Acta matttematica. F(a, fl;7;X)=F(v)F(y__v), Is"-' (I -- s)~-"-' _F(a, fl; v; sx) ds, LOTHAR INTEGRALE NIT HYPERGEOMETRISCHEN INTEGRANDEN*.

INTEGRALE NIT HYPERGEOMETRISCHEN INTEGRANDEN*.

VoN

LOTHAR

KOSCHMIEDER

in G ~ z .

1. k b w e i c h e n d y o n m a n c h e n S t r S m u n g e n v e r g a n g e n e r J a h r z e h n t e h a b e n e i m g e Zweige der h e u t i g e n m a t h e m a t i s c h e n F o r s c h u n g , z . B . das f u n k t i o n a l e R e c h n e n , die A u f m e r k s a m k e i t d e r F a c h w e l t w i e d e r a u f die E i g e n s c h a f t e n greif- b a r e r G e b i l d e d e r A n a l y s i s g e l e n k t . I n dieser R i c h t u n g l i e g t auch, was ich I h n e n j e t z t v o r t r a g e n will. Es b e t r i f f t die h y p e r g e o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n ~'~, z u n ~ c h s t die G a u s s s c h e R e i h e

sw.,

R

I x ] < I; a, fl, 7 sind beliebige k o m p l e x e P a r a m e t e r , y o n d e n e n n u r 7 einer Ein- s c h r / i n k u n g unterlieg~, n ~ m l i c h der, w e d e r null n o c h eine n e g a t i v e g a n z e Z a h l zu sein. Es is~ b e k a n n t , class ]~' sich (lurch 48 Integra.le E u l e r s c h e r A r t , m i t b i n o m i s e h e m K e r n e , d a r s t e l l e n 1/isst. Urn z w i s e h e n i h r e n b e i d e n H a u p t g e s t a l t e n die Briicke m i t e i n e m e i n f a e h e n b e s t i m m t e n I n t e g r a l e zu schlagen, h a t v o r k u r z e m Erd~lyi ~'2, wie er sagt, eine a l l g e m e i n e r e (well beide u m f a s s e n d e ) F o r m e l auf- g e s t e l l t - - m i t h y p e r g e o m e t r i s e h e m K e r n e ; sie l a u t e t ~'s

1

F(7)

I s " - ' (I -- s)~-"-' _F(a, fl; v; sx) ds,

(x.2)

F(a, f l ; 7 ; X ) = F ( v ) F ( y _ _ v ) ,

/

0

I X [ < I, O*Q ~ e ~ ' < ~(~r 7.

* Vorgetragen am 18.VI.43 in den Mathematischen Besprechungen an der Technischen Hoch- schule Graz, am 3o.VI.43 in der Berliner Mathematischen Gesellschaft.

1,1 Ihretwegen verweise ich auf das Werk yon P. APPELL--J. KAI~IPI~ DE FI~RIET: Fonctions hyperg~om~triques et hypersph~riques. Polynomes d'Hermite. Paris I926. Wo ich weniger be- kannte ihrer Eigenschaften benutze, ffihre ich weiterhin deren Fnndort in diesem Buehe an, das ich kurz mit A.-K. bezeichne.

1,~ A. ERDIgLYI, Quart. J. Math. (Oxford Set.) 8 (I937) , 2oo--2I 3.

1,s Siehe 1,~, S. 203 , (2. I).

16- 61491112

Acta matttematica.

79

I n der Besprechung einer Arbeit von F e l d h e i m h a t G. Sansone 1'4 die Gleichung (I.2) als >>die I n t e g r a l f o r m e l yon Erddlyi* bezeichnet; so n e n n t sie s u c h Feld- heim selbst t'5, - - aber beide n i c h t m i t Recht. Betr~chtlich friiher h a t n~mlich Schafheitlin eine allgemeinere Formel angegeben t'6, die a n s c h e i n e n d spitter un- b e a c h t e t geblieben ist; sie bezieht sich a u f die hShere hypergeometrische F u n k t i o n

*{"' ") {~") {*' ") x"

~ { " , ~ , ~ ; r,~; x) = (r,~,)(~,.){~,,,)

a n d h a t die Gestalt

1

F(~') / ' s "-1 (I -- s): . . . ' F(c~,~i t" s x ) d s .

(I.a)

G(.,~,.;7,~;xl=r(.)r(~,_.lj

0

Aus ihr g e h t (i. 2) sogleich hervor, wenn m a n ~ = v setzt.

Allgemeinere u n d ~ltere F o r m e l n als (I. 2) riihren f e r n e r yon Cailler h e r 1' 7, was den jiingeren Bearbeitern des Gebiets gleichfalls e n t g a n g e n zu sein scheint.

D e r N a m e dieses M a t h e m a t i k e r s ist s u c h sonst n i c h t u n b e k a n n t ; er war, wie ich elnem Vermerke y o n Doetsch ~'s entnehme, der erste, der f u n k t i o n a l e Beziehungen bei Besselschen F u n k t i o n e n m i t Hilfe der Laplaceschen A b b i l d u n g herleitete.

2. Eine der F o r m e l n yon Cailler l a u t e t -~' ~ in wenig vergnderter Schreibweise

1

( 2 ~) f.,. :-' (l - s ) ~ , . - 1 F ( ~ ,

~; r;

sx) F ( ~ * ,

~*; ~*;

(x - -

. ) . ) d ~

0

_ r ( r ) r ( r * ) ( ~ _ ,,)~-,'*F(~,,~; ~, + r*; x + ,, - ; ~ , ) ,

r ( r + 7")

wobei

2 . 2 ) a + a * = f l + f l * = 7 ~ 7 * .

1,4 Z e n t r a l b I a t t fiir M a t h e m a t i k 27 (I943) , S. Io2.

1. s E. lVELDttEIM, A n n . S c u o l a n o r m . s u p e r . P i s a (2) 9 (I94O), 2 2 5 - - 2 5 2 ; s i e h e d o r t S. 247, Z. I.

1,6 p . SCHAFItEITLIN, S. B. B e r l i n e r m a t h . Ges. II (I912), 2 o - - 2 5 . S i e h e d o r t (7) a u f S. 2I.

I c h b e r i c h t i g e i n (I. 3) e i n e n I r r t u m d e r S c h a f h e i t l i n s c h e n F o r m e l : W a s d o r t r e c h t s v o r d e m I n t e - g r a l s t e h t , i s t d u r c h s e i n e n K e h r w e r t z u e r s e t z e n . - - E s t u t S c h a f h e i t l i n s U r h e b e r s c h a f t a n ( I . 3 ) k e i n e n A b b r u c h , d a s s Erd61yi 1937 e i n e a I I g e m e i n e r e F o r m e l a u f g e s t e l l t h a t [Quart. J. M a t h . ( O x f o r d Ser.) 8, 257--277. E s h a n d e l t s i c h d o r t u m (5.2) a u f S. 273; d a r a u s e n t s t e h t (I.3), w e n n m a n P ~ 3 , q = 2 , a l = v , a~=~z, a a = f l ; c 1 = 7 , c ~ ; n = I , ~ l = v setzt].

:,7 C. CArLLER, E n s e i g n . m a t h . 2I (I02o) , 224--225, 255--259; die K e n n t n i s dieser A r b e i t e n v e r d a n k e i c h d e m >>Jahrbuch fiber die F o r t s c h r i t t e der M a t h e m a t i k ~ 47 (1920), S. 3 3 o . - W a s die L e b e n s u m s t ~ i n d e y o n C h a r l e s Cailler a n g e h t , so e r s i e h t m a n a u s d e r - M i n e r v a , 25 (I92I), S. 365, d a s s er d a m a l s P r o f e s s o r d e r Differential- u n d I n t e g r a l r e c h n u n g an d e r U n i v e r s i t f i t i n G e n f w a r ; der B a n d 26 (I923) d i e s e s ~ J a h r b u c h s der g e l e h r t e n Welt)> e n t h f i l t s e i n e n N a m e n n i c h t m e h r .

l,a G. DOETSCH, T h e o r i e u n d A n w e n d u n g d e r L a p l a c e - T r a n s f o r m a t i o n I937, S. 420, l~.q

~,1 S i e h e CAILLER 1,7, S. 2")4, S. 255, (I).

Integrale mit hypergeometrischen Integranden. 243 Man e r k e n n t die Formel (I. 2) yon Erd61yi als S o n d e r f a l l der G l e i e h u n g (2. I ) y o n Cafller, indem m a n in dieser x---- o setzt; d a n n erhglt m a n niimlich, weft die erste Funk~ion F u n t e r dem I n t e g r a l a u f I z u s a m m e n s c h r u m p f t , m i t 1 - - s = a

1 1

f 8 7-1 ([ - - 6")7*--1 ~'(0r ., if*; y*; (I - - 3)~/) d8 = f o "7.-1 (I - - o-)7-1 ~({~*, ~*; ~*; o-u) do"

o o

- r ( r ) r ( r * ) ( I " - u)~-g*F(~,#; 7 + 7"; u).

r(r + ;,')

N u n g e s t a t t e t aber die Gausssche F u n k t i o n den G e s t a R s w a n d e l F ( a , b; c; u) = ( I - - u ) ~ - " - b F (c - - a, c - - b; c; u);

infolgedessen wird m i t a --- a*, b = fl*, c = 7 + 7* wegen (2.2)

(: - ~)o-~* F(~, #; ~ + r'; ,,) = F ( ~ ' , #'; r + r*; ~),

u n d so g e h t (I. 2) aus (2. I) hervor, wenn m a n noch 7",7, a*,#* durch v, 7 - - ~ , a, fl u n d u d u r c h x ersetzt.

3. I c h k a n n es m i r n i e h t versagen, zu umreissen, wie Cailler seine Formel (2. I) hergeleitet hat. In der kurzen ersten seiner beiden A b h a n d l u n g e n ~'7 fiihrt er keinen Beweis, in der zweiten erbringt er (S. 256 f.) sogleich den einer all- gemeineren Beziehung, in der a u c h rech~s ein I n t e g r a l mig h y p e r g e o m e t r i s c h e m I n t e g r a n d e n a u f t r i t t . E r sagt dort aber, dass er sie g e n a u so begriinde, wie er friiher (2.1) als r i c h t i g e r k a n n t babe, u n d d a r a u s schliesst man, dass er so vor- g e g a n g e n ist: Bezeichnet m a n den Unterschied der linken u n d r e c h t e n Seite yon (2. I) mi~ D (a, #, 7; a*, fl*, 7*; x, u), so >,sieht m a n leicht>> - - u n d das ist (:. 2) - - , dass

(3.1) D (a, #, ~; ~*,#*, Z*; o, u ) = o

ist. Cailler wird das gewiss gerade so g e f u n d e n haben, wie es auch bei Erd61yi h e r a u s k o m m t , niCmiich d u r c h E i n s e t z u u g der Reihe (I. I) fiir F u n t e r d e m Inte- gral in (I. 2) u n d nachmalige, gliedweise vorgenommene I n t e g r a t i o n . I c h sehe hier yon einer W i e d e r g a b e dieser leichten R e c h n u n g ab u n d d a r f das umso eher, als ich sie spiiter (siehe 7.) in einem hSheren Falle ausfiihre. J e t z t k o m m e n wir zum K e r n p u u k t e des Beweises yon Cailler: Bekanntlich ist

d F(a, b; c; z) ? F ( a + i , b + : ; e + i z),

dz '

d a h e r

~ 7"; x,u)

Ox

1

C ~ I - 8 ? ( I - - 8 ) 7 * - l V ( a + I, fl + I; • + I; &'X) V ( ( X * , f f * ; r * ; ( I - -

8)u)d3

7 d o

a f t F ( ~ ) F ( ~ * ) ! ' / r + I , f l + I ; 7 + I + 7 * ; x + u - - x u )

= CtflD(Ct -]- I , fl -J- I, ~r -{- I ;

g*, fl*, )t* ; X, U).

7

Somit versehwindet n a e h (3. I) aueh die soeben ausgereehnete erste Ableitung von D n a c h x an der Stelle x = o, u n d ebenso dort alle hSheren A b l e i t u n g e n dieser GrSsse n a c h x. D a n u n D eine analytische F u n k t i o n yon x ist, e r k e n n t m a n den W e r t yon D (a, fl, 7; a*, fl*, ~'*; x, u) a l s o .

4. Soviel yon (I. 2) u n d Caillers allgemeinerer Formel (2.

I).

Es sei bemerkt, dass sich in einer an 1''0 a n k n i i p f e n d e n Arbeit Erd61yis 4't eine andre Formel finder, die sich, so wie (I. 2) a u f den d r i t t e n P a r a m e t e r der Gausssehen F u n k t i o n , a u f den ersten bezieht u n d die Gestalt h a t :

1

F(2) _ f s . _ 1 (x - - 8) 2 - a - 1

_I~'(Z, if; 7; 8x)ds.

(4. F ( . , z; = ) : ( . ) y ( 1 _ . ) j

o

Erd61yi gibt gleieh eine allgemeinere F o r m e l gleieher B a u a r t fiir eine hShere hypergeometrisehe F u n k t i o n nn 4'~, aus der (4. x) folgt, wenn m a n a. a. 0 . 4'2 m = I, p : 2 , a l = a , a ~ = f l , q : I , c1=7,

0fl=Z

setzt. (4. I) ist, soviel ieh sehe, aus den F o r m e l n yon Cailler n i c h t herleitbar.

I n einer spi~teren A r b e i t 4,3 stellt iibrigens Erd61yi drei F o r m e l n 4'4 auf, in denen, wie in (2. I), der Malwert z w e i e r Gaussseher F u n k t i o n e n i n t e g r i e r t wird.

Doch ist in den beiden ersten das A r g u m e n t der einen Gaussschen F u n k t i o n anders gebildet Ms in Caillers G l e i e h u n g (2. I), u n d diese iiberbietet die drei Be- ziehungen 4'* in der H i n s i e h t an Allgemeinheit, dass in i h n e n die A r g u m e n t e der F u n k t i o n e n F n u r e i n e n P a r a m e t e r aufweisen, der dort z heisst, wiihrend in (2. I)

h r e r z w e i - - x u n d u - - e n t h a l t e n sind.

4,1 ERD~LYI, a. a. O~ t,~, S. 267--277.

~, 2 Niimlich (2.6) auf S. 270 a. a. O. 4, 1.

4,, ERD~LYI, a. a. O. 1,~, IO (I939), I76--189.

4,4 Dort S. I78,(II); I82,(I7); I86,(22).

2)

Integrale mit hypergeometrischen Integranden. 245

5. Cuiller gibt auch die Formel an, die an Stelle yon (2. i) tritt, wenn die Gausssche F u n k t i o n F durch den Grenzfibergang

(5. I) l i m F ~ o ~ a, ; c ; e z ~ ( e , , ) ( i , , ) ~ ( ~ ; c ; ~ )

in die K u m m e r s c h e ~/s entartet. Sie l a u t e t 5,t, w e n n a + a * = Z + 7* ist,

1

f

8~-' (~ - s)~ *-1 ~ ( ~ ; r; sx) ~ (~* ; r*; (~ - s ~ , u ) d s - -

c(r) r(r*)ex~(~,; 7 + r*;u-x).

r ( r + r*) 0

Ein I n t e g r a l iiber den M a l w e r t zweier K u m m e r s c h e r F u n k t i o n e n T g e w i n n t auch Erd~lyiS'~; doch hiingen darin die A r g u m e n t e der T wieder n u r yon einem Para- meter, z, ab - - n i c h t wie hier, yon zweien, x a n d u.

Se~zt m a n in (5.2) x = o, s = I - - a , 7 ' = ~, ersetzt 7 durch ) , - - ~ , a* d u r c h a u n d sehreib~ x s t a r t u, s start a, so erhiilt m a n entsprechend (x.2)

1

( 5 " 3 ) / 8 ~ ' - - 1 ( I - - '9)7--'--1 l / ' I ( q ; ~; 8 x ) U(r) F(7 -- r)

d s - -

r (7) ~ (6; r; x).

o

(5.3) steckt Ms Sonderfall sowohl in Erddlyis Gleichung 5,s als nuch, /ihnlich wie bei (4. I) angegeben, in seiner a . a . O . *'~, S. 273 m i t ( 5 . 2 ) b e z e i c h n e t e n F o r m e l (man seize dor~ n = p - - q = I, a 1 = a, c 1--~7, 7 1 = r).

6 . I n den ersten I,* der a n g e f f i h r t e n A r b e i t e n b e m e r k t Erddlyi (S. 203), dass er bei h y p e r g e o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n y o n zwei u n d m e h r Ver~nderlichen ent- sprechende U n t e r s u c h u n g e n gefiihrt habe. Da er weder in dieser A b h a n d l u n g nuf m e h r Ms eine Ver~nderliche eingegangen noch, soviel mir bekannt, sparer d a r a u f zurfickgekommen ist, will ich h e u t e fiber meine eigenen Ergebnisse a u f diesem Gebiete berichten. I c h zSgere d a m i t n i c h t li~nger, weil F e l d h e i m a. a. O. 1' ~, S. 2 4 4 , 2 4 6 f a r h y p e r g e o m e t r i s c h e R e i h e n in n Ver~nderlichen, Lauricellasche F u n k t i o n e n , schon In~egrMgleichungen angegeben h a t ; in i h n e n werden diese Gebilde einmal integriert, in m e i n e n Formeln m e h r f a c h . Dass F e l d h e i m in einer jiings~ erschienenen Arbeit 6'1 n e u e r d i n g s >)Beitr~ige ztar L e h r e yon den hyper- g e o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n mehrerer Ver~nderlichen* angekiindigt h a t 6'*, ist m i r ein G r u n d mehr, die folgenden M i t t e i l u n g e n nich~ welter hinauszusehieben.

5,1 Siehe 1, r, S. 259.

5,,. A . a . O . 4,s, S. I83,(19). - - 12~'1 dort ist unser ~ .

6, t E . FELDHEIM, Aeta m a t h . 75 (I942), I X 7 - - I 3 8 . Siehe dort die F u s s n o t e n 3 und 5"

6,2 Zu Gesiehte sind sie m i r bis h e u t e (Io.XII.46) nieht gekommen.

I n d e m wir uus hier auf

zwei

Unabhi~ngige besehrgnken, h a n d e l n w i t yon den Appellschen R e i h e n

(6. ~) 1 , {~, ~,, ~,, r; ~ , ~ ) = ~ (z,,~ + ~ , ~ { ~ : , 0

(6. :) 8 (-, ~,, ~ ; r~, 7,; x. y) = ~ (~' ~ + ") (~'' ~) (~'' ") x ~ y,,.

' (r~, ~n)(7,, ") {~, "0(~, ,,)

(6.3) ~ " (~,, m)(~,, .)(~,, m){~., .} x ~ , .

(6, 4)

, . . o ~ (~, ~ + ,~} (~, m + .) x ~ y",

in denen a, fl, . . . beliebige komplexe P a r a m e t e r b e d e u t e n ; n u r werden ffir 7, 7 , 7, die W e r t e null und negativer ganzer Zahlen ausgeschlossen. Es konvergieren die R e i h e n (6.1) u n d (6.3), wenn I x I < I, I v l < I; (6.2), wenn I x l + i y I < i; (6.4), wenn [Vx[ + I V y I < i. Aus den yon Appell dafiir erbrachten Beweisen, wie man sie in A . - K ) '1, S. I 5 - - I 9 nachlesen kann, g e h t hervor, dass z. B. (6.2)gleieh-

mdssig

konvergiert, wenn

(6.~,) l ~ l + l v l = < ~ , wo o < r

Fiir die Appellschen F u n k t i o n e n f a n d ich vor vier J a h r e n zu der Beziehung (I. 2) die Seitenstiicke

(6. s)

1 1

f f ~,-~ ( ~ -

~},,-~,-~

t~-~ (, - t),.--~, -1 F , (~, ~,~, ~,~; 7; ~x, tv! d~ d t

o o

__ r(~,) r ( m - ~,) r ( ~ } r ( . . - ~.) F, (~, ~,, ~ ; 7; x, v),

F { ~ ) r(#~)

(6. 5I) IXl < ~, lyl < ~,

{6.5 2 ) o < ~ e f l ~ < ~ e ~ l , o < ~ t l e f l , < ~ e ~ ;

(6.6)

11

f f s "'-I

{I - - s)~ ,-',-1 t "~-1 (I -- t)~ ,- n - a ~ ( a , fl~, fl~; v,, ~ ;

sx, ty) ds dt

O O

r ( , , ) r(z~ - ,,1 r ( , ~ ) r ( z ~ - ,~)

=

~'(7~)

r(7,)

F~(a, fl,, ~,; 7, 7,; x, y),

(6.6I) I~l

"b [ y l • I, (6.62) o < 9~ev~ < ~ e T , , o < ~ e v , < ~ReT~;

(6.7)

(6.7I)

(6,8)

Integrale mit hypergeometrischen hltegranden. 247

1 I

,' t y ) d s d t

f.f,~,-~

(, - .)*,-o,-~ to,-, (, - # : - ~ - ~ , ~ (x,, a,, ~,, Z:; z; . x ,

O0

_ 1"(<) 1"(z,

- ~,) 1"(~,) 1"(z, -

~,)&(~,,

~0-, fl,, fl,; z; *,

v),

- r(z~) r(z~)

I x [ < 1 , I v l < ' , (6. 7 2 ) o < ~ e a , < ~ e ) ~ , o < , ~ e u 2<~e)~2;

1 1

ff,.-,(,-,):',-,,-,t.,-,(,-t),.

... -- , , ' ~ , . . , _ . , , . , , x , ( ~ : : t.) d~ d r ,

0 0

= r ( , , ) r ( z , - ,,) r(,0-) r(z0- - ~0-) F~

(., ~;

r,, 70-; x, v),

v(r,) 1`(7,)

( 6 . 8 I ) [ ] f i x I + I C Y [ < I, (6.82) o < ~ e v~ < "~e 7 . o < ~ e v~ < '3te ~,0-.

7. Von diesen Formeln werde ich hier (6.6) beweisen; das geschieht, wie schon bei (3. I) a n g e d e u t e t . Man ersetzt die F u n k t i o n F2 u n t e r dem Integral (5.6) durch ihre Reihe (6.2). Diese konvergiert im Bereiche der Integration gleichmiissig, wenn (6.21) gilt, denn d a n n ist

[ . x l + [ t v l = ~ l x l + ~ l y l - - < l x [ + [vl--<~;

folglich darf matt gliedweise integrieren und erh~tlt start der linken Seite

I0- yon

(6.6)

1 1

f f

(~,

m)(,0-,.) (i, ~ ) ( i , ,.,+~-1 t..~+.-~ _

und, wenn m a n eine bekannte, .die Integration binomischer Differentiale betreffende Formel anwendet,

~ ( a , m + n)(fl,,

m)(fl,~, n) 1`(v~ + m) r(7, -- v,)

F(v, + n) 1`(Z0- --

v~)

z . . = (~,,.0(~0-,,,)(i,m)(~,~) r ( r , + m)

F(r, + n) x~Y~

9/Ij n

r f f , ) I"(7, -- ~,) r f f . ) I'(7o_ -- ~ ) o ~ (a, m + n)(~,, m) (fl,, .) if,, m) if,, n)

= 1"(70

1`(r,) 2 ~ ( . , , ~ ) ( ~ , , . ) ( ~ , ~ ) ( i , . )

( r ~ , ~ ) ( r , , - ~ ) ~ v .

m n

9"rt, n

Das ist aber nach (6.2) die Behauptung.

8. W i r wollen sie noch auf eine zweite Art beweisen, und zwar mit dem Hilfsmittel der

verallgemeinerten Ableitungen,

deren O r d n u n g keine natiirliche

Zahl zu sein brauchk sondern sogar beliebig komplex sein darf 8'1. Von den fiber sie geltenden Aussagen fiihre ich die folgenden an, - - sogleich in der Gestalt, wie sie in den .~iir~gsten mir bekannt gewordenen Abhandlungen dieses Gegen- standes 8'~ erscheinen: Man setzt bei beliebigen ~ und T die ~-te 2Lbleitung der (~-- I)-ten Potenz

(8. ~) d Z _ ~ _ , _ r(~)

x ~ - ' ~ - ' .

Ist eine Funktion

u(x)

in die Reihe

0 ,

(8. ~) u = ~ ,

A . (~ - - ~o)~ +'~-~

mit festen A~ entwickelbar, so erklgrt man ihre q>te Ableitung, indem man (8.2) nach der Regel (8. I) gliedweise ableitet,

n

entsprechend

d'Pu/d(x~--x)~P,

wenn x , - - x in (8.2) an Stelle yon x - - x o rfickt.

8.3) und die eben genannte, ihr zur Seite ~re~ende Formel kommen mit den folgenden Ans~tzen iiberein, die aber ~ e ~ < o voraussetzen:

(8.4)

x

d (x -- Xo)" r (-- ~).1

2" 0

(s. 5)

d ( x ~ - x)'p - r ( - ~)

z

Im Gefolge des Begriffs der ver~llgemeinerten Ableitungen erscheint die G ~usssche Funktion I885 in der Doktorschrift yon Bochow s'~ und I9o8 in einem Aufsutz

s,~ Der obige Name seheint mir treffender als der sonst h~iufig gebrauchte: Ableitungen yon niehtganzer Ordnnng. - - Auf das Wesen des fiber h u n d e r t J a h r e alten Begriffs und seine Gesehichte, an deren Anfang die Namen Liouvilles und Riemanns stehen, gehe ich hier nicht ein, sondern verweise in dieser Hinsicht auf die Encyclop~idie der Mathematiscben Wissenschaften II. I . I . (I899--I916), S. I I 6 - - I I 9 und, was die ersten vier J a h r z e h n t e seiner E n t w i c k l u n g betrifft, auf die Doktorschrift von K. BOCHOW, Der Differentialquotient zu beliebigem Index. Ubersicht fiber die bisherige E n t w i c k e l u n g dieser Theorie und ausf6hrliehe Darstellung der reellen Differentiation zu beiiebigem reellem Index, Halle 1885. Den H i n w e i s auf diese A r b e i t verdanke ich Herrn W. Lorey.

s,~ EI~D~L~ZI, Quart. J. Math. (Oxford Ser.) Io (1939), a) S. I29--134; b) S. 176--189. - - Zum Sachliehen siehe auch J. KAMP/~ DE FI~RIET, Aeta math. 43 (1922), I 9 7 - - 2 o 7.

Integrate mit hypergeometrischen Integranden. ~49 yon Lindner s's. Ohne auf diese u zurfickzugreifen, hat sie Kamp~ de F~riet 8'4 durch eine solche Ableitung eines binomischen Ausdrucks 8'5 dargestellt [siehe (Io. 5)] und diese Darstellung planmiissig zum funktionalen Rechnen mit Gaussschen Funktionen benutzt. Er gewinnt so aus ihr deren Differenzen- und Differentialgleichungen, ferner ihre Entwicklung nach gewissen Polynomen.

Der in Rede stehende Ausdruek yon F ( a , fl; 7; x) begegnet, etwas abgewandelt, schon bei Bochow und LindnerS'6; sie tun aber beide noch nicht den Schritt, den Kamp~ de F6riet vollzieht 8 ' 4 - ihn in das Eulersche Integral ffir F um- zuschreiben. Sie unterlassen das, obwohl sie beide fiber die dazu geeignete For- reel (8.4) verfiigen 8'7. - - Auf ~hnlichem Wege wie zu den l n t e g r a l e n Eulerscher Art gelangt Erd61yi s's zu (I. 2). In seinen Arbeiten s,2 bedieht auch er sich, gleich- falls unabhi~ngig yon Vorg~ngern, der verallgemeinerten hbleitungen zum funk- tionalen Rechnen mit den hypergeometrischen F u n k t i o n e n -

einer

u

lichen.

9. W e n n wir, seinem Vorgehen bei (I. 2) entsprechend, jetzt (6.6) herleiten wollen, so bedarf es dazu und zur LSsung ~hnlicher Aufgaben folgender u bemerkungen, die sich auf zwei Ver~inderliche beziehen 9'~. Wir setzen in leicht verst~ndlicher Schreibweise

(9. i)

O'P+~ y~,-1)_ O'Px~-I

0wY ~-1 F(~)

F(~) x~_,p_ I

Ox't~Oy ~p(x~-I OX'P Oy ~p I ' ( ~ ' - - ~ ) I ' ( r ] - - ~ ) Jlr'-~P-l"

L~ss~ sich eine Punktion

w(x,y)

in die Reihe

0 , ~

A ^-- x0)~ +~-1

( 9 21 = (x (y - yolk§ n-1

s,s p. LINDNER, S. B. B e r l i n e r m a t h . Ges. 7 (I9o8), 77--83 9

8,4 A . a . O . 8,2, S. 2 o o - - 2 o 5. M a n vgl. auch s e i n e M i t t e i l u n g e n in C. R. Acad. Sci., P a r i s 17o (I92o), a) 569--572, b) I O 4 5 - - I o 4 8 .

8,s So darf i c h e i n e n A u s d r u c k zA(I--Z) M in A n l e h n u n g a n die b e k a n n t e B e z e i c h n u n g , b i - n o m i s c h e s Differential~ n e n n e n .

8,~ Siehe BOCHOW s, 1, S. 29, (7I); LINDNER 8,2, S. 80, (2), (3)- - - B o c h o w n i m m t d e n Ab- l e i t u n g s z e i g e r reell an.

8, r BOCHOW 8,1, S. I2, S. 20, (I9) ; LINDNER s, 2, S. 78.

8, s Siehe 8,2 b), S. 178.

~,1 Die j e t z t zu v e r z e i c h n e n d e n F o r m e l n (9. I) . . . (9.4) finder m a n v e r m u t l i c h auch in d e r m i r zur Z e i t n i c h t zugiinglichen A b h a n d l u n g y o n P. MOgTEL, Bull. Soc. m a t h . F r a n c e 46, S. I7z, a u f d i e K a m p 6 de F 6 r i e t a. a. O. 8,4 b), S. Io47 h i n w e i s t .

mit festen Amn entwickeln, so erkl~rt m a n ihre ( ~ + ~ ) - t e Teilableitung dadurch, dass man (9.2) naeh der Vorschrift (9. I) gliedweise ableitet,

O~ +~ w

(9.3) O(x - - Xo) 'p O(y --yo)~

0, oo

r ( , + . ) _ (y _

= ~ A " " r l , + ... - - ~ ) r (~ + n - ~V)

Die Konvergenz der Reihen (9.2), (9.3) steht in den yon uns zu behandelnden F~.llen yon vornherein fest, da es sich in ihnen um hypergeometrische Reihen handelk fiber die man in dieser Hinsieht unterrichtet ist.

Man kann zeigen, dass, wenn 9~e ~ < o, 9]e ~p < o, sieh (9.3) auch durch ein Doppelintegral darstellen ls

x y

(9.4) O(x_xo),~o(~_~,o),~=rl_~)r(_~,) w(g,t)(x--~)-~-~(y--t)-~-~dgdt.

Ein Bliek auf (8.5) lehr~, wie (9- 4) abzuwandeln isk wenn in (9.2) an Stelle yon x - - X o , Y--Yo oder beider die Unterschiede x 1 - x, Y l - - Y oder beide treten.

Zu dem zweiten Beweise yon

(6.6)

iibergehend, berechnen wir u n t e r den A n n a h m e n (6.6I), (6.6~) mit (6.2) nach dem yon (9. ~) bis (9. 3) Oesagten

o ~ ' , - , oy',-~, Ix',-' y',-' F , ( . , ~,, ~,; ,,, ~,; x, y)]

o',-~,+',-~, ~| (., m + . . . ~) (~,, m) (~,, ~) z"*',-" W " - '

= o-~,,-~--oy,,-~, ~= (,,, ~----)(-~,, ~)(~, ~)(~, ~) (~,~_ • (&:_~) ( ~

~ o , . r ( ~ + .,) r ( . + ,,) ~=+,,_, W , , _ ,

= =~=(~,, ~.)(.,, ~)C~, m)(i, ~) rCm + r,) r ( ~ + r,) r(,,) r(~,)

- r(r,) rCr,) x~,-, y~,-, F,(~, ~,, ~,; r,, r,; x, y)'.'.

Mithin ist naeh (9.4)

z y

r( ,l r, ,l , f f

r(,,) r(,~) x~-'y.-~' rCr~- ~) rCr, - ~) d~ dt ~':-' t',-'

o o

daraus aber entsteht (6. 6) bei der Einsetzung ~ ~

sx, t - ~ ty.

9 ' 2 5 ' 2 llisst s i c h n a c h Kamp~f de F ~ r i e t s,4 b), S. IO48 a u c h d u r c h eine v e r a l l g e m e i n e r t e T e i l a b l e i t u n g eines z w e i f a c h bi~omischen A u s d r u c k s d a r s t e l l e n .

Integrale mit hypergeometrischen Integranden. 251 W i e n e b e n (I. 2) a u c h (5.3) gilt, so bleibt die F o r m e l (5.6) bestehen, w e n n m a n in i h r an die Stelle der F u n k t i o n F~ i h r e yon P. H u m b e r t 192o e i n g e f i i h r t e n E n t a r t u n g e n 9.s setzt, niimlich

( I ) o, oo ( a , m + n ) ( f l , m)

=

I (a, m + n) x~ yn.

T2(a;

71,7~; x , y ) =

lira Fz a, ' - ;

71,7~; ~ x , , y =

10. Zu d e r F o r m e l (2. x) y o n Cailler h a b e ich b i s h e r n o c h k e i n Seitenstfiek g e f u n d e n , also n o c h k e i n D o p p e l i n t e g r a l a u s g e r e c h n e t , u n t e r d e m zwei Appel]sche F u n k t i o n e n a u f t r ~ t e n , m i t e i n a n d e r v e r v i e l f a c h t u n d j e d e m i t zwei P a r a m e t e r n

x,y; u,v

b e h a f t e t . W o h l a b e r werde ich h i e r den W e r t eines D o p p e l i n t e g r a l s gewinnen, u n t e r d e m eine gewisse s o g e n a n n t e h S h e r e h y p e r g e o m e t r i s c h e F u n k t i o n zweier V e r i i n d e r l i c h e n m i t zwei G a u s s s c h e n F u n k t i o n e n v e r v i e l f a c h t wird 1~

D a b e i b e d i e n e ich reich a u s s e r den schon b e n u t z t e n v e r a l l g e m e i n e r t e n A b l e i t u n g e n eines H i l f s m i t t e l s , das Erd61yi a. a. 0 . s'z bei

einer

Veri~nderlichen a n g e w a n d t h a t : d e r

verallgemeinerten Teilintegration,

yon der n o c h die R e d e sein wird. J e n e h S h e r e n h y p e r g e o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n h a t K a m p 6 de F 6 r i e t eingefiihrt~~

h i e r g e b r a u c h e n wir die f o l g e n d e :

!rAj n

eine vollsti~ndige y o n d e r O r d n u n g 2 in d e m a. a.

0 3 ~

S. 15o erkliirten S i n n e t~ Sind vl, v~, *1, ~ w e d e r null n o c h n e g a t i v e g a n z e Zahlen, so k o n v e r g i e r t die R e i h e (IO. I), wie (6.2), u n t e r d e r A n n a h m e ( 6 . 6 i ) ; m a n zeigt das ebenso, wie e s in A.-K. 1'I, S. x6 y o n (6.2) n a c h g e w i e s e n ist.

~,a VgL A.-K. 1,1 S. 124--I26.

t0,1 Den Anstoss dazu, eine Formel in dieser Richtung zu suchen, gab mir eine die hyper- geometrischen Funktionen

einer

Ver~nderlichen betreffende Arbeit yon C. S. MErJgR (Proc. Akad.

Wet. Amsterdam 42 (I939), 355--369; siehe dort (9) au[ S. 356). Spiiter bemerkte ich, dass mein Ergebnis (Io. 5) nicht Meijers eben angefiihrter Gleichung entspricht~ sondern einer yon Erd61yi a. a. O. s,t, b) auf S. I85 unter (20) aufgestellten, gleichfalls auf

eine

Ver~tnderliehe beziiglichen Formel.

lo, z Vgl. A.-K. l , t S. I49--155.

lo, a Das Zeiehen ~ in (Io. I) dient uns nur zur Abkiirzung.

W i r v e r s t e h e n j e t z t u n t e r s u n d t zwei zwischen o u n d I ver~nderliche G r S s s e n u n d bilden yon d e r u n t e r d e r V o r a u s s e t z u n g ( 6 . 6 I ) g e w i s s k o n v e r g e n t e n R e i h e F ( s x , ty) die v e r a l l g e m e i n e r t e T e i l a b l e i t u n g

o~,-~,+~,-., r(~,) r(~) ~.~_~ t,,,_ ~ .~ (~, ~. ~ ; n , ~ ; ~x, t,~);

(~)

o ~ _ ~ , ate,_,,, [ ~ - ~ t ~"--' ? ( . ~ , tu)] - r (~,,) r ( ~ , )

die Z w i s c h e n r e c h n u n g sei u n t e r d r i i c k t , da sie g a n z der im d r i t t e n A b s a t z y o n 9. a u s g e f i i h r t e n e n t s p r i c h t . Setzt m a n d e n aus (IO. 2) sich e r g e b e n d e n W e f t yon F~ in (6.6) u n t e r d e m I n t e g r a l z e i c h e n ein, so erh~lt m a n

r(y~) r(7~.) r (u,) r (m)

F,(~, ~, ~; r~, 7~.; x, y) = r(~) r(r,-- ~,) r(~) r(r~.-- ~.,) r(~) r(~.~)

1 1

9 ~ . ` - ~ ( t - s ) . ` ~ - ' t ~ - " ~ ( t - t ) ~ : - ~ ' : - ~ s ~ ' - ~ ' ~ t ~ ' - ~ ' [ ~ - ' t ~ . ~ - 1 ~ ( s x ~ t y ) ] d s d t "

o o

N u n ziehen wir die schon e r w i i h n t e T e i l i n ~ e g r a t i o n yon b e l i e b i g e r O r d n u n g s z a h l eo h e r a n , d. h. die F o r m e P ~

5 5

(Io. 3) d(z -- a) ~ d z = V d(b---- ~ Z)~ dz,

a a

in d e r die Ablei~ungen d e r F u n k t i o n e n U u n d V yon z so zu v e r s t e h e n sind, wie es in 8, a n g e g e b e n ist. W e n n m a n (IO. 3) m i t a ~ o , 5 ~ - I der R e i h e n a c h a u f die Y e r ~ n d e r l i c h e n z ~ s, z ~ t a n w e n d e t , finder m a n

r(7,) r (z.~) r(~,) r ( ~ ) (~o.4) F'((~'~l'fl*;71'7~;x'Y)=r(h)l"(7~-~l) r(~) I~(7.,--~) r ( ~ , ) r ( ~ )

1 1

o 0

9 d(~ - - t)~.-,. [t"~-"" (~ - - t)~"-"'-l] d s Ut.

I h r e n d g i i l t i g e s G e s i c h t b e k o m m t diese G l e i c h u n g d a d u r c h , dass die A b l e i ~ u n g e n u n t e r d e m I n t e g r a l im w e s e n f l i c h e n G a u s s s c h e F u n k ~ i o n e n sind; n a c h d e r F o r m e l yon K a m p 6 de F6rie~

da--c

(IO. 5) F ( a , b ; e ; x ) = r ( 6 ) x l - c __ - [ x a - l ( i ".-t-x)-b], - ~ ( a ) d x a - c

lo,4 Siehe E. R. Love und I,. C. YoT5~r Proc. London Math. Soc. (2)44 (I938), 1--35;

ERDELYI a, t a), (6) und S. 134. - - ~o sei so beschaffen, dass die Integrale in (IO. 3) konvergieren.

Integrale mit hypergeometrischen Integranden, 253 wie er sie z. B. ~. a. O. s'~, S. 2ol angibt, ist niimlich

d ( I

8) ~'-'u:['s'h-l''(I-8)?'-rl-1] =

I'(71 - - ~ 1 )

- - F ( 7 i - -

v i

^{+ /2!}

-- ,~)

9 (' -- s) ~'-''+#'-~'-' F ( T i - - ' ~ , , / 2 , -- ~ i ; 71 - - ~'I 4 f t I - - $ i ; ] - - 8).

Setzt mun diesen und den entsprechenden Wer~ der im Integral (IO. 4)vor- kommenden A bleitung nach ~ - - t dort ein, so ergibt sieh schliesslich

(,o.~) F,,(~,#,,~.,. r,,7~.;

x,:!/) ^-

r G ) r(/2,)

z'(z,)r(~,~)

' r(~,) r ( , , ) r G ) ~ ' ( , , )

I

F ( 7 , - - *, + / 2 , - - *,) F(7~ - - ,a +/2~ - - ~..,)

1 1

9 ff d8 dg 8 r " - 1 ( I - - 8) " A - ' I + p ' - v ' - I tr~--1 ( I - - t) 7*-'z+~u~-~*-I

O 0

- F ill, fl~;/2,,/2~

YD ~2; ~1, T'2

s x, ty)

9 ~ ( Y l - - ~ I , / 2 1 - - Y l ; ) / i - - ~1 § /21 - - "t-l; I - - 8)

9 F (72 - - ~-2,/22 - - ~-~; 7~ - - v.~ § - - ~.~; I - - t).

Zun~chst u n t e r den A n n a h m e n (6.61), (6.62) u n d

(~o. 7) o < ~ c ~ 1 < ~ r ~, +/2~) o < ~ r < ~ r ~ +/2~)

be wi esen, bleibt (I o. 6) nach der L e h r e yore F o r t b e s t u n d e fun kti onaler B e z i e h u n g e n ' o. 5 in K r a f t , soIange (6.6I) u n d (Io. 7) gelten.

Einige Sonderfiille der Formel (Io. 6) verdienen angefiihrt zu werden. Setzt m a n vj = #1 u n d v2-~ #.~, so s c h r u m p f e n die beiden Gaussschen F u n k t i o n e n , deren zweiter Parmmeter dunn o wird, auf I zusammen, /P(Io. i) v e r e i n f a c h t sich zu einer Appellschen F u n k t i o n T'~, u n d es erscheint das friihere Ergebnis (6.6), in dem n u r vl, v2 durch Cj, ~ zu ersetzen sin&

A u c h wenn ~:-~/2,, ~e=:-/2.~ ist, w i r d / ~ ' z u F~; in den Gaussschen F u n k t i o n e n abet sind d a n n der erste u n d der d r i t t e Parmmeter ein~nder gleieh m i t der be- k a n n t e n Folge, dass

F ( a , b ; a ; z ) = O - - z ) - t

~ ( Z , - ~ , , / 2 , - ~ ; Z , - ~,; I - - s) = r wird: es k o m m t wiederum (6.6) zustande.

,0,~ Vgl. W. F. OSaOOD, Lehrbuch der Funktionentheorie II, I (I929), S. 8o,

A u c h d e r A n s a t z ~1 ~ ~1, ~ = ~2 l~sst i# in F~ i i b e r g e h e n ; die G a u s s s c h e n F u n k t i o n e n bleiben dabei j e d o c h als solche b e w a h r t . I c h u n t e r l a s s e es, die ent- s t e h e n d e B e z i e h u n g ausdriicklich zu v e r z e i c h n e n u n d schliesse m i t der B e m e r k u n g , d a s s s i c h eine andere, gleichfalls die A p p e l l s c h e u n d zwei G a u s s s c h e F u n k t i o ~ e n e n t h a l t e n d e F o r m e l einsteLlt, w e a n m a n ~, ~ ~j, ~_ ~

#~

setzt.