Feuille 6,
Algèbre commutative
N. Perrin
À rendre le 12.03.2018 Correction le 20.03.2018
Exercice 1 (9×10 = 90 Points) Soitkun corps etV un k-espace vectoriel.
Soitf ∈Endk(V).
1. Montrer queV peut être muni d’une structure dek[X]-module en posant X·v=f(v)pour toutv∈V.
2. Soit W ⊂V un sous-espace vectoriel. Montrer queW est un sous-k[X]- module deV si et seulement siW est stable par f.
3. Soitv∈V. Montrer quev est un vecteur propre def si et seulement sikv est un sous-k[X]-module deV. Montrer dans ce cas que si de plusλest la valeur propre dev alors on a un isomorphisme dek[X]-moduleskv'k[X]/(X−λ).
4. Montrer quef est diagonalisable de valeurs propres(λi)si et seulement si V est isomorphe, commek[X]-module, à la somme suivante
M
i
k[X]/(X−λi).
5. Soit P un polynôme. Montrer que ker(P(f))est un sous-k[X]-module de V.
6. Soient P etQdeux polynômes premiers entre eux tels que(P Q)(f) = 0.
Montrer queV se décompose en somme directe dek[X]-modules
V = ker(P(f))⊕ker(Q(f)).
7. Soitµfle polynôme minimal def et soitµf =P1α1· · ·Prαrsa décomposition en facteurs irréductibles. Montrer que l’on a une décomposition en somme directe dek[X]-modules:
V '
r
M
i=1
ker(Piαi(f)).
8. Supposonsµf = (X−λ)α etdimV =α. Montrer queV est isomorphe à
k[X]/(X−λ)α⊕
s
M
i=1
k[X]/(X−λ)βi
1
où βi ≤ α. Montrer que dans chacun des sous-modules k[X]/(X −λ)α et k[X]/(X−λ)βi qu’il existe une base telle que la matrice de f dans cette base s’écrive comme une matrice de taille (αrespectivementβi) :
λ 1 0 · · · 0 0 λ . .. . .. ... ... . .. . .. . .. 0
0 . .. λ 1
0 0 · · · 0 λ
9. Retrouver l’existence d’une décomposition de Jordan lorsque le corpskest algébriquement clos.
Exercice 2 (10 Points) SoitAun anneau,S ⊂Aune partie multiplicative et M de type fini. Montrer queS−1M = 0si et seulement s’il existes∈S tel que sM= 0.
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