C f 0 f est une fonction définie et dérivable sur −2,5 ; 1,5. On connait la représentation gra- phique de safonction dérivée f0(mais pas celle de la fonctionf!).

(1)

PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.5:DÉRIVATION(2)FICHE1

Soitf une fonction définie et dérivable sur

−2 ; 5 Le signe de la dérivéef⁰ est le suivant : .

x signe de f⁰(x)

-2 0 2 5

+ 0 − 0 +

1) Donner le sens de variation de la fonctionf sur

−2 ; 5 . 2) Est-il possible d’avoirf(0)> f(2) ?

3) Est-il possible d’avoirf(−2)> f(0) ?

4) Peut-on affirmer quef(0) est le maximum def sur

−2 ; 5

?

Exercice 2

Soitg une fonction définie et dérivable sur

−4 ; 5 Le sens de variation degest le suivant : .

x variation de

g

-4 -1 2 5

11 00 33

00 1) Donner le signe deg sur

−4 ; 5 .

2) Donner le signe de la dérivéeg⁰ deg sur

−4 ; 5. 3) Est-il possible d’avoirg⁰(3) =1

2? et g(3) = 1 2? 4) Est-il possible d’avoirg⁰(0) = 2 ? etg⁰(1) = 0 ?

Exercice 3

−3 −2 −1 1 2 3 x y

−5

−4

−3

−2

−1 1 2

C ^f

•

f est une fonction définie et dérivable sur −3 ; 3

La représentation graphique de. f est donnée ci- contre.

1) Compléter - par lecture graphique - le tableau de variation suivant :

x signe de f⁰(x)

variation de f

-3 . . . 3 . . . . . . . . . . . .

2) Sachant que f(x) = x⁴−8x²

4 , vérifier (ou corriger) - par le calcul - les résultats obtenus par lecture graphique.

(2)

−3 −2 −1 1 2 x y

−3

−2

−1 1 2 3

C f ⁰

_f est une fonction définie et dérivable sur −2,5 ; 1,5. On connait la représentation graphique de safonction dérivée f⁰(mais pas celle de la fonctionf!).

1) Donner le signe def⁰(x) sur

−2,5 ; 1,5. 2) Donner le tableau de variation de f sur

−2,5 ; 1,5.

Exercice 5

On considère la fonctionf(x) = 3x²−4x+ 2 définie surR.

Calculerf⁰(x) puis dresser le tableau de variation def sur

−2 ; 2.

Exercice 6

On considère la fonctiong(x) =x²−3x+ 6

x−1 définie sur R− {1}. Calculerg⁰(x) puis dresser le tableau de variation def sur1 ; 6.

Exercice 7

Soitf(x) =x³−6x²+ 9x+ 1 pour toutx∈

−1 ; 5 et Cf la courbe représentative def. 1) Dresser le tableau de variation de f.

2) La fonction possède-t-elle des extremums globaux sur

−1 ; 5

? Si oui lesquels ? 3) La fonction possède-t-elle des extremums locaux sur

−1 ; 5

? Si oui lesquels ? 4) Tracer Cf à l’aide de la calculatrice.

Indiquer la fenêtre choisie.

Exercice 8

x signe def⁰(x)

variation de f

-2 -1 1 4

+ 0 − 0 +

−5

00

−1

33 2

0

1) La fonction f admet-elle des extremums globaux sur

−2 ; 4

? 2) La fonction f

admet-elle des extremums locaux pour x =−1 ? pour x= 2 ? Justifier.

(3)

−1 1 2 3 x y

0 1 2 3 4 5

•D

•M

P

Soitfla fonction définie surRpar :f(x) =x²−3x+4 et P sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit D le point de coordonnées (0 ; 1).

On souhaite déterminer la position du point M de P qui minimise la distance DM.

1) Exprimer DM en fonction de l’abscissexde M.

2) Soitd(x) =x⁴−6x³+ 16x²−18x+ 9 pour toutx deR.

a) Donner une condition nécessaire pour que d(x) soit minimale.

b) Montrer qued⁰(x) = (x−1)(ax²+bx+c) où a,b,c sont trois nombres à déterminer.

3) En déduire les coordonnées du point M0dePqui minimise lad distance DM.

4) Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite (DM) et de la tangente (T) àP en M0. Que remarque-t-on sur les droite (DM) et (T) ?

Exercice 10

1

l h

A B

C D

O H

α

Dans un tronc d’arbre circulaire, on découpe une poutre de forme parallélépipédique rectangle. La ré- sistance à la flexion de cette poutre varie comme le produit l ×h² où l et h sont les deux dimensions ci-contre :

On prend comme unité de longueur le rayon du tronc d’arbre.

1) Montrer queh²= 4−l². 2) En déduire quelh²=−l³+ 4l. 3) Soit f(x) =−x³+ 4xavecx>0.

a) Étudier le sens de variation de f sur 0 ; +∞

.

b) Comment choisirlethpour que la poutre résiste au mieux à la flexion ?

4) Quel est l’angleαcorrespondant à 0,1^◦ près ?

Exercice 11

A

B C

D

x ×

×

E•

F I• •

x

ABCD est un carré de côté 1. Les points E et F appartiennent respectivement à la demi-droite [Ax) et au segment [DC] et vérifient AE = CF. I est le point d’intersection des droites (AB) et (EF).

On pose AE =x.

1) Démontrer que, pour tout x∈ 0 ; 1

: AI =f(x) =x−x²

x+ 1 2) Calculer la fonction dérivéef⁰ def.

(4)

Soitf la fonction définie surRpar :

f(x) = x²(−2x⁴+ 15x²−24) 12

1) Montrer que la fonctionf⁰ def peut s’écriref⁰(x) =−x(x²−1)(x²−4).

2) Étudier le signe def⁰(x) surRpuis dresser le tableau de variation de f. 3) Quel est le maximum def sur

−2,3 ; 2,3? Pour quelle valeur dexest-il atteint ? 4) Quel est le minimum def sur

−2,3 ; 2,3

? Pour quelle valeur dexest-il atteint ? 5) Calculer les coordonnées de Cf avec l’axe des ordonnées.

6) Tracer Cf à l’aide de la calculatrice et vérifier les résultats obtenus.

Exercice 13

x x

50

80

On dispose d’une feuille de carton rectangulaire de 80 cm sur 50 cm avec laquelle on veut fabriquer une boîte en découpant 4 carrés égaux de côté x et en repliant les quatre rectangles obtenus.

1) Donner en fonction de xla hauteur, la largeur et la longueur de la boîte obtenue.

2) Montrer que V(x) = 4x³−260x²+ 4000x. a) Sur quel intervalle est définie la fonction

V ?

b) Pour quelle valeur de x le volume V(x) est-il maximal ?

c) Donner alors les dimensions de la boîte et son volume.

Exercice 14

A B

C D

M I

H

ABCD est un carré de côté 4 cm.

Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d’intersection de [DM] et [AC].

x la longueur AM, et A(x) l’aire totale des deux triangles AMI et DIC.

1) CalculerA(0) etA(4).

2) Soit h la hauteur issue de I dans le triangle AMI.

Montrer que h 4−h= x

4 puis queh= 4x x+ 4. 3) Montrer queA(x) =2(x²+ 16)

x+ 4 sur0 ; 4. 4) Étudier le sens de variation deA et en déduire

la position de M pour laquelle l’aire totale est minimale.

(5)

B C

D A

T

N

M

ABCD est un carré de côté 1. Γ est le quart de cercle de centre A et de rayon AB contenu dans le carré ABCD. T est un point quelconque de Γ.

La tangente à Γ en T coupe [BC] en M et [CD] en N.

On cherche où placer T pour que la distance MN soit minimale.

On pose BM =xet DN =y.

1) En considérant les triangles ATM et ABM, dé- montrer que MT =x.

2) En déduire que MN =x+y.

3) Montrer que MN²= (1−x)²+ (1−y)². 4) En déduireyen fonction dexpuis montrer que

MN = x²+ 1 x+ 1.

5) On notef(x) = x²+ 1 x+ 1 .

Étudier le sens de variation de la fonctionf sur 0 ; 1

. Conclure.

Exercice 16

z

h

r 6 O×

z

h

r 6 O×

Comme sur la figure ci-contre, on inscrit un cylindre d’axe (Oz) de rayonret de hauteurhdans la demi-sphère de centre O et de rayon 6 cm.

1) Montrer quer²= 36−h². 2) À quel intervalle appartienth?

3) On veut déterminer la hauteurhet le rayon r de ce cylindre pour qu’il ait un volume maximal.

a) Montrer que le volume du cylindre en fonction de sa hauteur est :

V(h) = 36πh−πh³

b) Déterminer les dimensions du cylindre de volume maximal et préciser la valeur de ce volume.

(6)

A B

C D

E F

H G

G⁰

F⁰ E⁰

H⁰ D⁰ A⁰

30cm

30 cm xcm

xcm

× ×

×

× ×

×

fig. 1

A B

C D

E F

H G xcm

fig.2

La figure 1 ci-contre représente le patron du parallélépipède de la figure 2.

Ce patron est fabriqué à partir d’une feuille de cartonnée carrée de 30 cm de côté.

1) Démontrer que le volume V(x) du parallélépipède rectangle ABC- DEFGH s’exprime en cm³ par V(x) = 2x(15−x)²,x∈

0 ; 15 . 2) Exprimer V(x) sous forme dé- veloppée puis étudier le sens de variation de la fonction V sur 0 ; 15

.

3) Tracer la courbe représentant V à l’aide de la calculatrice.

4) Le parallélépipède ainsi obtenu est une boîte de lait. Le fabricant voudrait que le volume de la boîte soit de 0,5 litres, c’est à dire 500 cm³.

a) Combien de valeurs dexcor- respondent à des boîtes de 500 cm³? Justifier.

b) Déterminer les valeurs ap- prochées à 0,1 près de ces valeurs de x. Quelle est celle que retiendra le fabricant ?

(7)

Partie A : Étude d’une fonction Soitf la fonction définie sur l’intervalle

0 ; 12 par : f(t) = 2t²+ 10t+ 2

t²+ 1

1) Démontrer que la fonction dérivée def est définie sur l’intervalle 0 ; 12

par : f⁰(t) = 10(−t+ 1)(t+ 1)

(1 +t²)² 2) a) Étudier le signe def⁰(t) sur l’intervalle

0 ; 12 .

b) Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle0 ; 12. Pourf(12) on fera figurer la valeur approchée arrondie à 10⁻¹.

3) a) Résoudre par le calcul dans0 ; 12, l’équationf(t) = 3. Donner les valeurs approchées arrondies à 10⁻¹ des solutions.

b) En déduire l’ensemble des solutions dans 0 ; 12de l’inéquationf(t)63.

Partie B : Application

Un sportif a absorbé un produit dopant.

On admet quef(t) représente le taux de produit dopant, enµg/L, présent dans le sang de ce sportif en fonction du tempst, en heures, écoulé depuis l’absorption durant les douze heures qui suivent cette absorption.

1) Déterminer par le calcul le taux de produit dopant présent dans le sang du sportif au bout de 2 heures et 30 minutes. Arrondir à 10⁻¹.

2) Au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang du sportif est-il maximal ?

3) Les règlements sportifs interdisent l’usage de ce produit dopant. Le taux maximum autorisé est de 3µg/L.

Déterminer au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang de ce sportif redescend en dessous de 3µg/L.

(8)

Paul est ingénieur dans l’aéronautique. Il travaille sur un projet de capsule spatiale dont le profil supérieur est donné par la fonction définie sur

−4 ; 4par : f(x) = 24

x²+ 4

Sur le dessin de droite - plan de coupe - la coiffe de l’engin est représentée par la courbeCf de la fonctionf.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 1

2 3 4 5 6

0

B A

C

^f

Partie A : Étude du profil supérieur 1) Montrer que la dérivée def sur

−4 ; 4 est : f⁰(x) = −48x

(x²+ 4)² 2) Compléter alors le tableau de variations def sur

−4 ; 4: x

signe def⁰(x) variation de

f

-4 ? 4

+ 0 −

3) Pour des questions d’aérodynamisme Paul se demande s’il ne faudrait pas remplacer la coiffe de l’engin - uniquement sur l’intervalle

−2 ; 2- par un cône de révolution.

Sur le plan de coupe, on note C le point de Cf de coordonnées (2 ; 3).

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 1

2 3 4 5 6

0

B A

•C

D•

C

^f

4) Déterminer l’équation réduite de la tangente (T) à Cf au point C.

5) Calculer les coordonnées du point d’intersection de (T) avec l’axe des ordonnées. Justifier.

6) Tracer (T) et compléter la figure par symétrie.

(9)

1) Finalement Paul décide de garder le premier profil. L’habitacle est représenté - en coupe - par le rectangle MNPQ où M et N sont deux points mobiles de Cf d’abscisses opposées. P et Q appartiennent à l’axe des abscisses.

On notexl’abscisse de M,x∈ 0 ; 4

.

Pour des raisons techniques on souhaite que l’aire du rectangle MNPQ soitmaximale.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 1

2 3 4 5 6

0

x M N

Q P

A B

C

^f

Montrer que l’aire du rectangle MNPQ est alors égale à : A(x) = 48x

x²+ 4 avecx∈0 ; 4 2) Un logiciel de calcul formel indique :

A⁰(x) = 48(4−x²) (x²+ 4)² Vérifier que ce résultat est correct.

3) a) Étudier le signe deA⁰ sur 0 ; 4

.

b) Dresser le tableau de variation de A sur 0 ; 4

.

4) Quel est le maximum de A ? Pour quelle valeur dexest-il atteint ?

(10)

On considère un demi-cercle de diamètre [AB] avec AB = 6. H est un point du segment[AB] distinct de A et de B.

• La perpendiculaire à (AB) passant par en H coupe le demi-cercle en un point M.

• K est le pied de la hauteur issue de H dans le triangle MHB.

On notexla longueur AH.

x

A H B

M

K

L’objectif est de déterminer pour quelle(s) position(s) de H, la longueur HK estmaximale. On posef(x) = HK.

1) En exprimant cos (\BAM) de deux manières différentes, prouver que AM = √ 6x. 2) Justifier que les droites (HK) et (AM) sont parallèles et en déduire que :

f(x) =

√6

6 (6−x)√ x 3) Étudier les variations def sur

0 ; 6

et répondre alors au problème posé.