Fonctions

(1)

3

•

Niveau 3 Niveau 3 Niveau 3 Niveau 3 Niveau 3 Niveau 3 Niveau 3

Objectifs de cycle

 Modéliser une situation

Déterminer une fonction

test n° 1

Déterminer une image à partir d'une expression

tests n° 2, 3 et 4

Déterminer un antécédent à partir d'une expression

test n° 5

 Représentations d'une fonction

Utiliser un tableau de valeurs

test n° 6

Déterminer une image ou un antécédent

à partir d'une courbe

tests n° 7 et 8

Construire une représentation graphique

tests n° 9 et 10

 Choisir la représentation adaptée

•

Ce chapitre est organisé autour des représentations possibles d'une fonction : expressions, tableaux de valeurs, représentations graphiques.

•

Les fonctions linéaires et affines sont étudiées dans chacune de ces parties.

B3

(2)

2

Activité

_{Variations, dépendance, correspondance}

Dans le triangle ABC rectangle en B ci-contre : AB = 10 cm et BC = 5 cm. M est un point du segment [BC]. P et N sont les points des segments [AB] et [AC] tels que BMNP soit un rectangle.

On s'intéresse aux valeurs du périmètre (en cm) et de l'aire (en cm²) de BMNP, lorsque la position de M varie sur le segment [BC]

On pose BM =

x

.

x

est une variable. On aurait tout aussi bien utiliser une autre lettre pour la nommer.

Quelles sont les valeurs possibles de

x

? 1. À partir d'une figure

Trace le triangle ABC et choisis plusieurs positions du point M sur [BC] : mesure les longueurs utiles et évalue le périmètre et l'aire de BMNP. Note tes résultats dans un tableau (dans ce tableau, à chaque valeur de

x

correspond une valeur pour le périmètre et une valeur pour l'aire).

x

en cm

Périmètre en cm Aire en cm²

- Quelles sont les grandeurs qui varient ici ? - De quelle grandeur dépend le périmètre ? - De quelle grandeur dépend l'aire ? 2. « En fonction de... »

a. Exprime MC en fonction de

x

puis, en utilisant le théorème de Thalès, MN en fonction de

x

.

b. Déduis-en le périmètre P(

x

) et l'aire A(

x

) de BMNP en fonction de

x

. 3. Le périmètre et l'aire

a. En utilisant un tableur, construis un tableau donnant le périmètre et l'aire

de BMNP pour les valeurs de

x

(en cm) allant de 0,5 à 4,5 avec un pas de 0,25.

b. Représente les valeurs du périmètre et de l'aire sur un même graphique ;

en plaçant l'origine du repère en bas à gauche de ta feuille. Tu prendras sur l'axe des abscisses 2 cm pour 1 unité et sur l'axe des ordonnées :

1 cm pour 1 cm de périmètre. 1 cm pour 1 cm² d'aire.

c. Que remarques-tu ? A-t-on des situations de proportionnalité ?

d. Peux-tu prévoir, à l'aide du graphique, le périmètre et l'aire de BMNP

lorsque

x

= 1,8 ?

e. Combien semble-t-il y avoir de positions possibles de M telles que l'aire

de BMNP soit égale à 8 cm2_{? Quelles sont les valeurs du périmètre}

correspondant ?

f. Même question avec 12 cm2_{. Puis 15 cm².}

g. A quelle position du point M l'aire semble-t-elle maximale ?

FONCTIONS • B3

Activités de découverte

A B M C N P

1

174

(3)

3

Activité

_{Avec un graphique}

Sur un circuit de 13,2 km, un pilote réalise des essais pour une nouvelle voiture de course.

Des capteurs placés sur le circuit mesurent la vitesse au moment du passage de la voiture, ces vitesses sont notées dans le tableau ci-dessous.

Capteur n°... 1 2 3 4 5 6 7 8

Distance parcourue depuis

la ligne de départ en km 0,8 2 2,8 4,6 7,2 9,4 ... 13 Vitesse mesurée en km·h−1 ₁₂₅ ₁₉₆ ₁₄₄ _... ₁₁₃ _... ₂₀₀ _...

D'autre part, un enregistreur placé à bord de la voiture donne la vitesse en fonction de la distance parcourue sous la forme du graphique ci-dessous.

1. Quelles sont les grandeurs qui varient ici ? Laquelle dépend de l'autre ?

Remarque : A chaque valeur t du temps correspond une valeur v de la vitesse. t est

appelée une variable.

2. Détermine, si possible, les données manquantes dans le tableau. 3. Quelles sont les stratégies pour le remplir ?

2

Vitesse en km·h−1 Distance parcourue en km 25 1 0

(4)

2

Activité

_{Variations, dépendance, correspondance (suite)}

On reprend les fonctions de l'activité 1. Variations du périmètre

a. Que constates-tu comme évolution du périmètre lorsqu'on augmente

x

de 2 cm ? Et pour une diminution de

l

de 1 cm ?

b. Recopie et complète le tableau suivant sachant que

P

1 et

P

2 sont les périmètres

correspondant à 2 positions x1 et x2 de M.

x

1 −

x

2 0 1 1,5 3 4 − 1 − 2

P

1 −

P

2

Que peux-tu dire de ces tableaux ? Justifie ta réponse.

Activité

_{Coefficient et graphique}

1. On considère la fonction

g

définie par

g

(

x

) = 3

x

.

a. Recopie et complète le tableau de valeurs suivant.

x

− 2,5 − 2 − 1,5 − 1 0 1 2,5 3,5 4,5

g

(

x

)

b. Sur papier millimétré, construis un repère orthogonal et place tous les

points de coordonnées (

x

;

y

) avec

y

=

g

(

x

) que tu as obtenus grâce au tableau de la question précédente. Que constates-tu ? Pouvais-tu le prévoir ?

c. Quand tu choisis deux nombres

x

du tableau dont la différence est 1, quelle est la différence des valeurs de

g

(

x

) correspondantes ?

2. Cas général

On considère maintenant une fonction linéaire

f

de coefficient

a

(

a

est un nombre non nul).

Dans un repère orthogonal d'origine O, on considère le point A(1 ;

a

).

Démontre que si un point M de coordonnées (

x ; y

) appartient à la droite (OA) alors

y

=

f

(

x

).

3. Coefficient

a. Si le coefficient d'une fonction linéaire est négatif,

que peux-tu dire de la direction de sa droite représentative ?

b. Représente, dans un repère orthogonal, la fonction

h

telle que

h

(

x

) =4₃

x

. Justifie et illustre sur le graphique la phrase : « Lorsque la différence entre les abscisses de deux points de la droite représentative de

h

est 3,

la différence entre les ordonnées est 4. ».

c. Grâce au résultat de la question b. représente, dans le même repère,

la fonction

k

telle que

k

(

x

) =3

5

x

, puis la fonction

m

telle que

m

(

x

) = −2

3

x

.

d. Dans un repère orthonormé, quel lien y a-t-il entre le coefficient

de la fonction linéaire et l'angle que fait la droite représentative avec l'axe des abscisses ? FONCTIONS • B3

Activités de découverte

M O

a

1 A

(schéma réalisé pour

a

positif)

x

y

3

4

(5)

5

Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Modéliser une situation

Définition

Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un unique nombre.

On peut donner le procédé sous la forme d'une expression littérale.

Notation

On utilise la notation

f

:

x

f

(

x

) qui se lit «

f

est la fonction qui, à

x

, associe le nombre

f

(

x

) ».

Déterminer une fonction



Énoncé

a. Détermine la fonction

g

qui, à la longueur

x

d'une arête d'un cube, associe le périmètre d'une face de ce cube.

b. Détermine la fonction

h

qui, à la longueur

x

d'une arête d'un cube, associe le volume de ce cube.

Correction

a. La face d'un cube est un carré de périmètre

= 4 ×

x

. D'où

g(x)

_{= 4}

x

ou

g

:

x

4

x

.

b. Le volume d'un cube dont la longueur

des arêtes est

x

est =

x

×

x

×

x

=

x

3_.

D'où

h(x)

=

x

3_ou

_h

_:

_x

3 .

Définitions

Soit

f

une fonction. Si

f(a)

=

b

alors on dit que :

•

b

est l'image de

a

par

f

. L'image d'un nombre est unique.

•

a

est un antécédent de

b

par

f

. Un nombre

b

peut avoir plusieurs antécédents.

Déterminer une image à partir d'une expression littérale



Énoncé

Soit la fonction

f

:

x

2

− 4.

Détermine l'image de −5 par la fonction

f

.

Correction

f(

x

_{) =}

x

2 − 4

f

(−5) = (−5)2 − 4

f

(−5) = 25 − 4

f

(−5) = 21

Définitions

On considère deux nombres

a

_et

b

_quelconques.

• On appelle fonction linéaire de coefficient

a

_{toute fonction qui, à tout nombre} noté

x

_,

_{associe le nombre}

a

_×

x

_{(c'est-à-dire}

x

ax

_).

• On appelle fonction affine toute fonction qui, à tout nombre noté

x

_{, associe} le nombre

a

_×

x

_

b

_{(c'est-à-dire}

x

ax

+

b

_).

Propriétés

• Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (cas où

b

= 0). Les fonctions linéaires modélisent des situations de proportionnalité.

• Lorsque

a

= 0, la fonction est une fonction constante : à tout nombre

x

, elle associe le nombre

b

.

• Tout nombre admet un unique antécédent par une fonction linéaire ou affine non constante.

1

(6)

4 4

Reconnaître une fonction linéaire ou une fonction affine



Énoncé

Parmi les fonctions suivantes, détermine les fonctions affines, les fonctions linéaires et les fonctions constantes.

•

f

(

x

) = 3

x

•

g

(

x

) = - 7

x

+ 2 •

h

(

x

) = 5

x

² - 3 •

k

(

x

) =

x

•

l

(

x

) = 3

x

- 7 Correction

•

f

est une fonction linéaire de coefficient 3. •

g

est une fonction affine de coefficient

a

= – 7 et

b

= 2

•

h

n'est pas une fonction affine car

x

est élevé au carré.

•

k

est une fonction linéaire de coefficient 1. •

l

est une fonction affine de coefficient

a

= 3

et

b

= – 7.

Déterminer un antécédent à partir d'une expression littérale

La recherche d’antécédents par le calcul correspond à la résolution d'une équation.

Nos connaissances ne nous permettent de le faire que pour une équation du 1er

degré à une inconnue et quelques équations du second degré.



Énoncé

• Soit la fonction

f

linéaire telle que

f

(

x

) = 2

x.

Calcule l'antécédent de 7 par la fonction

f

. • Soit la fonction

g

affine telle que

g

(

x

) = 5

x

− 1. Calcule l'antécédent de 14 par la fonction

g

.

Correction

• L'antécédent de 7 par

f

est solution de l'équation :

f

(

x

_{) = 7 soit 2}

x

₌₇_donc

x

_{= 3,5.}

L'antécédent de 7 par

f

est donc 3,5.

• L'antécédent de 14 par

g

est solution de l'équation :

g

(

x

_{) =}₁₄_soit₅

x

_{− 1 =}₁₄_et

5

x

₌_{15 donc}

x

=3. L'antécédent de 14 par

g

est donc 3.

Représentations d'une fonction

A. Tableaux de valeurs

Définition

Les images respectives par la fonction

f

de certaines valeurs peuvent être présentées dans un tableau appelé tableau de valeurs.

Déterminer une image, un antécédent à partir d'un tableau

de valeurs

La 2de_{ligne du tableau donne l'image de chaque nombre de la 1}re_{ligne par la fonction}

_f

_.



Énoncé

Voici un tableau de valeurs de la fonction

f

:

x

−4 −2 0 2 4

f

(

x

) 12 0 −4 0 12

a. Détermine l'image de 0 par la fonction

f

.

b. Détermine un (des) antécédent(s) de 0

par la fonction

f

.

Correction

a. On cherche 0 sur la 1re_{ligne du tableau et}

on lit son image sur la 2de_ligne._L'image_{de 0}

par la fonction

f

est −4. On écrit

f

(0) = −4 (ou

f

: 0 −4).

b. On cherche 0 sur la 2de_{ligne du tableau}

et on lit sesantécédents sur la 1re_ligne.

Des antécédents de 0 par la fonction

f

sont

−2 et 2. On écrit

f

(−2) =

f

(2) = 0. FONCTIONS • B3

Cours et méthodes

2

178

(7)

5

Entraîne-toi àEntraîne-toi à Entraîne-toi àEntraîne-toi à

B. Représentation graphique

Définition

La représentation graphique d'une fonction

f ,

dans un repère, est la courbe constituée de l'ensemble des points de coordonnées (

x

;

f

(

x

)).

Déterminer une image , un antécédent à partir d'une courbe



Énoncé

Le graphique représente la fonction

f .

• Détermine graphiquement

f

(1,5)

.

• Détermine graphiquement le (les)

antécédent(s) de − 3 par la fonction

f.

Correction

•

f

(1,5) = − 1,75.

• − 3 a deux antécédents par la fonction

f

: − 1 et 1.

Cas particuliers

• La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère, non horizontale et non verticale, donc les coordonnées d'un seul point suffisent pour tracer la droite.

• La représentation graphique d'une fonction affine non constante est une droite non horizontale et non verticale, donc les coordonnées de deux points suffisent pour tracer la droite.

• La représentation graphique d'une fonction constante est une droite horizontale, donc les coordonnées d'un seul point suffisent pour tracer la droite.

Construire une représentation graphique



Énoncé

• Représente graphiquement la fonction linéaire

f

définie par

f

(

x

) = − 0,5

x

.

• Représente graphiquement la fonction affine

g

définie par

g

:

x

3x_{− 2.}

Correction

•

f

est une fonction linéaire donc

sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère.

Pour tracer cette droite, il suffit de connaître les coordonnées d'un de ses points.

f(6)=- 3

. (

d

f) est la droite (OA) avec A(6 ; − 3).

g

est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite.

Pour tracer cette droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux de ses points.

g

(-1)=-5 et

g

(2)=4.

(

d

g) est la droite (BC) avec B(− 1 ; − 5)

et C(2 ; 4).

1

0

1

(

d

f) (

d

g)  1  1  3 −0,5

B

A

C

0 − 1 1 − 4 − 2 − 3 1 2 − 2 − 1 1,5

(8)

4 4

Choisir la représentation adaptée



Énoncé

En cours de sciences physiques, Inés et Diogu ont réalisé un circuit électrique avec un générateur de courant variable. Ils veulent trouver la valeur de la résistance R (en Ω) de ce circuit.

Intensité en A 0,0029 0,0117 0,0234 Tension en V 1,5 6 12

Voici les mesures obtenues. Interprète ce tableau de valeurs.

Correction

On considère ce tableau comme le tableau de valeurs d'une fonction

f

qui à I associe U. Un tableur-grapheur donne le graphique suivant.

0

5

10

15

20

25

0

5

10

15

20

25

Intens ité en m A T e n s io n e n V

On reconnaît la représentation graphique d'une fonction linéaire. On détermine son coefficient :

1,5 ÷ 0,0029 ≈ 517.

A partir de la formule U=RI on déduit que le circuit est donc composé d'une résistance de 517 Ω.



Énoncé

Avec une plaque de carton rectangulaire de 8 dm par 10 dm, en découpant quatre carrés identiques, on obtient le patron d'une boîte (sans couvercle !).

On veut trouver la longueur du côté des carrés à découper pour obtenir une boîte dont le volume sera maximal.

On note

x

cette longueur en cm.

Estime ce volume maximal et la longueur

x

au cm près.

Correction

Le volume de cette boîte est donné par la formule :

V =Longueur ×largeur ×hauteur soit V = (10 – 2

x

_{) × (}_{8 – 2}

x

_{) ×}

x

On appelle

f

la fonction qui à

x

associe ce volume. Un tableur-grapheur donne la représentation de la fonction

f

.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0

20

40

60

dimension de la découpe

On estime le volume maximal aux environs de 1,5. On affine avec un tableau de valeurs.

x

1,4 1,5 1,6

V=

f

(

x

) 52,416 52,5 52,224

Le volume est maximal pour 1,5 dm (environ).

FONCTIONS • B3

Cours et méthodes

3

180

x

10 dm 8 d m

x

(9)

5 N iv e a u 3

1 Indique, en justifiant, si les fonctions sont linéaires, affines ou ni l'un ni l'autre.

a.

f

(

x

) =

x

2_{− 2 b.}

_g

₍

_x

_{) = 8 − 9}

_x

_c.

_h

₍

_x

_{) =} 3

5

x

d.

k

(

x

) = (13 − 8

x

)

2_{− 64}

_x

2_e.

_l

₍

_x

_{) =} 2

x

2 La fonction

h

est définie par la formule

h

(

x

) = 3

x

(5

x

2

− 2). Calcule l'image de − 2,5 ; de 20 puis de 0 par la fonction

h

.

3 Soit une fonction

l

telle que

l

(−2) = 12 et

l

(7) = 15.

a. Peux-tu trouver l'image de −5 ?

b. Traduis cette phrase : « l'image de 8 par la fonction

l

est 10 » par une égalité.

4 Détermine l'image de −4 par la fonction affine

h

définie par

h

(

x

) = −8

x

 3.

5 Détermine l'antécédent de −6 par la fonction affine

h

définie par

h

(

x

) = −

x

 3.

6 Pour une fonction

p, on considère

le tableau de valeurs suivant.

x

−10 −3 −1 0 2,5 5 6

p

(

x

) −5 −1 0 1,5 8 0 −3

a. Détermine l'image de −10 puis l'image de 2,5 par la fonction

p

.

b. Détermine un (des) antécédent(s) de −3 puis de 0 par la fonction

p

.

7 Le graphique ci-dessous représente une fonction

f

définie pour

x

compris entre −4 et 4.

a. Détermine

f

(−3) et

f

(2).

b. Détermine le(s) antécédent(s)

de −2 et de −3,2 par

f

.

8 Le graphique ci-dessous représente une fonction

g

pour

x

compris entre −1 et 8,8.

a. Détermine les images de 2 et de −1 par

g

.

b. Détermine le(s) antécédent(s) de 0 et

de 2 par

g

.

9 Trace les représentations graphiques des fonctions

l

et

m

définies par

l

(

x

) = −0,5

x

et

m

(

x

) = −0,5

x

 2. Que constates-tu ?

10 Comment tracer précisément la représentation graphique de la fonction qui, à

x

, associe 0,75

x

? 1 1 0 − 1 0 − 3 − 2 − 1 1 2 3

Je me teste

è

Voir Corrigés p. 368

(10)

8 8

Modéliser une situation

1 On considère le programme de calcul : • Choisis un nombre ;

• Multiplie le nombre choisi par lui même ; • Soustrais le triple du nombre choisi

au produit obtenu.

a. En notant

x

le nombre choisi au départ, détermine la fonction

f

qui, à

x

, fait

correspondre le résultat obtenu avec ce programme.

b. Applique ce programme de calcul avec

le nombre − 2. Traduis ce calcul par une phrase contenant le mot « image » puis par une égalité.

2 Soit la fonction

h

telle que

h

:

x

4

x

−

7.

a. Écris un programme de calcul traduisant

le calcul de l'image de

x

par la fonction

h

.

b. Donne une autre écriture de la fonction

h

.

3 Traduis chaque égalité par une phrase contenant le mot « image ».

a.

f

(3) = 4

b.

g

(0) = −2

c.

h

(

x

) = 3

x

2_{− 4}

d.

p

(

x

) = −

x

4 Traduis chaque phrase par une égalité.

a. Par la fonction

g

, −5,3 est l'image de 6.

b. 2,5 a pour image 4,2 par la fonction

f

.

c. L'image de 3 par la fonction

h

est 7.

d. Par la fonction

p

, −4 a pour image −6,5.

e. L'image de 5 par la fonction

m

est nulle.

5 Traduis chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme

x

... .

a.

x

a pour image 4

x

− 5 par la fonction

f

.

b. L'image de

x

par la fonction

g

est

x

(

x

 1).

c. Par la fonction

h

, −3

x

est l'image de

x

.

d. Par la fonction

r

,

x

a pour image 2

x

− 5

x

2_.

e. La fonction

k

associe, à tout nombre

x

, le nombre 3(

x

− 2).

6 Traduis chaque notation par une phrase contenant le mot « image » et par

une égalité.

a.

f

: 7 −17

b.

g

: − 5 3,2

c.

h

:

x

−4

x

2

d.

v

:

x

−3

7 On considère la fonction

h

définie par :

h

:

x

5

x

2_{− 4}

_x

_{ 3.}

Calcule l'image de chacun des nombres suivants.

a. 2 b.−3 c. d. 0 e. 1,4

f

définie par :

f

(

x

) = 2



x

 1.

Calcule, lorsque cela est possible, l'image de chacun des nombres suivants.

Lorsque ce n'est pas possible, explique pourquoi.

a. 0

b. 4 c.d. 3−9

e. 0,25

9 Parmi les fonctions

f

,

g

,

h

et

m

définies ci-dessous, indique celles qui sont linéaires.

a.

f

(

x

) = 2

x

b.

h

(

x

) = 3

x

− 4

c.

g

(

x

) =

x

2

d.

m

(

x

) = (5 − 2

x

) − 5

n

,

p

,

k

et

d

définies ci-dessous, indique celles qui sont affines.

a.

n

(

x

) = 5

x

b.

k

(

x

) = 2

x

 7

c.

p

(

x

) = 1

x

d.

d

(

x

) = (4

x

− 7) − 4

x

t

,

u

,

w

et

z

définies ci-dessous, indique celles qui sont affines (en précisant celles qui sont linéaires) et celles qui ne sont ni linéaires ni affines.

a.

t

(

x

) = −

x

b.

u

(

x

) =₂ 1

x

 3

c.

w

(

x

) = (

x

 9)2₋

_x

2

d.

z

(

x

) = (3

x

− 1)2_{− 3}

_x

2

12 Un rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur

x

cm.

a. Exprime le périmètre

p

(

x

), en cm, et l'aire

a

(

x

), en cm2_{, de ce rectangle en fonction}

de

x

.

b. Les fonctions

p

et

a

sont-elles linéaires ? Sont-elles affines ?

13 Le côté d'un carré mesure

x

cm.

a. Exprime le périmètre

p

(

x

), en cm, et l'aire

a

(

x

), en cm2_{, de ce carré en fonction de}

_x

_.

b. Les fonctions

p

et

a

sont-elles linéaires ? Sont-elles affines ?

FONCTIONS • B3

Je m'entraîne

(11)

9

14 La fonction

f

est définie par

f

(

x

) = 8

x

.

a. Détermine

f

(2) ;

f

(−3) et

f

(0).

b. Quelle est l'image de −5 par la fonction

f

? Et celle de1

8 ?

c. Détermine les antécédents,

par la fonction

f

, des nombres −16 ; 0 et 28.

15 La fonction

g

est définie par

g

(

x

) = 5

x

 1.

a. Quelle est l'image de 5 par la fonction

g

?

b. Détermine

g

(0) ;

g

(−2,1) et

g

(7).

c. Détermine les antécédents, par la fonction

g

, des nombres 21 ; −14 et 0.

16 La fonction

h

est définie par

h

:

x

− 6

x

.

a. Détermine les images, par la fonction

h

, des nombres 0 ; −5 et 1₃.

b. Calcule

h

(−1) et

h

(3,5).

c. Détermine les antécédents,

par la fonction

h

, des nombres 24 ; −42 et − 3₄.

17

k

est définie par

k

:

x

2

x

− 5.

a. Détermine l'image, par la fonction

k

, de1

3.

b. Calcule

k

(−4).

c. Résous l'équation

k

(

x

) =5₃. Que peux-tu dire de la solution de cette équation ?

18 La fonction

g

est une fonction linéaire telle que

g

(3) = 4.

En utilisant les propriétés d'une telle fonction, calcule les images des nombres 1,5 ; 6 et 7,5.

19 La fonction

f

(4) = 5. Détermine la fonction

f

.

20 La fonction

m

(0) = 0.

Peux-tu déterminer la fonction

m

?

21 La fonction

h



6₇



=₁₄3 .

Détermine la fonction

h

.

22 La fonction

h

est une fonction affine telle que

h

(2) = −1 et

h

(−1) = 5.

Détermine l'image de 7 et l'antécédent du nombre −7, par la fonction

h

.

Tableaux de valeurs

23 Réalise le tableau de valeurs de la fonction

g

telle que

g

(

x

) = −3

x²

 4 pour les valeurs entières de

x

comprises entre −6 et 6.

24 Voici un tableau de valeurs correspondant à une fonction

f

.

x

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

f

(

x

) 5 2 1 −3 −4 5 3 4 −4

f

?

b. Quel nombre a pour image −3 par la fonction

f

?

c. Quels sont les nombres qui ont la même

image par la fonction

f

?

25 Voici un tableau de valeurs correspondant à une fonction

g

.

x

−0,5 −0,1 0 0,7 0,9 1,1 1,3

g

(

x

) 5 2 1 −0,1 −4 5 3,4

Recopie et complète les égalités suivantes.

a.

g

(−0,1) = ... b.

g

(...) = 1 c.

g

(0,9) = … d.

g

(...) = −4 e.

g

(0,7) = ... f.

g

(...) = 5

26 Réalise un tableau de valeurs d'une fonction

f

vérifiant :

a.

f

(0) = −1,5

b.

f

(4) =− 1₆

c.

f

(1) = −1

d.

f

(−0,5) =4₃

e. L'image de −1 par la fonction

f

est −1.

(12)

8 8

p

définie par :

p

:

x

5

x

2_{− 4}

_x

_{ 3.}

Calcule l'image par la fonction

p

de chacun des nombres suivants.

a. 2 b.−3 c. 2 3 d. 0 e. 1,4

h

définie par :

h

(

x

) = − 5

x

² + 1 . Calcule.

a.

h

(−2) b.

h

(2) c.

h

(102₎

d.

h

(

3₅

)

29 Soit la fonction

g

définie par

g

(

x

) =2

x

.

a. Quel nombre n'a pas d'image par

g

?

b. Recopie et complète le tableau suivant.

x

4 3

g

(

x

) 0,2 −1

c. Traduis chaque colonne par deux phrases

utilisant les mots « image » ou « antécédent ».

30 Réalise un tableau de valeurs d'une fonction

w

vérifiant :

a.

w

(0) = 0 b.

w

(−0,5) = 0,75

c. Un antécédent de 0 par la fonction

w

est 1.

d.−2 a pour antécédent 6 par la fonction

w

.

31 Soit un tableau de valeurs d'une fonction

f

.

x

−4 −2 −1 1 4

f

(

x

) 1 2 4 −4 −1

Dans chaque cas, indique, d'après le tableau, l'antécédent du nombre donné

par la fonction

f

.

a. 4 b. 2 c.−4 d.−1

32 La fonction

k

est définie par

k

(

x

) = 4

x²

− 3.

a. Quelle est l'image de −0,5 par

k

?

b. Quel nombre a pour antécédent 1 par

k

?

c. Quel est l'antécédent de −3 par

k

?

d. Quels nombres ont pour image −2 par

k

?

e. Pour quelles valeurs de

x

a-t-on

k

(

x

) = 0 ? Interprète la (ou les) solution(s)

de cette équation pour la fonction

k

.

Représentation graphique

33 Ce graphique représente une fonction

k

.

Recopie et complète le tableau suivant.

x

−1,25 −1

k

(

x

) 1,5 1,25

h

.

h

?

b. Quels nombres ont pour image 0

par la fonction

h

?

c. Donne une valeur approchée de :

• l'image de 4 par la fonction

_h

; • l'image de −3 par la fonction

h

.

35 Est-ce qu'il s'agit de la représentation graphique d'une fonction ?

FONCTIONS • B3

Je m'entraîne

− 1 0 1 2 1 2 − 2 1 0 1

x

y

1 0 1 184

(13)

9

f

.

a. Quelle est l'image de 1 par

f

?

b. Donne des valeurs pour :

•

f

(0)

• l'image de −2 par

f

• l'image de 2 par

f

•

f

(−1)

37 Sur le graphique ci-dessous, des fonctions

f

,

g

,

h

,

k

et

u

ont été représentées.

Parmi ces fonctions, indique celles qui sont affines. (Tu préciseras celles qui sont linéaires.)

38 Le graphique ci-dessous représente des fonctions

f

et

g

.

Par lecture graphique, détermine pour chaque fonction :

a. les images des nombres 0 ; 1 et −4.

b. les antécédents des nombres 3 ; −5 et 5.

39 Voici la représentation graphique de la fonction

D

telle que

D

(

x

) = 5

x

−2.

a. Quel nombre n'a pas d'image

par la fonction

D

? Peut-on le voir sur le graphique ? Explique.

b. Lire sur le graphique :

D ;

•

D

(4),

D

(7),

D

(−8) ;

• la valeur de

a

telle que

D

(

a

) = .3

c. Vérifier les réponses du b. par le calcul. d. Donne une valeur approchée de :

D ;

• l'image de −5 par la fonction

D

.

40 La fonction linéaire

h

est définie par

h

(

x

) = − 1,5

x

.

a. Quelle est la nature de la représentation

graphique de cette fonction ?

b. Combien de points sont nécessaires pour

construire la représentation graphique de cette fonction ?

c. Détermine les coordonnées de

suffisamment de points avec des abscisses comprises entre − 4 et 4.

d. Construis la représentation graphique en

prenant 1 cm pour 1 unité en abscisse et 1 cm pour 2 unités en ordonnée.

41 La fonction affine

m

est définie par

m

(

x

) = 3

x

− 5.

Reprends les questions de l'exercice 40 pour tracer sa représentation graphique.

1 0 1

y

x

C f C u C k C h C g 1 1 (

d

g)

x

y

1 1 (

d

f) 1 0 1

(14)

8 8

42 Représente les fonctions définies ci-dessous dans un même repère orthogonal avec des couleurs différentes.

•

d

:

x

− 2

x

 1 •

u

:

x

3

x

− 4 •

h

:

x

−

x

 3 •

t

:

x

2

•

k

:

x

2,5

x

•

m

:

x

− 2

x

− 3 Que peux-tu dire des représentations graphiques des fonctions

d

et

m

? À ton avis, pourquoi ?

43 Un graphique et deux fonctions

Dans le repère (O, I, J) ci-dessous sont représentées deux fonctions

f

(en violet) et

g

(en bleu).

a. Recopie et complète le tableau ci-dessous

en lisant le graphique. Donne toutes les réponses possibles.

x

−3 −1 0

f

(

x

) −5 −3 6

b. Recopie et complète le tableau ci-dessous

en lisant le graphique. Donne toutes les réponses possibles.

x

−2 0 3

g

(

x

) −6 −2 3

c. Quelle est l'image maximale

par la fonction

f

pour un nombre compris entre −5 et 0 ?

d. Détermine une valeur approchée

du nombre, compris entre −4 et 5, qui a la plus petite image par la fonction

g

.

e. Détermine graphiquement les valeurs de

x

entre −4 et 3 qui ont la même image par les fonctions

f

et

g

.

44 Sur le graphique ci-dessous, des fonctions

f

,

g

,

h

,

k

et

u

ont été représentées. Détermine chacune des cinq fonctions.

45 Avec le graphique ci-dessous :

a. Identifie les droites (

d

f), (

d

g) et (

d

h) qui

représentent les fonctions

f

,

g

et

h

définies par :

f

(

x

) = 3

x

 6 ;

g

(

x

) = 0,5

x

− 1 ;

h

(

x

) = −

x

 2. b. Détermine les coordonnées du point d'intersection des droites (

d

g) et (

d

h) par le calcul. c. Détermine celles du point d'intersection des droites (

d

f)et (

d

h) également par le calcul.

d. Déduis-en, sans aucun calcul, les

solutions de l'équation et de l'inéquation ci-dessous. −

x

 2 = 3

x

 6 0,5

x

− 1



−

x

 2 Justifie ta réponse. FONCTIONS • B3

Je m'entraîne

x

y

1 1 O I J

y

x

y

1 1 (

d

f) (d g) (

d

h) (

d

k) (

d

u) 186

(15)

3

Corps, santé, bien-être et sécurité

1 Sécurité routière (source : Eduscol)

On mesure le taux d'alcoolémie chez un homme après l'absorption d'une boisson alcoolisée à jeun.

a. Quel est le taux d'alcoolémie au bout

de trois heures ?

b. Quand le taux d'alcoolémie est-il

de 0,5 g·L−1_?

c. Quand le taux d'alcoolémie est-il

maximal ?

d. Au bout de combien de temps le taux

d'alcoolémie est-il nul ?

2 Distance de freinage (source : Eduscol)

La distance d'arrêt DA est la distance qu'il

faut à un véhicule pour s'arrêter. Elle dépend de la vitesse et se décompose en la somme de la distance parcourue pendant le temps de réaction DTR et de la distance de freinage

DF.

DA = DTR  DF

a. Donne des paramètres dont dépend DTR.

b. Donne des paramètres dont DF est

fonction.

c. Pour un conducteur en bonne santé,

le temps de réaction est évalué à 2 s. Calcule la distance DTR (en m) pour

un véhicule roulant à 50 km·h−1_puis

à 130 km·h−1_.

d. Pour un conducteur en bonne santé,

exprime la distance DTR (en m) en fonction

de la vitesse

v

en km·h−1_.

e. Dans un tableur, recopie le tableau

suivant qui donne DF (en m) en fonction

de la vitesse

v

(en km·h−1_{) sur route sèche.}

(Tu mettras les vitesses dans la ligne 1 et DF dans la ligne 2.)

v

10 20 30 40 50 60 70

DF(

v

) 1,8 3,6 6,9 10,3 16,1 23,2 31,4

v

80 90 100 110 120 130 140 DF(

v

) 41 52 64,6 78,1 93 108,5 123

f. Dans la ligne 3, programme DTR(

v

).

g. Complète la ligne 4 par le calcul de la

distance d'arrêt sur route sèche.

h. Sur route mouillée, la distance de freinage

augmente de 40 %. Calcule la distance de freinage sur route mouillée, DFM(50),

d'un véhicule roulant à 50 km·h−1_.

Exprime DFM(

v

) en fonction de la vitesse puis

complète le tableau en calculant DFM(

v

).

i. Complète le tableau en calculant

la distance d'arrêt d'un véhicule sur route mouillée DAM(

v

).

j. Sur une feuille de papier millimétré,

représente la distance d'arrêt d'un véhicule sur route sèche et sur route mouillée en fonction de la vitesse. (Tu prendras en abscisse 1 cm pour 10 km·h−1_{et en ordonnée 1 cm pour}

20 m.)

k. Détermine, sur le graphique,

l'augmentation de la distance d'arrêt entre une route sèche et une route mouillée pour les vitesses de 50 km·h−1_{; 90 km·h}−1

et 130 km·h−1_.

l. Où se positionnerait la courbe de

la distance d'arrêt sur une route verglacée par rapport aux deux courbes précédentes ?

3 Deux éprouvettes contiennent un liquide s'évaporant régulièrement au fil des jours. Dans le repère ci-dessous, chaque morceau de droite représente la hauteur du liquide (en mm) restant dans l'une de ces

éprouvettes en fonction du nombre de jours écoulés. a. Détermine, pour chaque éprouvette, la hauteur de liquide au début de l'expérience. b. Combien de jours

faudra-t-il pour que tout le liquide se soit évaporé dans chacune

des éprouvettes ?

c. Détermine à quel

moment le liquide était à la même hauteur dans les deux éprouvettes.

Je résous des problèmes

0,1

0

₁ ₂ 0,2 A lc o o lé m ie (g ·L − 1)

Nombre d'heures après l'absorption

1 0 1 jours mm relevé au 6e_jour

(16)

Je résous des exercices et des problèmes

2

Je résous des exercices et des problèmes

2

4 Médicament

Les deux courbes ci-après donnent la concentration dans le sang (en mg·L−1₎

en fonction du temps (en min) pour deux formes différentes d'un anti-douleur (dont l'action est proportionnelle à son taux de concentration dans le sang) : le comprimé « classique » (en bleu) et le comprimé effervescent (en rouge).

a. Pour chaque forme de comprimé, donne

la concentration dans le sang au bout de 30 min ; d'1 h 30 min et de 3 h.

b. Au bout de combien de temps chaque

concentration est-elle maximale ? Quelle forme de comprimé doit-on prendre si l'on souhaite calmer des douleurs le plus rapidement possible ?

c. À quels instants a-t-on une concentration

de 13 mg·L−1_{pour chacun des produits ?}

À quel instant les deux concentrations sont-elles égales ?

d. Récris chacune des réponses précédentes

en utilisant le langage des fonctions.

Sciences, technologie et société

5 Les résistances électriques

Le code couleur des résistances indique une valeur annoncée et une tolérance. La tolérance d'une résistance est comprise entre 0,05 % et 20 %.

Pour être conforme, la valeur mesurée de la résistance doit valoir ce qui est annoncé plus ou moins cette tolérance.

On étudie des résistances dont la tolérance est de 20 %.

a. La première résistance a une valeur annoncée de 250 Ω.

Donne un encadrement de ses valeurs mesurées conformes.

b. La deuxième résistance qui est conforme a une valeur mesurée de 420 Ω.

Donne un encadrement de ses valeurs annoncées possibles.

c. On appelle

x

la valeur annoncée de la résistance en ohm (Ω).

Exprime, en fonction de

x

, la valeur minimale

m

(

x

) pour laquelle une résistance est conforme.

Exprime, en fonction de

x

, la valeur maximale

M

(

x

) pour laquelle une résistance est conforme.

d. Représente graphiquement ces deux fonctions dans un même repère. Utilise des

couleurs différentes. Fais apparaître la zone du plan délimitée par ces deux droites.

e. Par lecture graphique, donne l'encadrement des valeurs mesurées conformes

pour des valeurs annoncées de 250 Ω ; 800 Ω et 1 400 Ω.

f. Par lecture graphique, donne l'encadrement des valeurs annoncées possibles

pour des résistances mesurées de 510 Ω ; 720 Ω et 1 650 Ω.

FONCTIONS • B3

188

Je résous des problèmes

Concentration dans le sang (en mg·L−1₎

t (en min) 0 50 100 150 200 0 5 10 15

(17)

3

Monde économique et professionnel

6 Mercredi, ce sont les soldes !

Collées sur une vitrine, de grandes affiches annoncent une réduction de 30 % sur toute la boutique.

a. Une jupe à 80 € est soldée. Quel est

son nouveau prix ? Détaille tes calculs.

b. Un article coûtant

x

€ est soldé. Exprime

p

(

x

), son nouveau prix, en fonction de

x

.

c. Cette fonction

p

est-elle linéaire ou affine ?

d. Représente cette fonction pour les valeurs

de

x

comprises entre 0 € et 150 €, sur une feuille de papier millimétré. Tu placeras l'origine du repère orthogonal dans le coin inférieur gauche. Tu prendras 1 cm pour 10 € en abscisse et en ordonnée.

e. Lis sur le graphique le prix soldé d'un pull

qui coûtait 50 €.

f. Lis sur le graphique le prix avant

démarque d'un pantalon soldé à 84 €.

7 Mutualisation des efforts

Tous les employés d'une entreprise ont décidé de cotiser à la même assurance maladie. La cotisation correspond à 1,5 % de leur salaire brut et elle est prélevée directement sur le salaire.

a. On appelle

s

le salaire brut mensuel. Exprime en fonction de

s

le montant

c

(

s

) de la cotisation de chacun.

b. Sophie est comptable dans cette

entreprise. Elle est chargée de modifier le bulletin de paie, programmé sur un tableur. Voici une partie de la feuille de calcul.

A B C

1 Éléments À payer À déduire 2 Salaire brut 1600,00

....

12 Assurance maladie

Quelle formule doit-elle programmer en C12 ?

8 Tarifs

Brahim décide d'aller régulièrement à la piscine pendant un an. Voici les tarifs proposés :

•

tarif 1 : 100 € pour un an, nombre illimité d'entrées ;

•

tarif 2 : 40 € d'adhésion par an puis 1 € par entrée ;

•

tarif 3 : 2 € par entrée.

a. Quel prix paiera-t-il avec chaque tarif, s'il

va à la piscine une fois par mois ? Quel tarif sera intéressant dans ce cas ?

b. On appelle

x

le nombre de fois où Brahim ira à la piscine. Exprime, en fonction de

x,

t

1(

x

) le prix qu'il paiera avec le tarif 1 ;

t

2(

x

)

le prix qu'il paiera avec le tarif 2 et

t

3(

x

)

le prix qu'il paiera avec le tarif 3.

c. Représente ces trois fonctions dans un

même repère orthogonal (On prendra 1 cm = 10 entrées en abscisse et 1 cm = 10 € en ordonnée).

d. Combien d'entrées Brahim devra-t-il payer

s'il va à la piscine une fois par semaine ? Et s'il y va deux fois par semaine ?

e. Par lecture graphique, détermine le tarif

le plus intéressant pour Brahim dans ces deux cas.

f. À partir de combien d'entrées Brahim

aura-t-il intérêt à prendre un abonnement au tarif 1 ?

9 Un théâtre propose deux tarifs de places :

•

tarif plein : 20 euros ;

•

tarif réduit : comprenant un abonnement et permettant d'avoir une réduction de 30 % sur le plein tarif.

a. Un adhérent a dépensé 148 euros (en

comptant l'abonnement) pour sept entrées. Calcule le prix de l'abonnement.

b.

x

désigne un nombre d'entrées. Exprime en fonction de

x

le prix

p

(

x

) payé avec le tarif plein et le prix

_p'

(

x

) payé avec le tarif réduit.

c. Représente graphiquement

p

et

_p'

.

d. À partir du graphique, détermine le tarif

le plus avantageux pour six entrées puis le nombre minimal d'entrées pour que l'abonnement soit avantageux.

(18)

Je résous des exercices et des problèmes

2

Je résous des exercices et des problèmes

2

10 Dans un magasin, une cartouche d'encre pour imprimante coûte 15 €. Sur un site Internet, cette même cartouche coûte 10 €, avec des frais de livraison fixes de 40 €, quel que soit le nombre

de cartouches achetées.

a. Recopie et complète le tableau suivant.

Nombre de

cartouches achetées 2 5 11 14 Prix à payer, en

magasin, en euros 75 Prix à payer, par

Internet, en euros 90

b. On note

P

A(

x

) le prix à payer pour l'achat de

x

cartouches en magasin. Détermine

P

A(

x

).

c. On note

P

B(

x

) le prix à payer pour l'achat de

x

cartouches par Internet. Détermine

P

B(

x

).

d. Représente les fonctions

P

A et

P

B.

e. Utilise le graphique précédent pour

répondre aux questions suivantes.

(Tu indiqueras par des pointillés les lectures graphiques que tu auras effectuées.)

•

Détermine le prix le plus avantageux pour l'achat de six cartouches.

•

Sonia dispose de 80 € pour acheter

des cartouches. Est-il plus avantageux pour elle d'acheter des cartouches en magasin ou sur Internet ?

f. À partir de quel nombre de cartouches

le prix sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ? Explique ta réponse.

11 Dans un magasin, les prix diminuent de 20 % la première semaine des soldes d'hiver, puis encore de 10 % la deuxième semaine.

a. Un article coûtait 40 € avant les soldes.

Calcule son prix lors de la deuxième semaine des soldes.

b. On appelle

x

le prix d'un article, en euros, avant les soldes. Exprime, en fonction de

x

, son prix lors de la deuxième semaine des soldes.

c. Le prix de cet article a-t-il diminué

de 30 % ?

d. Un article est affiché à 38,52 € lors

de la deuxième semaine des soldes. Calcule son prix avant les soldes.

12 Livraison

Une boulangerie livre des croissants à domicile. Le montant facturé comprend le prix des croissants et les frais de livraison qui sont fixes. Quatre croissants livrés coûtent 2,60 € et 10 croissants livrés coûtent 5 €.

a. On considère la fonction

f

qui, au nombre de croissants achetés, associe le prix facturé en euros. Quelle est sa nature ?

b. Trace la représentation graphique de la

fonction

f

dans un repère orthogonal (1 cm pour un croissant et 2 cm pour un euro).

c. Détermine, par lecture graphique,

le montant des frais de livraison.

13 Une banque annonce un taux d'intérêt annuel de 4 % pour un placement.

a. On appelle

x

le montant de la somme placée à 4 % par un client. Exprime, en fonction de

x

,les intérêts produits par cette somme au bout d'un an.

b. Exprime, en fonction de

x

, la nouvelle somme dont disposera ce client au bout d'une année supplémentaire.

c. La durée minimale du placement est

de six ans. Exprime, en fonction de

x

, la somme d'argent dont disposera ce client au bout de six années de placement.

d. Quelle somme ce client doit-il placer

au départ pour avoir 8 000 € à sa disposition au bout de six ans ? Arrondis le résultat à l'unité.

14 Un magasin augmente tous ses prix de 8 %.

a. Calcule le prix après augmentation

d'un article qui coûtait initialement 28,25 €. Un autre article coûte après augmentation 52,38 €. Quel était son prix initial ?

b. Si

p

1 € représente le prix d'un article avant

cette augmentation et

p

2 € son prix

augmenté, détermine la fonction qui, au nombre

p

1, associe le nombre

p

2.

c. Que peux-tu dire de cette fonction ? d. Quelle est l'image de 28,25 par

cette fonction ? L'antécédent de 52,38 ?

15 La population d'un village a diminué de 15 % en trente ans. Il compte aujourd'hui 289 habitants. Quelle était sa population il y a trente ans ?

FONCTIONS • B3

190

(19)

3

Résoudre un problème numérique

g

définie par

g

(

x

) = (

x

− 3)(

x

 1).

a. Quelle est l'image de 2 par

g

?

b. Quelle est l'image de −5 par

g

?

c. Quels sont les antécédents de 0 par

g

?

d. Donne un antécédent de −3 par

g

.

f

définie par

f

(

x

) =

x

1

x

.

a. Calcule l'image de −3. b. Peux-tu calculer l'image de 0

par la fonction

f

? Pourquoi ?

c. Dans cette question, on considère

la fonction

g

définie par

g

(

x

) =2

x

– 1

x

– 4 .

Détermine le nombre qui n'a pas d'image par la fonction

g

.

h

définie par

h

(

x

) =



x

.

a. Tous les nombres ont-ils une image

par la fonction

h

? Justifie ta réponse.

b. Détermine le (ou les) antécédent(s) de 25

par la fonction

h

. Peux-tu déterminer un antécédent de −3 ? Explique pourquoi.

c. Trouve tous les nombres qui n'ont pas

d'antécédent.

19 Soit la fonction

f

définie par

f

(

x

) =



x

– 2 .

a. Calcule, si possible, l'image de 6 ; de 27 ;

de 0 et de − 5. Que remarques-tu ?

b. Construis un tableau de valeurs

en prenant garde de bien choisir les valeurs de

x

.

c. En t'aidant des questions a. et b.,

positionne l'origine du repère sur ta feuille. Prends 1 cm pour 1 unité en abscisse et 2 cm pour 1 unité en ordonnée.

d. Place dans le repère précédent les points

obtenus dans le tableau de la question b..

20 Recherche d'antécédent

On veut déterminer le (ou les) antécédent(s) de 2 par la fonction

f

définie

par

f

(

x

) = 5

x

2_{− 3}

_x

_{ 2.}

a. Montre que cela revient à résoudre

l'équation

x

(5

x

− 3) = 0.

b. Résous cette équation puis vérifie

la valeur des images des solutions.

21 Recherche d'antécédent

Détermine le (ou les) antécédent(s) de −5 par la fonction

g

définie par

g

(

x

) =

x

2_{− 21.}

22 Marée

Une station a mesuré la hauteur des marées le 20 décembre 2011 à Saint-Malo. On obtient le graphique suivant.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

a. Décris par une phrase la fonction

M

représentée sur ce graphique.

b. À quelle heure, la marée a-t-elle été

la plus haute ? La plus basse ? Traduis chaque réponse par une égalité du type «

M

(...) = ... ».

c. À quelle(s) heure(s) la marée a-t-elle été à

6 m ? Traduis ta réponse par une phrase avec le langage des fonctions.

d. Quelle est la hauteur d'eau à 5 h ? e. Un navire a un tirant d'eau de 6 m.

Dans quelle(s) tranche(s) horaire(s) peut-il manœuvrer à Saint-Malo sachant qu'il lui faut une marge de 2 m pour ne pas toucher le fond. (Tirant d'eau : hauteur de la partie immergée du bateau. )

Hauteur marée (m)

(20)

Je résous des exercices et des problèmes

2

Je résous des exercices et des problèmes

2

23 On considère le programme de calcul :

•

Choisis un nombre ;

•

Ajoute 6 à ce nombre ;

•

Multiplie le résultat par le nombre de départ ;

•

Ajoute 9 au résultat.

a. Quel nombre obtient-on si l'on choisit 2

comme nombre de départ ? Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.

b. Même question avec 5.

c. On note

x

le nombre choisi au départ et on appelle

f

la fonction qui, au nombre

x

, associe le résultat du programme précédent. Quelles sont les images de 2 et de 5

par la fonction

f

?

d. Exprime, en fonction de

x

, l'image de

x

par la fonction

f

. Donne le résultat sous la forme du carré d'un nombre.

e. Recopie et complète le tableau suivant.

x

2 10 0

−

15

−

8 2,5

f

(

x

)

f. Détermine un antécédent de 1 par

f

.

g. Avec un tableur, trace une représentation

graphique de la fonction

f

.

h. En utilisant le graphique, quels nombres

peut-on choisir au départ pour obtenir 81 comme résultat ?

i. Retrouve la réponse précédente

par le calcul.

24 Représente les fonctions affines

f

et

g

définies ci-dessous dans un même repère orthogonal.

• f

(

x

) = 2

x

 3

• g

(

x

) = 3

x

− 1

Résous graphiquement l'équation et l'inéquation suivantes.

•

2

x

 3 = 3

x

− 1

•

3

x

− 1



2

x

 3

Résoudre un problème géométrique

25 Le CDI du collège Évariste Galois a la forme d'un trapèze. La documentaliste veut partager l'espace en deux parties de même aire, l'une rectangulaire, de largeur

x

mètres avec des rayonnages pour ranger les livres,

l'autre pour faire un coin lecture. On donne : AB = 5 m ;A D = 10 m et DC = 8 m.

a. Calcule l'aire totale du CDI.

a. Quelles sont les valeurs possibles pour

x

?

b. Exprime, en fonction de

x

,

r

(

x

) l'aire de l'espace « rayonnage » et

c

(

x

) l'aire de l'espace « coin lecture » en m2_.

c. Représente ces deux fonctions dans

un même repère orthogonal. Choisis l'échelle pour que le graphique ait une largeur de 10 cm.

d. Détermine, par lecture graphique,

la valeur de

x

pour laquelle les vœux de la documentaliste seront pris en compte.

26 Hauteur d'un triangle équilatéral

a. Calcule la hauteur puis l'aire d'un triangle

équilatéral de côté 5 cm.

b. On note

x

le côté d'un triangle équilatéral (en cm). Exprime sa hauteur en fonction de

x

.

c. On appelle

A

la fonction qui à

x

associe l'aire du triangle équilatéral de côté

x

.

•

Détermine une expression de

A

.

•

Calcule

A

(5) ;

A

(3) et

A

(

_√

3) .

27 L'unité est le centimètre. ABCDFEGH

et BIJCELKG sont deux pavés droits.

a. Exprime les

volumes

V

1(

x

) du

pavé bleu et

V

2(

x

) du

pavé vert en fonction de

x

.

b. Dans un tableur, construis un tableau de

valeurs et les courbes représentatives de

V

1

et

V

2 en fonction de

x

.

c. Quel(s) nombre(s) a (ont) la même image

par

V

1 et

V

2 ?

FONCTIONS • B3

192

Je résous des problèmes

A B I C D H G J K L E F

x

10 4 A B C D

x

ra yo nn ag_e coin lec ture

(21)

3

28 Aire maximale

On étudie les rectangles de périmètre 30 cm.

a. Soit

l

la largeur du rectangle.

Quelles sont les valeurs possibles de

l

? Exprime la longueur du rectangle puis l'aire du rectangle

A

(

l

) en fonction de

l

.

b. Dans un tableur, programme une feuille

de calcul permettant de trouver l'aire

A

(

l

) du rectangle en fonction de

l

.

c. Trace, dans un repère, une représentation

graphique de la fonction

A

.

d. Détermine graphiquement les dimensions

du rectangle qui a la plus grande aire. Trace-le.

29 Extrait du Brevet

Au cross du collège, les garçons et les filles courent en même temps sur le même parcours. Les garçons doivent parcourir 2 km.

Les filles partent à 300 mètres du point de départ des garçons sur le parcours. Akim fait le parcours des garçons à la vitesse de 15 km·h−1_{. Cécile fait le parcours des filles}

à la vitesse constante de 12 km·h−1_.

Akim et Cécile partent en même temps.

a. Montrer qu'Akim parcourt 250 mètres par

minute. Montrer que Cécile court à la vitesse de 200 m·min−1_.

b. À quelle distance du départ des garçons

se trouvent Akim et Cécile quand ils ont couru pendant cinq minutes ?

c. Depuis le départ, Akim et Cécile ont couru

pendant

x

minutes.

g

est alors la fonction donnant la distance en mètres séparant Akim du départ des garçons et

f

est la fonction donnant la distance séparant Cécile de ce même départ. Exprimer

g

(

x

) et

f

(

x

) en fonction de

x.

d. Dans un repère où l'on choisit

un centimètre pour une unité en abscisse et un centimètre pour 100 unités

en ordonnée, tracer les représentations graphiques des fonctions

g

et

f

.

e. Par lectures graphiques, justifiées en

faisant apparaître les tracés indispensables, répondre aux questions suivantes.

•

Au bout de combien de temps Akim aura-t-il rattrapé Cécile ?

•

À quelle distance du départ des garçons, Akim et Cécile seront-ils à cet instant ?

f. Déterminer par le calcul les réponses

aux questions posées en e..

30 Extrait du Brevet

Un artisan réalise des boîtes métalliques pour un confiseur.

Chaque boîte a la forme d’un parallélépipède rectangle à base carrée ; elle n’a pas de couvercle.

L’unité de longueur est le cm ; l’unité d’aire est le cm2_{; l’unité de volume est le cm}3_.

Partie A

Les côtés de la base mesurent 15 cm et la hauteur de la boîte mesure 6 cm.

a. Préciser la nature des faces latérales

de la boîte et leurs dimensions.

b. Montrer que l’aire totale de la boîte est

585 cm2_.

c. L’artisan découpe le patron de cette boîte

dans une plaque de métal de 0,3 mm d’épaisseur. La masse volumique de ce métal est 7 g/cm3_{, ce qui signifie}

qu’un centimètre cube de métal a une masse de sept grammes.

Calculer la masse de cette boîte.

Partie B

a. Calculer le volume de cette boîte. b. Le confiseur décide de recouvrir

exactement le fond de la boîte avec un coussin. Ce coussin est un

parallélépipède rectangle. Le côté de sa base mesure donc 15 cm et on note

x

la mesure, en cm, de sa hauteur variable (

x

est un nombre positif inférieur à 6).

c. Exprimer, en fonction de

x

, le volume du coussin.

d. Exprimer, en fonction de

x

, le volume que peuvent occuper les bonbons dans la boîte.

e. Soit la fonction

f

:

x

1 350 − 225

x

. Représenter graphiquement cette fonction pour

x

positif et inférieur à 6. (On prendra 2 cm pour unité sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 100 unités sur l’axe des ordonnées.)

f. Dans la pratique,

x

est compris entre 0,5 et 2,5.

Colorier la partie de la représentation graphique correspondant à cette double condition.

g. Calculer

f

(0,5) et

f

(2,5).

h. On vient de représenter graphiquement

le volume que peuvent occuper les bonbons dans la boîte.

Indiquer le volume minimal que peuvent, dans la pratique, occuper les bonbons.