LIMITES DE FONCTIONS TD
Limites de fonctions – TD 14
Exercice 1 – A savoir refaire. L’idée est toujours la même : revenir à la définition de limite Soienta∈R∪{−∞,+∞},metMdeux réels etf une fonction définie sur un voisinage dea.
1. Montrer que sif tend vers une limite`et sim<`, alors la fonctionf est minorée parmau voisinage dea.
2. Montrer que sif tend vers une limite`et si`<M, alors la fonctionf est majorée parMau voisinage dea.
3. Montrer que si f tend vers une limite`et sim<`<M, alors la fonction f est minorée par met majorée parM au voisinage dea.
Exercice 2
Soitf:R→Rune fonction périodique.
1. Montrer quef ne peut pas tendre vers+∞ou vers−∞en+∞. 2. On suppose quef possède une limite finie en+∞. Que dire def? Exercice 3
Soitf:]0,+∞[→Rune fonction telle que : lim
x→0f(x)=0 et lim
x→0
f(2x)−f(x) x =0.
1. Simplifier la somme
n
X
k=1
µ f
µ x 2k−1
¶
−f µ x
2k
¶¶
+f³ x 2n
´ . 2. Déterminer la limite deg:x7→f(x)
x en 0.
Exercice 4
Déterminer les limites suivantes, lorsqu’elles existent : 1. lim
x→+∞
x2+x+1 x+1 . 2. lim
x→+∞
x−p x ln(x)+x. 3. lim
x→0
p1+x−p 1−x
x .
4. lim
x→0
p1+sin(x)−p
1−sin(x)
tan(x) .
5. lim
x→0xx. 6. lim
x→0
sin(3x) tan(x). 7. lim
x→0(1+x)1x. 8. lim
x→1ln(x)×ln(ln(x)).
9. lim
x→0
¡ln(1+x)¢x
. 10. lim
x→+∞ex−cos(x). 11. lim
x→+∞
x+Arctan(x)
x .
12. lim
x→+∞
x2×cos¡ e2x¢ x3+x2+1 . 13. lim
x→1
2x−2 x−1.
14. lim
x→0
1−cos(x) x2 . 15. lim
x→0
ex2−cos(x) x2 . 16. lim
x→0
tan(x)−sin(x) x3 . 17. lim
x→0
ln¡ cos(x)¢
x2 . 18. lim
x→0(cos(x)+sin(x))1x. 19. lim
x→0
xס
1−cos(x)¢ sin(3x)−3 sin(x). 20. lim
x→0
¹1 x º
. 21. lim
x→23
x×
¹1 x º
. 22. lim
x→+∞x×
¹1 x º
. 23. lim
x→0x×
¹1 x º
. 24. lim
x→25
x×
¹1 x º
. 25. lim
x→0x2×
¹1 x º
.
26. lim
x→0+|ln(x)|ln(x)1 . 27. lim
x→0+x×sin¡ ln(x)¢
. 28. lim
x→0+
µ1 x+ln(x)
¶ . 29. lim
x→0+
1 x× bxc. 30. lim
x→π2
sin(2x) π−2x. 31. lim
x→+∞
1 x× bxc. 32. lim
x→+∞
px2+x+1 x+1 . 33. lim
x→−∞
px2+x+1 x+1 . 34. lim
x→π6
p3×sin(x)−cos(x) x−π6 . 35. lim
x→0
(−1)¥1x¦ x . 36. lim
x→0x×sin µ1
x
¶ . 37. lim
x→0sin µ1
x
¶ .
Exercice 5
Soit (p,q)∈N2. En discutant selon les valeurs depetq, déterminer la limite en 0 de la fonctionx7→x−sin(p×x) x−sin(q×x). Exercice 6
En discutant selon les valeurs dem∈R, déterminer la limite en+∞de la fonctionx7→p3
x3+x2+1+m×x.
Exercice 7
Soitf: [0,+∞[→Rune fonction strictement croissante qui admet une limite finie`∈Ren+∞. Montrer que, pour toutx∈R,f(x)<`.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
