Exercices de probabilité (26 mars 2015)
I
Quel est le nombre manquant pour que le tableau ci- dessous définisse une loi de probabilité.
xi 2 8 9
pi 0,3 0,5 0,2
car la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
II
Pour chacune des propriétés suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :
1. On lance deux dés marqués chacun de 1 à 6.
a) Si A est l’événement « obtenir un double six », alors A est l’événement « n’obtenir aucun six ».
FAUX: A est l’événement « obtenir au plus un six » (donc un six ou aucun six).
b) Si B est l’événement « obtenir un 4 et un 5 », alors B est l’événement « n’obtenir ni 4 ni 5 ».
FAUXBEST L’ÉVÉNEMENT « Ne pas obtenir un 4 oune pas obtenir un 5 »
2. a) Sip(A∩B)=0, alorsp(A∪B)=p(A)+p(B) VRAI: En effet :p(A∪B)=p(A)+b(B)−p(A∩B)
=p(A)+p(B)−0=p(A)+p(B)
b) Sip(A∪B)=p(A)+p(B), alorsp(A∩B)=0 VRAI, CARP(A∩B)=p(A)+p(B)−p(A∪B) 3. a) SiA⊂B, alorsp(A)Ép(B). (⊂signifie « est inclus
dans »).
A⊂Bsi et seulement si tous les éléments de A ap- partiennent à B.
VRAI
Première méthode :p(B) est la somme des proba- bilités de tous les événements élémentaires de B ; dans cette somme, on a la somme de tous les évé- nements élémentaires de A, doncp(A)Ép(B).
Deuxième méthode: Les éléments de B sont de deux sortes : ceux qui sont dans A et ceux qui ne sont pas dans A, donc dansA.
On peut donc écrireB=(B∩A)∪(B∩A;B∩Aet B∩Aont une intersection vide, donc
p(B)=p(B∩A)+p³ B∩A´
. On en déduit quep(B∩A)Ép(B).
SiA⊂B,B∩A=A; on en déduitp(A)Ép(B).
b) Sip(A)Ép(B), alorsA⊂B.
Contre-exemple: on mange un dé. L’univers as- socié à cette expérience aléatoire est
Ω={1 ; 2 ; 3 ;′; 5 ; 6}.
On considère les événements :
— A : « obtenir la fac numérotée 1 »
— B : « obtenir un multiple de 2 » On aA={1} etB={2 ; 4 ; 6}
p(A)=1
6 et p(B)=3 6=1
2
p(A)Ép(B) mais A n’estpas inclusdans B !
III Le rap en question
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24 ont plus de 20 ans, et parmi ces 24 personnes, 8 aiment le rap.
1. Recopier et compléter le tableau suivant.
Goût
Âge Moins
de 20 ans
Plus de 20 ans
Total
Aiment le rap 26 8 34
N’aiment pas le rap 10 16 26
Total 36 24 60
2. On rencontre au hasard une personne de ce groupe.
Calculer la probabilité de chacun des événements :
— A : « la personne a plus de 20 ans » ;
— B : « la personne n’aime pas le rap » :
— C .« la personne a plus de 20 ans et n’aime pas le rap ».
• p(A)=24
60=12×2 12×5= 2
5 .
• p(B)=26 60= 13
30
• p(C)=16 60= 4
15
IV
On lance deux dés normaux à six faces. On appellemle plus petit des deux résultats obtenus.
En dessinant un tableau à double entrée, donner la loi de probabilité modélisant cette expérience aléatoire.
Dé 2
Dé 1 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
3 1 2 3 3 3 3
4 1 2 3 4 4 4
5 1 2 3 4 5 5
6 1 2 3 4 5 6
Dans chaque case, on place le nombrem, minimum des deux faces : par exemple, pour le couple (2 ; 4), le mini- mum estm=2. Chaque case a la même probabilité qui est
1 36.
m=3 apparaît sept fois, donc p(m=3)= 7 36 . On en déduit la loi de probabilité demest :
xi 1 2 3 4 5 6
p(m=xi) 11 26
9 36
7 36
5 36
3 36
1 36
V Trois lancers
Une pièce bien équilibrée est lancée trois fois.
On désigne parale nombre de fois où l’on a obtenu « pile ».
1. En utilisant un arbre de dénombrement, déterminer la probabilité de chacun des événements :
Arbre :
b b
P
b
P b P
b F
b
F b P
b F
b
F
b
P b P
b F
b
F b P
b F
a) p(«a=3 »)=1
8car il y a 8 chemins possibles et un seul comportant trois « Pile ».
b) p(«a=0 »)=1
8(cela revient à avoir trois « Face »)
c) p(«a=1 »)=3
8car il y a trois chemins ne compor- tant qu’un seul résultat « Face » : FPP ; PFP ; PPF
2. Donner de deux manières la probabilité de l’événe- ment « a = 2 » :
• Calcul direct:p(«a=2 »)=3
8 en comptant direc- tement le nombre de chemins comptant deux ré- sultats « Face ».
• On sait que la somme de toutes les probabilités vaut 1, donc
p(«a=2 »)=1−£
p(«a=0 »)+p(«a=1 »+p(«a=3 »))¤
=
1− µ1
8+3 8+1
8
¶
=1−5 8= 3
8
