Corrigé du devoir surveillé N

Université de Cergy-Pontoise Séries

Licence 2 MIPI 2015-2016

Corrigé du devoir surveillé N

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Questions de cours.

1. La série de terme généralu_n peut être convergente ou divergente. Par exemple, la suite (2∑⁻ⁿ)n∈N est convergente de limite nulle, et sa série est convergente. Au contraire, la série

n≥1

n⁻¹ est divergente, bien que la suite(n⁻¹)_n∈N∗ soit convergente de limite nulle.

2. Le critère de d’Alembert s’énonce ainsi :

“ Soit(u_n)_n∈N une suite de nombres réels positifs ou nuls tels que : - les nombresun sont non nuls à partir d’un certain rang,

- il existe un nombreλ∈[0,+∞]tel que ^un+1_u

n →

n→+∞λ.

Alors :

- si0≤λ <1, la série de terme généralun est convergente, - si1< λ≤+∞, la série de terme généralu_nest divergente,

- siλ= 1, la série de terme généralu_n peut être convergente ou divergente. ”

3. La série de terme général αⁿ est convergente si et seulement si −1 < α < 1. Dans ce cas, la somme de cette série vaut

+∞

∑

n=0

αⁿ= 1 1−α.

Exercice 1.

(i) Nous avons

|un| ∼

n→+∞

1 n²eⁿ. Comme

∀n∈N^∗,0≤ 1

n²eⁿ ≤ 1 n²,

et que la série de Riemann de terme général 1/n² est convergente, la série de terme gé- néral1/(n²eⁿ) est également convergente par le principe de comparaison. La convergence absolue, et par suite, la convergence de la série de terme général un découlent alors de l’équivalence précédente.

(ii) Nous savons que

∀n∈N^∗, n!≥1, de sorte que

∀n∈N^∗, vn≥1.

La suite(vn)n∈N^∗ ne peut donc converger vers0, ce qui induit la divergence grossière de la série de terme généralvn.

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Exercice 2.

La suitewn est bien définie à partir du rangn= 2. Lorsqueα >0, elle vérifie

wn →

n→+∞−1,

de sorte que la série de terme généralwn diverge grossièrement.

Dans le cas oùα <0, nous savons que

(−1)ⁿn^α →

n→+∞0.

Comme

1

1 +u = 1−u+u²+ o

u→0(u²), la suitex_n=w_n+ (−1)ⁿn^α vérifie donc

x_n ∼

n→+∞n^2α.

Ainsi cette suite est-elle à termes positifs lorsque n est assez grand, et par équivalence avec une série de Riemann, la série de terme généralx_n est convergente si et seulement si α <−¹₂.

Par ailleurs, la série de terme général (−1)ⁿn^α est une série alternée pour tout nombre α <0, et elle est donc convergente.

Lorsqueα <−¹₂, la série de terme généralw_nest la différence de deux séries convergentes, donc elle est aussi convergente. Lorsqueα≥ −¹₂, elle est la différence d’une série divergente et d’une série convergente, de sorte qu’elle est divergente.

Exercice 3.

1.a. Lorsque0< α≤1, nous vérifions que

∀x∈]0,1[,0< x≤x^α<1.

Étant donné queu₀ = β ∈]0,1[, nous en déduisons par récurrence sur l’entier n∈ Nque la suite(u_n)_n∈N est bien définie et qu’elle satisfait

∀n∈N,0< u_n≤u_n+1 <1.

Il s’agit donc d’une suite croissante.

b. Comme la suite(un)n∈N est croissante, elle satisfait

∀n∈N, u_n≥u₀ =β >0.

En particulier, elle ne peut converger vers0, de sorte que la sérieS_α,β est divergente.

2.a. Lorsqueα >1,nous avons

∀x∈]0,1[,0< x^α< x <1.

Sachant queu₀=β ∈]0,1[, il s’ensuit par récurrence sur l’entiern∈Nque la suite(u_n)_n∈N est bien définie et qu’elle satisfait

∀n∈N,0< u_n+1 < u_n<1.

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Elle est donc strictement décroissante et minorée, de sorte qu’elle converge vers un nombre 0≤l < β. De la relation

un+1 =u^α_n, il découle que

l=l^α,

à la limiten→+∞. L’inégalité0≤l < β <1 impose alors que

un →

n→+∞l= 0.

b. La décroissance stricte de la suite(u_n)_n∈N induit que

∀n∈N, u_n> l= 0.

Il est donc permis d’écrire

un+1

un

=u^α_n⁻¹ →

n→+∞0,

puisqueα−1>0, puis d’appliquer le critère de d’Alembert afin de conclure à la convergence de la sérieS_α,β.

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