(x).

b : E/Ker u → Im u est une bijection linéaire, et u(x) = b(x) (∀x ∈ E).

En d’autres termes, on a la factorisation u = i o b o s , dite canonique, de u.

Exercice 1 : Conoyau.

Soient u : E → F linéaire, s la surjection canonique s : F → F/Im u. ( F/Im u est le conoyau de u ).

Démontrer que s o u = 0 et que, pour toute application linéaire f : F → G telle que f o u = 0, il existe une unique application linéaire g : F/Im u → G telle que f = g o s.

Exercice 2 : 1) Soit u : E → F linéaire, L un sev de E inclus dans Ker u, s : E → E/L la surjection canonique. Montrer qu’existe une et une seule application linéaire u : E/L → F telle que uo s = u.

2) Plus généralement soient u : E → F linéaire, L un sev de E, M un sev de F, tels que u(L) ⊂ M.

Si s : E → E/L et t : F → F/M sont les surjections canoniques, montrer qu’il existe une application linéaire et une seule u : E/L → F/M telle que t o u = uo s.

Exercice 3 : Soient F et G deux sev de E. Construire un isomorphisme ( F + G )/F ↔ G/(F ∩ G) . Exercice 4 : Nouveaux exemples de suites exactes.

1) Si F est un sous-espace vectoriel de E, i l’injection canonique F → E et s la surjection canonique E → E/F , montrer que {0} → F → E → E/F → {0} est une suite exacte.

2) Si u est linéaire de E dans F, {0} → Ker u → E → F → F/Im u → {0} est une suite exacte.

6. Exemples d’espaces vectoriels et d'applications linéaires.

6.1. Un peu de géométrie !

Considérons le plan vectoriel réel euclidien de la géométrie élémentaire. Il ne sera défini rigou- reusement que dans plusieurs chapitres, mais il a déjà été vu intuitivement dans les petites classes, où l’on fait des mathématiques. Il est d’ailleurs illusoire, et d’un intérêt limité, de présenter les mathé-matiques dans un ordre rigoureusement linéaire.

On connaît diverses applications linéaires du plan dans lui-même. Citons :

• les projecteurs sur les droites. Dans un repère convenable B _{= (e1, e2}), non nécessairement orthonormé, ils sont donnés par p : x = x₁.e₁ + x₂.e₂ → x₁.e₁ .

• les dilatations ou affinités. Elles sont données, sous les mêmes conditions, par :

Lorsque a = b, on retrouve les homothéties.

• les rotations. Elles sont données, dans un repère orthonormé BB BB_{= (e1, e2}), par les formules : r : x = x₁.e₁ + x₂.e₂ → r(x) = [x₁.cos θ− x₂.sin θ].e₁ + [x₁.sin θ + x₂.cos θ].e₂ . Plus généralement, les homothéties-rotations sont de la forme λ.r. Elles ont pour formules :

f : x = x₁.e₁ + x₂.e₂ → f(x) = (a.x₁− b.x₂).e₁ + (b.x₁ + a.x₂.).e₂ . • les symétries orthogonales par rapport aux droites. Elles ont pour formules :

s : x = x₁.e₁ + x₂.e₂ → s(x) = [x₁.cos θ + x₂.sin θ].e₁ + [x₁.sin θ− x₂.cos θ].e₂ . 6.2. Espaces vectoriels Kⁿ , applications linéaires de K^p dans Kⁿ.

L’ensemble Kⁿ muni des deux lois :

(x₁, ... , x_n) + (y₁, ... , y_n) = (x₁ + y₁, …, x_n + y_n) et λ.(x1, ... , x_n) = (λ.x1, ... , λ.xn) est un espace vectoriel. Notons e₁= (1, 0, ... , 0) , e₂ = (0, 1, 0, ... , 0) , ... , e_n = (0, ... , 0, 1).

Le vecteur x = (x₁, ... , x_n) s’écrit x = x₁.e₁ + ... + x_n.e_n , la décomposition étant unique.

(e₁, ... , e_n) est une base de Kⁿ, dite base canonique.

Soit A =













n np p

α α

α α

...

...

...

...

...

...

1 1 11

un tableau de n×p scalaires rangés selon n lignes et p colonnes.

L’application u : x = (x₁, ... , x_p) ∈ K^p→ y = (y₁, ... , y_n) ∈ Kⁿ définie par :  y₁= α11.x₁ + ... + α1p.x_p

 . . . est linéaire. A est appelée matrice de u.

 y_n= α_n1.x₁ + ... + α_np.x_p

Réciproquement, toute application linéaire u : K^p → Kⁿ est de la forme précédente, car si (e₁, ... , e_p) est la base canonique de K^p , alors :

∀x = (x₁, ... , x_p) ∈ K^p x = x₁.e₁+ ... + x_p.e_p ⇒ u(x) = x₁.u(e₁) + ... + x_p.u(e_p) ; il reste à poser u(e_j) = (α1j, ... , αnj) .

Pour des raisons qui apparaîtront plus tard, mieux vaut écrire les vecteurs en colonne.

Remarque : La forme analytique ci-dessus montre que les applications linéaires sont des cas parti- culiers d’applications polynomiales. L’application

u : x = (x₁, ... , x_p) ∈ K^p → y = (y₁, ... , y_n) ∈ Kⁿ

est dite polynomiale si l’on a y_i = P_i(x₁, ... , x_p) pour 1 ≤ i ≤ p , où P_i est une fonction polynomiale K^p → K. Les applications linéaires sont alors les applications polynomiales homogènes de degré 1.

6.3. Sous-corps, restriction du corps des scalaires.

Soient L un corps commutatif, K un sous-corps de L. L peut être considéré comme un K-espace vectoriel pour les deux lois : (x, y) ∈ L×L → x + y ∈ L , (λ, x) ∈ K×L →λ.x ∈ L ,

cette loi externe étant la restriction à K×L de la multiplication interne de L. Ainsi : • C est un R-espace vectoriel [ de dimension 2, car (1, i) est une R-base de C ] ; • C et R sont des Q-espaces vectoriels [ de dimension infinie ] ;

• Q[ 2] = { a + b 2 ; (a, b) ∈ Q² } est un Q-espace vectoriel de dim 2, de Q-base ( 1, 2) ; • Q[ 2, 3] = { a + b 2 + c 3 + d 6; (a, b, c, d) ∈ Q⁴ } est un Q[ 2]-espace vectoriel de dim 2, de Q[ 2]-base ( 1, 3), et un Q-espace vectoriel de dim 4, de Q-base ( 1, 2, 3, 6) .

• Tout corps K de caractéristique p peut être muni d’une structure de Fp-espace vectoriel. En effet, en tant que groupe additif, K est naturellement muni d’une loi externe (n, x) ∈ Z×K → n.x ∈ K.

Comme m ≡ n ( mod p ) ⇒ m.x = n.x , n.x ne dépend que de la classe n de n modulo p. Si l’on note n.x = n.x, on définit une loi externe (n, x) ∈ Fp×K → n.x ∈ K vérifiant les axiomes (EVI à IV).

Soient L un corps commutatif, K un sous-corps de L. Si E est un L-espace vectoriel, l’ensemble E, muni de l’addition (x, y) → x + y et de la loi externe induite (λ, x) ∈ K×E → λ.x ∈ E, est un K- espace vectoriel, noté E_(K) dit déduit de E par restriction à K du corps des scalaires.

Toute application L-linéaire u : E → F "est" une application K-linéaire u_(K) : E_(K)→ F_(K) . Ainsi, tout C-espace vectoriel "est" un R-espace vectoriel, un Q-espace vectoriel, mais aussi un Q[ 2]-espace vectoriel, etc. C² est un C-espace vectoriel de dimension 2, de C-base (1, 0), (0, 1), et un R-espace vectoriel de dimension 4, de R-base (1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i).

Remarque : La restriction du corps des scalaires est, assez curieusement, source de résultats profonds (théorie de Galois, etc.). S’il est facile de restreindre le domaine des scalaires, il est moins facile de l’augmenter : c’est l’objet de la théorie de la complexification d’un R-espace vectoriel, etc.

6.4. Espaces fonctionnels.

Soit X un ensemble ; l’ensemble FFFF(X, K) = K^X des fonctions de X dans K, est un K-espace vectoriel pour les lois ponctuelles : f + g : x → f(x) + g(x) , λ.f : x →λ.f(x) .

Plus généralement, si E est un K-espace vectoriel, FFFF(X, E) est un K-espace vectoriel pour ces lois.

Espaces de suites.

FFFF_{(N, K) = K}^N n’est autre que l’espace S des suites x = (x_n)_n∈N à éléments dans K.

Lorsque K = R ou C il admet des sev bien connus, dans l’ordre décroissant pour l'inclusion : • le sev B des suites bornées ; en notations de Landau, B = O(1).

• le sev C des suites convergentes ;

• le sev C₀ des suites convergeant vers 0 ; en notations de Landau, C₀ = o(1).

• le sev C00 des suites nulles à partir d’un certain rang . On a C₀₀ ⊂ C₀ ⊂ C ⊂ B ⊂ S.

Si l’on note O(n^k) l’ensemble des suites dominées par n^k, on obtient une classification plus fine : C₀₀ ⊂ … ⊂ O(1/n^k) ⊂ … ⊂ O(1/n²) ⊂ O(1/n) ⊂ C0 ⊂ C ⊂ B = O(1) ⊂ O(n) ⊂ O(n²) ⊂ … ⊂ O(n^k)

⊂ … ⊂ S.

U

0

) (

≥ k

nk

O est l’espace vectoriel des suites dites « à croissance modérée ou polynomiale » (attention, ces suites ne sont par forcément croissantes).

I

0

) / 1 (

≥ k

nk

O est l’espace vectoriel des suites dites à « décroissance rapide » (de même, elles ne sont pas forcément décroissantes).

Classification de Cauchy des fonctions continues.

Dans son Cours d'analyse de l'École polytechnique (1794), Lagrange nomme « analytiques » les fonctions de l’analyse : terme vague désignant à la fois les fonctions développables en série entière, continues, dérivables, ou simplement les fonctions « usuelles », c’est-à-dire composées des fonctions élémentaires connues. Il faudra attendre le Cours d'analyse de Cauchy (1821) pour que ces notions commencent à être cernées et distinguées, conduisant à une classification des fonctions continues selon leur régularité croissante. Soit I un intervalle de R ; notons :

• C^k(I, R) l’espace vectoriel des fonctions de classe C^k, i.e. k fois dérivables et à dérivées

On alors la chaîne d’inclusions strictes :

C⁰(I, R) ⊃ D¹(I, R) ⊃ C¹(I, R) ⊃ ... ⊃ C^k(I, R) ⊃ D^k+1(I, R) ⊃ C^k+1(I, R) ⊃ ... ⊃ C^∞(I, R) où C^∞(I, R) =

I

N k∈

C^k(I, R) =

I

N k∈

D^k(I, R) est l’espace des fonctions C^∞ sur I.

C^∞(I, R) contient strictement l’espace des fonctions dse, lequel contient à son tour les expo- nentielles-polynômes, les polynômes, etc.

L’application f → f ' est linéaire de C^k+1(I, R) dans C^k(I, R) et de D^k+1(I, R) dans D^k(I, R), et elle induit un endomorphisme de C^∞(I, R) .

Exercice : Soient I un intervalle non trivial de R, a un point de I.

Montrer que u : f ∈ C¹(I, R) → ( f’, f(a)) ∈ C⁰(I, R) × R

et v :(g , c) ∈ C⁰(I, R) × R → F ∈ C¹(I, R) , où ∀x ∈ I F(x) = c +

∫

_a^{xg ).(t dt}

sont deux isomorphismes réciproques l’un de l’autre.

Classification de Baire des fonctions discontinues.

Au tournant du XX^e siècle, René Baire (1874-1932) a classifié les fonctions discontinues selon leur complexité croissante, à l’aide des ordinaux de Cantor.

Soit I un intervalle de R. Définissons par récurrence les espaces suivants :

• C⁽⁰⁾(I, R) est l’espace vectoriel des fonctions continues de I dans R dites de classe 0 ;

• C^(k+1)(I, R) est l’espace des fonctions qui sont limites simples sur I de suites de fonctions de classe k. On définit ainsi une suite croissante de sev de FFFF_{(I, R) :}

C⁽⁰⁾(I, R) ⊂ C⁽¹⁾(I, R) ⊂ ... ⊂ C^(k)(I, R) ⊂ C^(k+1)(I, R) ⊂ ...

Par exemple, on peut montrer que la fonction de Dirichlet 1_Q appartient à C⁽²⁾(R, R) − C⁽¹⁾(R, R). La réunion C^ω(I, R) =

U

N k

Ck

∈ )(

( I, R) est formée de fonctions déjà très discontinues, mais on peut réïtérer ce procédé et définir C^ω+1(I, R) comme l’ensemble des fonctions qui sont limites simples de suites de fonctions appartenant à C^ω(I, R), etc. En réitérant ceci transfiniment, on obtient les fonctions de Baire générales, qui sont aussi les fonctions boréliennes. Au-delà, on trouve les fonctions sousliniennes, etc.

Classification des fonctions intégrables.

Soit I = [a, b] un segment de R. On a les inclusions :

EscEscEsc(Esc_{I, R) ⊂} CMCMCMCM_{(I, R) =} EscEscEscEsc_{(I, R) +} CCCC_{(I, R) ⊂} RRRR_{(I, R) ⊂} RiemRiemRiemRiem_{(I, R) ⊂} LLLL_{(I, R) ⊂} HHHH(I, R) CCCC_{(I, R) ⊂}

Esc Esc Esc

Esc_(I,R) : fonctions en escaliers RRRR_(I,R) : fonctions réglées C

C C

C_(I,R) : fonctions continues RiemRiemRiemRiem_(I,R) : fonctions Riemann-intégrables CM

CM CM

CM_(I,R) : fonctions continues par morceaux LLLL_{(I, R}) : fonctions Lebesgue-intégrables H

H H

H_(I,R) : fonctions Henstock-intégrables

L’application f →

∫

_a^{bf ).(x dx} est une forme linéaire que l’on construit par des prolongements successifs de plus en plus sophistiqués à mesure que l’on généralise la théorie.

Soit K : I × I → R une fonction continue. L’application :

T : f → F définie par F(x) =

∫

_a^{bK(x,t).f(t).dt (∀x ∈} I) est un endomorphisme de C(I, R).

Indeed T est linéaire (facile), et F est continue. Cela découle de l’uniforme continuité de K (Heine):

(∀ε > 0) (∃η > 0) ∀(x, t) ∈ I ² ∀(x', t') ∈ I² | x − x' | ≤ η et | t − t' | ≤ η ⇒ | K(x, t) − K(x', t') | ≤ ε.

Alors | x − x' | ≤η ⇒ | F(x) − F(x') | ≤ ^bK xt K x t f t dt

a ( ,) ( ,'). ().

∫

^{− ≤ ε}

∫

_a^{b f(t).dt.}

K est appelé noyau de la transformation intégrale T.

7. Sommes directes, sous-espaces supplémentaires, projecteurs et symétries.

7.1. Somme directe de deux sous-espaces ; sous-espaces supplémentaires.

Définition 1 : Les deux sous-espaces vectoriels F₁ et F₂ de E sont dits en somme directe si :

∀x ∈ F1 + F₂ ∃!(x1 , x₂) ∈ F1× F2 x = x₁ + x₂ .

La somme F₁ + F₂ s’appelle alors somme directe (interne) de F₁ et F₂ et se note F₁⊕ F₂ . Caractérisations de la somme directe :

1) F₁ et F₂sont en somme directe si et seulement si F₁∩ F₂= {0} .

2) L’application s : (x₁ , x₂) ∈ F₁×F₂ → x₁ + x₂ ∈ E est linéaire. Son image est F₁ + F₂ , son noyau est isomorphe à F₁ ∩ F₂ via x ∈ F₁ ∩ F₂ → (x , −x) ∈ Ker(s). F₁ et F₂ sont en somme directe si et seulement si s est un isomorphisme.

Définition 2 : Les sous-espaces vectoriels F₁ et F₂ de E sont dits supplémentaires si : ∀x ∈ E ∃!(x₁ , x₂) ∈ F₁× F₂ x = x₁ + x₂ .

autrement dit si E = F₁ ⊕ F₂ . Propriétés :

1) F₁ et F₂sont supplémentaires si et seulement si E = F₁ + F₂ et F₁ ∩ F2= {0} .

2) F₁ et F₂sont supplémentaires ssi s : (x₁ , x₂) ∈ F1×F2 → x1 + x₂ ∈ E est un isomorphisme.

3) Si E = F₁⊕ F₂ , les applications p₁ : x → x₁ et p₂ : x → x₂ sont des endomorphismes de E appelés resp. projecteurs sur F₁ parallèlement à F₂ (sur F₂ parallèlement à F₁). Ils vérifient :

F₁= Im p₁ = Ker p₂ , F₂ = Im p₂ = Ker p₁ ,

p₁² = p₁ , p₂² = p₂ , p₁ o p₂ = p₂ o p₁ = 0 , p₁ + p₂ = id_E . Par factorisation canonique, p₂ définit un isomorphisme naturel de E/F₁ sur F₂.

4) Supposons K de caractéristique ≠ 2. Les applications s₁ : x → x₁ − x₂ et s₂ : x → x₂ − x₁ sont des automorphismes de E, appelés resp. symétries par rapport à F₁ parallèlement à F₂ (à F₂ parallè- lement à F₁). Elles vérifient :

s₁² = s₂² = id_E , s₂ = − s₁

F₁ = Ker(s₁ − id_E) = Ker(s₂ + id_E) , F₂ = Ker(s₂ − id_E) = Ker(s₁ + id_E) . Exemples :

1) FFFF(R, R) est somme directe du sev P des fonctions paires et du sev IIII des fonctions impaires.

Par exemple l’exponentielle se décompose en : exp = ch + sh .

2) Idem pour les polynômes, les fractions rationnelles (si K de caractéristique ≠ 2).

À noter que cela s’écrit : K[X] = K[X²] ⊕ X.K[X²] et K(X) = K(X²) ⊕ X.K(X²).

3) Soit B∈K[X]−{0} de degré n. On a K[X] = B.K[X] ⊕ K_n−1(X) (c’est la division euclidienne).

Horresco referens ! 1) Ne pas confondre supplémentaire et complémentaire.

Le complémentaire d’un sev n’est jamais un sev : il ne contient pas 0 ! 2) Ne jamais dire : « Soit F₂ le supplémentaire de F₁ dans E » ,

De même, ne pas dire : « Soit p le projecteur sur F₁ » , mais : « Soit p un projecteur sur F₁ » , ou bien : « Soit F₂ un supplémentaire de F₁ dans E, et p le projecteur sur F₁ parallèlement à F₂ ».

En effet, un sev admet en général plusieurs supplémentaires, et est l’image de plusieurs projecteurs. En algèbre linéaire pure, aucun de ces supplémentaires, aucun de ces projecteurs n’est plus intéressant que les autres. En revanche, si E est un espace vectoriel euclidien ou hermitien, on choisira le supplémentaire orthogonal de F₁, resp. l’orthoprojecteur sur F₁.

3) Si E = E₁⊕ E₂ , et si F est un sev de E, il n’est pas vrai en général que : F = ( F ∩ E₁ ) ⊕ ( F ∩ E₂ ) .

Exercice 1 : Montrer que c’est vrai si F contient l’un des E_i. 7.2. Théorie axiomatique des projecteurs et des symétries.

Définition 3 : On appelle projecteur de E tout endomorphisme p idempotent : p² = p.

Proposition 1 : Soit p un projecteur de E.

i) x ∈ Im p ⇔ x = p(x) ; ii) E = Im p ⊕ Ker p ;

iii) p est le projecteur sur Im p parallèlement à Ker p .

Définition 4 : On appelle symétrie ⁶ de E tout endomorphisme s involutif : s² = id_E. Proposition 2 : Supposons K de caractéristique ≠ 2. Soit s une symétrie de E.

E₊(s) = Ker(s − id_E) et E₋(s) = Ker(s + id_E) sont deux sev supplémentaires de E, et s est la symétrie par rapport à E₊(s) parallèlement à E₋(s).

Exemples : 1) Montrer que s : (x₁, ... , x_n) → (x_n, ... , x₁) est une symétrie de Kⁿ ; géométrie de s ? 2) Montrer que la transposition t : A →^tA est une symétrie de M_n(K) ; géométrie de t ?

3) Montrer que s : f ∈ FFFF_{(R, R) →} f~

∈ FFFF_{(R, R) où}~f

(x) = f(−x), est une symétrie ; géométrie de s ? 4) Idem pour s : f ∈ FFFF_{(R*, R) →} ~f

∈ FFFF(R*, R) où ~f

(x) = f(1/x) .

Remarques : 1) L’application p → s = 2p − id_E met en bijection projecteurs et symétries de E.

2) La géométrie des symétries en caractéristique 2 est très différente. Elle sera évoquée plus tard (Chap sur la réduction des endomorphismes, § 6.2).

Les deux propositions précédentes sont des cas particuliers d’un même théorème, qui sera à son tour généralisé plus tard :

Proposition 3 : « Petit théorème des noyaux ».

Soient α et β deux scalaires distincts, u un endomorphisme de E. Alors : Ker( u² − (α + β).u + α.β.I ) = Ker( u − α.I ) ⊕ Ker( u − β.I ) . Preuve : Notons f = u −α.I , g = u −β.I et h = u²− (α + β).u + α.β.I

On a h = f o g = g o f, donc Ker f ⊂ Ker h et Ker g ⊂ Ker h. D’où Ker f + Ker g ⊂ Ker h.

On a Ker f ∩ Ker g = {0}, car si x ∈ Ker f ∩ Ker g , u(x) = α.x = β.x, donc x = 0.

Soit x ∈ Ker h . Cherchons (y, z) ∈ Ker f × Ker g tel que x = y + z.

6 Le mot symétrie a plusieurs sens en mathématiques et en physique. Dans ce cours, il désigne les involutions linéaires. Au sens large, on appelle symétrie d’une figure toute transformation qui conserve cette figure ou certaines propriétés de cette figure : en ce sens, les « symétries » du polygone régulier plan contiennent à la fois des rotations et des symétries stricto sensu, etc. Au fond, dès qu’un groupe G agit sur un ensemble E, le sous- groupe fixateur ou stabilisateur d’une partie A de E peut être appelé « groupe des symétries » de A. En imposant des définitions trop précises, les programmes de maths français gomment le caractère inévitablement polysémique de certaines notions et appauvrissent leur contenu : lire l’article Symétrie de l’Encyclopedia universalis, et les livres de Hermann Weyl, Alain Connes, etc.