2. Variables al´
eatoires unidimensionnelles
MTH2302D
S. Le Digabel, ´Ecole Polytechnique de Montr´eal A2017
Plan
1. D´efinitions
2. Variables al´eatoires discr`etes (masse)
3. Variables al´eatoires continues (densit´e)
1. D´efinitions
2. Variables al´eatoires discr`etes (masse) 3. Variables al´eatoires continues (densit´e) 4. Fonction de r´epartition
Exemple 1
On lance une pi`ece trois fois et on note le r´esultat. L’espace ´echantillon de cette exp´erience al´eatoire est
Ω = {PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF} . Soit X : le nombre de P (piles) obtenus.
X associe un nombre r´eel X(s) `a chaque r´esultat s ∈ Ω. L’ensemble des valeurs possibles pour X est RX = {0, 1, 2, 3}. On d´efinit une probabilit´e sur X :
D´efinition
Une variable al´eatoire (v.a.) X d’un espace ´echantillon Ω est une fonction qui associe `a chaque r´esultat s ∈ Ω un nombre r´eel x = X(s).
D´efinition
L’ensemble des valeurs possibles pour une v.a. X est appel´e le support de X, d´enot´e RX.
D´efinition
I Si le support d’une v.a. X est d´enombrable (ou fini) alors X est discr`ete.
I Si le support d’une v.a. X est une collection d’intervalles alors X est continue.
1. D´efinitions
2. Variables al´eatoires discr`etes (masse) 3. Variables al´eatoires continues (densit´e) 4. Fonction de r´epartition
Fonction de masse
Soit X une v.a. discr`ete de support RX = {x1, x2, x3, . . .}. La fonction de masse (de probabilit´e) de X est la fonction pX d´efinie par
pX(x) = P (X = x) pour tout x ∈ RX . La fonction de masse satisfait
I 0 ≤ pX(x) ≤ 1 pour tout x ∈ RX. I P xi∈RX pX(xi) = 1. I P (X ∈ B) = P xi∈B pX(xi) (avec B ⊆ RX).
Exemple 2
Une boˆıte contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont d´efectueux. Un ´echantillon de 2 disques est pr´elev´e (sans remise) de la boˆıte. Soit X : le nombre de DVDs d´efectueux dans l’´echantillon.
1. D´eterminer la fonction de masse de la v.a. X.
1. D´efinitions
2. Variables al´eatoires discr`etes (masse) 3. Variables al´eatoires continues (densit´e) 4. Fonction de r´epartition
Fonction de densit´
e
Soit X une v.a. continue de support RX. La fonction de densit´e (de probabilit´e) de X est la fonction fX d´efinie par
I fX(x) ≥ 0 pour tout x ∈ R. I P (X ∈ B) = Z B fX(x) dx pour tout B ⊂ R. En particulier P (a ≤ X ≤ b) = Z b a fX(x)dx (= P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)).
Fonction de densit´
e (suite)
La fonction de densit´e satisfait Z ∞
−∞
fX(x)dx = 1. Diff´erences avec la fonction de masse :
I On peut avoir fX(x) > 1.
I fX(a) ne correspond pas `a P (X = a).
I P (X = a) =RaafX(x)dx = 0. La probabilit´e que X prenne la valeur isol´ee a est nulle.
I On a plutˆot εfX(a) ' P (a − ε/2 ≤ X ≤ a + ε/2) qui correspond `a la probabilit´e que X prenne sa valeur dans [a −ε2; a + ε2].
Exemple 3
L’erreur commise lors de la mesure du diam`etre d’une pi`ece produite en s´erie est approxim´ee par une v.a. X (en mm) dont la fonction de densit´e est
f (x) =
c(1 − x2) si − 1 < x < 1 , 0 sinon.
1. D´eterminer la valeur du param`etre c.
2. Calculer la probabilit´e que l’erreur d’une mesure soit sup´erieure `a 1/2 en valeur absolue.
Exemple 4
Soit X la dur´ee de vie d’une ampoule. La fonction de densit´e de la v.a. X est
f (t) =
λe−λt si t ≥ 0 , 0 sinon. o`u λ est le taux de d´efaillance.
1. D´eterminer, en fonction de λ, la probabilit´e que l’ampoule fonctionne pendant au moins T heures.
2. Calculer la probabilit´e qu’une ampoule ayant fonctionn´e pendant 100 heures fonctionne encore 150 heures additionnelles.
3. Sachant que pour ce type d’ampoule P (X ≥ 100) = 0.99, d´eterminer λ.
1. D´efinitions
2. Variables al´eatoires discr`etes (masse) 3. Variables al´eatoires continues (densit´e) 4. Fonction de r´epartition
Fonction de r´
epartition
Soit X une variable al´eatoire (discr`ete ou continue). La fonction de r´epartition FX de X est d´efinie par
FX(x) = P (X ≤ x) pour tout x ∈ R. Propri´et´es de la fonction de r´epartition :
1. 0 ≤ FX(x) ≤ 1 pour tout x ∈ R.
2. FX est non d´ecroissante.
3. lim
x→−∞FX(x) = 0 etx→+∞lim FX(x) = 1. Une formule utile : si a < b alors
Si X est une v.a. discr`
ete
Soit X une variable discr`ete, RX = {x1, x2, x3, . . .} son support et pX sa fonction de masse. Alors
I La fonction FX est une fonction en escalier.
I FX(x) = P (X ≤ x) = P xi≤x
pX(xi).
I Si les ´el´ements de RX sont tri´es (x1 < x2 < . . .), alors
pX(x1) = FX(x1) ,
Exemple 5
Une boˆıte contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont d´efectueux. Un ´echantillon de 2 disques est pr´elev´e (sans remise) de la boˆıte. Soit X : le nombre de DVDs d´efectueux dans l’´echantillon. D´eterminer la fonction de r´epartition de la v.a. discr`ete X.
Si X est une v.a. continue
Soit X une v.a. continue et fX sa fonction de densit´e. Alors FX(x) = P (X ≤ x) =
Z x −∞
fX(t)dt. Par le th´eor`eme fondamental du calcul :
d
dxFX(x) = fX(x) et FX est une fonction continue.
Exemple 6
L’erreur commise lors de la mesure du diam`etre d’une pi`ece produite en s´erie est approxim´ee par une v.a. X (en mm) dont la fonction de densit´e est
f (x) =
c(1 − x2) si − 1 < x < 1 , 0 sinon.
Notion de distribution
Ladistribution d’une variable al´eatoire :
I est un terme g´en´eral pour d´ecrire le mod`ele suivi par la v.a.