5 Sommes et produits.

M ath ematiques ´ - ECS1

5

S ommes et produits

Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles

2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

5 Sommes et produits.

5.1 Objectifs

Emploi du raisonnement par récurrence.

Formules donnant :

n

X

k=0

q^k,

n

X

k=1

k.

Tout exposé théorique sur le raisonnement par ré- currence est exclu.

Exemple : formules donnant

n

X

k=1

k²,

n

X

k=1

k³. NotationsP,Q.

Définition den!.

Les étudiants doivent savoir employer les no- tations

n

X

i=1

ui et X

i∈A

ui où A désigne un sous- ensemble fini deNouN².

5.2 Sommes simples

5.2.1 Propriétés du symboleX

Soientn∈N^∗eta1,a2, . . . ,ndes nombres complexes.

On désigne par

n

X

k=1

akla somme de tous les nombres complexesa1,a2, . . . ,n, c’est à dire

n

X

k=1

a_k=. . . . Plus généralement, si 1≤p≤nalors

n

X

k=p

ak=. . . .

Proposition 1. Soient n ∈ N^∗, p ∈ N^∗ etλ,a₁,a₂, . . . ,a_n,b₁,b₂, . . . ,b_n des nombres complexes.

(1)

n

X

k=p

(ak+bk)=. . . .

(2)

n

X

k=p

(λa_k)=. . . .

(3)

p

X

k=1

ak+

n

X

k=p+1

ak=. . . .

Exemple 1. Réexprimer les sommes suivantes avec le symboleX

2

5.2 Sommes simples ³

(1) 1+2+3+4+· · ·+24 (2) 1²+2²+· · ·+17²

(3) 1−2+3−4+5−6+· · ·+27−28 (4) ln 1+ln 2+ln 3+· · ·+lnn

(5) 1+¹₂ +¹₄ +¹₈ +· · ·+₂₀₄₈¹ (6) a1b1+a2b2+a3b3+· · ·+aqbq

(7) 1+3+5+7+· · ·+43

(8) z1+z3+z5+· · ·+z33

(9) z1−z2+z3−z4+· · ·+z31−z32

(10) 1+2x+3x²+4x³+· · ·+30x²⁹ (11) 1+^x₂+^x₃²+^x₄³ +· · ·+^x₂₀¹⁹ (12) a0b9+a1b8+a2b7+· · ·+a9b0

(13) aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+· · ·+a²bⁿ⁻³+abⁿ⁻²+ bⁿ⁻¹

(14) e+_e¹2 +e³+_e¹4 +· · ·+e²¹+_e¹22

5.2.2 Changement d’indice dans une somme Dans l’expression

n

X

k=1

ak la lettre k est l’indice de sommation : c’est une variable muette.

On peut la remplacer par n’importe quelle autre lettre ou symbole. Ainsi

n

X

k=1

ak=

n

X

j=1

aj=

n

X

♣=1

a♣

Exercice1.On poseS =a4+a5+a6+· · ·+a20. Compléter les trous :

S =

···

X

j=···

aj=

···

X

j=0

a···=

···

X

j=···

aj+2

Soientn ∈ N^∗,p ∈ N^∗et` ∈ N<sup>∗</sup> tels que 1 ≤ p ≤ neta1,a2, . . . ,an+` des nombres complexes. Alors

n

X

k=p

ak+`=. . . .

On dit qu’on a fait lechangement d’indice j=k+`.

Remarque1.Dans la somme suivante :

p

X

j=0

b_2j peut-on faire le changement d’indicek=2j?

Peut-on faire le même changement d’indice dans la somme suivante

p

X

k=1 kpair

b_k?

Exercice2.Compléter les trous :

n−1

X

j=1

aj+1 =

···

X

j=···

aj=

···

X

j=0

a···=

···

X

j=···

aj−1

4 Sommes et produits.

Exercice3.Simplifier la somme

n

X

k=1

kq^k−1oùqest un nombre complexe tel queq,1.

Exercice4.Montrer que

n

X

k=0

cos kπ n

!

=0.

5.2.3 Sommes télescopiques

Soientn∈N, `∈N,p∈N, 1≤p≤neta1,a2, . . . ,andes nombres complexes.

Sia_kest de la formeu_k+1−u_k pour une familleu1, . . . ,u_n+1 de nombres complexes alors la somme

n

X

k=1

ak=

n

X

k=1

(uk+1−uk) se simplifie pour donner

n

X

k=1

(uk+1−uk)=. . . .

En effet,

n

X

k=1

(u_k+1−uk)=(u₂−u1)+(u₃−u2)+(u₄−u3)+. . .+(u_n+1−un)

=. . . .

Exemple 2. Simplifier les sommes de la série (1)−(4) et dans la série (5)−(9), repérer les sommes téléscopiques et les simplifier.

(1)

n−2

X

k=1

uk+2−uk+1

(2)

n+1

X

k=2

uk−uk−1

(3)

n+1

X

k=2

uk−2−uk−1

(4)

n−2

X

k=2

u_k+1−u_k

(5)

n−2

X

k=1

1 k+1 −1

k (6)

n

X

k=1

(k²+1)−k²

(7)

n+1

X

k=2

k

k+1 −k−1 k (8)

n

X

k=1

(k+1)²−k²

(9)

n−1

X

k=2

k(k+2)−(k+1)k

Exercice5.Calcul des sommes

n

X

k=1

k,

n

X

k=1

k²,

n

X

k=1

k³,

n

X

k=1

q^k

5.2 Sommes simples ⁵

Proposition 2. Soit n∈N^∗.

n

X

k=1

k=. . . .

n

X

k=1

k²=. . . .

n

X

k=1

k³=. . . .

5.2.4 Produits

On désigne par

n

Y

k=p

akle produit de tous les nombres complexesap,ap+1, . . . ,an, c’est à dire

n

Y

k=p

ak=. . . .

Par exemple, le produit des entiers de 1 ànest

n

Y

k=1

k=1×2×. . .×n.

Définition 1. Le nombre

n

Y

k=1

k, est notén! et s’appelle factoriellen.

Exemple 3. 3!=6, 5!=120, 10!

(2!)(8!) =10×9 2 =45

Proposition 3. Soient n∈N,n≥1, p∈N, p≥1etλ,a1,a2, . . . ,an,b1,b2, . . . ,bndes nombres complexes.

(1)

n

Y

k=p

(a_kb_k)=. . . .

(2)

n

Y

k=p

(λak)=. . . .

(3) si ap, . . . ,ansont des nombres réels alorsexp











n

X

k=p

ak









=. . . .

(4) si ap, . . . ,ansont des nombres réels strictement positifs alors

ln











n

Y

k=p

ak









=. . . .

6 Sommes et produits.

Exercice6.Calculer

n

Y

k=1

1+1 k

!k

et

n−1

Y

k=1

e^2ikπn

5.3 Sommes doubles

5.3.1 Généralités

On considère une famille de nombres réels ou complexes indexés par deux indices : un indiceivariant entre 1 etnpour un entierndonné et un indice jvariant entre 1 etppour un entierpdonné.

On peut représenter ces nombres dans un tableau où l’indiceireprésente le numéro de ligne et l’indice jle numéro de colonne :

H HH

HH i

j 1 2 3 . . . p

1 a11 a12 a13 . . . a1p

2 a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . . a_2p

... ... ... ... ... ...

n an1 an2 an3 . . . anp

La somme de tous les élémentsai jde ce tableau est notée X

1≤i≤n 1≤j≤p

ai j.

Pour la calculer, on peut soit faire la somme des termes ligne par ligne et on a alors X

1≤i≤n 1≤j≤p

ai j =. . . .

soit faire la somme des termes colonne par colonne et on a alors X

1≤i≤n 1≤j≤p

a_{i j} =. . . .

Exercice7.Calculer X

1≤i,j≤n

i j

Exercice8.On poseai,j = min(i,j)pour1 ≤ i ≤net1 ≤ j ≤ n. Calculer la somme X

1≤i,j≤n

ai,j

5.3 Sommes doubles ⁷

5.3.2 Sommes partielles

On peut vouloir ne calculer la somme que pour un certain nombre des termesai j, on parle alors de somme partielle.

H HH

HH i

j 1 2 3 4 . . . p

1 a11 a12 a13 a14 . . . a1p

2 a21 a22 a23 a24 . . . a2p

... ... ... ... ... ... ...

n a_n1 a_n2 a_n3 a_n4 . . . a_np Si∆est l’ensemble des indices des termes à sommer, on écrira : X

(i,j)∈∆

a_i,j

Exemple 4. On supposen=pet on veut faire la somme des termes diagonaux.

HH HH

H i

j 1 2 3 . . . n−1 n

1 a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1,n−1 a_1n

2 a21 a22 a23 . . . a2,n−1 a2n

3 a31 a32 a33 . . . a3,n−1 a3n

... ... ... ... ... ... ...

n-1 an−1,1 an−1,2 an−1,3 . . . an−1,n−1 an−1,n

n a_n1 a_n2 a_n3 . . . a_n,n−1 a_nn

∆ =n

(i,j)∈~1,n² i= jo

, X

(i,j)∈∆

ai,j=. . . .

Exemple 5. On supposen = p et on veut faire la somme des termes sous-diagonaux au sens large.

HH H

HH i

j 1 2 3 . . . n−1 n

1 a11 a12 a13 . . . a_1,n−1 a1n

2 a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . . a_2,n−1 a_2n

3 a31 a32 a33 . . . a3,n−1 a3n

... ... ... ... ... ... ...

n-1 an−1,1 an−1,2 an−1,3 . . . an−1,n−1 an−1,n

n an1 an2 an3 . . . a_n,n−1 a_nn

∆ =n

(i,j)∈~1,n² i≥ jo

, X

(i,j)∈∆

a_i,j=. . . .

Si on fait la somme ligne par ligne, on a alors

n

X

1≤j≤i≤n

ai,j=. . . .

Si on fait la somme colonne par colonne, on a alors

n

X

1≤j≤i≤n

ai,j=. . . .

8 Sommes et produits.

Exemple 6. On supposen = p et on veut faire la somme des termes sous-diagonaux au sens strict.

H HH

HH i

j 1 2 3 . . . n−1 n

1 a11 a12 a13 . . . a1,n−1 a1n

2 a21 a22 a23 . . . a2,n−1 a2n

3 a₃₁ a₃₂ a₃₃ . . . a_3,n−1 a_3n

... ... ... ... ... ... ...

n-1 an−1,1 an−1,2 an−1,3 . . . an−1,n−1 an−1,n

n an1 an2 an3 . . . an,n−1 ann

∆ ={(i,j)∈~1,n²|i>j}, X

(i,j)∈∆

ai,j=. . . .

Si on fait la somme ligne par ligne, on a alors

n

X

1≤j<i≤n

ai,j=. . . .

Si on fait la somme colonne par colonne, on a alors

n

X

1≤j≤i≤n

ai,j=. . . .

Exercice 9.On posea_i,j = i

j+1 pour 0 ≤ i ≤ n et0 ≤ j ≤ n. Calculer la somme X

0≤i≤j≤n

ai,j.

5.4 Exercices.

Exercice10. Calculer les sommes suivantes :

n

X

k=1

k(k−1)(k+1),

n

X

k=2

−2 3

!k

,

n+1

X

k=3

1

k+2− 1 k+1

! ,

n

X

k=1

(−1)^k2^k+1,

n−1

X

k=2

ln k+1 k

! ,

n+1

X

k=3

k2^k−1.

3n+1

X

k=1

e^2ikπ3 ,

3n+2

X

k=2

(−1)^ke^2ikπ3 ,

3n+1

X

k=1

coskθ,

n

X

k=1

sinkθ,

2n−1

X

k=0

2^k2,

2n

X

k=0

(−1)^k2^2k−1,

n

X

k=0

2^k3^n−k,

n

X

k=0

(−1)^k2^n−k,

n

X

k=1

(nk−1),

n+4

X

k=3

(k−2)²

5.4 Exercices. ⁹

n

X

k=1

k(k−1),

n

X

k=2

1 k²−k,

n

X

k=1

1 k(k+1)(k+2),

Exercice11. Simplifier les sommes :

n

X

k=1

(−1)^k−1k,

n

X

k=1

(−1)^k−1k²

Exercice12. Calculer les sommes suivantes

n

X

k=1

k²q^k,

n

X

k=1

kk!,

Exercice13. En utilisant judicieusement la dérivation, simplifiez les sommes suivantes :

n

X

k=0

ke^kx,

n

X

k=1

kcos(kx),

Exercice14. Calculer les sommes doubles suivantes : X

1≤i,j≤n

min(i,j), X

1≤i<j≤n

i

j, X

1≤i,j≤n

2^max(i,j), X

1≤i,j≤n

j(i²+j)

Exercice15. Soienta1, . . . ,an,b1, . . . ,bndes réels. Montrer que X

1≤i<j≤n

(aj−ai)(bj−bi)=n

n

X

k=1

akbk−









n

X

k=1

ak

















n

X

k=1

bk









Exercice16. Soienta1,a2, . . . ,anetsdes nombres réels ou complexes tels que

n

X

k=1

ak=

n

2s.Montrer que

n

X

k=1

(s−ak)²=

n

X

k=1

a²_k.

Exercice17. Soitn∈N^∗.Montrer que

n

X

k=1

1

(2k−1)(2(n−k)+1) =1 n









n

X

k=1

1 2k−1









10 Sommes et produits.

Exercice18. On pose f₀ =0,f₁ =1 et pour toutn ∈ N,f_n+2 = f_n+1+ f_n. Montrer les égalités suivantes

(a)

n−1

X

k=0

fk= fn+1−1

(b)

n−1

X

k=0

f2k+1= f2n

(c)

n

X

k=0

f_k²= fnfn+1

Exercice19. Calculer les produits suivants :

n

Y

k=1

1+1 k

!k

,

n

Y

k=2

1− 1 k²

!

Exercice20. Soitnetkdes entiers tels que 1≤k<n. Montrer que (n!)²<k!(2n−k)!.

Exercice21. Montrer que pour tout entiern≥1, (2n)!<2²ⁿ(n!)².

Exercice22. Soit (an) une suite arithmétique dont les termes sont strictement positifs.

Montrer que

n−1

X

k=1

√ 1 ak+√

ak+1

= n−1

√a1+√ an

et

2m

X

k=1

(−1)^k−1a²_k= m

2m−1(a²₁−a²_2m)

Exercice23. Simplifier la somme

n

X

k=1

x^k+ 1 x^k

!2

.

Exercice24. Soitθ∈R.Simplifier la somme

n

X

k=1

sin²(2k−1)θ

5.5 Indications pour les exercices ¹¹

Exercice25. Soitf une fonction définie et dérivable surR⁺telle que f⁰est croissante.

(1) Montrer que : pour toutx≥0,f⁰(x+1)≥ f(x+1)−f(x)≥ f⁰(x).

(2) Utiliser ce résultat, pour montrer que 2

3

p(n+1)³−1

≥

n

X

k=1

√ k≥2

3

√ n³

5.5 Indications pour les exercices

Indication pour l’exercice12. Pour la première somme, penser aux formules de dériva- tion : (x^k)⁰=kx^k−1et (x^k)⁰⁰ =k(k−1)x^k−2et réecrirek²q^ksous la formek(k−1)q^k−2×q²+ kq^k−1×q.

Pour la seconde, écrirek=k+1−1 puis faire apparaître un télescopage.

Indication pour l’exercice13. Le casx=0 est clair et pour le casx,0, passer par une somme géométrique en remarquantke^kx =(e^kx)⁰pour la première ou une somme trigono- métrique en remarquantkcos(kx)=(sin(kx))⁰pour la seconde.

Indication pour l’exercice18. On peut procéder par récurrence surnou exploiter un té- lescopage

Indication pour l’exercice20. Etablir l’inégalité n!

k! < (2n−k)!

n! .

Indication pour l’exercice21. Procéder par récurrence surnen remarquant que pourn∈ N^∗, (2n+1)(2n+2)<(2n+2)².

Indication pour l’exercice22. Pour la première somme , on pourra observer que 1

√ak+√ ak+1

=

√a_k−√ a_k+1

ak−ak+1

et pour la seconde somme, on pensera à sommer en regroupant les termes de la somme deux par deux.

Indication pour l’exercice23. Développer la somme et appliquer la formule géométrique.

Indication pour l’exercice24. Linéariser : sin²(2k−1)θ= 1−cos(2(2k−1)θ)

2 et appli-

quer la méthode vue en cours pour les sommes trigonométriques...

Indication pour l’exercice25. (1) Ecrire f(x+1)−f(x)=Z x+1 x

f⁰(t)dtet la croissance de f⁰sur l’intervalle [x,x+1] donne

∀t∈[x,x+1], f⁰(x)≤ f⁰(t)≤ f⁰(x+1) puis la positivité de l’intégrale doit permettre de conclure...

(2) On applique avec la fonction définie sur R⁺ par f(x) = x³² = √

x³ dont la dérivée donnée par f⁰(x)= 3

2

√xest bien croissante surR+: pour tout entier naturelk 3

2

√

k≤ f(k+1)−f(k)≤ f⁰(k+1)=3 2

√ k+1 il reste alors à sommer pourkallant de 1 àn...