Analyse diagrammatique des désintégrations de type B → P P P sans quarks charmés
par
Nicolas Rey-Le Lorier
Département de physique Faculté des arts et des sciences
Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.)
en physique
Août, 2011
c
Université de Montréal Faculté des études supérieures
Ce mémoire intitulé:
Analyse diagrammatique des désintégrations de type B → P P P sans quarks charmés
présenté par: Nicolas Rey-Le Lorier
a été évalué par un jury composé des personnes suivantes: Manu Paranjape, président-rapporteur
David London, directeur de recherche Viktor Zacek, membre du jury
Ce mémoire présente l’application de la méthode de décomposition en termes de diagrammes aux désintégrations de mésons B vers trois mésons de type pseudos-calaire ne comportant pas de quarks charmés. La décomposition diagrammatique des désintégrations de types B → Kππ, B → KK ¯K, B → K ¯Kπ et B → πππ est effectuée de façon systématique. Il est démontré que lorsque l’on néglige les dia-grammes d’échanges et d’annihilations, dont les contributions sont estimées être petites, de nouvelles relations apparaissent entre les amplitudes. Ces relations sont de nouveaux tests du modèle standard qui ne peuvent être obtenus que par la méthode diagrammatique. Lorsque les données nécessaires sont disponibles, nous vérifions ces relations et obtenons un bon accord avec les données expérimentales. Nous démontrons également qu’il est possible d’utiliser le secteur B → Kππ pour mesurer la phase faible γ avec une incertitude théorique que nous estimons être de l’ordre de 5%. Les autres secteurs de désintégrations ne permettent d’extraire des phases faibles que si l’on invoque des approximations de précisions inconnues.
Mots clés : Physique du B, Violation CP, Méthode diagrammatique, Modèle standard, Analyse de Dalitz, Phase faible γ.
ABSTRACT
This Master’s thesis presents the application of the method of decomposition in terms of diagrams to the charmless decays of B mesons to three pseudoscalar particles. We systematically apply the diagrammatic method to the decays B → Kππ, B → KK ¯K, B → K ¯Kπ and B → πππ. It is shown that when we neglect exchange and annihilation diagrams, whose contributions have been estimated to be small, new relations appear between the decay amplitudes. These relations constitute new tests of the standard model that can only be obtained through the diagrammatic method. When the necessary data is available, we verify these relations and obtain a good agreement with the experimental results. We also show that it is possible use observables in the B → Kππ sector to measure the weak phase γ with a theoretical uncertainty of the order of 5%. Other decay sectors can only allow the extraction of weak phases through the use of approximations of unknown precision.
Key Words: B Physics, CP Violation, Diagrammatic Method, Stan-dard Model, Dalitz Plot Analysis, Weak Phase γ.
RÉSUMÉ . . . iii
ABSTRACT . . . iv
TABLE DES MATIÈRES . . . v
LISTE DES FIGURES . . . vii
LISTE DES ANNEXES . . . viii
LISTE DES SIGLES . . . ix
NOTATION . . . x
DÉDICACE . . . xi
REMERCIEMENTS . . . xii
CHAPITRE 1 : INTRODUCTION . . . 1
CHAPITRE 2 : VIOLATION CP ET OBSERVABLES . . . 3
2.1 La Matrice CKM . . . 3
2.2 Le Triangle unitaire . . . 6
2.3 Les Observables CP . . . 8
2.4 Le Décompte des observables . . . 13
CHAPITRE 3 : LA MÉTHODE DIAGRAMMATIQUE . . . 14
3.1 L’Origine des diagrammes . . . 14
3.2 La Méthode diagrammatique . . . 15
CHAPITRE 4 : DIAGRAMMES POUR B → P P P . . . 17
vi
4.2 B → Kππ . . . 20
4.2.1 Résonances . . . 23
4.2.2 La Domination des pingouins . . . 24
4.3 B → KK ¯K . . . 26
4.3.1 La Domination des pingouins . . . 28
4.4 B → K ¯Kπ . . . 29
4.4.1 La Domination des T . . . 31
4.5 B → πππ . . . 31
CHAPITRE 5 : MESURER LES PHASES FAIBLES AVEC LES DIA-GRAMMES . . . 36 5.1 B → Kππ . . . 38 5.2 B → KK ¯K . . . 41 5.3 B → K ¯Kπ . . . 42 5.4 B → πππ . . . 44 CHAPITRE 6 : CONCLUSION . . . 46 BIBLIOGRAPHIE . . . 48
2.1 a) Le terme du vertex provenant de VCKM pour une transition
b → W−u. b) Le terme du vertex provenant de VCKM pour une
transition ¯b → W+u. . . .¯ 6
2.2 Le triangle unitaire . . . 8 2.3 Diagrammes principaux pour l’oscillation Bd ↔ ¯Bd dans le
modèle standard . . . 10 4.1 Diagrammes contribuant à B → πππ. . . 21 II.1 Le diagramme Dijk : la particule qui sort en haut du
dia-gramme, i, a l’impulsion pα; la particule qui sort au milieu
du diagramme, j, a l’impulsion pβ; la particule qui sort en bas
du diagramme, k, a l’impulsion pγ. . . xxiv
II.2 Le diagramme Djik : la particule qui sort en haut du
dia-gramme, i, a l’impulsion pβ; la particule qui sort au milieu
du diagramme, j, a l’impulsion pα; la particule qui sort en bas
du diagramme, k, a l’impulsion pγ. La partie D du diagramme
est identique à celle de (II.1). . . xxiv II.3 Le diagramme C1 pour le mode B → π+π0π−. . . xxvii
II.4 Le diagramme T2 pour le mode B → π−π+π+. . . xxix
III.1 Un graphique de Dalitz pour la désintégration B+→ K+π+π−.
L’axe des x représente la variable (pK+ + pπ−)2 et l’axe des y
représente la variable (pK+ + pπ+)2. Les unités sont les MeV2. xxxi
VI.1 Diagrams contributing to B → πππ. . . iv VII.1 Diagrams contributing to B → Kππ. . . iv
LISTE DES ANNEXES
Annexe I : Décomposition diagrammatique des contributions résonantes à B → Kππ . . . xiii Annexe II : La Décomposition diagrammatique pour S3 . . . . xx
Annexe III : Les Analyses de Dalitz . . . xxx Annexe IV : Codes Mathematica pour l’extraction des amplitudes
symétriques . . . .xxxv Annexe V : Relation entre les arbres et les pingouins
electro-faibles . . . .lxxviii Annexe VI : Article Soumis : Diagrammatic Analysis of
Charm-less Three-Body B Decays . . . .lxxxii Annexe VII : Article Soumis : Measuring γ in B → Kππ Decaysxxxviii
CP Conjugaison de charge-parité CKM Cabibbo-Kobayashi-Maskawa CDQ Chromodynamique Quantique
NOTATION
T Diagramme en arbre
C Diagramme en arbre réduit de couleur P Pingouin gluonique
PEW Pingouin électrofaible
PC
REMERCIEMENTS
Ce mémoire n’aurait pas été possible sans le support et l’assistance d’un grand nombre de personnes. Un grand remerciement d’abord à ma famille : à mes parents qui m’ont supportés et encouragés dans les temps difficiles, à mon oncle et ma tante qui ont toujours cru en moi, et à mon parrain pour m’avoir éclairé le chemin vers une carrière scientifique. Merci également à mes amis et amies, tant pour leurs conseils que pour m’avoir aidé à me changer les idées lorsque c’était nécessaire. Merci en particulier à Françoise Provencher, pour avoir mis ses talents de TeXperte à ma disposition lors des (nombreuses) occasions où j’en ai eu besoin, et pour avoir aidé à la correction du manuscrit.
De chaleureux remerciements également pour Maxime Imbeault, co-auteur des deux articles sur lequel est basé ce mémoire.
Et finalement, le plus important de tous, merci à David London, mon directeur de recherche, pour m’avoir aidé, guidé, corrigé et inspiré pendant ces deux années. Ce mémoire, ainsi que tous mes accomplissements futurs en tant que physicien, lui devront pour toujours une dette immense.
INTRODUCTION
Le modèle standard, malgré son nom très prosaïque, représente sans aucun doute un des triomphes de l’ingéniosité scientifique du vingtième siècle. Complété au cours des années 70, ce modèle décrit les caractéristiques et les comportements de toutes les particules observées à ce jour, avec une précision maintes fois confirmée [1, 2] . Malgré ce succès indéniable, la physique élémentaire est loin de pouvoir se reposer sur ses lauriers, car le modèle standard n’est pas sans ses défauts. Le plus frappant est sans doute l’absence de gravité. La question de la violation CP1 est également délicate. Par « transformation CP » nous entendons la combinaison de l’opération de conjugaison de charge C et de réflexion à travers l’origine P [3] ; prises ensembles, ces deux opérations transforment une particule avec une impulsion ~p en une antiparticule avec impulsion −~p. Il a été démontré, lors d’une expérience par Cronin et Fitch en 1964 [1], que la transformation CP n’était pas une symétrie du monde dans lequel nous vivons. Ceci signifie qu’il est expérimentalement possible de différencier une particule de son antiparticule ; malheureusement, les mécanismes de violation CP présents dans le modèle standard sont insuffisants pour expliquer l’asymétrie entre la matière et l’antimatière qui est observée au niveau cosmologique [4]. Il ne s’agit là que de quelques unes des raisons qui poussent à croire à l’existence de phénomènes physiques au delà du modèle standard. La découverte de cette « nouvelle physique » demande cependant d’abord de tester avec précision le modèle standard pour trouver des indices de sa présence.
L’objectif principal de ce mémoire est de présenter l’élaboration et l’application de la méthode diagrammatique à l’analyse des désintégrations sans quarks charmés de mésons B vers trois particules pseudoscalaires. Cette démarche a pour but de trouver de nouvelles mesures qui peuvent servir de tests du modèle standard et de permettre l’extraction des paramètres responsables de la violation CP. Nous
2 senterons d’abord au chapitre 2 une revue de l’origine théorique de la violation CP dans le secteur électrofaible du modèle standard, suivie d’une présentation de la méthode d’analyse des observables qui présentent de la violation CP. Le chapitre 3 introduit ensuite la décomposition en termes de diagrammes et donne les règles qui permettent de l’appliquer dans le contexte plus simple de désintégrations à deux corps B → P P . Le chapitre 4 est le coeur du texte. Nous y présentons les décom-positions diagrammatiques des désintégrations de type B → Kππ, B → KK ¯K, B → K ¯Kπ et B → πππ. Nous y examinons également la possibilité de négliger certains diagrammes pour obtenir de nouveaux tests du modèle standard, et nous vérifions ces relations lorsque les données sont disponibles. Le chapitre 5 examine la possibilité de mesurer des phases faibles à l’aide des décompositions dérivées au chapitre précédent. Il est démontré que les modes de type B → Kππ permettent de mesurer la phase faible γ lorsque l’on utilise la méthode des contractions pour dériver une relation entre les diagrammes en arbre et les pingouins électrofaibles. La conclusion se trouve au chapitre 6. Finalement, les annexes contiennent plus de détails sur l’application de la méthode diagrammatique et sur l’utilisation des analyses de Dalitz, ainsi que des dérivations de résultats donnés dans le texte.
Les analyses présentées dans ce Mémoire sont tirées de deux articles ayant été publiés dans le journal Physical Review D et pour lesquels l’auteur de ce mémoire est respectivement premier et deuxième auteur avec David London et Maxime Imbeault [5, 6]. L’auteur de ce mémoire a effectué la majorité des calculs et des analyses de l’article [5], sous la supervision de David London et à partir d’une idée originale de David London et Maxime Imbeault, et a contribué de façon significative aux sections 2 et 3 de l’article [6]. Les versions les plus récentes de ces articles, au moment du dépot de ce mémoire, sont présentées aux annexes VI et VII.
VIOLATION CP ET OBSERVABLES
Dans ce chapitre, nous présenterons rapidement l’origine de la violation CP dans le secteur électrofaible du modèle standard et son effet dans les quantités mesurables. Ce bref survol laissera plusieurs détails de côté ; le lecteur ou lectrice intéressé(e) est encouragé(e) à consulter les références pour une analyse plus ap-profondie.
2.1 La Matrice CKM
La densité lagrangienne du secteur électrofaible du modèle standard a, schéma-tiquement, la forme suivante [7] :
L = L (f, W, B) + L (f, Φ) + L (W, B, Φ) − V (Φ) . (2.1)
Les différents termes ont la signification suivante : f représente les fermions ; W et B sont les champs de jauge des symétries locales SU (2)Let U (1)Y, respectivement ;
et Φ représente les champs de Higgs. Le lagrangien du modèle standard satisfait la symétrie SU (3) × SU (2)L × U (1)Y, mais ne contient aucun terme de masse
explicite pour les particules. Les masses sont générées dynamiquement à travers le mécanisme de Higgs, qui est basé sur l’acquisition d’une valeur moyenne du vide1
par le champs scalaire Φ. Le mécanisme de Higgs est une partie essentielle du modèle standard : sans lui, la présence de masses pour les bosons vecteurs rendrait la théorie non-renormalisable, ce qui impliquerait la présence de nouvelle physique à l’échelle d’énergie de l’ordre de ces masses, MZ ≈ 90 GeV [8]. Le mécanisme de Higgs brise
spontanément la symétrie SU (3) × SU (2)L× U (1)Y en SU (3) × U (1)em; lorsque
la poussière retombe, nous voyons que les termes de couplage avec les champs de Higgs ont générés des termes de masses pour les fermions et les bosons de jauge
4 W± et Z. Des termes de couplages entre les quarks ont également été générés ; les termes d’intérêt pour la violation CP sont ceux qui décrivent le couplage du courant chargé de quarks avec les bosons W± :
LCC = −g√ 2W +µU γ¯ µ(1 − γ5)VCKMD + c.h. , (2.2) où U = u c t , D = d s b , (2.3)
sont les champs des quarks de types up et down, respectivement. La matrice 3 × 3 VCKM, appelée matrice de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (matrice CKM) régit les
couplages entre les différentes saveurs de quarks. Il est commun de la représenter schématiquement de la façon suivante :
VCKM ≡ Vud Vus Vub Vcd Vcs Vcb Vtd Vts Vtb . (2.4)
La seule contrainte imposée à la matrice CKM est l’unitarité : V†V = 1. On peut changer les phases des champs des quarks pour se débarasser explicitement des paramètres non-physiques dans VCKM (puisque les phases des champs sont
eux-mêmes des paramètres non-physiques [3]). La matrice s’écrit alors en termes de quatre paramètres libres, trois angles (θ12, θ13 et θ23) et une phase (δ) :
VCKM = c12c13 s12c13 s13e−iδ −s12c23− c12s23s13eiδ c12c23− s12s23s13eiδ s23c13 s12s23− c12c23s13eiδ −c12s23− s12c23s13eiδ c23c13 . (2.5)
où cij ≡ cos θij et sij ≡ sin θij. La matrice CKM est souvent présentée en utilisant
la paramétrisation de Wolfenstein, qui utilise les paramètres λ, A, ρ et η définis selon [9] :
s12 ≡ λ , (2.6)
s23 ≡ Aλ2 , (2.7)
s13e−iδ ≡ Aλ3(ρ − iη) . (2.8)
Peu importe la manière choisie pour écrire la matrice CKM, les quatre paramètres indépendants qui la composent ne peuvent être déduits à partir de principes pre-miers (du moins dans le modèle standard) : il s’agit de paramètres libres qui doivent être mesurés. Le fait que λ ≈ 0.23 en fait un paramètre d’expansion raisonnable pour VCKM. On peut écrire, jusqu’à l’ordre trois en λ :
VCKM = 1 − λ22 λ Aλ3(ρ − iη) −λ 1 − λ22 Aλ2
Aλ3(1 − ρ − iη) −Aλ2 1
+ O(λ4) . (2.9)
Il s’agit là de la présentation la plus commune de la matrice CKM dans la littérature moderne.
La présence de la phase δ dans la matrice CKM est la seule source possible de violation CP dans le secteur électrofaible. De manière intuitive, on peut expliquer la violation CP due à cette phase en termes de diagrammes de Feynman. La présence de nombres complexes dans la matrice CKM implique que le terme du vertex d’une transition b → W−u sera différent du terme du vertex d’une transition ¯b → W+u¯ (voir figure (2.1)). Bien sûr, la différence n’est que dans la phase du terme du vertex, et l’on pourrait donc penser que les observables physiques (qui ne dépendent que des modules des amplitudes) ne seraient pas affectées. Cependant, l’interférence entre différents diagrammes contribuant à une même amplitude peut être affectée par le changement de phase des termes du vertex, ce qui pourra résulter en des différences observables entre un phénomène et son conjugué CP. De façon plus
6
Figure 2.1 – a) Le terme du vertex provenant de VCKM pour une transition b →
W−u. b) Le terme du vertex provenant de VCKM pour une transition ¯b → W+u.¯
formelle, on remarque que le terme LCC se transforme sous l’opération CP de la façon suivante [3] : LCC = W+µU γ¯ µ(1 − γ5)VCKMD + W−µDγ¯ µ(1 − γ5)V † CKMU (2.10) CP −−→ W−µDγ¯ µ(1 − γ5)VCKMT U + W +µU γ¯ µ(1 − γ5)VCKM∗ D , (2.11)
et donc que LCC sera invariant sous la transformation CP si et seulement si VCKM
est réel.
2.2 Le Triangle unitaire
L’unitarité de la matrice CKM impose, entre autres, la contrainte suivante :
VudVub∗ + VcdVcb∗ + VtdVtb∗ = 0 , (2.12)
c’est-à-dire l’orthogonalité de la première et de la troisième colonne. Cette relation est couramment représentée de façon géométrique à l’aide du triangle unitaire2 [9] : si on représente chaque terme de la somme (2.12) sous la forme d’un vecteur dans le
plan complexe, cette somme exprime le fait que de placer ces trois vecteurs bout à bout nous ramène à notre point de départ ; autrement dit, les trois vecteurs forment un triangle3 . Il est commun de diviser (2.12) par VcdVcb∗, ce qui donne le triangle
tracé à la figure (2.2). Les coordonnées de la pointe du triangle sont données par
¯ ρ + i¯η ≡ −VudV ∗ ub VcdVcb∗ . (2.13)
Le triangle unitaire n’est bien sûr qu’une façon supplémentaire de représenter les paramètres libres de la matrice CKM. Son utilité vient du fait qu’en étudiant la paramétrisation de Wolfenstein (2.9), on peut voir que les seuls termes complexes de VCKM, Vub et Vtd (à cet ordre en λ), s’écrivent :
Vub= |Vub|e−iγ , (2.14)
Vtd = |Vtd|e−iβ . (2.15)
Les quantités complexes de la matrice CKM responsables de la violation CP ne sont donc, dans la paramétrisation de Wolfenstein, que γ et β. α peut s’obtenir à partir des deux autres angles par la simple relation π = α + β + γ4. Les trois
angles du triangle unitaire sont donc les paramètres théoriques cruciaux pour la phénoménologie de la violation CP. Un des objectifs principaux de la physique de la saveur consiste à tenter d’obtenir plusieurs mesures précises et indépendantes de ces angles. Puisque les angles du triangle unitaire sont les seules sources de violation CP dans le secteur électrofaible du modèle standard, des divergences dans les mesures de ces angles seraient des indicateurs sûrs de nouvelle physique.
Il n’est toutefois pas évident de mesurer de façon précise les angles du triangle unitaire. Ceci est dû aux contributions non-perturbatives de l’interaction forte, qui introduisent de grandes incertitudes théoriques dans les observables qui contiennent de la violation CP. Afin de bien comprendre ce phénomène, qui est au coeur de la
3Il bien sûr possible de former ainsi plusieurs triangles à partir des relations d’orthogonalité
de la matrice CKM ; le titre triangle unitaire est cependant réservé au triangle qui découle de l’Éq. (2.12) [10].
4Une terminologie alternative pour ces trois angles est Φ
8
Figure 2.2 – Le triangle unitaire
motivation des travaux de ce mémoire, nous devons exposer en détail la façon dont les angles du triangle unitaire introduisent de l’asymétrie CP dans les observables.
2.3 Les Observables CP
Le phénomène de confinement en chromodynamique quantique implique que les quarks ne sont pas directement observables ; conséquemment, l’étude des ob-servables qui présentent de la violation CP doit se faire à partir des états liés de plusieurs quarks : les hadrons [2]. Nous commencerons par présenter le cas simple de la désintégration des mésons chargés, afin de bien voir le rôle joué par les angles du triangle unitaire dans la violation CP. Ce cas nous montrera également de façon explicite les difficultés théoriques qui découlent de la participation non-perturbative des interactions fortes. Nous présenterons ensuite le cas des désintégrations de mé-sons neutres, qui est compliqué par le phénomène des oscillations.
Examinons donc le cas de la désintégration du méson B+ vers un état final f+,
B+ → f+, ainsi que le conjugué CP de ce phénomène, B− → f−. L’asymétrie CP
directe C est définie comme étant :
C = Γ(B
+→ f+) − Γ(B− → f−)
Il est facile de voir que si la symétrie CP est conservée, C = 0. En effet, l’invariance des lois de la physique sous la symétrie CP impliquerait que le taux de désintégra-tion Γ(B+ → f+) soit le même que Γ(B− → f−). Ainsi, toute mesure de C 6= 0
implique la présence de violation CP.
Il est instructif d’étudier un peu plus le cas des mésons chargés pour voir de façon explicite comment la présence de phases dans la matrice CKM peut causer de la violation CP. Posons A = hf+|H
W|B+i et ¯A = hf−|HW|B−i, les amplitudes
respectives des désintégrations ; HW est l’hamiltonien effectif responsable de la
désintégration [12, 13]. En termes des amplitudes :
C = |A|
2− | ¯A|2
|A|2+ | ¯A|2 . (2.17)
La question est maintenant de savoir comment |A|2 peut différer de | ¯A|2. Supposons
que l’amplitude A puisse s’écrire sous la forme d’une somme de deux contributions :
A = r1eiφ1eiδ1 + r2eiφ2eiδ2 . (2.18)
Ici, r1 et r2 sont des nombres réels positifs ; les φi sont des phases faibles qui
s’ex-priment en terme des angles du triangle unitaire (voir la section 2.2) ; finalement, les δi sont appelés les phases fortes, et sont créées par la rediffusion d’états
inter-médiaires physiques vers l’état final par l’interaction forte. Le point important est le suivant : comme l’interaction forte conserve CP, les phases fortes sont invariantes sous la conjugaison CP de l’état initial et l’état final. Par contre, la conjugaison CP de l’état initial et de l’état final envoie VCKM vers VCKM∗ , et donc envoie φi vers
−φi :
¯
A = r1e−iφ1eiδ1 + r2e−iφ2eiδ2 . (2.19)
Nous obtenons donc :
|A|2− | ¯A|2 = −4r
10 Cet exemple très instructif nous montre non seulement l’apparition de violation CP due aux phases faibles de la matrice CKM, il nous indique aussi la condition nécessaire pour l’apparition de violation CP directe : l’amplitude doit recevoir des contributions de plusieurs termes différents qui possèdent des phases faibles et des phases fortes distinctes. Il est important de noter ici le rôle crucial joué par les phases fortes, et les difficultés que ceci implique : puisque les phases fortes proviennent d’états hadroniques intermédiaires, elles sont fondamentalement non-perturbatives, et donc très difficile à calculer par les méthodes habituelles de la théorie des champs. En particulier, le fait que l’on ignore les valeurs de δ1 et δ2
(ainsi que les valeurs de r1et r2) dans l’équation (2.20) fait que même si l’on mesure
la violation CP directe, il n’est pas possible d’en extraire directement les valeurs des paramètres φ1 et φ2. Il s’agit là du noyau de la problématique adressée par le
chapitre 5 de ce mémoire.
Passons maintenant au cas des mésons neutres. Ce cas est compliqué par le fait qu’un méson neutre peut osciller vers sa propre antiparticule grâce à l’interaction faible. Par exemple, on peut avoir Bd ↔ ¯Bd par des diagrammes de la forme
indiquée à la figure (2.3) [14]. Ce phénomène enrichit beaucoup les désintégrations
Figure 2.3 – Diagrammes principaux pour l’oscillation Bd ↔ ¯Bd dans le modèle
standard
des mésons B neutres comparativement aux mésons B chargés. Pour approcher formellement ce problème, on peut représenter l’état du système à un temps t sous la forme :
|ψ(t)i = a(t)|B0(t)i + b(t)| ¯B0i +X n
où les fn sont les divers états vers lesquels les mésons B peuvent se désintégrer à
l’aide de l’interaction faible. L’approximation de Wigner-Weisskopf [15, 16] permet de décrire la dynamique de ce système de façon simplifiée en se restreignant aux seuls états B0 et ¯B0, dont la dynamique est décrite par l’équation :
id
dt|ψi = H|ψi , (2.22)
où
H = M − i
2Γ . (2.23)
M et Γ sont deux matrices hermitiennes 2 × 2 qui sont, dans notre approximation :
Mij = M0δij+ hi|HW|ji +
X
n
hi|HW|nihn|HW|ji
m0− En
, (2.24)
Γij = 2π
X
n
δ (m0− En) hi|HW|nihn|HW|ji . (2.25)
Nous avons ici utilisé l’hypothèse de la symétrie CPT. M est appelée la matrice dispersive et Γ est appelée la matrice d’absorption. La présence de la matrice Γ implique que l’équation aux valeurs propres aura des solutions complexes, ce qui indique la possibilité de désintégrations des mésons vers les états finaux.
Il est également important de noter qu’en général, les matrices M et Γ ne seront pas diagonales dans la base de B0 et ¯B0. Ceci indique que les mésons B
neutres physiques, c’est-à-dire ceux qui possèdent des masses et des temps de vie bien définis, ne seront pas les B0 et ¯B0 mais plutôt une combinaison linéaire de
ceux-ci.
On peut résoudre l’équation (2.22) pour obtenir l’état d’un système au temps t lorsque celui-ci était dans l’état B0 (ou ¯B0) au temps initial. Il ne s’agit que de
diagonaliser l’hamiltonien H et appliquer l’équation de Schrödinger [2, 9, 14, 15, 17]. Nous obtenons que l’état |B(t)i au temps t d’un état qui était dans l’état |Bi au temps t = 0 est : |B(t)i = g+(t)|Bi − q p g−(t)| ¯Bi , (2.26)
12 où g±(t) = 1 2 e−imHt−12ΓHt± e−imLt−12ΓLt , (2.27) q p = s M∗ 12− (i/2)Γ∗12 M12− (i/2)Γ12 , (2.28)
et mH,L et ΓH,L sont les masses et taux de désintégrations des mésons physiques
lourds (H) et légers (L). L’état | ¯B(t)i d’un état qui était dans l’état | ¯Bi au temps t = 0 est
| ¯B(t)i = − q p
g−(t)|Bi + g+(t)| ¯Bi . (2.29)
Le système des mésons B neutres, tout comme le système des mésons chargés, peut présenter de l’asymétrie directe : la définition est la même que pour les mésons chargés (Éq. (2.16)). Or il existe un cas intéressant lorsque l’état final f est un état propre de CP. Dans ce cas, il est possible pour B0 et pour ¯B0 d’effectuer
une transition vers l’état f . En plus de la symétrie CP directe ( A/ ¯A 6= 1), il existe également la possibilité d’interférence entre la transition directe B0 → f et
la transition qui a lieu après une oscillation B0 → ¯B0 → f . L’interférence entre ces
deux « chemins » peut créer de la violation CP « indirecte » indépendamment de l’existence ou non de violation CP directe. En général, ceci requière une observation de l’évolution du système à travers le temps, et donc la quantité mesurée dépend elle même du temps :
ACP ≡ Γ(B(t) → f ) − Γ(B(t) → f ) Γ(B(t) → f ) + Γ(B(t) → f ) , (2.30) où Γ(B(t) → f ) ≡ |hf |HW|B(t)i|2 , (2.31) Γ( ¯B(t) → f ) ≡ |hf |HW| ¯B(t)i|2 . (2.32)
(q/p) = e−iβ [15, 18]. Dans ce cas, en combinant les Éqs. (2.26), (2.29), (2.30) et (2.32), on peut obtenir une expression explicite simple pour ACP [18] :
ACP =
|A|2− | ¯A|2
|A|2+ | ¯A|2 cos ∆mt −
2 · Im (λ)
1 + |λ|2 sin ∆mt , (2.33)
où ∆m est la différence de masse entre les deux mésons physiques et λ ≡ (q/p) ¯A/A. On reconnaît dans le premier terme la quantité C définie aux équations (2.16) et (2.17). Le coefficient du deuxième terme,
S ≡ 2 · Im (λ)
1 + |λ|2 , (2.34)
est appelé S, la violation CP indirecte. Ce terme vient de la possibilité d’interfé-rence entre les différents chemins de désintégration vers l’état final, d’où son nom.
2.4 Le Décompte des observables
L’observation suivante est importante pour les travaux présentés dans ce mé-moire : pour chaque mode de désintégration de type B → f , où f n’est pas un état propre de CP, il existe deux observables : Γ(B → f ) et Γ( ¯B → ¯f ), ou bien, ce qui est équivalent, Γ(B → f ) et C. Par contre, pour un mode de désintégration de type B → f où f est un état propre de CP, il existe trois observables : Γ(B → f ), Γ( ¯B → f ) et S (ou bien, ce qui est encore une fois équivalent, Γ(B → f ), C et S). Dans le système des mésons B, où (q/p) est essentiellement connu, ces observables sont des fonctions de l’amplitude de désintégrations A et de son conjugué CP ¯A ; il s’agit là du principal résultat de ce chapitre. Le prochain chapitre discutera de la méthode que nous utiliserons pour calculer et paramétrer ces amplitudes : la décomposition diagrammatique.
CHAPITRE 3
LA MÉTHODE DIAGRAMMATIQUE
3.1 L’Origine des diagrammes
Nous avons démontré à la dernière section que, dans le secteur des mésons B, il est nécessaire et suffisant de connaître les amplitudes de désintégrations pour pouvoir faire des prédictions théoriques des observables qui présentent de la viola-tion CP. Pour comparer les observaviola-tions avec les prédicviola-tions, il est donc nécessaire d’avoir une méthode capable d’obtenir de l’information sur ces amplitudes. Le point de départ d’une telle analyse est la méthode de l’hamiltonien effectif [12, 13]. À partir de l’hamiltonien effectif, il est possible de démontrer, en utilisant la méthode des contractions [19, 20], que les amplitudes de désintégrations peuvent s’exprimer en termes de sommes de diagrammes :
A =X
i
ciDi , (3.1)
où les Di sont les différents diagrammes et les ci sont les coefficients qui indiquent
le poids de chaque diagramme dans la décomposition. C’est ce que nous appelons la méthode diagrammatique.
Cette méthode n’est pas sans rappeler les diagrammes de Feynman qui sont in-troduits en théorie des champs pour faire des calculs perturbatifs, par exemple en électrodynamique quantique [1, 2, 8, 21]. Cependant, puisque les diagrammes repré-sentant des désintégrations hadroniques impliquent nécessairement des interactions fortes non-perturbatives, nous ne pouvons les évaluer par la méthode ordinaire qui consiste à obtenir une série de puissance en terme de la constante de couplage. Nous pouvons par contre obtenir sans trop de difficultés les coefficients ci de la
décom-position. De plus, en invoquant des symétries de saveurs comme l’isospin et SU(3) nous obtenons que plusieurs amplitudes différentes doivent s’exprimer en termes
des même diagrammes : seuls les coefficients ci sont alors différents d’une amplitude
à l’autre, ce qui nous permettra au chapitre 4 de dériver plusieurs relations entre les amplitudes de désintégrations.
3.2 La Méthode diagrammatique
Les règles de la décomposition diagrammatique pour les désintégrations B → P P ([22], P indique un pseudoscalaire) sont très simples. Pour trouver le coefficient d’un diagramme dans la décomposition, on commence par vérifier que ce diagramme peut produire les quarks nécessaires pour former l’état final. Si oui, on pose le coefficient comme étant 1, et l’on fait les modifications suivantes :
1. Rajouter un facteur de −1 pour chaque quark ¯u dans l’état final 2. Rajouter un facteur de 1/√2 pour chaque π0 dans l’état final
3. Rajouter un facteur de√2 si l’état final contient une paire de particule iden-tique
Bien sûr si un diagramme est incapable de produire les quarks nécessaires pour former l’état final, il ne contribue pas à la décomposition.
La règle (1) découle de la convention utilisée dans [22], que nous suivrons dans ce mémoire : l’anti-doublet d’isospin est défini comme étant ( ¯d, −¯u), et conséquem-ment c’est −¯u qui apparaît dans les fonctions d’ondes des hadrons. La règle (2) découle de la fonction d’onde du π0 : π0 = 1/√2 d ¯d − u¯u. Puisqu’un diagramme
ne peut produire que des paires d ¯d ou des paires u¯u pour créer des π0, la projec-tion sur l’état du π0 amènera toujours un facteur de 1/√2. Finalement, la règle (3) découle du fait que la décomposition se fait pour un état final symétrique sous l’échange des impulsions des particules finales, puisque le B est un scalaire. Si l’état final est composé de deux particules identiques, nous l’écrivons sous la forme 1/√2 (Pi(p1)Pj(p2) + Pi(p2)Pj(p1)), où p1, p2 représentent les impulsions des états
finaux. Mais un état de deux particules identiques est déjà symétrique, et donc ne reçoit pas le facteur de 1/√2 que la symétrisation « manuelle » exige. Ceci donne
16 donc un facteur de√2 additionnel (relativement aux autres diagrammes) aux états avec une paire de particules identiques.
À l’aide de ces règles, les amplitudes peuvent être exprimées en terme d’un petit nombre de diagrammes. Au chapitre 4, nous allons nous intéresser à la décomposi-tion diagrammatique d’amplitudes de type B → P P P . Les règles de décomposidécomposi-tion de ces amplitudes sont plus compliquées que celle que nous venons d’exposer ici, pour deux raisons :
1. Le moment angulaire relatif de deux particules dans l’état final n’est pas fixé par la conservation du moment angulaire ; n’importe quelle paire de particules dans l’état final peut donc être dans un état symétrique ou antisymétrique. 2. On voudra traiter les trois particules finales de B → πππ comme des
par-ticules identiques, pour profiter de la symétrie d’isospin ; dans ce cas nous devrons considérer les différentes représentations du groupe des permutations de trois particules, S3.
Nous verrons comment tenir compte de la première difficulté à la section 4.1. La deuxième difficulté peut être surmontée en utilisant des résultats de la théorie des représentations et du formalisme des diagrammes. Nous nous contenterons d’invo-quer ces résultats pour faire la décomposition de la section 4.5 ; la justification est donnée à l’annexe II.
DIAGRAMMES POUR B → P P P
Ce chapitre présente l’application de la méthode diagrammatique aux désin-tégrations de type B → P P P , où P représente un pseudoscalaire. L’analyse est séparée en quatre sections, une pour chaque « famille » de désintégrations : Kππ, KK ¯K, K ¯Kπ et πππ. La raison de cette séparation est que, sous la symétrie d’isos-pin, tous les diagrammes qui apparaissent à l’intérieur d’une même « famille » (avec la même symétrie d’état final) ont la même valeur. La symétrie d’isospin est excellente à l’échelle d’énergie des mésons B, et nous la prendrons donc pour acquise pour le reste de ce mémoire.
L’avantage de la méthode diagrammatique repose sur le point suivant : il y a de bonnes raisons de croire que les diagrammes d’échanges et d’annihilations, donc tous les diagrammes qui impliquent activement le quark spectateur, sont réduits par rapport aux autres diagrammes [5, 22] ; il est donc raisonnable de les négli-ger. Lorsque l’on fait ceci, de nouvelles relations apparaissent entre les amplitudes de désintégrations. La vérification de ces relations constitue un test du modèle standard (et de l’hypothèse selon laquelle les diagrammes d’échanges et d’annihi-lations sont négligeables). Le point important est que ces red’annihi-lations n’apparaissent que lorsque l’on utilise la décomposition en termes de diagrammes. Une décompo-sition en termes d’éléments de matrice réduits, par le théorème de Wigner-Eckart, est incapable de percevoir ces relations. L’objectif principal de ce chapitre sera donc d’exposer les nouvelles relations qui apparaissent lorsque l’on néglige les dia-grammes d’échanges et d’annihilations, et de tenter de vérifier ces relations lorsque les données sont disponibles.
Négliger les diagrammes d’échanges et d’annihilations permet aussi de réduire le nombre de paramètres théoriques libres dans l’analyse. Ceci rend intéressante la perspective de tenter d’utiliser la décomposition pour extraire de l’information sur les phases faibles du modèle standard. Ce sujet sera traité au chapitre 5.
18 Notre analyse procède de la façon suivante : nous exposerons d’abord les conven-tions et les règles à utiliser pour faire la majorité des décomposiconven-tions de type B → P P P . Ensuite, pour chaque famille de désintégrations, nous donnons les ré-sultats de la décomposition des désintégrations en termes de diagrammes, et ce pour chaque symétrie possible de l’état final. Pour Kππ, KK ¯K, les deux seules symétries possibles sont un état final symétrique sous l’échange de deux particules dans la même représentation du groupe d’isospin, et antisymétrique sous l’échange de deux particules dans la même représentation du groupe d’isospin. Il s’agit là des deux représentations irréductibles du groupe de permutation S2. Les modes K ¯Kπ
ne contiennent pas de particules qui se trouvent dans la même représentation du groupe d’isospin, ce qui fait que nous n’avons pas à nous préoccuper de la symé-trie de l’état final. Le cas πππ est plus compliqué, car il contient trois particules qui appartiennent au même triplet d’isospin dans l’état final, et donc les symétries possibles sont les six représentions irréductibles du groupe de permutation S3; la
méthode des diagrammes doit alors être adaptée de la façon décrite à l’annexe II. Une fois la décomposition complétée, nous discutons des résultats obtenus, et en particulier des nouvelles informations et relations qui découlent de l’abandon des diagrammes d’échanges et d’annihilations. Lorsque les données nécessaires sont disponibles, nous vérifions si les nouvelles relations annoncées par la méthode dia-grammatique sont confirmées par les mesures expérimentales. Nous en profitons pour souligner les expériences et analyses potentiellement intéressantes qui sont révélées par les nouvelles relations.
Remarquons que pour appliquer et vérifier les informations acquises par la mé-thode diagrammatique, il est nécessaire d’être capable d’isoler expérimentalement les amplitudes qui se transforment selon les représentations choisies du groupe de permutation approprié. Ceci peut être fait à l’aide des analyses de Dalitz [18, 23] ; les détails de cette méthode sont données l’annexe III.
4.1 Les Diagrammes pour B → P P P
Nous donnons ici les conventions utilisées pour la décomposition diagramma-tique. Les diagrammes que nous utilisons pour la décomposition diagrammatique sont : le diagramme en arbre T , le diagramme en arbre réduit de couleur1 C, les
deux pingouins gluoniques Puc et Ptc, le pingouin électrofaible PEW et le pingouin
électrofaible réduit de couleur PEWC 2.
Les commentaires suivants s’appliquent :
• Nous devons rajouter un détail aux règles données à la section 3.2 lorsque nous voulons traiter un état avec deux particules qui sont dans un état anti-symétrique. La règle est la suivante :
1. Si un diagramme représente une désintégration vers un état avec deux particules dans un état antisymétrique et que, dans le diagramme, ces particules apparaissent dans un ordre croissant de charge lorsque l’on les lit du haut vers le bas, il faut rajouter un facteur de −1 additionnel à la décomposition.
Cette règle est un cas particulier de la procédure démontrée à l’annexe II. • Les pingouins gluoniques Puc et Ptc représentent une façon de regrouper
en-semble les trois différentes contributions qui correspondent aux trois quarks virtuels possibles dans la boucle du pingouin[17]. Si un pingouin est respon-sable d’une transition ¯b → ¯q, nous pouvons écrire :
P = Vub∗VuqPu+ Vcb∗VcqPc+ Vtb∗VtqPt . (4.1)
Or par orthogonalité de la matrice CKM, Vub∗Vuq + Vcb∗Vcq + Vtb∗Vtq = 0. Nous
1de l’anglais color-suppressed tree.
20 pouvons utiliser ceci pour réécrire :
P = Vub∗Vuq(Pu− Pc) + Vtb∗Vtq(Pt− Pc)
≡ V∗
ubVuqPuc+ Vtb∗VtqPtc . (4.2)
Ceci nous donne les définitions de Puc et Ptc, ainsi que les éléments de VCKM
qui leurs sont associés.
• Dans tous les diagrammes qui contribuent à une transition B → P P P , il est nécessaire de faire « apparaître » une paire de quarks du vide. Lorsque cette paire de quarks apparaît entre deux quarks dont l’un est le spectateur, nous écrivons le diagramme avec l’indice « 2 ». Lorsque cette paire de quarks apparaît entre deux quarks dont aucun des deux n’est le spectateur, nous écrivons le diagramme avec l’indice « 1 ».
• La symétrie d’isospin nous permet d’affirmer que le diagramme prend la même valeur si la paire de quarks qui apparaît du vide est u¯u ou d ¯d. Nous ne pouvons cependant pas appliquer ce raisonnement lorsque la paire de quarks est s¯s (à moins d’invoquer la symétrie SU(3) de saveur, qui est moins fiable que la symétrie d’isospin). Pour cette raison, lorsqu’un diagramme contient une paire s¯s qui apparaît du vide, nous l’écrivons avec un indice « s ».
• Lorsque le diagramme contribue à une transition ¯b → ¯s, son sigle sera écrit avec un prime (par exemple, T0). Lorsque le diagramme contribue à une transition ¯b → ¯d, son sigle sera écrit sans prime.
La figure (4.1) présente un exemple des diagrammes utilisés pour une désintégra-tions B → πππ.
4.2 B → Kππ
Le secteur B → Kππ possède six modes : B+ → K+π+π−
, B+ → K+π0π0, B+ → K0π+π0, B0 d → K +π0π−, B0 d → K 0π+π− et B0 d → K 0π0π0. Pour chaque
22 mode, la fonction d’onde des deux pions peut être soit symétrique, soit antisymé-trique (par contre, si les deux pions ont la même charge, seule la fonction d’onde symétrique est possible). Considérons d’abord le cas symétrique. Dans ce cas, on peut appliquer le théorème de Wigner-Eckart pour obtenir les relations suivantes entre les amplitudes [24] :
A(B+ → K0π+π0)
sym = −A(Bd0 → K+π0π −
)sym , (4.3)
√
2A(B+ → K0π+π0)sym = A(Bd0 → K 0
π+π−)sym+
√
2A(Bd0 → K0π0π0)sym ,
√
2A(Bd0 → K+π0π−)sym = A(B+ → K+π+π−)sym+
√
2A(B+→ K+π0π0)sym .
L’indice sym indique des amplitudes pour lesquelles la fonction d’onde des pions est symétrique.
En termes de diagrammes maintenant, les amplitudes sont :
√ 2A(B+ → K0π+π0) sym = −T10e iγ− C0 2e iγ+ P0 EW 2+ P 0C EW 1 , A(B0d → K0π+π− )sym = −T10e iγ− C0 1e iγ− ˜P0 uce iγ+ ˜P0 tc + 1 3P 0 EW 1+ 2 3P 0C EW 1− 1 3P 0C EW 2 , √ 2A(B0d → K0π0π0) sym = C10eiγ− C 0 2eiγ+ ˜P 0 uceiγ− ˜P 0 tc − 1 3P 0 EW 1+ P 0 EW 2+ 1 3P 0C EW 1+ 1 3P 0C EW 2 , A(B+ → K+π+π−)sym = −T20e iγ− C0 1e iγ− ˜ Puc0 eiγ+ ˜Ptc0 + 1 3P 0 EW 1− 1 3P 0C EW 1+ 2 3P 0C EW 2 , √ 2A(B+ → K+π0π0) sym = T10e iγ+ T0 2e iγ+ C0 1e iγ+ C0 2e iγ+ ˜P0 uce iγ− ˜P0 tc − 1 3P 0 EW 1− P 0 EW 2− 2 3P 0C EW 1− 2 3P 0C EW 2 , √ 2A(B0d → K+π0π− )sym = T10eiγ+ C 0 2eiγ − P 0 EW 2− P 0C EW 1 . (4.4)
Nous avons défini ˜P = P10+ P20, et toutes les amplitudes ont été multipliées par√2. Les contributions des phases faibles à l’amplitude ont été écrites de façon explicite, en incluant le signe « - » de Vtb∗Vts; toutes les quantités non-perturbatives sont
inclues dans les diagrammes. Nous pouvons aisément vérifier que les amplitudes, ainsi écrites, satisfont les relations (4.3). Dans ce cas, il n’y a pas de différences entre l’analyse basée sur le théorème de Wigner-Eckart et les relations approximatives basées sur les amplitudes.
Nous pouvons analyser les amplitudes antisymétriques de la même manière : le théorème de Wigner-Eckart donne [24] :
√
2A(B+→ K+π+π−
)anti+ A(B+ → K0π+π0)anti =
√
2A(B0d → K0π+π−
)anti+ A(Bd0 → K +π0π−
)anti . (4.5)
La décomposition diagrammatique, quant à elle, donne : √ 2A(B+→ K0π+π0) anti = −T10e iγ − C0 2e iγ − 2 ˜P0 uce iγ + 2 ˜P0 tc − PEW 20 −1 3P 0C EW 1+ 2 3P 0C EW 2 , A(Bd0 → K0π+π−)anti = −T10e iγ − C0 1e iγ − ˜ Puc0 eiγ+ ˜Ptc0 + PEW 10 − 2 3P 0C EW 1+ 1 3P 0C EW 2 , A(B+→ K+π+π− )anti = T20e iγ − C0 1e iγ + ˜P0 uce iγ − ˜P0 tc + PEW 10 − 1 3P 0C EW 1+ 2 3P 0C EW 2 , √ 2A(Bd0 → K+π0π− )anti = T10eiγ + 2T 0 2eiγ− C 0 2eiγ+ 2 ˜P 0 uceiγ− 2 ˜P 0 tc − PEW 20 +1 3P 0C EW 1+ 4 3P 0C EW 2 . (4.6)
Encore une fois, toutes les amplitudes ont été multipliées par √2. De nouveau, la relation (4.5) est reproduite, et il n’y a pas de différences entre le théorème de Wigner-Eckart et les diagrammes dans le cas antisymétrique.
4.2.1 Résonances
Il est possible pour une désintégration B → P P P de passer par un état in-termédiaire physique3 contenant deux particules avant de procéder vers l’état final
24 par la désintégration à deux corps d’une des particules. La décomposition dia-grammatique nous permet également d’analyser ces contributions résonantes aux désintégrations B → Kππ. Nous pouvons ainsi démontrer que les contributions résonantes obéissent elles aussi aux relations (4.3) et (4.5). La démonstration est donnée à l’annexe I.
4.2.2 La Domination des pingouins
En général, la contribution dominante aux transitions ¯b → ¯s est celle des pin-gouins. Dans la référence [25], Gronau et Rosner ont étudié la conséquence de négliger toutes les contributions sauf celle des pingouins pour B → Kππ. Dans cette limite, les amplitudes doivent respecter la réflexion d’isospin (u ↔ d), ce qui implique A(B+ → K+π+π−) = A(Bd0 → K0π+π−) , A(B+ → K0π+π0) = A(B0 d → K +π0π− ) , A(Bd0 → K0π0π0) = A(B+ → K+π0π0) . (4.7)
Ces relations sont bien respectées par les mesures experimentales.
La décomposition diagrammatique des amplitudes nous permet d’approfondir ces résultats et d’obtenir de nouveaux tests du modèle standard. En utilisant la méthode de l’annexe III, nous pouvons considérer séparément les états finaux sy-métriques et antisysy-métriques, tout en ne gardant que le diagramme ˜Ptc0 dans la décomposition des amplitudes. Nous obtenons alors les prédictions suivantes pour le cas symétrique : A(B+ → K0π+π0) sym = A(Bd0 → K +π0π− )sym= 0 , (4.8) A(B+→ K+π+π− )sym = A(Bd0 → K 0π+π− )sym = −√2A(Bd0 → K0π0π0) sym = − √ 2A(B+ → K+π0π0) sym .
Pour le cas antisymétrique, nous avons :
A(Bd0 → K0π0π0)anti = A(B+→ K+π0π0)anti = 0 , (4.9)
A(B+ → K0π+π0) anti = −A(Bd0 → K +π0π− )anti = −√2A(B+ → K+π+π− )anti = √ 2A(Bd0 → K0π+π− )anti .
Les rapports d’embranchements de plusieurs de ces désintégrations ont déjà été me-surés : B+ → K+π+π− [26, 27], B0
d → K0π+π
− [28], et B0
d → K+π0π
− [29]. Nous
pouvons donc vérifier plusieurs des relations obtenues en supposant la domination des pingouins. Commençons par les reformuler en termes de rapport d’embranche-ment : B(K+π0π−) sym = 0 , (4.10) B(K+π+π− )sym = (τ+/τ0) B(K0π+π−)sym , 1 2(τ+/τ0) B(K +π0π−
)anti = B(K+π+π−)anti = (τ+/τ0) B(K0π+π−)anti .
Pour vérifier ces relations, nous devons isoler les parties symétriques et antisymé-triques des rapports d’embrachements à partir des analyses de Dalitz qui ont été faites sur ces désintégrations ; les codes Mathematica qui ont été utilisés pour faire ces calculs sont présentés à l’annexe IV. Les résultats sont :
Γ(K+π+π−)sym= 0.65 Γ(K+π+π−) ,
Γ(K0π+π−)sym = 0.68 Γ(K0π+π−) ,
26 ce qui nous donne :
B(K+π0π−)sym = (4.0 ± 0.3) × 10−6 , B(K+π+π− )sym = (33.3 ± 2.0) × 10−6 , (τ+/τ0) B(K0π+π−)sym = (36.4 ± 1.5) × 10−6 , 1 2(τ+/τ0) B(K +π0π− )anti = (17.1 ± 1.3) × 10−6 , B(K+π+π− )anti = (17.6 ± 1.0) × 10−6 , (τ+/τ0) B(K0π+π−)anti = (17.0 ± 0.7) × 10−6 . (4.12)
Nous voyons que les données sont en accords avec les prédictions (4.10). En par-ticulier, la partie symétrique de Bd0 → K+π0π−
est fortement réduite comparée à la partie antisymétrique, tel que prédit lorsque l’on suppose la domination des pingouins. Remarquons cependant que les incertitudes citées dans (4.12) viennent uniquement des incertitudes sur les mesures expérimentales des rapports d’em-branchements et ne tiennent pas compte des incertitudes des analyses de Dalitz utilisées.
4.3 B → KK ¯K
Nous examinons maintenant les désintégrations de type B → KK ¯K ; comme B → Kππ, ces désintégrations sont basées sur des transitions ¯b → ¯s. Les quatre modes sont : B+ → K+K+K−, B+ → K+K0K¯0, B0
d → K+K0K −, B0
d →
K0K0K¯0. De manière similaire à la paire de pions pour les désintégrations B → Kππ, la paire de kaons peut être soit dans un état symétrique soit dans un état antisymétrique. Si on applique le théorème de Wigner-Eckart aux amplitudes sy-métriques, nous trouvons la relation :
A(B+→ K+K+K− )sym+ √ 2A(B+→ K+K0K¯0) sym= √ 2A(Bd0 → K+K0K−
La décomposition diagrammatique nous donne : A(B+ → K+K+K−)sym = −T2,s0 e iγ − C0 1,se iγ− ˆ Puc0 eiγ+ ˆPtc0 (4.14) + 2 3P 0 EW 1,s− 1 3P 0 EW 1+ 2 3P 0C EW 2,s− 1 3P 0C EW 1 , √ 2A(B+ → K+K0K¯0) sym = Pˆuc0 eiγ − ˆP 0 tc + 1 3P 0 EW 1,s+ 1 3P 0 EW 1+ 1 3P 0C EW 2,s+ 1 3P 0C EW 1 , √ 2A(Bd0 → K+K0K−) sym = −T2,s0 e iγ − C0 1,se iγ− ˆP0 uce iγ+ ˆP0 tc + 2 3P 0 EW 1,s− 1 3P 0 EW 1+ 2 3P 0C EW 2,s− 1 3P 0C EW 1 , A(B0d → K0K0K¯0)sym = Pˆuc0 e iγ − ˆ Ptc0 + 1 3P 0 EW 1,s+ 1 3P 0 EW 1+ 1 3P 0C EW 2,s+ 1 3P 0C EW 1 ,
où ˆP0 = P2,s0 +P10. Nous pouvons vérifier que (4.13) est satisfaite par ces expressions. Cependant, nous trouvons les relations additionnelles :
A(B+→ K+K+K−)sym =
√
2A(Bd0 → K+K0K−)sym ,
√
2A(B+→ K+K0K¯0)sym = A(Bd0 → K 0
K0K¯0)sym . (4.15)
Ces relations découlent du fait que nous avons négligé les diagrammes d’échanges et d’annihilations dans (4.14). Il s’agit d’un exemple des relations additionnelles que les diagrammes peuvent révéler lorsque les diagrammes négligeables sont ignorés.
Nous pouvons vérifier la première relation de l’Éq. (4.15) à l’aide de l’analyse de Dalitz de B0
d → K+KSK− présentée à la Réf. [30]. La difficulté est d’isoler
la partie symétrique de l’amplitude de désintégration. La démarche à suivre pour accomplir ceci est similaire à celle que nous utilisée à la section (4.2.2) ; le code Mathematica utilisé pour faire les calculs se trouve à l’annexe IV. Nous obtenons Γ(Bd0 → K+K0K−)
sym= 0.57 Γ(Bd0 → K+K0K−). Donc :
2 (τ+/τ0) B(Bd0 → K
+K0K−
)sym= (30.0 ± 2.8) × 10−6 . (4.16)
28 tient pas compte des incertitudes de l’analyse de Dalitz de [30]. Si la première relation de l’Éq. (4.15) est respectée, ceci devrait être égal à [11] :
B(B+ → K+K+K−
) = (32.5 ± 1.5) × 10−6 . (4.17)
La relation est donc bien respectée. Ceci supporte notre hypothèse selon laquelle les diagrammes d’échanges et d’annihilations sont négligeables.
Lorsque les kaons sont dans un état antisymétrique, il n’y a que deux dés-intégrations possibles : B+ → K+K0K¯0 et B0
d → K+K0K
−. Le théorème de
Wigner-Eckart ne révèle aucune relation entre ces amplitudes. La décomposition diagrammatique donne (toutes les amplitudes sont multipliées par √2) :
√ 2A(B+→ K+K0K¯0) anti = − ˆPuc0 e iγ+ ˆP0 tc (4.18) − 1 3P 0 EW 1,s− 1 3P 0 EW 1+ 1 3P 0C EW 2,s+ 1 3P 0C EW 1 , √ 2A(Bd0 → K+K0K− )anti = −T2,s0 e iγ+ C0 1,se iγ− ˆP0 uce iγ + ˆP0 tc + 2 3P 0 EW 1,s − 1 3P 0 EW 1− 2 3P 0C EW 2,s+ 1 3P 0C EW 1 .
Les diagrammes indiquent également qu’il n’y a aucune relation entre les deux amplitudes.
4.3.1 La Domination des pingouins
En supposant que les diagrammes pingouins sont dominants, Gronau et Rosner [25] trouvent que les égalités suivantes découlent de la symétrie d’isospin :
A(B+ → K+K+K− ) = −A(Bd0 → K0K0K¯0) , A(B+ → K+K0K¯0) = −A(B0 d → K +K0K− ) . (4.19)
Il est possible d’obtenir des prédictions plus détaillées en distinguant les états symétriques et antisymétriques. Dans le scénario symétrique, si l’on ne retient que
ˆ
Ptc0, nous obtenons :
A(B+→ K+K+K−)sym = −A(Bd0 → K 0 K0K¯0)sym (4.20) = −√2A(B+→ K+K0K¯0) sym= √ 2A(Bd0 → K+K0K− )sym .
Tel que discuté plus haut, les données présentement disponibles confirment la rela-tion A(B+ → K+K+K−) =√2A(B0
d → K+K0K
−). Dans le cas antisymétrique,
nous avons la relation A(B+ → K+K0K¯0)
anti = A(Bd0 → K+K0K −)
anti. Comme
pour les désintégrations Kππ, ces relations nous fournissent des tests du modèle standard qui pourront être vérifiés dès que les données seront disponibles.
4.4 B → K ¯Kπ
Nous passons maintenant aux désintégrations B → K ¯Kπ, qui sont des proces-sus ¯b → ¯d. Il y a sept désintégrations : B+ → K+K−π+, B+ → K+K¯0π0, B+ →
K0K¯0π+, B0 d → K+K −π0, B0 d → K+K¯0π −, B0 d → K0K¯0π0 et Bd0 → K0K −π+.
Dans ce secteur, on ne retrouve pas de particules identiques dans l’état final, et il n’est donc pas nécessaire de faire la distinction entre les états symétriques et an-tisymétriques. L’application du théorème de Wigner-Eckart nous donne la relation suivante entre les sept amplitudes :
√ 2A(Bd0 → K+K− π0) + A(Bd0 → K0K− π+) − A(B+→ K+K− π+) + √2A(Bd0 → K0K¯0π0) + A(B0 d → K+K¯0π − ) − A(B+ → K0K¯0π+) −√2A(B+ → K+K¯0π0) = 0 . (4.21)
30 La décomposition diagrammatique est :
A(B+→ K+K−π+) = [T2,s+ C1,s+ Pa;uc] e−iα (4.22)
− Pa;tc+ 1 3PEW 1− 2 3PEW 1,s+ 1 3P C EW 1− 2 3P C EW 2,s , √ 2A(B+→ K+K¯0π0) = [T
1,s+ C2,s− Pa;uc+ Pb;uc] e−iα
+ Pa;tc− Pb;tc− PEW 2,s − 1 3P C EW 1− 2 3P C EW 1,s+ 1 3P C EW 2− 1 3P C EW 2,s , A(B+→ K0K¯0π+) = −P b;uce−iα + Pb;tc− 1 3PEW 1− 1 3PEW 1,s − 1 3P C EW 1,s− 1 3P C EW 2 , √ 2A(Bd0 → K+K−π0) = C1,se−iα+ 1 3PEW 1− 2 3PEW 1,s , A(Bd0 → K+K¯0π−) = [T1,s+ Pb;uc] e−iα− Pb;tc−
2 3P C EW 1,s+ 1 3P C EW 2 , √ 2A(Bd0 → K0K¯0π0) = [C
2,s− Pa;uc− Pb;uc] e−iα
+ Pa;tc+ Pb;tc− 1 3PEW 1− 1 3PEW 1,s − PEW 2,s − 1 3P C EW 1− 1 3P C EW 1,s − 1 3P C EW 2− 1 3P C EW 2,s , A(Bd0 → K0K−
π+) = [T2,s+ Pa;uc] e−iα− Pa;tc+
1 3P C EW 1− 2 3P C EW 2,s ,
où Pa ≡ P1+ P2,s, Pb ≡ P1,s+ P2, et toutes les amplitudes ont été multipliées par
eiβ. Cette décomposition implique les deux relations suivantes :
√ 2A(Bd0 → K+K− π0) + A(Bd0 → K0K− π+) = A(B+→ K+K− π+) , √ 2A(Bd0 → K0K¯0π0) + A(B0 d → K +K¯0π− ) = A(B+→ K0K¯0π+) +√2A(B+→ K+K¯0π0) . (4.23)
De manière similaire à ce que nous avions obtenu pour les désintégrations B → KK ¯K, le fait de négliger les diagrammes d’échanges et d’annihilation nous a permis d’aller au delà de l’équation (4.21) et de la séparer en deux.
4.4.1 La Domination des T
Si l’on suppose que le diagramme T est dominant pour les transitions ¯b → ¯
d, comme c’est le cas pour les désintégrations à deux corps, nous obtenons les prédictions suivantes : A(B+ → K+K− π+) = A(B0d → K0K− π+) , √ 2A(B+ → K+K¯0π0) = A(B0 d → K +K¯0π− ) , A(B+ → K0K¯0π+) = A(B0 d → K+K − π0) = A(Bd0 → K0K¯0π0) ' 0 . (4.24)
Ces relations sont des tests du modèle standard qui pourront être effectués une fois que ces désintégrations auront été mesurées.
4.5 B → πππ
Finalement, nous examinons les désintégrations B → πππ, qui sont également basées sur des transitions ¯b → ¯d. Les quatre processus sont B0
d → π0π0π0, B+ →
π+π0π0, B+→ π−π+π+ et B0
d → π+π0π−.
La situation est ici beaucoup plus compliquée que pour les trois cas précédents : étant donné que l’état final contient trois particules identiques (sous l’isospin), on doit considérer les permutations des états de trois particules. Autrement dit, nous devons considérer les représentations du groupe de permutation S3 plutôt que S2.
Alors que S2 n’avait que deux représentations irréductibles (symétrique et
anti-symétrique), S3 en possède quatre : une représentation symétrique, une
représen-tation antisymétrique, et deux représenreprésen-tations mixtes. Les représenreprésen-tations mixtes sont de dimension deux, ce qui veut dire que contrairement aux représentations symétriques et antisymétriques, elles impliquent des matrices 2 × 2 qui mélangent ensemble les états à l’intérieur d’une même représentation. Cette situation im-plique que nous devons faire appel au formalisme plus général décrit à l’annexe II pour la décomposition diagrammatique. Ce formalisme implique que nous au-rons six types d’amplitudes possibles : les amplitudes complètement symétriques S
32 (accessibles à tous les modes de désintégrations) ; les amplitudes complètement an-tisymétriques A (accessible à Bd0 → π+π0π−
seulement) ; les états mixtes avec deux particules symétriques, M1 et M2 (accessibles à B+ → π+π0π0, B+ → π−π+π+ et
B0
d → π+π0π
−) ; et les états mixtes avec deux particules antisymétriques M 1 et
M3 (accessibles à Bd0 → π+π0π −
seulement). La décomposition diagrammatique sera différente, et impliquera des différents types de diagrammes, pour chaque type d’amplitude. Pour les amplitudes symétriques, la décomposition est :
2 √ 3A(B 0 d → π0π0π0)|Si = −C1S− C2S+ PucS e −iα (4.25) + PtcS+ 1 3P S EW 1− P S EW 2− 1 3P C,S EW 1− 1 3P C,S EW 2 , √ 2A(B+→ π+π0π0)|Si = −T2S+ C S 1 + P S uc e −iα + PtcS+ 1 3P S EW 1− 1 3P C,S EW 1+ 2 3P C,S EW 2 , 1 √ 2A(B +→ π− π+π+)|Si = T2S+ C S 1 + P S uc e −iα − PtcS+ 1 3P S EW 1− 1 3P C,S EW 1+ 2 3P C,S EW 2 , √ 2A(Bd0 → π+π0π−)|Si = C1S− C S 2 + P S uc e −iα − PtcS+ 1 3P S EW 1− PEW 2S − 1 3P C,S EW 1− 1 3P C,S EW 2 ,
Pour le secteur M1/M3, les amplitudes sont √ 2A(B+→ π+π0π0)|M1i = " 3 2T M1 1 − √ 3 2 T M3 1 − T M1 2 − C M1 1 + 3 2C M1 2 − √ 3 2 C M3 2 − PM1 uc + √ 3PM3 uc i e−iα+ PM1 tc − √ 3PM3 tc − 1 6P M1 EW 1− 1 2√3P M3 EW 1 +√3PM3 EW 2− 1 3P C,M1 EW 1 − 2 √ 3P C,M3 EW 1 − 5 6P C,M1 EW 2 − 1 2√3P C,M3 EW 2 , √ 2A(B+→ π−π+π+)|M1i = h −TM1 2 + √ 3TM3 2 − C M1 1 − √ 3CM3 1 − PM1 uc + √ 3PM3 uc i e−iα+ PM1 tc − √ 3PM3 tc + 4 3P M1 EW 1− 2 √ 3P M3 EW 1 − 1 3P C,M1 EW 1 + 1 √ 3P C,M3 EW 1 + 2 3P C,M1 EW 2 − 2 √ 3P C,M3 EW 2 , 6√2A(Bd0 → π+π0π− )|M1i = h 9TM1 1 − 3 √ 3TM3 1 − 3C M1 1 + 3 √ 3CM3 1 + 3C M1 2 − 3√3CM3 2 − 3P M1 uc + 3 √ 3PM3 uc i e−iα+h3PM1 tc − 3 √ 3PM3 tc − 5PM1 EW 1+ √ 3PM3 EW 1− 3P M1 EW 2+ 3 √ 3PM3 EW 2 − PC,M1 EW 1 − 5 √ 3PC,M3 EW 1 − P C,M1 EW 2 + √ 3PC,M3 EW 2 i , 2√6A(Bd0 → π+π0π− )|M3i = h −3TM1 1 + √ 3TM3 1 − 4 √ 3TM3 2 + 3C M1 1 + √ 3CM3 1 + 3CM1 2 + √ 3CM3 2 + 3P M1 uc − 3 √ 3PM3 uc i e−iα+h−3PM1 tc + 3 √ 3PM3 tc − PM1 EW 1+ √ 3PM3 EW 1+ 3P M1 EW 2+ √ 3PM3 EW 2 + PC,M1 EW 1 + √ 3PC,M3 EW 1 − 5P C,M1 EW 2 + √ 3PC,M3 EW 2 i . (4.26)
34 Pour le secteur M2/M4, les amplitudes sont
√ 2A(B+→ π+π0π0)|M2i = " 3 2T M2 1 − √ 3 2 T M4 1 − T M2 2 − C M2 1 + 3 2C M2 2 − √ 3 2 C M4 2 − PM2 uc + √ 3PM4 uc i e−iα+ PM2 tc − √ 3PM4 tc − 1 6P M2 EW 1− 1 2√3P M4 EW 1 +√3PM4 EW 2− 1 3P C,M2 EW 1 − 2 √ 3P C,M4 EW 1 − 5 6P C,M2 EW 2 − 1 2√3P C,M4 EW 2 , √ 2A(B+→ π−π+π+)|M2i = h −TM2 2 + √ 3TM4 2 − C M2 1 − √ 3CM4 1 − PM2 uc + √ 3PM4 uc i e−iα+ PM2 tc − √ 3PM4 tc + 4 3P M2 EW 1− 2 √ 3P M4 EW 1 − 1 3P C,M2 EW 1 + 1 √ 3P C,M4 EW 1 + 2 3P C,M2 EW 2 − 2 √ 3P C,M4 EW 2 , 6√2A(Bd0 → π+π0π− )|M2i = h 9TM2 1 − 3 √ 3TM4 1 − 3C M2 1 + 3 √ 3CM4 1 + 3C M2 2 − 3√3CM4 2 − 3P M2 uc + 3 √ 3PM4 uc i e−iα+h3PM2 tc − 3 √ 3PM4 tc − 5PM2 EW 1+ √ 3PM4 EW 1− 3P M2 EW 2+ 3 √ 3PM4 EW 2 − PC,M2 EW 1 − 5 √ 3PC,M4 EW 1 − P C,M2 EW 2 + √ 3PC,M4 EW 2 i , 2√6A(Bd0 → π+π0π− )|M4i = h −3TM2 1 + √ 3TM4 1 − 4 √ 3TM4 2 + 3C M2 1 + √ 3CM4 1 + 3CM2 2 + √ 3CM4 2 + 3P M2 uc − 3 √ 3PM4 uc i e−iα+h−3PM2 tc + 3 √ 3PM4 tc − PM2 EW 1+ √ 3PM4 EW 1+ 3P M2 EW 2+ √ 3PM4 EW 2 + PC,M2 EW 1 + √ 3PC,M4 EW 1 − 5P C,M2 EW 2 + √ 3PC,M4 EW 2 i . (4.27)
Finalement, pour |S3i = |Ai, nous avons
√ 2A(Bd0 → π+π0π− )|Ai = 2T1A− 2T2A− C1A− C2A− 3PucA e −iα + h 3PtcA+ PEW 1A − PEW 2A − PEW 1C,A − PEW 2C,A i . (4.28)
sui-vantes : √ 2A(Bd0 → π0π0π0)|Si= − √ 3A(Bd0 → π+π0π−)|Si , 2A(B+→ π+π0π0)
|Si= −A(B+ → π−π+π+)|Si ,
3 2A(B 0 d → π + π0π−)|M1i+ √ 3 2 A(B 0 d → π + π0π−)|M3i = A(B+ → π+π0π0) |M1i− A(B +→ π− π+π+)|M1i , 3 2A(B 0 d → π + π0π−)|M2i+ √ 3 2 A(B 0 d → π + π0π−)|M4i = A(B+ → π+π0π0) |M2i− A(B +→ π− π+π+)|M2i . (4.29)
CHAPITRE 5
MESURER LES PHASES FAIBLES AVEC LES DIAGRAMMES
Les décompositions diagrammatiques données au chapitre précédent contiennent des angles du triangle unitaire. Puisque ces paramètres sont (dans le modèle stan-dard) des paramètres fondamentaux, il est intéressant de tenter de les mesurer de façon précise. Des mesures divergentes des phases faibles signaleraient des incon-gruités dans le modèle standard, et donc des signes de nouvelle physique.
Tel que discuté à la section 2.3, la contribution des interactions non-perturbatives rend très difficile l’extraction directe des phases faibles. Prenons, par exemple, la première ligne de (4.4), et prenons le module au carré :
2|A(B+→ K0π+π0) sym|2 = | − T10e iγ− C0 2e iγ+ P0 EW 2+ P 0C EW 1| 2 . (5.1)
Le côté gauche de cette équation est proportionnel au taux de désintégration Γ(B+ → K0π+π0)
sym, et est donc mesurable en laboratoire. S’il était possible
d’évaluer les valeurs des différents diagrammes T10, C20, PEW 20 , PEW 10C , la seule in-connue dans cette équation serait γ, et l’on pourrait donc utiliser la mesure de Γ(B+ → K0π+π0)
sym pour mesurer la valeur de γ. Les diagrammes ne sont
mal-heureusement pas directement disponibles ; nous devons donc avoir recours à des méthodes plus détournées pour mesurer les phases faibles.
L’argument est le suivant : la décomposition des modes d’un secteur de dés-intégrations, par exemple tel que donné à l’Éq. (4.4), nous donne l’expression des amplitudes de désintégrations en termes d’un ensemble de paramètres théoriques. Nous pouvons maintenant faire le décompte des quantités observables indépen-dantes dans un secteur donné. Les règles à suivre pour faire ceci ont été données à la section 2.4 :
• Pour chaque mode de désintégration de type B → f , où f n’est pas un état propre de CP, il existe deux observables : Γ(B → f ) et Γ( ¯B → ¯f ), ou bien,
ce qui est équivalent, Γ(B → f ) et C.
• Pour un mode de désintégration de type B → f où f est un état propre de CP, il existe trois observables : Γ(B → f ), Γ( ¯B → f ) et S (ou bien, ce qui est encore une fois équivalent, Γ(B → f ), C et S).
Dans le système des mésons B, ces observables sont des fonctions des amplitudes de désintégrations ; la décomposition diagrammatique nous permet donc d’exprimer les quantités observables en termes des paramètres théoriques que sont les valeurs des différents diagrammes et phases faibles. Si un secteur contient plus ou autant d’observables que de paramètres théoriques, il est possible en principe d’inverser cette relation et d’obtenir la dépendance des paramètres théoriques en termes d’ob-servables. Puisque les phases faibles font partie des paramètres théoriques, cette méthode permet d’extraire leurs valeurs.
Il faut cependant ici souligner un détail important : contrairement aux désin-tégrations B → P P , où la direction des impulsions des particules finales n’affecte pas la valeur de l’amplitude de désintégration, les amplitudes de désintégrations avec trois particules ou plus dans l’état final dépendent des valeurs des impulsions finales. Ceci indique que les diagrammes, en tant que composantes des amplitudes, dépendent également des impulsions. L’extraction des paramètres théoriques doit donc se faire à chaque endroit de l’espace de phase (autrement dit, à chaque point du graphique de Dalitz), puisque les paramètres théoriques dépendent eux-mêmes de l’endroit où l’on se trouve dans l’espace de phase. Les exceptions sont les phases faibles, qui sont de simples nombres et sont donc indépendantes des impulsions finales. En principe, l’extraction des phases faibles devrait donc donner un résultat identique à chaque endroit dans l’espace de phase. En pratique, les incertitudes expérimentales et théoriques devraient inévitablement introduire une dépendance sur les coordonnées de l’espace de phase dans les valeurs des phases faibles. L’im-portance de cette dépendance peut servir à indiquer la fiabilité de la méthode et l’incertitude sur le résultat final.
