Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 17 (01/03 – 05/03)
NB : On pourra poser en fin de colle un exercice de révision sur n’importe quel thème déjà étudié cette année
Chapitre 19 : Structures algébriques
1. Lois de composition
‚ Loi de composition interne, externe.
‚ Associativité, associativité généralisée.
‚ Commutativité, commutativité généralisée en cas d’associativité (démonstration non exigible)
‚ Usage :`est réservé à des lois commutatives.
‚ Neutre à droite, neutre à gauche, neutre. L’existence d’un neutre à droite et à gauche entraîne l’existence d’un neutre, et unicité du neutre, du neutre à gauche et du neutre à droite.
‚ Usage :0E pour un neutre additif, 1E ouepour un neutre multiplicatif.
‚ Symétrique à gauche, à droite. Symétrique. En cas d’associativité, unicité du symétrique. Symétrique de x‹y.
‚ usage : inversex´1 pour une loi multiplicative, opposé´xpour une loi additive.
‚ Élément absorbant.
‚ Élément régulier (ou simplifiable). Régularité des éléments symétrisables. La réciproque est fausse.
‚ Distributivité. Distributivité généralisée (`commutative,`etˆassociatives).
‚ Associativités externes :
˚ entre une loi externe surE, d’opérateursΩet une loi interne surΩ: pλ‹µq ¨x“λ¨ pµ¨xq
˚ entre une loi externe surE et une loi interne surE : λ¨ pxˆyq “ pλ¨xq ˆy.
‚ Sous-ensemble stable par une loi. Loi induite.
2. Notion de structure algébrique
‚ Qu’est-ce qu’une structure algébrique ? Ensemble muni d’une structure.
‚ Exemples évoqués : magma, monoïde, groupe.
‚ Structure induite sur un sous-ensemble. Elle peut être moins riche que la structure initiale. Les propriétés universelles sont préservées, mais pas toujours les propriétés existencielles.
‚ Sous-truc d’un truc.
‚ Notion de morphisme (ou homomorphisme) de truc : respect des lois et des neutres.
‚ Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
‚ La composée de deux applications respectant une loi (interne ou externe) ou un neutre respectent encore cette loi ou ce neutre. Ainsi, la composée de deux homomrophismes est un homomorphisme (on ne le redémontrera plus dans les situations particulières évoquées plus tard).
‚ Si f est bijective et respecte une loi (interne ou externe) ou un neutre, alorsf´1 respecte également la loi ou le neutre. Ainsi, la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme ; nous ne le redémontrerons pas par la suite dans les situations particulières.
3. Groupes
‚ Structure de groupe
˚ Axiomatique de la structure de groupe. Unicité du neutre et des symétriques. Régularité des éléments.
˚ Groupe abélien.
˚ Notation multiplicative, additive. Notations pour l’itération de la loi :xn,nx.
˚ Homomorphisme de groupe. Le respect du neutre découle du respect des lois.
˚ Exemples de groupes : les ensembles de nombres usuels, avec `ou ˆ (en enlevant 0) ; U, Un, Z{nZ, pZ{pZzt0u,ˆq,SX et en particulierSn (aucune étude approfondie deSn n’est faite à ce stade, cela fera l’objet d’un chapitre ultérieur)
˚ Exemples de morphismes :exp,ln, ZÑUn,ZÑZ{nZ,Z{nZÑUn...
‚ Sous-groupes
˚ Sous-groupe. Appartenance du neutre à un sous-groupe.
˚ Caractérisation des sous-groupes en 3 points (en séparant stabilité par la loi et par la prise de symétrique) et en 2 points.
˚ Notion de sous-groupe propre.
˚ Intersection de sous-groupes.
˚ Sous-groupe xXyengendré par une partieX de G. Description par le haut (intersection) et par le bas (produits d’éléments deXYX´1). CNS sur X pour quexXysoit abélien.
˚ Cas où X “ txu. Notation simplifiée xxy au lieu de xtxuy. Sous-groupe monogène. Description des éléments dexxy.
˚ Sous-groupes deZ. Sous-groupes de pR,`q. Rapprochement avec la démonstration qu’on avait faite de la description des périodes d’une fonction.
‚ Classes à gauche et droite, groupes quotients, théorème de Lagrange.
On limitera en colle l’utilisation des quotients pas trop au programme. On pourra utiliser plus largement le théorème de Lagrange en revanche.
˚ Classes à gauche et à droite (définies directement par produit, sans définir la relation de conngruence associée).
˚ Égalité des cardinaux des classes.
˚ Théorème de Lagrange pour l’ordre des sous-groupes.
˚ (HP) Notion de sous-groupe distingué (ou normal) par l’égalité des classes à gauche et à droite. Équiva- lence à la stabilité par conjugaison. Description du produit des classes (i.e. produit élément par élément) par l’égalité (ensembliste) paHqpbHq “ pabqH.
˚ (HP) Groupe quotient (démo de la structure de groupe non exigible). Exemple important :Kerpfq.
˚ (HP) Premier théorème d’isomorphisme (démonstration non exigible)
˚ Cas d’un groupe abélien : tout sous-groupe est distingué et on peut donc toujours construire le groupe quotient.
‚ Groupes monogènes, ordre d’un élément, encore Lagrange
˚ Notion de (sous)-groupe monogène.
˚ Notion d’ordre d’un élément. Description de l’ensemble des entiers n tels que xn “ e en fonction de l’ordre de x.
˚ Classification des groupes monogènes (isomorphes à Zou Z{nZ). Lien entre l’ordre de x et l’ordre de ăxą. Groupe cyclique.
˚ Théorème de Lagrange pour l’ordre des éléments. Exemple : petit théorème de Fermat.
PEU D’EXERCICES SUR LE PARAGRAPHE SUIVANT : 4. Anneaux et corps
‚ Définitions
˚ Définition d’un anneau (un anneau est par définition unifère). Anneau commutatif.
˚ 0 est absorbant.
˚ 1‰0dans tout anneau ayant au moins 2 éléments.
˚ Homomorphisme d’anneaux (respect des lois et de1)
‚ Sous-anneaux
˚ Définition, caractérisations, exemples.
˚ Intersection d’anneaux.
˚ Image (directe, réciproque) d’un sous-anneau par un homomorphisme d’anneau.
‚ Calculs dans un anneau
˚ Formule de Bernoulli : factorisation dean´bn lorsqueaetb commutent
˚ Formule du binôme lorsqueaetbcommutent. La démonstration (vu dans le cadre complexe) n’a pas été refaite, mais doit être revue, en comprenant bien où interviennent les différentes propriétés, notamment l’associativité, la distributivité et surtout la commutativité deaet b.
‚ Éléments inversibles, régularité
˚ Groupe des inversibles d’un anneau
˚ Diviseurs de 0.
˚ Dans un anneau, un élément non nul est régulier ssi il n’est pas diviseur de0.
˚ Avertissement : il peut exister des éléments réguliers non inversibles (cf Z).
˚ Anneau intègre.
‚ Corps
˚ Définition. Attention, par définition, un corps est commutatif.
˚ Exemples. NotammentZ{pZ, renomméFp lorsqu’on considère sa structure de corps.
˚ Sous-corps. Caractérisation.
˚ Homomorphisme de corps. Injectivité des homomorphismes de corps (HP)
˚ Caractéristique d’un corps. Si la caractéristique est non nulle, elle est première.
‚ Idéaux
Dans ce paragraphe, l’anneauA est supposé commutatif.
˚ Définition. Exemples. Idéaux deZ.
˚ Idéal engendré para, notationpaq, paq “aA.
˚ Notion d’idéal principal. Anneau principal. Exemple :Z.
NB : nous n’avons évoqué le groupe symétrique qu’en tant qu’exemple parmi d’autres. Il n’y a rien de spécifique à savoir pour le moment (pas de décomposition en cycles ni de signature pour l’instant)
Chapitre 21 : Arithmétique
UNIQUEMENT LE COURS CETTE SEMAINE : 1. Divisibilité, nombres premiers
‚ Diviseurs, multiples, caractérisation par les anneaux
‚ Entiers associés, généralisation à un anneau principal
‚ Division euclidienne dansZ. notion d’anneau eucidien
‚ Congruences, compatibilité avec`et ˆ
‚ Périodicité ultime des puissances, calcul des puissances modulom.
‚ Nombres premiers, nombres composés
‚ Tout nombre composé admet un diviseur premier. Il existe une infinité de nombres premiers.
‚ Crible d’Erathostène.
2. PGCD - PPCM
‚ Définition du PGCD de deux entiers et propriétés équivalentes, (diviseur commun maximum pourďou pour
|; borne inférieur ; caractérisation idéale amenant la généralisation dans les idéaux principaux, évoquée, mais sans plus)
‚ De même pour le PPCM
‚ algorithme d’Euclide
‚ Distributivité du produit sur^et _
‚ Identité de Bézout pour n^m“d. Comment déterminer une identité de Bézout à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
‚ PGCD et PPCM d’une famille plus grande d’entiers.
3. Entiers premiers entre eux
‚ Entiers premiers entre eux, simplification des fractions.
‚ Théorème de Bachet-Bézout. Inversibilité modulon. Calcul explicite. Théorème de Fermat.
‚ Lemme de Gauss, lemme d’Euclide, cas de deux entiers premiers entre eux divisant un troisième.
‚ a_blorsque aetbsont premiers entre eux. Cas général : pa_bqpa^bq “ab
‚ Nombres entiers premiers entre eux 2 à 2, dans leur ensemble
‚ Indicatrice d’Euler, cardinal depZ{nZqˆ, théorème d’Euler. Multiplicativité.
4. Décomposition primaire d’un entier
‚ Existence et unicité de la décomposition primaire
‚ Valuationp-adique. Cas d’un produit, d’un quotient.
‚ (HP) décomposition d’un rationnel, valuationp-adique.
‚ (HP) Formule de Legendre
‚ Caractérisation de la divisibilité par les valuationsp-adiques.
‚ valuationsp-adiques du PGCD et PPCM
Pas de théorème chinois cette année (HP non traité)
