Devoir (I,1) du 12 septembre 2004 Sans ou toute autre calculatrice

(1)

Devoir (I,1) du 12 septembre 2004

Sans ou toute autre calculatrice

Exercice 1: Résoudre l’équation du second degré suivante : 2x²3x 2 0

 En n’utilisant pas la formule

 En utilisant la formule pour contrôler le résultat précédent.

_____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: Résoudre les équations suivantes :

4 2

2 2 2

3 2

2 2

1) 3 4 4 0

2) ( 5 12) 4( 5 12) 12 0

3) 3 2 6

3 4 1

4) 4 8 2

x x

x x x x

x x x

x x

  

      

  

   

 

_____________________________________________________________________________________________

Exercice 3: Résoudre les inéquations suivantes :

2 2

5) (2 3)( 3 10) 0

6) ( 2)( 5 3 2) 0

x x x

   

    

_____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 8 + 36 (7+11+7+11) + 16

Liste des carrés de 11 à 70 (Si nécessité il y avait !)

11 121 21 441 31 961 41 1681 51 2601 61 3721

12 144 22 484 32 1024 42 1764 52 2704 62 3844

13 169 23 529 33 1089 43 1849 53 2809 63 3969

14 196 24 576 34 1156 44 1936 54 2916 64 4096

15 225 25 625 35 1225 45 2025 55 3025 65 4225

16 256 26 676 36 1296 46 2116 56 3136 66 4356

17 289 27 729 37 1369 47 2209 57 3249 67 4489

18 324 28 784 38 1444 48 2304 58 3364 68 4624

19 361 29 841 39 1521 49 2401 59 3481 69 4761

20 400 30 900 40 1600 50 2500 60 3600 70 4900

(2)

Devoir (I,2) du 19 novembre 2004 Série Fenêtre

L’emploi raisonnable de la calculatrice est autorisé. Toutes les étapes importantes de votre raisonnement doivent cependant figurer sur la feuille .

Exercice 1: Résoudre dans l'inéquation irrationnelle suivante: 3x²8x  3 3 3x²4

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: Soit l'expression E_m, où m est un paramètre réel:  x : E (x)_m (m3)x²2(m 1)x 2m2 Pour quelles valeurs de m, l'expression E_m admet-elle deux racines réelles de signes contraires?

____________________________________________________________________________________________

Exercice 3: Résoudre dans les (systèmes d’)inéquations suivant(e)s :

2

2 2

2

2 (25 20)

1) 0

( 6 9)(2 5 3)

2) 2 1 2 3 1

3 2

x x

x x x x

x x

x

 

    

     



_____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 19 + 19 + 22

(3)

Devoir (I,2) du 19 novembre 2004 Série Porte

Exercice 1: Résoudre dans l'inéquation irrationnelle suivante: 2x²5x  3 4 2x²3

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: Soit l'expression E_m, où m est un paramètre réel:  x : E (x)_m (m3)x²2(m 1)x 2m2 Pour quelles valeurs de m, l'expression E_m admet-elle deux racines réelles non nulles de même signe?

____________________________________________________________________________________________

2

2 2

2

2 (36 18)

1) 0

( 3 8 3)( 5 6)

2) 1 2 3 2

2 3

x x

x x x x

x x

x

 

    

    



_____________________________________________________________________________________________

(4)

Devoir (I,2b) du 25 novembre 2004 Série Marmann - Mehlinger

Exercice 1: Résoudre dans l'inéquation irrationnelle suivante: 2x²5x  2 1 2x²1

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: Soit l'expression E_m, où m est un paramètre réel:  x : E (x)_m (m6)x²4(m 1)x  m 3 Pour quelles valeurs de m, l'expression E_m admet-elle deux racines réelles non nulles de même signe ?

____________________________________________________________________________________________

2

2 2

2

3 (9 20)

1) 0

( 12 36)(2 5 3)

2) 2 1 1

2 x x

x x x x

x x

x

 

     

    



_____________________________________________________________________________________________

(5)

Devoir (I,3) du 8 décembre 2004

Exercice 1:

1) Recopier et compléter le tableau suivant :

0 6 4 3 2

sin cos tan

   



2) Simplifier autant que possible, en réduisant d’abord à des nombres trigonométriques d’angle  :

   

sin 90 cos 180 sin 180 cos

      

   

3) Calculer les valeurs précises des nombres trigonométriques suivants :

7 5

) tan ) sin ) cos

3 6 4

4 7

) sin ) cos ) cot

3 6 6

a b c

d e f

  

     

     

     

  

     

     

     

4) Sachant que  I et que

3 2

sin

 

5

, déterminer algébriquement les valeurs précises de

cos



et tan

.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2:

1) Déterminer par une construction précise un angle  vérifiant :

2 21

tan

 

5

Il n’y a pas de problème à faire une construction auxilliaire, tant qu’elle est visible sur la feuille.

(Indications pour la construction

 Exprimer le radicande comme somme/différence de deux carrés parfaits

 Construire un triangle rectangle vérifiant la relation de Pythagore établie ci-dessus

 Décomposer le segment à longueur irrationnelle obtenu en différents segments de même longueur

 Colorier la longueur irrationnelle représentant le nombre trigonométrique recherché

 Reporter cette longueur irrationnelle sur le cercle trigonométrique

 Marquer l’angle  et mesurer cet angle à l’aide de l’équerre)

2) Résoudre graphiquement (les constructions peuvent se faire avec l’équerre - une seule solution suffit):

cos  0, 4 sin 0, 75 tan  1, 25

____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 36(4+4+18+10) + 24(12+12)

(6)

Devoir (I,3b) du 13 décembre 2004 Krischel - Mehlinger

Exercice 1:

1) Recopier et compléter le tableau suivant :

0 6 4 3 2

sin cos tan

   



2) Simplifier autant que possible, en réduisant d’abord à des nombres trigonométriques d’angle  :

   

sin sin 90 sin 180 cos 180 cos 90

       

     

3) Calculer les valeurs précises des nombres trigonométriques suivants :

17 5 13

) tan ) sin ) cos

3 6 4

4 7

) sin ) cos ) cot

3 6 6

a b c

d e f

  

     

     

     

  

     

     

     

4) Sachant que  I et que

3 5

sin

 

8

, déterminer algébriquement les valeurs précises de

cos



et tan

.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2:

1) Déterminer par une construction précise un angle  vérifiant :

5 40

tan

  

14

Il n’y a pas de problème à faire une construction auxilliaire, tant qu’elle est visible sur la feuille.

2) Résoudre graphiquement (les constructions peuvent se faire avec l’équerre - une seule solution suffit):

cos  0, 75 sin 0,8 tan 2,1

____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 36(4+4+18+10) + 24(12+12)

(7)

Devoir (II,1) du 21 janvier 2005

Exercice 1: Résolvez dans les équations trigonométriques suivantes :

2 2

1) 2 sin 2 3 0

2) sin 3 cos

3) sin 2 cos sin 2 0

4) 2 cos 3sin 1 0

x

x x

x x x

x x

 



  

  

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: Enoncez le théorème « Al-Kashi » et démontrez-le dans le cas d’un triangle aigu.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 3:

1. Soit un triangle dont on connaît : 24 ,  72 , a10cm. Déterminez la longueur du côté c.

2. Soit un quadrilatère quelconque ABCD dont on connaît :

7 , 108 , 8 , 90 , 45

a cm    c cm mesDCB  mesCAD  Déterminez le périmètre de ce quadrilatère.

_____________________________________________________________________________________________

(8)

Devoir (II,1b) du 28 janvier 2005 Tania Ludovicy

Exercice 1: Résolvez dans les équations trigonométriques suivantes :

2 3

2

1) 2 cos 3 2 0

2) 3sin 3 cos

3) sin 2 cos sin 2 0

4) 2 sin 3cos 1 0

x

x x

x x x

x x

 



  

  

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: Enoncez le théorème des sinus et démontrez-le dans le cas d’un triangle aigu.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 3:

1. Soit un triangle ABC dont on connaît : 48 ,  64 , b10cm. Déterminez la longueur du côté c.

2. Soit un quadrilatère quelconque ABCD dont on connaît :

7 , 108 , 8 , 80 , 45

BC cm mes ABC  AB cm mesDCB  mesCAD  Déterminez la somme des diagonales de ce quadrilatère.

(Indication : Travaillez d’abord dans le triangle ABC)

_____________________________________________________________________________________________

(9)

Devoir (II,2) du 16 février 2005

Exercice 1: (valeurs approchées à 10^-2 près)

Soit le triangle ABC donné par : AC b

12

cm

,

ACB   

18

et CBA   

54

. 1. Déterminez l’aire de ce triangle en utilisant la formule apprise en école primaire.

2. Déterminez le périmètre de ce triangle ABC.

3. La formule de Héron permet de calculer l’aire d’un triangle à partir des longueurs des côtés d’un triangle.

Sachant que s désigne le demi-périmètre et a, b, c les longueurs des côtés de ce triangle, contrôlez l’aire calculée sous 1. en utilisant la formule de Héron :

: ( ) ( ) ( )

Formule de Héron Aire s s a     s b s c

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2:

1) Soit la fonction f donnée par son expression : 1 ³ ²

( ) 2 3

f x  2 x  x  x

a) Soit

3 1 9

3 ; ; 0, 4 ; ; 3 ;

4 7 2

A    

  l’ensemble de certains antécédents. Déterminez l’ensemble B sachant que B est l’ensemble des images des éléments de A par la fonction f.

b) Fixez un intervalle dans lequel cette fonction admet un maximum qu’il s’agit également de déterminer.

c) Fixez un intervalle dans lequel cette fonction admet un minimum qu’il s’agit également de déterminer.

d) Déterminez les racines (zéros) de cette fonction (à 10^-2 près).

2) Soit la fonction g donnée par l’expression :

2 2

2 3 2

( )

2( 5 6)

x x

g x

x x

 

  

a) Déterminez les valeurs en x pour lesquelles la fonction g n’est pas définie. Déduisez de ce résultat le domaine de définition de la fonction g (domaine = ensemble des valeurs en x pour lesquelles la fonction g est définie).

b) En choisissant de manière convenable votre fenêtre graphique, déterminez les racines et le maximum de la fonction g sur l’intervalle



^

^1;6 

. Marquez sur votre feuille la fenêtre que vous avez choisie.

____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 30 + 30

(10)

Devoir (II,2b) du 21 février 2005 Achen - Schlink

Exercice 1: (valeurs approchées à 10^-2 près)

Les trois forces ci-jointes sont appliquées à un seul point A.

Calculer l’intensité de la force résultante . Remarques :

 Il est recommandé de faire une esquisse graphique soignée de la situation avant d’attaquer le problème.

 Les forces, exprimées en newtons, s’additionnent à l’intérieur d’un parallélogramme.

 La somme des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2:

1) Soit la famille de fonctions f_m donnée par son expression : f_m

( )

x  m x avec m un nombre réel.

a) Représentez sur votre feuille, les fonctions relatives à m1, m2 et m4.

b) Essayez d’exprimer à l’aide de vos propres mots ce qui se passe avec la courbe, si m ( 0) augmente de valeur.

c) Tracez sur la V200 les graphiques pour m2 et m 2. Quel lien géométrique relie la deuxième courbe à la première ?

d) Cherchez la valeur entière m₀ pour laquelle la courbe de

m0

f passe par le point A(3;3). 2) Soit la fonction g donnée par l’expression :

2 2

2 3 2

( )

2 5 2

x x

g x

x x

 

  

a) Soit

3 9

3 ; ; 0, 4 ;

4 2

A    

  l’ensemble de certains antécédents. Déterminez l’ensemble B sachant que B est l’ensemble des images des éléments de A par la fonction g.

b) Déterminez algébriquement et graphiquement les valeurs en x pour lesquelles la fonction g n’est pas définie. Déduisez de ce résultat le domaine de définition de la fonction g . Essayez d’expliquer ce résultat « étonnant ».

3) Soit la fonction h donnée par l’expression :

2 2

2 3 2

( )

2 5 2

x x

h x

x x

 

  

a) Déterminez l’ensemble des racines de h.

b) Déterminer le maximum de la fonction h sur l’intervalle

  ^0;3

1

150

F  N

2

120

F  N

3

90

F  N

  32

  51 A

(11)

Exercice 1:

Sachant que dans un trapèze isocèle, la petite base mesure 15 cm, et les deux côtés égaux 8 cm, quelle est l’aire maximale que peut avoir un trapèze vérifiant ces conditions ?

Indications :

 Faire une esquisse

 Déterminez la hauteur en fonction de l’angle à la grande base du trapèze.

 Déterminez la grande base en fonction de l’angle à la grande base du trapèze.

 Déduisez-en l’aire de ce trapèze en fonction de l’angle à la grande base.

 Représentez cette fonction et lisez l’aire maximale ainsi que l’angle correspondant sur le graphique.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2:

1. Soient les 3 graphiques suivants donnés. Sachant qu’il s’agit de graphes de fonctions usuelles, manipulées, déterminez les expressions des fonctions correspondantes. Notez les détails nécessaires à la compréhension de votre raisonnement et les étapes de la manipulation, sachant que les coordonnées des points indiqués

sont :

3 (-4;1) , ; 2 ; ( 2; 1) ; ( 1; 0) (2;1)

A B

4

  C   D  et F

2. Votre professeur de mathématiques n’étant plus tout jeune, il a égaré l’expression de la fonction qu’il voulait poser comme question. Mais … il n’a pas égaré sa calculatrice V200 et retrouve sur celle-ci l’écran ci-dessous . Se rappelant alors que la courbe de la fonction usuelle manipulée h en question avait été une hyperbole, il retrouve son expression. Pouvez-vous en faire pareil ? Si oui, répondez aux questions suivantes :

a. Quelle est l’expression de cette fonction ?

b. Quelles sont les équations des asymptotes à la courbe ? c. Quelle est l’unique racine de cette fonction ?

____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 20 + 40 A

B

C D

F Cf

Cg

Ck

(12)

Devoir (III,1) du 28 avril 2005

Exercice 1:

« à la main »

1. Soient les 3 points A( 2;1) ; B(4; 3) et C(3; 7) donnés dans un r.o.n.

Déterminez :

1) les équations réduites des côtés AB et BC

2) des équations cartésiennes des médianes issues de A et de C 3) les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC

2. Soient les droites d1, d2 et d3 données sur le graphique ci-joint.

Déterminez graphiquement l’équation réduite de chacune de ces droites.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: «

à la V200

»

1. Soient les 3 points A( 4; 3) ;  B(2;5)et C(5; 1) donnés dans un r.o.n.. Déterminez :

1) une équation cartésienne de la droite passant par A et B et l’équation réduite de la droite AC 2) l’équation réduite de la droite d, parallèle à AB, passant par C

3) une équation cartésienne de la médiane du triangle ABC issue de B

2. Partie plus théorique : Il s’agit de déterminer une équation cartésienne de la droite d’, passant par A x

(

_A

;

y_A

)

et parallèle à une droite d donnée, d’équation d uxvy w 0 avec u v( ; )(0; 0). En général :

o Faites une esquisse graphique de la situation o Etablissez une marche à suivre

o Réalisez concrètement la marche à suivre

o Déterminez les variables (ou paramètres) dont dépend l’équation finale de d’

o Ecrivez un module permettant d’obtenir directement cette droite.

____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 30 + 30

(13)

Devoir (III,2) du 1

^er

juin 2005

Exercice 1: Soient les équations suivantes :

2 2 2 2

1x y 

2

x

6

y

30



0

2 x y 

14

x

6

y

38



0

1. Démontrez que ces deux équations sont celles de cercles, dont il s’agit de déterminer le centre et le rayon.

2. Déterminez (tout en utilisant modérément la V200) le(s) point(s) d’intersection éventuel(s) de ces deux cercles.

3. Représentez graphiquement la situation pour contrôle des résultats.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2:

1. Etablir l’équation du cercle dont un diamètre est [AB], sachant que A(2;5) et B(8; 1) . 2. Déterminez les points d’intersection T₁ et T₂ de ce cercle avec la droite d 5x y 15 3. Déterminez le point d’intersection des deux tangentes t₁ et t₂ à aux points T₁ et T₂.

(Marche à suivre et réalisation)

____________________________________________________________________________________________

Exercice 3:

Déterminez la distance du point P(5;1) à la droite d d’équation d 2x  y 3 0. (Marche à suivre et réalisation)

____________________________________________________________________________________________

(14)

Devoir (III,3) du 27 juin 2005

NOM :

Exercice 1: Soient les deux cercles 1



1

 

2; 4 ;r5



2 2x²2y²7x9y150 1. Déterminez les équations réduites de ces deux cercles.

2. Déterminez (tout en utilisant modérément la V200) l’équation de la droite des points d’intersection.

____________________________________________________________________________________________

Exercice 2: A réaliser sur cette feuille !!!

Construire cinq points de la parabole donnée par son foyer F et sa directrice d et esquisser ensuite cette parabole (Marche à suivre et réalisation) :

____________________________________________________________________________________________

Exercice 3:

Soit la parabole donnée par son foyer F(0; 2) et sa directrice d   y 2 dans un r.o.n..

1. Etablir l’équation de cette parabole.

2. Déterminer par le calcul l’équation de la tangente à cette parabole au point d’abscisse x3.

(15)

Devoir (III,4) du 4 juillet 2005

Exercice

1. Soit S_n la somme des n premiers nombres naturels impairs.

a. Déterminez à l’aide de la V200 une formule de calcul de cette somme.

b. Démontrez cette formule par récurrence.

2. Déterminez la somme suivante, sachant que les termes de la somme sont des termes d’une suite arithmétique : 6 13 20 27 34 ... 342     

3. La somme des quatre premiers termes d’une suite arithmétique est 118 et la somme de leurs carrés vaut 3526. Calculez ces quatre termes.

4. Soit la suite u définie par :

0

1 2 1

4 3

1 ( )

n n

n

u u u

u



 

 

  



a. Déterminez les 8 premiers termes de cette suite (précision à

10

^⁴ près). Que constatez-vous ? b. Calculez la somme des 12 premiers termes de cette suite.

c. Calculez le produit des termes 18 à 24.

5. Soit la suite u donnée par : 12 , 23 , 34 , 45 , 56 , 67 , 78 , …

a. Contrôlez si cette suite est une suite arithmétique. Si oui, déterminez la raison et le terme initial de cette suite arithmétique.

b. Déterminez une expression générale du n-ième terme de cette suite.

c. Déterminez la somme des 50 premiers termes de cette suite.

6. Soit la suite géométrique u donnée par : 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 , … a. Déterminez une formule de récurrence pour définir cette suite.

b. Déterminez une formule générale du n-ième terme de cette suite.

c. Déterminez une formule de calcul de la somme des n premiers termes de cette suite.

____________________________________________________________________________________________

Répartition des points: 18+8+8+10+8+8

Devoir (I,1) du 12 septembre 2004 Sans ou toute autre calculatrice