Intégrales 4ème Sc Expérimentales

INTEGRALES 4 Sc EXPERIMENTALES

Exercice 1

1) Calculer les intégrales suivantes :

3 − 2 + 1 ; cos ; 2 + ; −2 1 + 2 sin − cos _{; cos sin ; 2 sin + cos + 3 ;}

1

! ! ; _{√" + 1}2" " − _{$ √" + 1}2" " ; 1 + $ % ; sin 2 a Calculer cos

b En déduire sin

Exercice 2

Soit / la fonction définie sur 00 , 3 par / = cos . 1) a) Calculer ∀ ∈ 00 , 3 ; /′ .

b) Justifier que / réalise une bijection de 00 , 3 sur 80 , 19. 2) Soit g la fonction réciproque de /.

a) Justifier que : est dérivable sur 80 , 18 . b) Montrer que ∀ ∈ 80 , 18 : :; = − √ <= 3) a) Calculer : > ? et : >√$?. b Montrer que √1 − √$ =C₆ Exercice 3

Soit / la fonction définie sur ℝ par : / = $+ 3 + 4 et soit G sa courbe représentative dans un repère orthonormé H IJ , KJ .

1) a) Dresser le tableau de variation de /.

b) Montrer que L −1 , −2 est un point d’inflexion de G . c) Donner une équation de la tangente M à G en L.

2) a) Dresser le tableau de variation de /′ et en déduire que ∀ ∈ ℝ on a : /; ≥ 1. b) Montrer en intégrant l’inégalité précédente que ∀ ∈ 8−1 , +∞8 et ∀ ∈ 8−1 , 9 on a / ≥ − 1

Exercice 4

Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse.

1) Soit / une fonction définie sur ℝ et ∀ ∈ ℝ on a / ≤ 0 alors ∀ ∈ ℝ on a /

Q=

Q ≤ 0

2 La fonction T déUinie par ∶ T = √ < _{1 +}2

=

est dérivable sur 80 , 19 3 1 = −2

4 Y /$ ≥ 0 Z [ / ≥ 0 ![ 81 , 39

Exercice 5

Donner la bonne réponse \ Soit L = sin

a) L = C sin b) L = 2 c) L = C sin ^ Soit _ = %

√1 +

a) _ = 1 b) _ = −1 c) _ = 0 ` La fonction ↦ <_{1 +}sin est dérivable sur ∶

a) ℝ\d−1e b) 9−1 , +∞8 c) 9−∞ , −18

Exercice 6

Indiquer la bonne réponse

1) Soit L = f 2 C et _ = f 2 C alors L + _ = a) −1 b) 1 c) C 2) Soit g = f alors g = a) 0 b) c) C Exercice 7 1) Calculer L = f h< i 2) Calculer _ = f <

h< i (par une intégration par parties ) Exercice 8

Soit la fonction / définie sur 80 , 18 par / = j <_< et soit (C) sa courbe.

1) a) Etudier la dérivabilité de / à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement. b) Dresser le tableau de variation de /.

c) Montrer que / admet une fonction réciproque que l’on note / définie sur 80 , +∞8. d) Montrer que ∀ ∈ 80 , +∞8 , / = <=

h<=

e) Tracer (C) et (C’) courbe de / .

2) Soit k l’aire de la partie du plan limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectives : = 0 et =

Montrer que k = _{1 +}

3 Soit T la fonction déUinie sur 3−C_{2 ,}C_{20 par T ) =} lmn <_{1 +} b) Montrer T est dérivable sur 3− 0 et déterminer F; x)

c) Montrer alors que ∀ ∈ 3− 0 on a T ) = − + tan 4) Déduire alors la valeur exacte de k

Exercice 9

Soit la fonction / définie sur 3− , 0 par / ) = et soit G) sa courbe . 1) Etudier / et tracer G).

2) Soit k l’aire de la partie du plan limitée par la courbe G) l’axe des abscisses et les droites d’équations = 0 et = Calculer k.

3) Soit la fonction : définie sur 3− , 0 par : : ) = / ) + / ).

a) Montrer que : admet une unique primitive q sur 3− , 0 qui s’annule en 0. b) Montrer que ∀ ∈ 3− , 0 ; q ) =_$ $ .

4) Calculer le volume r engendré par la rotation de k autour de l’axe des abscisses.

Exercice 10

Soit / la fonction définie sur 00 , 3 par / ) = sin 1) Etudier les variation de / et construire sa courbe G).

2) Calculer k l’aire de la partie du plan limitée par la courbe G), l’axe des abscisses et les droites d’équations = 0 et =

3) Calculer le volume r du solide de révolution engendré par la rotation de k au tour de l’axe des abscisses.

Exercice 11

Soit / la fonction définie sur 80 , C9 par / ) = et G_s sa courbe. 1) a) Dresser le tableau de variation de .

b) Tracer G_s .

2) Linéariser et ( cos 2 = 1 − 2 ).

3) Calculer k l’aire de la partie du plan limitée par G_s et les droites d’équations : = 0 et = C 4) Calculer le volume engendré par la rotation de la courbe G_s au tour de l’axe des abscisses.

Exercice 12

Soit / la fonction définie sur 00 , 3 par : / = tcos 0 ≤ ≤ sin ≤ ≤ u 1) Montrer que / est continue sur 00 , 3.

2 Calculer /

Exercice 13

Soit la fonction / définie sur Lv par / = < j<= _<hw

=

et soit G_s sa courbe représentative dans un repère

orthonormé H , IJ , KJ . ( unité graphique 2 x ).

1) a) Montrer que le domaine de définition de / est y_s = Lv. b) Montrer que pour tout de Lv /; =

j<= _<hw

= ><= <hw=?

c) Dresser le tableau de variation de /.

2) a) Montrer que L z , / > ?{ est un centre de symétrie de G_s. b) Donner une équation cartésienne de la tangente M à G_s en L. c) Tracer G_s et M dans le même repère H , IJ , KJ .

3) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par G_s , l’axe des abscisses et les droites : ∆ : = et ∆ : = 1

Exercice 14

On a représenté ci-dessous la courbe G d’une fonction / définie et dérivable sur 91 , +∞8 et la courbe G’ de sa fonction dérivée.

Les droites ∆ et ∆; d’équations respectives = 1 et • = − 4 sont des asymptotes à G . La courbe G admet au point d’abscisse 3 une tangente horizontale.

On désigne par k l’aire de la partie du plan limitée par la courbe G′ , l’axe des abscisses et les droites d’équation = 3 et = 5.

Kooli Mohamed Hechmi

<→hƒ/ − − 4 et lim<→ „/ .

b) Par lecture graphique déterminer / 3 et / 5 .

2) a) Par lecture graphique donner la position relative de G′ et ∆;: • = − 4 et la position relative de G′ et ∆;;: • = − 3.

b) En déduire que : < k < 2. 3 Soit _ = % /′

$

A l’aide d’une intégration par parties, montrer que : _ = 5/ 5 − k 4) Sachant que / = − 4 +

∆: = ∆;; Exercice 15

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé fonction / définie et dérivable sur ℝ et de sa f

1) Reconnaitre la courbe représentative de 2) Déterminer 0 /′ 0 , / 1 et /′

3) Calculer l’aire † de la partie du plan limitée par la courbe de d’équations 4 1 et 4 0

4) Soit ‡_ˆ la suite définie sur Ņ∗ par

a) A l’aide d’une intégration par partie montrer que b) Mo8ntrer que ‡_ˆ est décroissante

c) Montrer que 0 P ‡_ˆ P_ˆh 0≤

d) Déduire que ‡_ˆ est convergente et calculer sa limite

Exercice 16

On considère la fonction / définie sur ℝ

Kooli Mohamed Hechmi

G

∆;: • 4 4 G;

;;_{: • 4 3}

dessous, dans un repère orthonormé H IJ , KJ les courbes G et (Γ et de sa fonction dérivée /′.

Reconnaitre la courbe représentative de / et celle de /′. 1

de la partie du plan limitée par la courbe de /′ l’axe des abscisses et les droites

par ‡_ˆ 4 f ˆ/;

A l’aide d’une intégration par partie montrer que ‡ 4 / 1 f / roissante

≤‡ ≤1 +1 pour tout ∈ Ņ∗ est convergente et calculer sa limite.

ℝ par : / 4 1 _{√ h<}< ₌

Kooli Mohamed Hechmi

et (Γ), représentative d’une

l’axe des abscisses et les droites

Soit G_s sa courbe représentative dans un repère orthonormé H , IJ , KJ 1) a) Dresser le tableau de variation de /

b) Ecrire une équation de la tangente M à G_s au point d’abscisse 0 c) Etudier la position relative de G_s et la tangente M

2) a) Montrer que l’équation / = admet dans ℝ une solution unique ‹ et 1 < ‹ < 2 b) Construire G_s et M

3) a) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par G_s , l’axe des abscisses et les droites d’équations = − 1 et = 1

b) Montrer que pour tout ≥ 1 on a 0 ≤ /; ≤ √

4) a) Montrer que / réalise une bijection de ℝ vers un intervalle _ que l’on précisera b) Montrer que / est dérivable en 1 , puis déterminer / ; 1

c) Construire dans le même repère G_sŒw

5) On considère la suite ‡_ˆ définie par : ‡ _.= 2 et ‡_ˆh = / ‡_ˆ pour tout ∈ Ņ a) Montrer que pour tout ∈ Ņ on a ‡_ˆ ≥ 1

b) Montrer que pour tout ∈ Ņ on a |‡_ˆh − ‹| ≤√ |‡_ˆ− ‹| π c) En déduire que la suite (Un) est convergente

Exercice 17

Soit la suite réelle définie sur L•∗ par ‡_ˆ = f ˆ

•

=

1) a) Justifier l’existence de ‡_ˆ pour tout ∈ L•∗. b) Montrer que ∀ ∈ L•∗ , ‡_ˆ ≥ 0 .

c) Montrer que la suite ‡ est décroissante. Que peut-on conclure ? d) Vérifier que : ‡ = 1 et que ‡ = .

2) a) A l’aide d’une intégration par parties montrer que : ∀ ∈ ℕ∗; f ˆ =

ˆh ‡ˆh

• =

b) En déduire ∀ ∈ L•∗ on a : ‡_ˆh = ˆh ˆh ‡ˆ. c) Montrer que pour tout entier ≥ 2 on a : ˆ

ˆh ‡ˆ ≤ ‡ˆh ≤ ‡ˆ en déduire la limite de ’“„w

’“