B ULLETIN DE LA S. M. F.
C.- A. L AISANT
Remarque sur l’interpolation
Bulletin de la S. M. F., tome 19 (1891), p. 44-46
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u
Remarque sur V interpolation ; par M. G.-A. LAISANT.
La formule d'interpolation de Lagrange donne, comme l'on sait, sous forme entière de degré n — i , une fonction u de x^ as- sujettie a prendre les valeurs
ni, n'i, ..,, Un
— 43 — pour les valeurs données de x
ai, 02, .. .5 a/i.
Elle peut s'écrire
(l) M = = X i M i 4 - X 2 ^ 2 - + - . . . — X , , M , , ,
Xi, Xg, . .., X/, étant des polynômes en x tels que X^ s'annule pour les valeurs a^ a^ . . . autres que a.^ et se réduit à l'unité pour x = a/c.
De cette formule (i) il est possible de déduire une infinité de fonctions de x satisfaisant aux mêmes conditions. Soient, en effet, t == (p(<s) une fonction arbitraire d'une seule variable, et y' la ca- ractéristique de la fonction inverse, c'est-à-dire telle que
z == o-^Q.
Il s'ensuit que
?[?-
1(<)]=<, p-
1!:?^)]^.
Si, dans la formule (i), nous remplaçons u^ u^ . . ., u,i par y ( ^ i ) , çO^)? • * • ? y(^//)? et sl nous écrivons
(2) îp-^X, <o(Mi) -+- Xa ^(^2) -+-...-+- X,, <p(^)],
il est bien évident que cette nouvelle fonction satisfera encore aux conditions imposées; car, pour x = a^ par exemple, la quantité entre parenthèses se réduira à y(^A)? si bien que nousaurons
ÎD-1[C?(^/,)] = Uk.
Cette remarque s'applique évidemment à toute formule d'inter- polation où figurent les valeurs données u^ u^ ... de la fonction cherchée. Ainsi, Cauchy (Analyse algébrique, Note V) a donné une formule, sous forme fractionnaire, qui peut s'écrire
(3) u- F^ uiï U2J '")
f(x,u^u^ ...)'
On en déduira la formule beaucoup plus générale (4) ^ _ ^ ^ [ ^ ? ( ^ i ) , ? ( ^ ) , . . . ] }
V 4 / • i/[^?(^).?(^), ...ir
puisque la quantité entre crochets se réduit à <f(u/c) pour x === a^\
d'où
M== ^-^^(t^)] = ^.
Pour nous en tenir à la formule de Lagrange, nous nous borne-
— 46 -
rons, en terminant, à indiquer les formules suivantes, résultant des hypothèses ^ ( z ) ==z2^ y/ï, ez^ lz^ z—^- :
( 5 ) U = y\tU^ -+-X2MJ -h. . . ,
(6) u == (Xi/^-+- Xs v/ï;+.. .)2, (7) ^ = ^ ( X i ^ * + X 2 ^ + . . . ) , (8) M= ^i^i4-^^^---,
^X,1^-^1^
MI + I ^2 -(- 1
(9) u:
- M I - — I ^ 2 — — 1
l — Xi -—-— — Xa ———
MI •+- I Uî 4-1
On comprend tout rinterêt qu'offre cette latitude laissée à la forme de la fonction, et qui permet de faire un choix, suivant la nature du problème qui a donné naissance à la question d^interpo- lation qu^on se propose de résoudre.
