Résumé cours Arithmétique 3ème Mathématiques

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Résumé cours Arithmétique 3ème Mathématiques

Divisibilité dans N

1) Le principe de récurrence

Soit ∈ et une propriété dépendant d’un entier naturel n supérieur ou égal à . Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• est vraie

• si est vraie alors est vraie

alors est vraie pour tout supérieur ou égal à .

2) Divisibilité

a) Diviseurs d’un entier naturel * Définition

Soit et deux entiers naturels, tels que soit non nul.

On dit que est divisible par s’il existe un entier naturel k tel que = * Vocabulaire

Si un entier naturel est divisible par un entier naturel non nul ,on dit que est un diviseur de et que est un multiple de .

* Propriétés

Pour tous entiers naturels , et tels que et soient non nuls, • 1 divise et divise .

• Si divise et divise a, alors = . • Si divise et divise alors divise .

Soit , et trois entiers naturels, tels que soit non nul. Si divise alors divise b) Combinaisons linéaires

* Propriétés

Soit , deux entiers naturels et un entier naturel non nul.

Si divise et alors divise + et – (lorsque ≥ ) et divise + , pour tous entiers naturels et .

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c) Division euclidienne

Soit et deux entiers naturels tels que ≠ . Effectuer la division euclidienne de par , c’est trouver l’unique couple d’entiers ( , ) tel que = + avec ≤ < !.

3) PGCD de deux entiers naturels non nuls

a) Algorithme d’Euclide

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur de a et b est l’entier d, noté a ˄ b et tel que • d divise a et b

• tout diviseur k de a et b est inférieur ou égal à d.

• Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Si b divise a alors a ˄ b = b

Le plus grand commun diviseur de deux entiers naturels est le dernier reste non nul de la suite des divisions euclidiennes dans l’algorithme d’Euclide.

* Propriétés

Soit a et b deux entiers naturels non nuls Si d est un diviseur commun à a et b, alors d divise a ˄ b. Pour tout entier naturel non nul k, ka ˄ kb = k(a ˄ b)

b) Entiers premiers entre eux

Deux entiers naturels non nuls a et b sont dits premiers entre eux, si leur plus grand commun diviseur est égal à 1.

* Théorème

Soit a et b deux entiers naturels non nuls et d = a ˄ b leur plus grand commun diviseur. Alors les entiers a% _{et b}% _{tels que a = da}% _{et b = db}% _{sont premiers entre eux.}

4) Lemme de Gauss

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Si a et b sont premiers entre eux et si a divise bc, alors a divise c.

5) PPCM de deux entiers naturels non nuls

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple à a et b est l’entier naturel non nul k tel que

• k est un multiple de a et b

• tout multiple non nul de a et b est supérieur ou égal à k. On note alors k = a ˅ b.

• Si b divise a alors a ˅ b = a Pour tout entier naturel non nul , ka ˅ kb = k = (a ˅ b) * Propriétés

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Les nombres premiers

1) Les nombres premiers

* Définition

Un entier naturel ) ≥ * est dit premier, si ses seuls diviseurs sont et lui-même * Théorème

• Tout entier naturel différent de admet au moins un diviseur premier.

• Si est un entier naturel distinct de , alors le plus petit diviseur de distinct de est premier.

* Théorème

Un entier naturel > 1 est composé, si et seulement si, il admet un diviseur premier inférieur ou égal à √

2) Le théorème fondamental de l’arithmétique

* Théorème

Tout entier naturel n supérieur ou égal à *, se décompose en un produit fini de nombres premiers

* Théorème

Pour tout entier naturel ≥ *, il existe des nombres premiers distincts deux à deux ) … ) et des entiers naturels non nuls … tels que ) < )* < ⋯ < )

et se décompose de façon unique sous la forme = ) × )_* * × … × ) * Théorème

Soit et deux entiers naturels et ) un nombre premier qui divise le produit . Si ) ne divise pas alors ) divise .

* Petit théorème de Fermat