ANALYSE I et II Semaine du 20 au 23 septembre 2010 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
Corrig´e 1 du mercredi 21 septembre 2010
Exercice 1.
CalculerS= 2 + 2·22+ 3·23+. . .+ 100·2100. Solution:
S =
100
X
n=1
n2n =
100
X
n=1
(n−1) + 1
·2n =
100
X
n=1
(n−1)2n+
100
X
n=1
2n
= 2
99
X
n=1
n2n+
100
X
n=1
2n = 2
100
X
n=1
n2n−200·2100+ 21−2100 1−2 .
On a utilis´e le fait que (1 +x+x2+. . .+xn)(1−x) = 1−xn+1. Ainsi
S= 2S−200·2100−2 + 2·2100= 2S−198·2100−2.
DoncS = 2 + 198·2100.
Exercice 2.
Montrons que pour toutx, y∈Ret tout entiern >1:
(x+y)n =
n
X
k=0
n k
xkyn−k.
D´emonstration : Rappelons que n
k
= n!
k!(n−k)! avec
k! = 1·2·3· · ·k, 0! = 1.
Pourn= 1, on a
(x+y) = 1
0
| {z }
1
x0y1+ 1
1
| {z }
1
x1y0=y+x.
On suppose
(x+y)n=
n
X
k=0
n k
xkyn−k, pourn= 1,2, . . . , N
et on veut montrer que c’est encore vrai pourn=N+ 1. On a:
(x+y)N+1 = (x+y)(x+y)N = (x+y)
N
X
k=0
N k
xkyN−k
=
N
X
k=0
N k
xk+1yN−k+
N
X
k=0
N k
xkyN−k+1
=
N
X
k=0
N k
xk+1y(N+1)−(k+1)+
N
X
k=0
N k
xky(N+1)−k
=
N+1
X
k=1
N k−1
xky(N+1)−k+
N
X
k=0
N k
xky(N+1)−k
= xN+1+
N
X
k=1
N k−1
xky(N+1)−k+
N
X
k=1
N k
xky(N+1)−k+yN+1
= xN+1+yN+1+
N
X
k=1
N+ 1 k
xky(N+1)−k
=
N+1
X
k=0
N+ 1 k
xky(N+1)−k. On a utilis´e le fait que
N k−1
+
N k
= N!
(k−1)!(N−k+ 1)! + N! k!(N−k)!
= N!·k
k!(N+ 1−k)! +N!(N−k+ 1)
k!(N+ 1−k)! = (N+ 1)!
k!(N+ 1−k)!.
Exercice 3.
Montrons que pout toutx∈R+ et toutn∈N∗ on a (1 +x)n≥1 +nx.
D´emonstration : Le r´esultat s’obtient facilement en minorant l’expression par les deux premiers termes de la formule du binˆome de Newton (puisque chacun des termes dans cette formule est positif):
(1 +x)n=
n
X
k=0
n k
xk≥1 +nx.
