ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE
Ex E x er e rc ci i ce c es s c c or o rr ri ig gé é s s
( ( s s u u j j e e t t s s d d ' ' e e x x a a m m e e n n s s d d e e 2 2 0 0 0 0 6 6 à à 2 2 0 0 0 0 9 9 ) )
d d u u c c o o u u r r s s d d e e
VI V IB BR R AT A TI IO ON NS S et e t A AC C OU O US ST TI IQ QU UE E 2 2
Jean-Claude Pascal
ENSIM - 2eme Année Vibrations et Acoustique 2
Ces sujets corrigés d'examen sont donnés comme des aides à la compréhension du cours.
Des erreurs peuvent toujours se trouver dans les corrigés : prière de les signaler à [email protected]
1
ENSIM 2eme Année Juin 2006
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Problème 1 : modélisation de la mesure des pertes par insertion (7/20)
Dans le polycopié p.107-108 une modélisation des pertes de transmission est présentée en utilisant les éléments de la matrice de transfert T d'un silencieux. A partir de la mesure de la puissance acoustique W0 à l'extrémité du tube de section S0 sans silencieux et de la puissance acoustique W1 avec un simple silencieux à chambre d'expansion de section S, la perte par insertion est définie par
1
log 0
10 W
IL= W [en dB]
Les deux configurations conduisant à W0 et W1 sont modélisées à l'aide des circuits équivalents suivants :
1) Exprimer les matrices de transfert T0, T1, T2 et T3 en fonction des paramètres qui sont donnés sur les dessins.
2) Expliquer à quoi correspond Zs.
3) Sans effectuer les calculs, expliquez la démarche que vous employez pour calculer W0 et W1.
4) Est-ce que la perte par insertion est équivalente aux pertes par transmission ? Donner deux arguments pour étayer votre réponse.
T1 T2 T3
1
s s
Q p
1
e e
Q p
Zs
Ze
pi
T0
0
s s
Q p
0
e e
Q p
Zs
Ze
pi
source
source silencieux
T
W0
W1
L
lA lB
S0
S
2
Problème 2 : dimension d'un pavillon exponentiel (9/20)
L'extrémité d'un tube de diamètre 20 mm rayonne en espace libre. On constate qu'il y a peu d'émission dans les basses fréquences. Pour améliorer la transmission des fréquences graves au-dessus de 200 Hz, on décide d'utiliser en sortie de tube un pavillon exponentiel.
En considérant qu'il n'y a que des ondes planes dans le tube, répondre aux questions suivantes:
1) Le front d'onde à l'extrémité du pavillon vibre comme un piston. Montrer que son facteur de rayonnement peut s'exprimer par
= c
Zr
0
Re ρ
σ , avec l'impédance de rayonnement
x
r u
Z = p
2) En considérant que l'impédance de rayonnement de l'extrémité du pavillon correspond à l'expression asymptotique basse fréquence de celle du tube non-bafflé (cours), calculer le diamètre de sortie du pavillon pour qu'à 200 Hz le facteur de rayonnement soit de –3 dB,
3) Expliquer quelle va être l'influence de la longueur du pavillon exponentiel dans la transmission des basses fréquences ?
4) Calculer la plus petite longueur que doit avoir le pavillon pour transmettre les fréquences supérieures à 200 Hz.
Problème 3 : rayonnement du piston (4/20)
Un piston circulaire monté dans un baffle infini rayonne en espace libre.
1) Expliquer comment calculer les fréquences qui correspondent à une pression nulle sur le plan du baffle en champ lointain
2) Comment pourriez vous exprimer en fonction de la fréquence l'angle θ0 qui correspond à un affaiblissement de 3 dB du lobe principal ?
Remarque : vous pouvez dire que x0 est l'argument pour lequel une fonction f prend la valeur y0 = f
( )
x0 .3 Corrigé Vibrations & Acoustique 2 – juin 2006
Problème 1 : modélisation de la mesure des pertes par insertion
1) Matrices de transfert : ce sont dans tous les cas des conduits droits dont seuls changent les diamètres et les longueurs. Avec la forme standard (pQ) en considérant Q1=ρ0Su1 et
2 0
2 Su
Q =ρ (cours)
=
2 2 1
1
Q T p Q
p avec
=
kl c kl
js
s kl jc kl T
cos sin
sin cos
avec T0 ⇒ s=S0 et l=lA +L+lB
1 ⇒
T s=S0 et l =lA
2 ⇒
T s=S et l=L
3 ⇒
T s=S0 et l=lB
2) Zscorrespond à l'impédance de sortie de tube, vraisemblablement l'impédance du tube ouvert dont on pourra prendre l'approximation basse fréquence (k S0 π <1) de Levine et Schwinger.
3) Dans les deux cas, il faut calculer la puissance en sortie de tube : la source et l'impédance de sortie sont les mêmes. Seule change la matrice globale T:
pour W0, T =T0 et pour W1, T =T1T2 T3 La puissance de sortie (W0 ou W1) s'exprime par
{ }
{ }
s s ss Z
p u S
S p
W Re 2Re
2
2 0 0
=
= ∗ . Par ailleurs,
on peut écrire pi = pe+ZiQe ρ0S0, où pi et Zi sont des invariants, respectivement la pression interne et l'impédance interne de la source. Il est donc possible d'écrire la pression de sortie pe (donc W) en fonction de T, pi et Zi.
Attention : avec les pertes par insertion, la puissance incidente n'est pas la m^me dans les deux configurations car la matrice globale T change. La source voit donc une impédance d'entrée différente.
4) Les pertes par insertion ne sont pas équivalentes aux pertes par transmission :
a) pour les pertes par transmission l'impédance de sortie est l'impédance caractéristique, b) la longueur du tube de sortie lB influence le résultat pour les pertes par insertion, alors
que ce n'est pas le cas pour les pertes par transmission car celui-ci est considéré infini, c) la longueur du tube d'entré joue aussi un rôle en modifiant la matrice globale T.
Problème 2 : dimension d'un pavillon exponentiel
1) Facteur de rayonnement en fonction de l'impédance de rayonnement
x
r u
Z = p
2 2
0cSu W ρ
σ = avec la puissance acoustique rayonnée
{ }
S u{ }
Zru S p
W Re
Re 2 2
= 2
= ∗
4 d'où σ =Re
{
Zr ρ0c}
.2) Pour un tube non-bafflé Zr =ρ0c
[ ( )
ka 2 4+ j0.61ka]
donc σ =( )
ka 2 4 où a est le rayon de l'extrémité du pavillon. Pour f0 =200 Hz, Lσ =−3 dB, soit σ =12. On peut donc calculer le diamètre D de l'extrémité du pavillon :( )
ka 2 =2 conduit à 2πf0a=c 2 et = = = = 2002 344 2 2
0 π
π f a c
D 0.774 m.
3) Le pavillon exponentiel ne transmet pas les basses fréquences dès que la variation de section n'est plus faible devant la longueur d'onde. En dessous de la fréquence de coupure
( )
πα 4 c
fc = l'onde devient évanescente et ne transporte pas d'énergie (α représente la variation de la section en fonction de la distance : voir cours).
4) Le diamètre en sortie du pavillon peut s'exprimer en fonction de celui du tube cylindrique d'entrée
L
e d
D 2
α
= soit encore L d
D ln α2
=
D (0.774 m) et d(0.02 m) sont imposés et α est obtenu à partir de la condition
0 =200
< f
fc Hz, soit α =4π fc c<4π f0 c, ce qui permet de calculer la longueur du pavillon
02 1 . 0
774 . ln0 200 2 ln 344 ln 2
2
0
=
=
>
=α π d π
D f c d
L D m
Problème 3 : rayonnement du piston
La pression rayonnée en champ lointain s'écrit
( ) ( )
=
−
θ ρ θ
θ sin
sin J
2
, 2 1
2 0
0 ka
ka r
e cv ka j r p
jkr
avec a le rayon du piston.
1) En champ lointain sur le plan du baffle θ =π 2 (90°), la pression s'annule pour les zéros de la fonction 2J1
( )
x x, x=ka. En dehors de x=0, ces zéros sont aussi ceux de J1( )
x qui correspondent à xn (n={
1,2,L,∞}
). Les fréquences correspondantes sontn
na c x
f =
π
2 , soit
a x fn c n
π
= 2 .
2) L'angle θ0 qui correspond à un affaiblissement de 3 dB se définit par
( )
(
,0)
3log ,
20 0 =−
r p
r p θ
dB, soit
( )
2 1 sin
sin J
2
0 0
1 =
θ θ ka
ka car
( )
J 1 2 1
x →
x quand x→0
Soit x0tel que
( )
2 1 J
2
0 0
1 →
x
x , kasinθ0 =x0 et
a f cx ka
x θ π
arcsin2
arcsin 0 0
0 = = .
ENSIM 2eme Année Avril 2007
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Exercice 1
Un barre de section uniforme A, de longueur l, de masse volumique ρ et de module de Young E est encastrée à une de ses extrémités. A l'autre extrémité est fixée une masse ponctuelle égale à la masse de la barre elle-même.
1) Exprimer les conditions aux limites en considérant le déplacement sous la forme
( )
x t X( ) ( )
x T t w , =2) Exprimer l'équation caractéristique ou équation aux fréquences.
3) En utilisant une expression approchée tan
(
σnl)
≈σnl−(
n−1)
π quand(
ωnl)
est proche de (n−1)π , donner les pulsations naturelles de la barre.4) Pour la première pulsation naturelle, utiliser une approximation de la tangente exacte au second ordre (
tan 3
u3
u
u≈ + ) pour améliorer l'estimation.
Exercice 2
Une plaque simplement supportée de dimension a×b (épaisseur h) est excitée en deux points r1 =
(
x1,y1)
et r2 =(
x2,y2)
, respectivement par des forces F1( )
t et F2( )
t .1) Exprimer les fréquences propres de la plaque.
2) Ecrire la réponse forcée de la plaque dans le cas général, pour les forces d'excitation suivantes : F1
( )
t =F1ejωt et F2( )
t =F2ejωtOn considère que le taux d'amortissement ζ est identique pour chaque mode.
0 a x
y b
0
0 A l
x l A m= ρ
3) Déterminer les conditions pour que la force modale généralisée correspondant à ces deux forces soit nulle.
4) La plaque est excitée par des forces correspondant chacune à un signal de période T et telles que F2 =−F1.
(
n t)
A n t
F T
n
n
ω ) 1 2 ( 1cos 2
) 1 ) (
(
0
1 +
+
=
∑
∞ −=
Les points d'application sont
(x1 =c, y1 =b 2) et (x2 =a−c, y2 =b 2) a) Quels sont les modes excités ?
b) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point (x3 =a 2, y3 =b 4) c) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point (x4 =a 4,y4 =b 4)
Corrigé Exercice 1
1) La solution recherchée pour le déplacement longitudinal se présente sous la forme d'un produit de deux fonctions w
( )
x,t =X( ) ( )
x T t ,qui introduit dans l'équation différentielle conduisent à l'expression( ) ( )
( ) ( )
2
2 -
1 = σ
′′ =
t T
t T c x X
x
X &&
Les conditions aux limites se décrivent par :
en x=0, le déplacement est nul w
( )
0,t =0 ⇒ X( )
0 =0 en x=l, la contrainte est nulle( )
l
x x
t x EA w t
t l m w
∂ =
= ∂
∂
− ∂ ( , ) ,
2 2
( )
l X EAT lX T
m = ′
⇒ − && ( ) X(l) EAX (l)
T
mT = ′
⇒− &&
⇒mc2σ2X(l)=EAX′(l) 2) en considérant l'équation du mouvement sous forme de deux équations séparées
( ) ( )
( ) ( )
= +
=
′′ +
0 0
2 2
t T c t
T
x X x
X σ
σ
&
&
dont les solutions sont
( )
( )
t a ct b ctT
x x
x X
σ σ
σ β σ α
cos sin
cos sin
+
=
+
=
il est possible d'écrire
CL en x=0: X
( )
0 =βcos( )
σ0 =0 ⇒ β =0d'où l'équation du déplacement X
( )
x =α sinσx et sa dérivée X′( )
x =σαcosσx CL en x=l: mc2σ2sin( )
σl =EAσcos( )
σlqui compte tenu que m= Aρl et c2 =E ρ conduit à l'équation caractéristique :
( )
σl( )
σ1ltan =
3) Quand σl est aux alentours de (n−1)π , on peut écrire tan
(
σnl)
≈σnl−(
n−1)
π et trouver une solution de l'équation aux fréquences propres de la forme(
σnl)
2 −(
n−1) (
π σnl)
−1=0 et en ne considérant que les solutions positives2
4 )
1 ( ) 1
( − + − 2 2 +
= π π
σnl n n soient les valeurs approchées des pulsations naturelles
ρ π
σ π
ω E
l n c n
n
n 2
4 )
1 ( ) 1
( − + − 2 2 +
≈
=
4) avec l'approximation précédente la première fréquence naturelle vaut
ω ρE l 1
1 ≈
En considérant une approximation exacte au second ordre telle que
( ) ( ) ( )
tan 3
3 1 1
1
l l
l σ
σ
σ ≈ + ,
on obtient
( ) ( )
( )
l l l1 3 1 1
1
3 σ
σ + σ = soit χ2 +3χ −3=0 où χ =
( )
σ1l 2. La solution positive de cette équation est7913 . 2 0
3 21− =
χ = d'où σ1l ≈ χ =0.8895 donc
ω ρE
l 8895 . 0
1 ≈ alors que la valeur exacte est
ω ρE
l 8603 . 0
1 = .
Exercice 2
1) Fréquences propres de la plaque (voir cours p. 40)
h D b n a fmn m
ρ
π
+
= 2
2 2 2
2
2) Réponse forcée de la plaque dans le cas général (voir cours p.50) avec le taux d'amortissement ζ identique pour chaque mode
b y n a
x m j
b dudv v n a
u v m
u f hab
y e x w
m n mn mn
a b t
j π π
ζ ωω ω
ω
π π
ω ρ
ω
sin 2 sin
sin sin
) , ( ) 4
, ,
( 2 2
∑∑ ∫ ∫
0 0+
= −
Pour les forces d'excitation F1
( )
t =F1ejωt et F2( )
t =F2ejωt) (
) ( )
( ) ( )
,
(x y F1 x x1 y y1 F2 x x2 y y2
f = δ − δ − + δ − δ −
l'équation du déplacement devient
b y n a
x m j
b y n a
x F m
b y n a
x F m
hab y e
x w
m n mn mn
t
j π π
ζ ωω ω
ω
π π
π π
ω ρ
ω
sin 2 sin
sin sin
sin 4 sin
) , ,
( 2 2
2 2
2 1 1
∑∑
1+
− +
=
3) Conditions pour que la force modale généralisée correspondant à ces deux forces soit nulle:
elle ne peut se définir que pour un mode (m,n) donné. On peut trouver deux cas:
- les contribution à la force modale généralisée de chacune des deux forces est nulle : les points d'application se trouvent tous les deux sur une ligne nodale
= =
sin 1 =0 OU sin 1 =0 ET sin 2 0 OU sin 2 0
b y n a
x m b
y n a
x
mπ π π π
, - les contributions de chaque force et de même sont identique et de signe contraire
b y n a
x F m
b y n a
x
F1sinmπ 1sin π 1 2sin π 2 sin π 2
−
=
(par exemple les forces sont d'amplitudes égales et situées symétriquement par rapport à une ligne nodale)
4) La plaque est excitée par des forces correspondant chacune à un signal de période T et telles que F2 =−F1.
(
k t)
A k t
F T
k
k
ω ) 1 2 ( 1cos 2
) 1 ) (
(
0
1 +
+
=
∑
∞ −=
Les points d'application sont (x1 =c, y1 =b 2) et (x2 =a−c, y2 =b 2)
a) Tous les modes dont l'indice n est impair sont excités.
b) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point (x3 =a 2, y3 =b 4)
( )
sin 4 sin 2
) 1 2 ( 2 )
1 2 (
) sin (
2 sin sin )
1 2 ( 1cos 2
) 1 ( ) 4
, ,
( 2 2 2
0 3
3
π π
ζ ω ω
ω
π π
π ρ ω
n m
k j k
a c a m a
c m n
t k k
hab t A
y x w
m n mn T T
T k
k
∑∑
∑
− + + +
−
− + +
= −
∞
=
−
− a
c a m a
c
m ( )
sin
sin π π
sera nul quand m sera pair et
sinm2π
quand m sera impair, donc l'accéléromètre au pont 3 ne verra aucun signal.
c) Exprimer le signal capté par un accéléromètre placé au point (x4 =a 4, y4 =b 4)
( )
sin 4 sin 4
) 1 2 ( 2 )
1 2 (
) sin (
2 sin sin )
1 2 ( 1cos 2
) 1 ( ) 4
, ,
( 2 2 2
0 4
4
π π ζ
ω ω
ω
π π
π ρ ω
n m k
j k
a c a m a
c m n
t k k
hab t A
y x w
m n mn T T
T k
k
∑∑
∑
− + + +
−
− + +
= −
∞
=
Les modes pour lesquels mest pair et n est impair ne sont pas visibles au point 4.
0 a x
y b
0
c c
2 b
1
ENSIM 2eme Année Mai 2007
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Tous documents autorisés Barème : QCM (8) - Pb1 : (8) - Pb2 : (6)
Problème 1 : Rayonnement d'une plaque infinie
Une onde de flexion de nombre d'onde kf se propage sur une plaque infinie en produisant une vitesse vibratoire normale v(x)=v0e−jkfx. Une onde est rayonnée dans l'espace à deux dimensions (x,y) dont la forme est p(x,y)= Ae−j(kxx+kyy).
1) Utiliser cette équation de la pression dans l'équation d'onde ∇2p(x,y)+k2 p(x,y)=0 pour obtenir une relation entre les deux composantes du nombre d'onde kx et ky. Comment s'appelle cette relation ?
2) Quelles relations existe-t-il entre le nombre d'onde de flexion kf et les composantes du nombre d'onde acoustique kx et ky? Expliquer pourquoi.
3) Expliquer votre démarche pour obtenir l'amplitude A de l'onde acoustique rayonnée. Donner l'expression complète de la pression rayonnée en fonction de v0 , de k et de kf .
4) Quelle est la formule qui vous permet de calculer les vitesses particulaires acoustiques en fonction de la pression p(x,y) ? Ecrire cette formule (sans faire les calculs : voir 5) pour ux(x,y) et uy(x,y).
5) En fonction du résultat de la question 3), exprimer ux(x,y) et uy(x,y).
6) Calculer les deux composantes Ix(x,y)et Iy(x,y) de l'intensité acoustique quand k >kf. Quel commentaire pouvez-vous faire ?
7) Calculer les deux composantes Ix(x,y)et Iy(x,y) de l'intensité acoustique quand k <kf . Quel commentaire pouvez-vous faire ?
Problème 2 au verso … / …
θ
x
y
2 Problème 2 : Influence d'une cavité en fond de tube
Soit un tube de longueur L2 et de section S2 monté au fond d'un tube de Kundt de section S1. Ce
tube débouche dans une cavité cylindrique de section S1 et de profondeur L1.
La longueur d'onde acoustique est bien supérieure aux dimensions du système. En x=0, on nomme Z l'impédance définie par le rapport p1 (u1S1) (p1 est la pression dans le tube en x=0 et
u1 la vitesse particulaire correspondante).
1) Exprimer le coefficient de réflexion de l'onde incidente AI en fonction de l'impédance Z.
2) Exprimer Z en fonction des dimensions du petit tube et de la cavité en utilisant deux approches différentes
a) en utilisant le modèle du résonateur de Helmholtz (masse dans le col, raideur du à la pression dans le cavité),
b) en utilisant l'expression des ondes quasi-stationnaires dans le tronçon de sectionS2 et dans la cavité cylindrique (continuité des pression et conservation des débits).
Corrigé du problème 1 : Rayonnement d'une plaque infinie
1) En introduisant la solution p(x,y)= Ae−j(kxx+kyy) dans l'équation des ondes 0
) , ( )
,
( 2
2 + =
∇ p x y k p x y , on obtient
0 )
( 2 + 2 ( ) + 2 ( ) =
− kx ky Ae−j kxx+kyy k Ae−j kxx+kyy ⇒ k2 =kx2+k2y C'est la relation de dispersion.
2) Pour que la composante normale (direction y) de la vitesse particulaire acoustique
) ( 0
) ,
( y j k x k y
y
y
e x
c A k y k x
u = − +
ρ corresponde en tout point à la vitesse vibratoire normale de la plaque, il faut que la fonction qui décrit l'évolution des grandeurs acoustiques selon x soit identique à celle de la vitesse vibratoire e−jkfx, donc que
f
x k
k = , d'où d'après la relation de dispersion ky = k2 −kx2 = k2 −k2f . L1
L2
x
S1 S1
S2
AI
AR
0
3
3) Il suffit d'écrire la relation fondamentale du rayonnement acoustique uy(x,0)=v(x) pour tout x,
x x jk
y jkx f
e v c e
A k
k − −
= 0
ρ0 . kx =kf permet d'obtenir 0cv0 k
A k
y
ρ
= et finalement l'expression de la pression rayonnée
( )
0 0 2 2(
2 2)
0
0 exp( ) exp exp( ) exp
) ,
( f f
f y
f y
k k jy x
jk k
k cv k y
jk x
k jk cv k y
x
p − − −
−
=
−
−
=ρ ρ .
4) C'est la relation d'Euler :
x y x p ck y j
x ux
∂
∂
= −1 ( , ) )
, (
ρ0 et y
y x p ck y j
x uy
∂
∂
= −1 ( , ) )
, (
ρ0 .
5) Composante x et y de la vitesse particulaire acoustique
(
jk y)
x k jk
v k x
y x p ck y j
x
u f y
y f
x = − −
∂
∂
= −1 ( , ) exp( ) exp
) ,
( 0
ρ0
(
jk y)
x jk y v
y x p ck y j
x
uy = − f − y
∂
∂
= −1 ( , ) exp( ) exp
) ,
( 0
ρ0 .
6) Intensité acoustique quand k >kf . ky = k2 −k2f est réel et peut s'écrire aussi ky =kcosθ , de même que kf =kx =ksinθ. L'intensité s'exprime par
{ }
θθ ρ
ρ sin
cos 2 2
) , ( ) , ( 2Re ) 1 ,
( 2
2 0 0 2 2 0
0 cv
k v kk y c
x u y x p y
x I
y f x
x = ∗ = =
{ }
θθ ρ
ρ cos
cos 2 2
) , ( ) , ( 2Re ) 1 ,
( 2
2 0 0 2
0
0 cv
k v k y c
x u y x p y
x I
y y
y = ∗ = =
C'est une onde plane dont le vecteur intensité est orienté dans la direction θ par rapport à la normale.
7) Intensité acoustique quand k <kf. Dans ce cas, ky = k2 −k2f =−j k2f −k2 =−jky : le nombre d'onde est purement complexe et exp(−jkyy)=exp(−ky y). Il s'agit d'une onde évanescente rayonnée dans la direction y. Son intensité Iy(x,y) est nulle.
Corrigé du problème 2 : Influence d'une cavité en fond de tube
1) Dans la partie du tube où x<0, pression et vitesse particulaire s'écrivent )
exp(
) exp(
)
(x A jkx A jkx
p = I − + R et ( ) exp( ) exp( )
0 0
c jkx jkx A
c x A
u I R
ρ
ρ − −
=
En définissant l'impédance par Z = p1 (u1S1) avec p1 = p(x)= AI +AR et c
A c u A
u I R
0 0 1 (0)
ρ ρ −
=
= , on obtient la relation I R
(
AI AR)
c A ZS
A + = −
0 1
ρ où encore
−
= +
I R I
R
A A c ZS A
A 1
1
0 1
ρ , d'où on peut extraire le coefficient de réflexion c
ZS
c ZS
A R A
I R
0 1
0 1
ρ ρ +
= −
= .
2) Calcul de l'impédance Z : dans tous les cas on utilise les relations de conservation des pressions et de continuité des débits :
2
1 p
p = et Q=ρ0u1S1 =ρ0u2S2,
4
avec p2 et u2 la pression et la vitesse dans le tube de section S2 en x=0.
a) la première méthode utilise la relation du résonateur de Helmholtz qui lie la pression en sortie du col avec son débit
−
= −
V c S
L p Q j
2 2 2 2
2
ω
ω .
En reportant cette expression dans celle de l'impédance
−
= −
=
= V
c S
L j Q
p S
u Z p
2 2 2 0 2 2
0 1 1
1 ω
ω ρ ρ
b) la deuxième méthode considère
2 2
2 1 1
1
S u
p S u
Z = p = et exprime la pression p2 et la vitesse u2 en fonction des ondes dans le tronçon x>0. Pour 0≤ x≤L2
) exp(
) exp(
)
(x A jkx A jkx
p = I′ − + R′ et ( ) exp( ) exp( )
0 0
c jkx jkx A
c x A
u I R
ρ ρ
− ′
′ −
= .
Ces deux équations permettent de calculer p2 et u2 en posant x=0 et d'exprimer l'impédance sous la forme
R I
R I
A A
A A S
c S
u Z p
− ′
′ + ′
= ′
=
2 0 2 2
2 ρ
.
Il reste à calculer A′I et A′R en utilisant les relations pour le tronçon L2 ≤x≤L1+L2. L'onde est une onde stationnaire (fond rigide) et A′′= AI′′ = AR′′
) (
cos 2 )
(x A k x L1 L2
p = ′′ − − et 2 sin ( )
)
( 1 2
0
L L x c k
A x j
u ′′ − −
−
= ρ .
On applique en x=L2 la conservation des pressions et la continuité des débits, on obtient deux équations
1 2
2) exp( ) 2 cos
exp( jkL A jkL A kL
AI′ − + R′ = ′′ 1
2 1 2
2) exp( ) 2 cos
exp( A kL
S j S jkL A
jkL
AI′ − − R′ = ′′
que l'on résout par rapport à A′I et A′R ) exp(
sin
cos 1 2
2 1
1 kL jkL
S j S kL A
AI
+
= ′′
′ et cos sin 1 exp( 2)
2 1
1 kL jkL
S j S kL A
AR −
−
= ′′
′ .
On voit que AR′ = A′I∗, donc que
{ } { }
( )
(
1 2)
1 22 1
2 1
2 1 2 1
2 0 2
0 2
0
cos sin
sin cos
sin sin cos
cos Im
Re
kL kL
S S kL kL
kL kL S
S kL kL
S j c A
A S
j c A
A A A S Z c
I I R
I R I
+
− −
′ =
− ′
′ =
′ − + ′
= ρ ′ ρ ρ
.
Pour comparer cette relation à la précédente, il faut se rappeler que le résonateur de Helmholtz est basé sur l'hypothèse que la longueur d'onde acoustique est bien plus grande que ses dimensions.
Elle conduirait donc à écrire coskL1 ≈coskL2 ≈1, sinkL1 ≈kL1 et sinkL2 ≈kL2. L'impédance devient alors
{ } { }
( )
1 1 2 2
2 1 2 2 1 0
2 0 2
0 1
Im Re
S kL S kL
L L k S c S
A j A S
j c A
A A A S Z c
I I R
I R I
+
− −
′ =
− ′
′ =
′ − + ′
= ρ ′ ρ ρ
.
On obtient bien le même résultat qu'en a) en posant L1S1 =V et en considérant que le volume du col L2S2 est négligeable devant celui de la cavité pour que V ≈L1S1+L2S2.
ENSIM 2eme Année Avril 2008
EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2
Documents autorisés
Exercice 1
L’équation des ondes dans une structure unidimensionnelle s’écrit, pour des déplacements s’exprimant en variables complexes, sous la forme
) ( ) ) (
( 2
2 2
x F x w dx m
x w
d +ω =−
α avec =
∑
n n
n x
a x
w( ) φ ( ),
dont la déformée modale φn(x) vérifie l’équation homogène ( ) 2 ( ) 0
2 2
=
+ m x
dx x d
n n
n ω φ
α φ , où ωn est la
pulsation propre.
1) Montrer que ces relations peuvent conduire à l’équation modale
(
ωn2 −ω2)
an Mn = Fn. 2) Exprimer les paramètres Mn et Fn.3) Interpréter ces paramètres en donnant des justifications, ainsi que pour la quantité ωn2Mn. 4) Qu’adviendrait-il si m=m(x) ?
Exercice 2
Il a été vu en cours que dans le cas du changement de section d’un conduit de S1 vers S2, l’amplitude de l’onde plane transmise pouvait s’écrire en fonction de l’amplitude de l’onde incidente
I
T A
S S A S
2 1
2 1
= + .
1) Définissez les pertes de transmission et calculez les dans le cas de ce changement de section.
2) Si
=
22 21
12 11
T T
T
T T est une matrice représentant un système silencieux dont l’entrée est un tube de section S1 et la sortie un tube de section S2, donnez l’expression des pertes de transmission en fonction des sections et des éléments de la matrice.
3) En considérant les pressions et les débits de part et d’autre de l’abscisse x=0 dans la situation représentée par le schéma ci-dessous, donner la matrice T du changement de section telle que
=
2 2 1
1
Q p Q
p T
4) Utilisez cette matrice dans l’expression des pertes de transmission obtenues en 2) et vérifier que vous obtenez le résultat trouvé en 1).
0
1 x
1
Q p
2 2
Q p
Exercice 3
Le schéma ci-dessus représente une barre excitée en traction-compression par une force harmonique F à son extrémité libre. L’autre extrémité est encastrée. Elle comporte en x0 une masse M fixée ponctuellement.
1) Quelle méthode allez vous utiliser pour obtenir le déplacement forcé de cette barre sans avoir recours à une description modale ?
2) Exprimer les conditions aux limites et de continuité en x=0, x=x0, et x=L. 3) Exprimer le déplacement w(x)
0 L
x0
F M
x
Corrigé de l’exercice 1
1) On remplace dans un premier temps la solution =
∑
n n
n x
a x
w( ) φ ( ) dans l’équation des ondes )
( ) ) (
( 2
2 2
x F x a dx m
x
a d n
n n n
n
n +
∑
=−∑
φ ω φα
L’équation homogène permet de remplacer 2
2 ( )
dx x d φn
α par −ωn2mφn(x), d’où ) ( ) ( )
( 2
2 x m a x F x
a
m n
n n n
n n
n + =−
−
∑
ω φ ω∑
φ .Dans l’équation précédente chaque terme est multiplié par φm(x), puis intégré sur le domaine D (la structure)
dx x x F dx x x a
m dx
x x a
m m
D n
D m n
n n
D m n n
nω2
∫
φ ( )φ ( ) ω2∑ ∫
φ ( )φ ( )∫
( )φ ( )∑
− = .En utilisant la relation d’orthogonalité
∫
=
=
D
n n
m
n m dx N
x
x 0 autrement
) pour ( ) ( φ
φ , il apparaît qu’il ne
reste dans la somme que le terme pour lequel n=m. Ainsi l’équation s’écrit
( )
a mN F x m x dxD m m
n2 ω2 ( )φ ( )
ω − =
∫
et peut se mettre sous la forme
(
ωn2 −ω2)
an Mn = Fn. 2) Les paramètres s’expriment donc par∫
=
=
D n n
n mN m x dx
M φ2( ) et F F x n x dx
D
n =
∫
( )φ ( )3) Le terme −ω2anMn a la dimension d’une force et −ω2an représente une accélération : Mn est la masse modale. Fn est la force modale généralisée.
4) Si la distribution de masse n’est pas homogène sur la structure, la relation d’orthogonalité des modes devient
∫
==
D
n n
m
n m dx M
x x x
m 0 autrement
) pour ( ) ( )
( φ φ .
Corrigé de l’exercice 2
1) Les pertes de transmission se définissent par
2 2
2
log 1
10 log
10
T I
T I
A S
A S W
D= W = . En considérant que
( )
2 2 2 1
2
2 4 1
I
T A
S S A S
= + , obtient
( )
2 1
2 2 1
log 4
10 S S
S
D S +
= .
2) Les pertes de transmission pour un système silencieux représenté par une matrice T s’écrit en fonction de ses éléments par (cours)
2
2 22 1 2 21 1 12 2 11 1
log 4
10 S
S T T S S T c c T S S D
+ +
+
= .
3) Puisque les continuités des pressions et des débits s’appliquent, quelque soit la section des tronçons de tube, on a p1 = p2 et Q1 =Q2, donc la matrice du changement de section est une matrice diagonale
unitaire
=
= 0 1
0 I 1
T .
4) Les pertes de transmission s’écrivent alors
( )
2 1
2 2 1 2
2
1 2 1
log 4 4 10
1 log
10 S S
S S S
S S S
D +
=
+
= .
Corrigé de l’exercice 3
1) On va utiliser la méthode de décomposition en ondes forcées décrite au pages 64 à 71, en considérant deux tronçons :
- le tronçon 1 entre x=0 et x=x0, - le tronçon 2 entre x=x0 et x=L,
et en écrivant à chacune de leurs extrémités les conditions aux limite ou de continuité. Les déplacements longitudinaux dans chaque tronçons s'écrivent
( )
( )
x a kx b kx wkx b
kx a x w
cos sin
cos sin
2 2
2
1 1
1
+
=
+
=
avec le nombre d'onde longitudinal k =ω cL =ω ρ E . Dans les calculs suivants on considère des variables complexes en omettant ejωt.
2) Condition de continuité en x=0 (voir p. 61)
( )
0 0
1 F
x x A w E
x
−
∂ =
∂
=
,
Continuité des déplacements et discontinuité de la force en x= x0 )
( )
( 0 2 0
1 x w x
w =
( ) ( )
) ( 0
1 2 0 2 0
1 Mw x
x x A w x E
x A w E
x x
ω
∂ =
− ∂
∂
∂
=
=
en considérant w&&(x)=−ω2w(x) Condition aux limite en x=L (barre encastrée)
0 )
2(L = w
3) Calculer le déplacement dans les deux tronçons, c'est exprimer les coefficients a1, a2, b1 et b2 à l'aide des 4 équations définissant les conditions aux limites et de continuité. On a
(
a kx b kx)
k dx x
dw1( ) = 1cos − 1sin et dw2(x) dx=k
(
a2coskx−b2sinkx)
Les relation en x=0 et x=L conduisent à
EAk
a1 =− F0 et kL a
b tan
2
2 =− . Les deux relations en x0
x= permettent de construire un système permettant d'obtenir b1 et a2.
