TD2 : Précision Numérique.

TD2 : Précision Numérique.

MNO, L3, Dauphine, 2020-2021 D. Gontier, [email protected]

Virgule flottante

Exercice 1. (Norme 754)

Dans la norme IEEE 754 (Python), un nombre double précision x est codé par des entiers (s, J, p, N), avec x = (−1) ^s · J · 2 ⁽⁻¹⁾

^N .

Ici, s ∈ {0, 1} est le signe de x, J est un entier codé en base binaire avec 52 bits (0 ≤ J ≤ 2 ⁵² − 1), p ∈ {0, 1}, et N est un entier codé en base binaire avec 10 bits (0 ≤ N ≤ 2 ¹⁰ − 1).

(la vrai norme est plus complexe, mais similaire à cet exemple).

a/ Combien de bits faut-il pour coder un nombre double précision dans la norme IEEE ?

b/ Quel est le plus petit nombre double précision strictement positif ? le plus grand ? le 2ème plus grand ? c/ Quel est le plus grand nombre double précision a vérifiant a < 1 ?

d/ On rappelle que 2 ¹⁰ ≈ 10 ³ . Que vaut la précision numérique η := 1 − a ? e/ À votre avis, que vaut 1 − (1 − η/2) sur un ordinateur ? Et (1 − 1) + η/2 ?

Exercice 2.

On pose t 0 = ^{√ 1}

3 , T 0 = ^{√ 1}

3 , puis (voir aussi l’exercice 8 du TD1) t n+1 =

p t ² _n + 1 − 1 t n

et T n+1 = T _n p T _n ² + 1 + 1 . a/ Montrer que t n = T n pour tout n ∈ N .

b/ On pose u n = 6 · 2 ⁿ t n et U n = 6 · 2 ⁿ T n . Dans l’exercice 8 du TD1, on montre que u n → π. Voici les suites qu’on obtient avec Python. Comment interpréter ce résultat ?

Exercice 3.

Soit A d (ε) la matrice de taille d × d définie par

A d (ε) :=















0 1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · .. . .. . . . . . . . .. . 0 0 · · · 0 1 ε 0 · · · 0 0













 .

a/ Montrer que A(ε) ^d = ε I d , puis calculer les valeurs propres de A(ε).

b/ On souhaite calculer numériquement les valeurs propres de A(0). Que se passe-t-il si ε = η et d = 50 ?

Différences finies

Exercice 4.

a/Soit F : [a, b] → R de classe C ^∞ . Montrer que pour tout ε > 0 et pour tout x ∈ (a + ε, b − ε),

F (x + ε) − F(x)

ε − F ⁰ (x)

≤ ε 1 2 sup

[a,b]

|F ⁰⁰ |

! et

F (x + ε) − F (x − ε)

2ε − F ⁰ (x)

≤ ε ² 1 6 sup

[a,b]

|F ⁰⁰⁰ |

!

.

b/ Montrer que

F(x + ε) + F (x − ε) − 2F(x)

ε ² − F ⁰⁰ (x)

≤ ε ² 1 12 sup

[a,b]

F ⁽⁴⁾

! .

Exercice 5.

Soit F : [a, b] → R une fonction de classe C ^∞ , et soit F _η : [a, b] → R une fonction telle que

∀x ∈ [a, b], |F η (x) − F (x)| ≤ η.

a/ Montrer que pour tout ε > 0, et pour tout x ∈ (a + ε, b − ε), on a

F _η (x + ε) − F _η (x − ε)

2ε − F ⁰ (x)

≤ ε ² 1 6 sup

[a,b]

|F ⁰⁰⁰ |

! + η

ε . b/ Calculer le minimiseur et le minimum de ε 7→ Cε ² + η/ε. Conclure.

Dichotomie

Exercice 6. Dichotomie, trichotomie, etc.

Soit f : [0, 1] → R est une fonction continue croissante telle que f (x ^∗ ) = 0 pour un certain x ^∗ ∈ (0, 1).

On veut trouver x ^∗ avec une précision ε > 0. On suppose qu’appeler la fonction f (·) prend un temps T > 0 (par exemple T = 1 seconde). On néglige tout le reste du temps de calcul.

a/ En utilisant un algorithme de dichotomie. Combien faut-il d’itérations ? Quel est le temps de calcul ? b/ Même question en utilisant un algorithme de k-chotomie (idem que la dichotomie, où on découpe en k parties égales).

c/ Montrer que f (x) := _log(x) ^x−1 est croissante sur [2, ∞) (on donne log(2) ≈ 0.69). Quel est le meilleur choix de k ? Exercice 7. (*) Dichotomie biaisée

Soit I = (a, b), et soit 0 < α < 1 fixé. Pour x ∈ I, on considère l’algorithme de dichotomie biaisée suivant. On pose

x ⁻ ₀ = a, x ⁺ ₀ = b, x 0 := (1 − α)x ⁻ ₀ + αx ⁺ ₀ , puis

(x ⁻ _n+1 , x ⁺ _n+1 ) =

( (x ⁻ _n , x _n ) si x _n > x

(x n , x ⁺ _n ) si x n ≤ x , et x n+1 = (1 − α)x ⁻ _n+1 + αx ⁺ _n+1 . a/ Dans le cas où a = 0, b = 1, x = ¹ ₃ et α = ³ ₄ , calculer x ₀ , x ₁ et x ₂ . Faire un dessin.

On note N(x, ε, I ) le plus petit entier N ∈ N tel que |x _N − x| < ε, puis N (ε, I ) := 1

|I|

Z

I

N (x, ε, I)dx

le nombre moyen d’itérations pour trouver un nombre dans I avec une précision ε > 0.

Attention : N (ε, I ) n’est pas forcément un entier.

b/ Montrer (rapidement) que pour tout t ∈ R , λ > 0, on a N (ε, I + t) = N (ε, I) et N (λε, λI) = N (ε, I).

c/ Montrer que

N (ε, I) = 1 + αN (ε, αI) + (1 − α)N (ε, (1 − α)I)

= 1 + αN ε α , I

+ (1 − α)N ε

1 − α , I

.

d/ On admet que N (ε, I) ∼ ⁻¹ _C log(ε) lorsque ε → 0. Calculer C.

e/ En déduire que l’algorithme biaisée converge en moyenne linéairement à taux e ^−C . f/ Quelle valeur de α donne l’algorithme le plus rapide en moyenne ?

Remarque : La fonction S(x) := −x log(x) − (1 − x) log(1 − x) s’appelle l’entropie (de Shannon).

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