Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 18 (08/03 – 12/03)
Chapitre 19 : Structures algébriques
4. Anneaux et corps
‚ Définitions
˚ Définition d’un anneau (un anneau est par définition unifère). Anneau commutatif.
˚ 0 est absorbant.
˚ 1‰0dans tout anneau ayant au moins 2 éléments.
˚ Homomorphisme d’anneaux (respect des lois et de1)
‚ Sous-anneaux
˚ Définition, caractérisations, exemples.
˚ Intersection d’anneaux.
˚ Image (directe, réciproque) d’un sous-anneau par un homomorphisme d’anneau.
‚ Calculs dans un anneau
˚ Formule de Bernoulli : factorisation dean´bn lorsqueaetb commutent
˚ Formule du binôme lorsqueaetbcommutent. La démonstration (vu dans le cadre complexe) n’a pas été refaite, mais doit être revue, en comprenant bien où interviennent les différentes propriétés, notamment l’associativité, la distributivité et surtout la commutativité deaet b.
‚ Éléments inversibles, régularité
˚ Groupe des inversibles d’un anneau
˚ Diviseurs de0.
˚ Dans un anneau, un élément non nul est régulier ssi il n’est pas diviseur de0.
˚ Avertissement : il peut exister des éléments réguliers non inversibles (cf Z).
˚ Anneau intègre.
‚ Corps
˚ Définition. Attention, par définition, un corps est commutatif.
˚ Exemples. NotammentZ{pZ, renomméFp lorsqu’on considère sa structure de corps.
˚ Sous-corps. Caractérisation.
˚ Homomorphisme de corps. Injectivité des homomorphismes de corps (HP)
˚ Caractéristique d’un corps. Si la caractéristique est non nulle, elle est première.
‚ Idéaux
Dans ce paragraphe, l’anneauA est supposé commutatif.
˚ Définition. Exemples. Idéaux deZ.
˚ Idéal engendré para, notationpaq, paq “aA.
˚ Notion d’idéal principal. Anneau principal. Exemple :Z.
Chapitre 21 : Arithmétique
1. Divisibilité, nombres premiers
‚ Diviseurs, multiples, caractérisation par les anneaux
‚ Entiers associés, généralisation à un anneau principal
‚ Division euclidienne dansZ. notion d’anneau eucidien
‚ Congruences, compatibilité avec`et ˆ
‚ Périodicité ultime des puissances, calcul des puissances modulom.
‚ Nombres premiers, nombres composés
‚ Tout nombre composé admet un diviseur premier. Il existe une infinité de nombres premiers.
‚ Crible d’Erathostène.
2. PGCD - PPCM
‚ Définition du PGCD de deux entiers et propriétés équivalentes, (diviseur commun maximum pourďou pour
|; borne inférieur ; caractérisation idéale amenant la généralisation dans les idéaux principaux, évoquée, mais sans plus)
‚ De même pour le PPCM
‚ algorithme d’Euclide
‚ Distributivité du produit sur^et _
‚ Identité de Bézout pour n^m“d. Comment déterminer une identité de Bézout à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
‚ PGCD et PPCM d’une famille plus grande d’entiers.
3. Entiers premiers entre eux
‚ Entiers premiers entre eux, simplification des fractions.
‚ Théorème de Bachet-Bézout. Inversibilité modulon. Calcul explicite. Théorème de Fermat.
‚ Lemme de Gauss, lemme d’Euclide, cas de deux entiers premiers entre eux divisant un troisième.
‚ a_blorsque aetbsont premiers entre eux. Cas général : pa_bqpa^bq “ab
‚ Nombres entiers premiers entre eux 2 à 2, dans leur ensemble
‚ Indicatrice d’Euler, cardinal depZ{nZqˆ, théorème d’Euler. Multiplicativité.
PEU D’EXERCICES TRAITÉS POUR LE MOMENT SUR LES THÈMES SUIVANTS : 4. Décomposition primaire d’un entier
‚ Existence et unicité de la décomposition primaire
‚ Valuationp-adique. Cas d’un produit, d’un quotient.
‚ (HP) décomposition d’un rationnel, valuationp-adique.
‚ (HP) Formule de Legendre
‚ Caractérisation de la divisibilité par les valuationsp-adiques.
‚ valuationsp-adiques du PGCD et PPCM
Pas de théorème chinois cette année (HP non traité). Cependant les élèves doivent savoir passer d’une congruence modulo a1. . . an à des congruences modulo chaque ai si les ai sont premiers entre eux, et réciproque- ment.
Chapitre 20 : Groupes symétriques
UNIQUEMENT LE COURS CETTE SEMAINE.
1. Notations, cycles
‚ Notation pour décrire une permutation.
‚ Définition d’un cycle, notation.
‚ Grand cycle, permutation circulaire. Transpositions.
2. Signature
‚ Définition εpσq “ź
iăj
σpiq ´σpjq i´j .
‚ εpσq P t´1,1u,εest un morphisme SnÑU2.
‚ εpσq “ p´1qInvpσq. Comment dans des situations explicites déterminer la signature en comptant les intersec- tions de flèches dans le diagramme sagittal.
‚ Signature d’une transposition (en comptant les inversions, ou en décomposant en transpositions élémentaires, ou, comme onn l’a fait un peu plus tard, en montrant que toute transposition a même signature, par un argument de conjugaison, pour se ramener au cas d’une transposition simple)
‚ Les transpositions engendrentSn.
‚ La signature est l’unique morphisme non trivialSnÑU2
‚ Permutations paires, impaires,An (ouAn).
3. Décomposition cyclique d’une permutation
‚ Commutation de cycles à supports disjoints.
‚ Décomposition d’une permutation en produit de cycles dont les supports forment une partition (si on voit les points fixes comme des cycles de longueur 1).
‚ Support cyclique, type cyclique d’une permutation.
4. Cycles et signature
‚ Signature d’un cycle
‚ Description de la signature par le type cyclique.
