vecteur normal - equation de cercle -Elèves

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Applications du produit scalaire :

vecteur normal à une droite, équation cartésienne d’un cercle

I) Droites et vecteur normal

1) Définition : On appelle vecteur normal à une droite d de vecteur directeur ⃗ tout vecteur ⃗ non

nul orthogonal à ⃗.

2) Equation cartésienne et vecteur normal :

Soit A ; et ⃗ ; M(x ; y) un point quelconque. On a ⃗ ____ − _____{____ − ____ .}

Dire que M appartient à la droite passant par A et de vecteur normal ⃗ équivaut à dire que :

⃗ ∙ ⃗ = 0  ____ ____ − ____ + ___ ____ − ____ = 0

 ____ + ____ − ____ − ____ = 0

 ___ + ____ + = 0

a) L’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que ⃗ ∙ ⃗ = 0 où ⃗ !" , est la droite

d’équation ax + by + c = 0.

b) La droite d’équation ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal ⃗ !" et

réciproquement.

3) Exemple :

On donne, dans un repère orthonormal, A(–1 ; 2), B(3 ; 1) et C(2 ; 4). Déterminer l’équation cartésienne de la hauteur d issue de A du triangle ABC.

d et (BC) sont perpendiculaires donc #$⃗ est un vecteur normal à d. #$⃗ −1₃ et ⃗ ' + 1_{− 2)}

M ∈ d signifie que #$⃗ ∙ ⃗ = 0  –1(x + 1) + 3(y – 2) = 0  –x + 3y – 7 = 0.

II) Equation cartésienne d’un cercle

1) Simplification de ⃗ ∙ #⃗ : on appelle I le milieu de [AB]. ⃗ ∙ #⃗ = * …⃗+ … ⃗, ∙ * …⃗+ …#⃗, = …⃗-+ …⃗ ∙ … #⃗ + … ⃗ ∙ …⃗ + … ⃗ ∙ … #⃗ = …⃗-+ …⃗ ∙ … #⃗ + …⃗ ∙ … ⃗ −. -… …⃗ ∙ . -… …⃗ = …⃗-+ /⃗ ∙ … …⃗ + … …⃗ −. 0… …⃗ -= …⃗-+ /⃗ ∙ …⃗ −. 0… … -= …-−. 0… …

-Pour tout point M du plan, I étant le milieu de [AB], on a : ⃗ ∙ 1⃗ = 23−4

5 13

2) Ensemble des points M tels que ⃗ ∙ #⃗ = 0 :

⃗ ∙ #⃗ = 0  … …-₋.

0… …- = 0  … …-=.0… …-  … … = .- … ….

L’ensemble des points M du plan tels que ⃗ ∙ 1⃗ = 0 est le cercle de diamètre [AB].

u

d

n

A

B

I

M

Comment [A1]: On introduit la point I

par la relation de Chasles

Comment [A2]: On développe Comment [A3]: On regroupe et on

exprime les vecteurs IA et IB en fonction du vecteur AB

Comment [A4]: On factorise par le

vecteur MI et on simplifie le produit scalaire du dernier terme de la somme

Comment [A5]: On simplifie la somme

vectorielle entre parenthèses

Comment [A6]: On simplifie les carrés

scalaires

Comment [A7]: On remplace par la

formule obtenue ci-dessus

Comment [A8]: On isole chacun des

deux termes

Comment [A9]: Comme on a des

distances, donc des valeurs positives, on peut simplifier les carrés…

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3) Equation cartésienne d’un cercle :

On donne Ω( ₆; ₆ et M(x ; y). R Désigne un réel positif.

On veut déterminer l’équation du cercle de centre Ω et de rayon R, c’est-à-dire l’ensemble des points M tels que ΩM = R. Or, ΩM = 7 … − .. . . -+ … − .. . .

-ΩM = R  ΩM2 _{= R}2_ … − .. . . -+ … − .. . . -= R2

Une équation cartésienne du cercle de centre Ω(9_:; ;_:) et de rayon R est :

9 − 9: 3+ ; − ;: 3= R2_.

4) Exemple 1 : Equation du cercle de centre Ω(1 ; 0) et de rayon 2.

On a : −. . . -+ −. . . -= …2 _{ …}

 ... = 3.

Exemple 2 : Equation du cercle C de diamètre [AB] avec A(–1 ; –1) et B(3 ; 1). On a ⃗ … − .. . ._{… − .. . . et ⃗} … − .. . ._{… − .. . . .}

C est l’ensemble des points M tels que ⃗ ∙ #⃗ = 0

 … − .. ..)( … − .. ..) + … − .. ..)( … − .. ..) = 0  … = 0  …. = 4

Comment [A10]: On développe