Résolution des équations intégrales pour la diffraction d'ondes acoustiques et électromagnétiques - Stabilisation d'algorithmes itératifs et aspects de l'analyse numérique

HAL Id: tel-00004520

https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00004520

Submitted on 5 Feb 2004

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

d’ondes acoustiques et électromagnétiques - Stabilisation

d’algorithmes itératifs et aspects de l’analyse numérique

Snorre H. Christiansen

To cite this version:

Snorre H. Christiansen. Résolution des équations intégrales pour la diffraction d’ondes acoustiques et

électromagnétiques - Stabilisation d’algorithmes itératifs et aspects de l’analyse numérique.

Mathé-matiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2002. Français. �tel-00004520�

presentee pourobtenir le titre de

Do teur de l'E ole Polyte hnique

spe ialite:

Mathematiques Appliquees

Snorre H. Christiansen

Resolution des equations integrales pour la dira tion

d'ondes a oustiques et ele tromagnetiques

Stabilisation d'algorithmes iteratifs

et aspe ts de l'analyse numerique

Soutenue le 11Janvier 2002 devantle Jury omposede:

Jean-Claude

Ned

ele Dire teur

Patri k Joly President

Alain Ba helot Rapporteur

Bjorn Engquist Rapporteur

Christoph S hwab Rapporteur

Tou Abboud Examinateur

Abderrahmane Bendali Examinateur

Fran ois B 

Resume: Cettetheseportesurlaresolutionnumerique,parlamethodedes equations integrales de frontiere de problemesde dira tion d'ondes a ous-tiques et ele tromagnetiques,en regime frequentiel. La methode de Galer-kinave deselements nis(s alaires ou ve toriels) de surfa e onduit a des systemesmatri ielsmal onditionnes.Dansunepremierepartie,poura elerer la onvergen e d'algorithmes iteratifs, on propose et etudie theoriquement et numeriquement des pre onditionneurs bases sur les relations de Calde-ron qui lient les operateurs integraux apparaissant dans les equations. En ele tromagnetismeonutilisedeplusdesanaloguesdis retsdelade omposition de Helmholtzdes hampstangents.Dans une deuxieme partieon utilise des estimationssur esde ompositionspouree tuerunenouvelleanalysenum e-riquedel'equationintegralede hampele trique.Cetteanalyseestetendueau asdeladira tionparlessurfa esouvertes(e rans),modelisantles ondu -teursparfaitsmin es.

Mots les: dira tion d'ondes, equation integrale, pre onditionneur, for-mulede Calderon, de ompositiondeHelmholtz.



Solutionof integralequationsfors atteringofa ousti andele tromagneti waves { Stabilizationofiterative algorithms andaspe ts ofthenumeri alanalysis

Abstra t : This thesis deals with the numeri al solution of a ousti and ele tromagneti time-harmoni s atteringproblems,bytheboundaryintegral equation method. The Galerkin method with (s alar or ve tor) surfa e -niteelements leadstoill- onditionedlinearsystemsof equations.In therst part,inorder toenhan e the onvergen eofiterativesolversweproposeand studytheoreti allyandnumeri allypre onditionersbasedonCalderon formu-las,whi h link the involvedintegral operators. In ele tromagnetism we also use dis rete analogues of the Helmholtz de omposition of tangent elds to onstru t stable dis retizations of the operators. In the se ond part we use estimatesonsu hde ompositionstoprovide anewnumeri alanalysisofthe ele tri eld integral equation. This analysis is extended to open surfa es (s reens),modelingthin perfe t ondu tors.

Key words: s atteringof waves, integralequation, pre onditioner, Calde-ronformula, Helmholtzde omposition.

AMS subje t lassi ation: 31B10, 35Q60,65F35,65N12,65N38

Turkar toll som i tunet stend Det hjelp korkje barkellerbar

Sa er kvar mann Som kjrleik vantar Kvi skal hanlenge leva!

Havamal,env. 1200

Jean-Claude Nedele a dirige mon travail ave l'envergure d'esprit et la visions ientique qui luisont onnueset dont 'est une han eex eptionnelle

d'avoirpubene ier.Maisjetiensegalementaexprimermaprofondegratitude pourla onan e,l'attention etlesoutienqu'ilm'a a ordestoutaulongde e par ours,les joursfastes ommependant lesperiodes d'erran e.

Jesuistressensibleaufaitquetantdepersonnalitesdumonde del' ele tro-magnetismeont bienvoulu faire partiedu jury de these, dont lapresiden ede Patri kJolyme rejouit au plushautpoint.

Qu'Alain Ba helot ait onsenti sans hesitation et dans un esprit fraternel 

a rapporter sur ette these temoigne d'une generosite que je ne pourrai pas oublier.Je garde aussiun souveniremu et pleinde re onnaissan e du fait que

Bjorn Engquistait a epte de rapporter. Je remer ie Christoph S hwab pour l'inter^et qu'il n'a esse de porter a mon travail et qui a ete un important en- ouragement pendantla these.

Jeremer ieTou Abboudpourses onseilsavisesenanalyse numeriqueet pour ses nombreux temoignages d'amitie fraternelle. Qu'Abderrahmane

Ben-dali,pionnierde lamethode surlaquelle ette these porte,soitvenumetou he beau oup. Fran ois Bereux m'a aussi donne onseils et en ouragements ami- auxet jeleremer iepourseseorts onstantspourpermettreet faireaboutir eprojetparfoissinueuxsinonondulant.Jeremer ieegalementJean-Paul

Mar-surfa es non-regulieres et d'avoir supporte mon ara tere pendant notre olla-boration.

Jetiensegalement aremer ierGeoBoleatainsiqueJeanneBailleul, Natha-lieLimontaetLilianeDoarepourtoutleurtravail(ee tuesouventamoninsu) etlagentillesseave laquelle j'aiete a ueilliet entoureauCMAP. Cettethese

reposeaussisur l'utilisationde nombreuxoutils informatiques,et j'exprimei i magratitudeenversSylvainFerrand,PedroFerreira,Fran oisJouve,Aldjia Ma-zariet Nata ha Vialle-Bereux.J'aiaussibene iedes onseils omplementaires deHabib Ammariet Frederi Nataf.

De nombreuses autres personnes omptent dans le plaisir et la joie que j'ai eu a ^etre au CMAP, et m'ont fait m'y sentir hez moi. J'ai appre ie en parti ulierla ohabitationave SylvieMas-Galli etlabonnehumeurqu'inspire

sensei Vin ent Giovangigli. Je remer ie enn les autres thesards, post-do s, enseignantset her heursdulabo.Cha unaleurfa on ilsont ontribuea mon bien-^etreet ilso upentbienplusdepla edansmonsouvenir(etj'espereaussi

Introdu tion 1

Des pre onditionneurs pour les equations integrales 15

1 A oustique 17

1.1 Dira tiond'ondes . . . 18

1.1.1 Cadre fon tionnel. . . 18

1.1.2 Representationsintegrales . . . 20

1.1.3 Equations integrales . . . 22

1.1.4 Formulesde Calderon . . . 24

1.2 Resolutionnumeriquestabilisee . . . 25

1.2.1 Dis retisation, onditionnement . . . 25

1.2.2 Pre onditionneursvariationnels . . . 28

1.2.3 Appli ations al'a oustique . . . 30

1.2.4 Resultats numeriquessur une avite . . . 31

1.2.5 Comportement aux resonan es . . . 33

1.3 Adaptation auxsurfa es ouvertes . . . 35

1.4 Geometries appro hees . . . 40

2 Ele tromagnetism 45 2.1 The Ele tri Field IntegralEquation . . . 47

2.1.1 The ontinuousproblem . . . 47

2.1.2 Dis retization . . . 50

2.1.3 Calderon formulas . . . 53

2.2 Some properties ofsome Galerkinspa es . . . 55

2.2.1 Surfa e FiniteElement spa es. . . 55

2.2.2 Basi negativenorm estimates . . . 56

2.2.3 Approximation ofharmoni elds. . . 57

2.3 Stabledis retizationsof theCalderonformulas . . . 60

2.3.1 A awed idea . . . 61

2.3.2 Auxiliaryspa es . . . 63

2.3.3 Denition . . . 64

2.3.4 Interpretation ofthe system . . . 64

2.3.5 Interpretation ofthe proje tions . . . 65

2.3.6 A hara terization ofthekernelof h . . . 66

2.3.7 Approximation propertiesof therange of  ? h . . . 68

2.3.8 Well-posedness . . . 70

2.3.9 Stopping riterion . . . 70

2.4 Behavior ofthe iterates . . . 73

2.4.1 Stability, and onvergen eof Krylovsubspa es . . . 73

2.4.2 Convergen eof theiterates . . . 76

2.4.3 Eviden e of super-linear onvergen e . . . 79

2.5 Numeri al results . . . 81

2.5.1 Sphere . . . 81

2.5.2 Cavity . . . 83

2.5.3 Indented ube. . . 84

The Ele tri Field Integral Equation 87 3 Dis rete Fredholmproperties for the EFIE 89 3.1 TheEle tri FieldIntegralEquation . . . 91

3.1.1 Integralrepresentationof interior andexterior waves . . . 91

3.1.2 Variational formulation and dis retization . . . 94

3.1.3 Galerkinmethodsinthepresen e of Gardinginequalities 94 3.2 Somestrategies forthe analysisof theEFIE . . . 96

3.2.1 Helmholtz de omposition . . . 96

3.2.2 Introdu tionof hargedensity. . . 97

3.2.3 A anoni al splitting . . . 97

3.2.4 Reformulation ofthe EFIEasa saddle-point . . . 98

3.3 Dis reteFredholmproperties . . . 100

3.3.1 Results on leftsemi-Fredholm operators . . . 100

3.3.2 Dis rete leftsemi-Fredholm operators . . . 101

3.3.3 Error ontrolof dis reteLSFoperators . . . 103

3.3.4 Compa t perturbationsofdis reteLSF operators . . . 105

3.3.5 Extensions to quasi- onformingGalerkinapproximations. 106 3.4 Inf-Supestimates fortheEFIE . . . 107

3.4.1 SuÆ ient onditionsforuniformInf-Supestimates . . . . 107

3.4.2 SuÆ ient onditionsininteger exponent Sobolevspa es . 109 3.4.3 Some wellknown spa es . . . 111

4 The EFIE on Lips hitz s reens 115

4.1 Integration and dierentialoperators onsurfa es . . . 118

4.1.1 Lo ally Lips hitz graphsub-manifolds withboundary . . 118

4.1.2 Integration on . . . 119

4.1.3 Tra es on . . . 120

4.1.4 Jumpson . . . 120

4.1.5 Integration bypartsinE . . . 122

4.1.6 Dierentialoperatorson tra esand jumpsof smoothelds123 4.1.7 Dierentialoperatorsinthesenseof distributions/ urrents124 4.2 Sobolevspa eson . . . 125

4.2.1 The spa esH s ( ) fors0 . . . 125

4.2.2 Dual spa es . . . 127

4.2.3 Sobolevspa es forthe urloperator . . . 128

4.2.4 Helmholtz de omposition . . . 132

4.3 Ele tri eld integralequation . . . 132

4.3.1 S attering problem . . . 132

4.3.2 Integralrepresentation . . . 133

4.3.3 Variational formulation . . . 135

4.3.4 The non- onne ted ase . . . 137

4.4 Dis retization . . . 137

4.4.1 Inf-Sup onditionforthe EFIE . . . 138

4.4.2 Appli ationto some FiniteElementspa es . . . 139

4.4.3 Convergen e rates . . . 143

4.4.4 A regularityresultforthe NeumannLapla ian . . . 144

4.5 Addendum . . . 145

4.5.1 A jumpformula . . . 145

4.5.2 The Calderonapproa h to tra e theorems . . . 145

Annexes 147 A Conditions Inf-Sup 149 A.1 Dis retisation desproblemesvariationnels . . . 149

A.2 ConditionsInf-Sup . . . 150

A.3 ConditionsInf-Supdis retes . . . 151

A.4 Forme lineaireet bilineaireappro hees . . . 153

A.5 Perturbations ompa tes . . . 155

B Gradients Conjugues 157 B.1 Introdu tion. . . 157

B.2 L'algorithme desgradients onjugues pre onditionnes. . . 158

B.3 Proprietes d'orthogonalite . . . 160

C Implementation 163

C.1 Interfa es . . . 163

C.2 Maillages . . . 164

C.3 Cal uldesmatri es . . . 166

C.4 Algebrelineaire . . . 167

\John Von Neumann believed that omputers need a very good theory ofpartialdierentialequations; on theone hand

they need general existen e, uniqueness and ontinuity theo-rems, tomakesurethat what they ompute does existand to show that it an be estimated as they do; on the other hand omputing is eÆ iently aided by the dis overy of expli it

so-lutions of spe ial problems and by the study of the spe ial fun tions appearing there."

JeanLeray

SIAM Review, Vol. 5, p.321-334, 1963

\Moreis dierent." PhilipW. Anderson S ien e, Vol. 177, p.393-396, 1972 O n s'int 

eresse dans ette these au al ul ee tif de ertaines ondes phy-siques, ou des quantites s'y rapportant, dans l'espa e Eu lidien tridi-mensionnel, note E. On garde en memoire des appli ations a la simulation

numerique par exemple d'haut-parleurs (ondes a oustiques) et d'antennes de radarsou de tele ommuni ations (ondesele tromagnetiques). Au ours des20

ou30 dernieres anneesde nombreuses methodes numeriquesonteteproposees, etudiees, ameliorees et utilisees dans des odes a ademiques et ommer iaux. Pourtant{lesbesoinsensimulationssemblantallerdepairave lespossiblites{

dansdes as quiapparaissent aujourd'hui ommeindustriellementinteressants et traitables,les algorithmesexistantssont troplentsouinstablespourfournir desreponses ompletes.C'estnotreobje tif i ide ontribueraudeveloppement et a l'analysed'algorithmespluseÆ a es.

Apres avoir rappelle sur le as le plus simple (et le plus fondamental) la

methode utilisee,a savoir elle desequationsintegrales et deselements nisde frontiere,tellequ'elleavulejourdansNedele -Plan hard[62 ℄,nousexprimons pluspre isement le probleme d'instabilite. Ensuite nous esquissons le remede

proposeparSteinba h-Wendland[72 ℄.Sonadaptationadesproblemes d'a ous-tique fait l'objet du premier hapitre. Ensuite nous rappelons l'extension de Bendali[10℄ de la methode desequations integrales aux problemes de

dira -tion ele tromagnetique. La stabilisation (pre onditionnement) et l'etude de la dis retisationGalerkinde etteequationfontl'objetdestroisautres hapitres

1 .



Une onde a oustique est donnee par unefon tion P : I ! R (ou une distribution de e type), ou est un ouvert de E et I est un intervalle de R. Alors P(x;t) est la pression au point x a l'instant t. Cette fon tion satisfait

l'equation desondes:

2
x P  2 t P =0; (1)

ou > 0 est la vitesse de propagation ( elerite). De plus P satisfait des

onditions au bord sur , par exemple la ondition de Diri hlet homogene Pj

I

=0 (en un sens a pre iser) pour un obsta le mou, ou la ondition de Neumannhomogene, qui s'e rit notant n unenormale sur , 

n Pj

I = 0,

pourun obsta le dur.

SionsupposequeP estuneondeharmoniqueentemps,i.e.estdelaforme:

P(x;t)=Re (p(x)e i!t

) (2)

pour une pulsation ! > 0 et une fon tion p : ! C, alors p doit satisfaire l'equation d'Helmholtz:

p+k 2

p=0; (3)

ouk=!= estappelleenombred'onde dep,et des onditionsaubordpj  =0 (Diri hlet)ou  n pj  =0(Neumann).

Il y auraitbeau oup a diresur les relations entre l'equation de Helmholtz et l'equation des ondes, notamment par l'intermediaire de la transformee de Fourier. Nous renvoyons a Taylor [110℄ pour une introdu tion a la theorie de

Lax-Phillips.I inouslaissonsde ^otel'aspe ttemporeletnousnous on entrons surle al uldesolutionsdel'equation deHelmholtzpourdesnombresd'ondek donnes.Pouruneantennefon tionnantaunefrequen exe e al ul orrespond

auregimepermanent.

Onsupposequ'on onnaituneondein identep in

(denombred'ondek),et on her he ptel quep

tot =p

in

+psatisfaitla onditionaubordhomogene sur

. Parexemplep in

peut^etre uneonde planedonnee par,pourtoutx2E:

p in

(x)=e ik
x

; (4)

suppose onnexe, d'un ompa t(abordsuÆsammentregulier). Rappelonsque pourles appli ations qui nous interessent la longueur d'onde =2=k est du

m^eme ordre de grandeur que le diametre de e ompa t (l'objet dira tant). Pour obtenir un probleme bien pose on ajoute la ondition de radiation de Sommerfeldsur pa l'inni:

 r

p ikp=o(1=r) ave r =jxj; (5)

(ou une variante). Elle exprime que la fon tion P donnee par (2) se propage vers l'inni.

Pour obtenirune expressionmaniablede p on utilise lamethode de repr

e-sentationintegrale.Soit G k lenoyau deGreende
k 2 surE satisfaisantla onditionde Sommerfeld: G k (x;y)= e ikjx yj 4jx yj : (6)

Posons =, et her hons p sous laforme d'un potentiel simple ou he, i.e.

pourtouty2: p(y)= Z G k (x;y)u(x)dx; (7)

pourunefon tion 2

u sur .OnnoteS k

l'operateurdesimple ou he sur ,qui



au sur asso ie lafon tionS k

u sur donnee par, pourtouty2 :

(S k u)(y)= Z G k (x;y)u(x)dx; (8)

La ondition au bord de Diri hlet homogene pour p tot

, ave p donne par (7) s'e ritalors: S k u= p in j  : (9)

Re iproquement,onmontrequesikn'estpasuneresonan edeDiri hletpourle probleme interieur,l'equationde simple ou he(9) admetuneuniquesolution,

et lepotentieldesimple ou he orrespondant (7)resout leprobleme exterieur orrespondant.Onest don amene aresoudredesequations dutype (9).

Elles peuvent ^etre mises sous forme variationnelle. Ave des notations un

peuabusives, ils'agitdetrouveru2H 1=2

( ) telquepourtoutv2H 1=2 ( ): ZZ  G k (x;y)u(x)v(y)dxdy= Z p in (y)v(y)dy (10)

2.Dans ette introdu tion le mot fon tion est utilise de fa on quelque peu abusive; de m^emelesigneintegral estutiliseadesendroits ouilseraitplusprudentd'e rireunedualite entre espa es de Sobolev,et les operateurs de tra e sont navement e rits ave des valeurs pon tuelles.Cesabusdenotations,quiaidentl'intuition,serontjustifesplustard.

Onutiliselamethode Galerkin. On hoisitunetriangulation T h

de et un

es-pa e de type elements nis X h  X = H 1=2 ( ) onstruit sur T h . Le hoix usuel est de prendre des fon tions onstantes par triangle, onvenablement transporteessur . On her he uneapproximationu

h

de u sous laforme d'un

u h

2X h

tel quepourtoutv h 2X h : a(u h ;v h )=l(v h ); (11)

oua et lsont les formesbilineaireset lineaires surX, apparaissantdans(10). L'operateur S

k

etant d'ordre 1 6= 0, le systeme matri iel orrespondant 

a ette equation est en general mal onditionne. En parti ulier pour des pas

de maillages h petits la onvergen e d'algorithmes iteratifs est tres lente. Les matri es n'etant pas symetriques denies positives (SDP) ette onvergen e n'estd'ailleurs pas garantie pourdes algorithmes du type gradients onjugues

(CG),et ilarrive,notammentsurdesobjetspresentantdes avites(telsqueles haut-parleurset les antennes), qu'elle n'aitpaslieu.

L'objet de la premierepartie de ette these est la onstru tionde pr

e ondi-tionneurspourla dis retisationGalerkindesequationsintegrales orrespondant 

a la dira tion d'ondes a oustiques et ele tromagnetiques. La deuxieme partie est onsa reeadenouveauxresultatsdansl'analysenumeriquede esequations

integrales enele tromagnetisme.



On peut aussi onsiderer leprobleme de Neumann, resolu parun potentiel double ou he: p(y)= Z  n(x) G k (x;y)u(x)dx: (12)

L'operateursur qui apparaitalors, note N k

, estdonnepar:

(N k u)(y)=  n(y) Z  n(x) G k (x;y)u(x)dx (13)

Etant donne un hoix d'espa e de Galerkin X h  H 1=2 ( ) et de base de X h , on noteA h

lamatri ede laforme bilineaireinduite par N k

sur X h

dans ette base. Cettematri eest appellee matri ede Galerkinde N

k .

PourunproblemeGalerkinave unematri eA h

SDP,ilestbien onnuqu'un bonpre onditionneurpourA

h

estobtenusionsait onstruireunematri eSDP Z

h

tellequelesvaleurspropresdeZ h

A h

sontdansunintervalle[;℄,pourdes

reels 0 < <  independants du raÆnement du maillage h. On dit alors que A

h etZ

1 h

sont spe tralement equivalents 3

.Ilfautaussiquelepre al ulasso ie

3.D'ailleurs denombreuxauteursutilisentla onventionquelepre onditionneurestZ 1 h etnonZ

h

,sansdoutepar equeles premierspre onditonneursetaientobtenusen her hant uneapproximation ~ A h deA h

Cependant ilsembleraitqueSteinba h etWendland[72℄ soientles premiers 

a avoir re onnu qu'un bon pre onditionneur pour (la matri e de) S 0

puisse

^etre onstruit a partir de (la matri e de) N 0

, et vi e versa. Nous renvoyons 

a leur arti le pour des referen es a des travaux apparentes anterieurs. Plus generalement,pourunoperateurSDPd'ordresilsnotentqu'unoperateurSDP

d'ordre s donne, sous des hypotheses de stabilite LBB de la dis retisation, un pre onditionneur spe tralement equivalent. Beau oup d'eort est onsa re au as d'operateurs ayant un noyau non-nul. Ils donnent aussi des resultats numeriquestresprometteursen dimension 2d'espa e.



{ Le hapitre 1 reprend ave plus de details le adre fon tionnel utilise pourformulerleproblemededira tiona oustique.Nousyetudionslavariante

k >0, non SDP, de lamethode de pre onditionnementde Steinba h et Wend-land.En vue ausside sonextension a l'ele tromagnetisme nous onsiderons le adregeneral d'uneforme bilineaireinversiblesurunespa e deHilbertet nous

developpons le point de vue qu'un pre onditionneur est obtenu a partir d'une forme bilineaire inversible sur un espa e dual, lorsque des onditions Inf-Sup dis retesuniformes sont satisfaites.

Plus expli itement, onsiderons un probleme variationnelsur un espa e de HilbertX: u2X et 8u 0 2X a(u;u 0 )=l(u 0 ): (14)

Supposons que nous onnaissons un espa e de Hilbert Y qui soit dual de X par une forme bilineaire b sur Y X, ainsi qu'une forme bilineaire inversible

sur Y. Supposons que (X h

) et (Y h

) soient deux familles de sous-espa es de dimensionsniesde X et Y respe tivement, muniesde bases.Onnote A

h , B

h et C

h

les matri es de Galerkin orrespondantes. Siles trois formes bilineaires satisfont des onditions Inf-Sup dis retes uniformes par rapport a h alors le

pre onditionneurZ h =B ? 1 h C h B 1 h

, esttel quele onditionnementspe tralde Z

h A

h

est borneindependamment deh (et des hoixde bases).

Nous verions ensuite que es onditions Inf-Sup sont satisfaites pour le

problemed'a oustique(saufauxresonan es),i.e.:X =H 1=2 ( ),Y =H 1=2 ( ); a, bet donnespar: a(u;u 0 )=hN k u;u 0 i; b(v;u)=hv;ui; (v;v 0 )=hS k 0v; v 0 i; (15) et X h =Y h

l'espa es d'elements nis urvilignes P m

ontinussur T h

. Ce i fait

intervenirnotammentlastabilitedelaproje tionL 2

surX h

,dansdiversespa es de Sobolev.

Un point de vue omplementaire est que si est de lasse C 1

, alors en vertules formulesdeCalderonS

k 0N

k

s'attenda e quelesvaleurspropress'a umulent(enunsens apre iser)enun

seulpoint(asavoir 1=4), e qui produiraitune onvergen esupra-lineaire. Nous donnons des resultats numeriques sur une avite, et quelques indi- ations sur les performan es de la methode aux resonan es. Une se tion est

onsa ree a l'extension de la methode aux surfa es ouvertes, ou on sort du adre general i-dessus.On y montre que la methode la plussimple donneun onditionnementspe tralborneparunepuissan edejloghj.Leprin ipallemme

te hnique onsiste a montrer (une version renfor ee du fait) que l'appli ation tra e de vers  , sur X

h

a une norme H 1=2

( ) ! H 0

( ) bornee par une puissan edejloghj.

Ce hapitre omprenden parti ulierdes syntheses detaillees desarti les:

[133℄S.H.Christiansen,J.-C. Ned

ele :Despre onditionneurspourlaresolution numeriquedesequationsintegralesdefrontieredel'a oustique;C.R.A ad.S i. Paris,Ser.IMath.,Vol.330,No.7,p. 617-622,2000.

[134℄S.H.Christiansen,J.-C. Ned

ele :Pre onditionersfortheboundaryelement methodin a ousti s; Mathemati alandnumeri alaspe tsof wavepropagation (SantiagodeCompostella,2000),SIAM,p.776-781,2000.

L'adaptation aux surfa es ouvertes est extraite du do ument de referen e (non publie a e jour) donne en appui de la Note [133℄ lors de la soumission

initiale, onformement auxinstru tions auxauteurs.Unese tionsur l'approxi-mationde lageometrie aaussiete ajoutee.



Considerons maintenant le probleme de la dira tion d'une onde el e tro-magnetique par un ondu teur parfait. Plus pre isement, dans E on onsidere

omme i-dessusun ouvert , omplementaired'un ompa t suÆsamment r e-gulier, on se donne une onde ele tromagnetique in idente (E

in ;H

in

) et on her he (E;H) tel que:

urlE =+i!H et urlH = i!E; (16)

ou est lapermeabilitemagnetique, lapermittiviteele trique et ! la

pulsa-tion.Deplusonimposela onditionderadiationde Silver-Mullera l'inni:

 1=2

Hx=jxj  1=2

E =o(1=jxj); (17)

etla onditionaubordsur= de ondu teurparfait( omposante tangen-tiellenulle) pourle hamp total E

tot =E+E in s'e rit: E T = E in T : (18)

Lenombred'ondeasso ieestk=!() 1=2

. Cher honsE souslaformed'un

potentielele triquedans:

E(y)=(1+(1=k 2 )graddiv) Z G k (x;y)u(x)dx; (19)

omposante tangentielle sur du potentiel ele trique E deni dans (19). La ondition au bord de ondu teur parfait s'e rit alors sous la forme A

k u = v.

Cetteequation est appellee EFIE(Ele tri Field IntegralEquation).

Posons X = H 1=2 div

( ), espa e des hamps tangents de regularite 1=2 a divergen e de regularite 1=2. Mise sous forme variationnelle le probleme a resoudre devient: u2X et 8u 0 2X hA k u;u 0 i= hE in ;u 0 i: (20)

Onrappelleque pouru et u 0 suÆsammentreguliers: hA k u;u 0 i = ZZ G k (x;y)u(x)
u 0 (y)dxdy


(21) (1=k 2 ) ZZ G k

(x;y)divu(x)divu 0

(y)dxdy:

SuivantBendali[10 ℄onresout eproblemevariationnelenutilisantunemethode de Galerkin a elements nis ourbes, onformes H

0 div

( ), du type Raviart-Thomas [67℄ (RT)ou Brezzi-Douglas-Marini [23 ℄ (BDM).

Le systeme matri ielestparti ulierementmal onditionne.Vialad e ompo-sition de Helmholtz dans X (mise en valeur dans De La Bourdonnaye [18 ℄ et Nedele [116℄):

u=gradp+rotq+ hampharmonique; (22)

on voit que l'operateur A k

omporte un terme d'ordre 1 et un terme d'ordre

1 agissant sur des sous-espa es de dimensions innies, supplementaires dans X et que esdeux termes sont de signesopposes.



{ Dans le hapitre 2,onseproposede onstruireunpre onditionneurpour

ladis retisation Galerkinde l'EFIE.Ceprobleme onstituelamotivation prin- ipalede ettethese. Pourunelargepartle hapitre 1yetaitunepreparation, alorsquele hapitre3donnedes omplementsutilisespourjustierlamethode

proposee.

Abandonnant le point de vue matri iel, pour un espa e de Galerkin X h donne,onnoteA h :X h !X ? h

l'appli ationinduiteparlaformebilineairesurX asso ieeaA

k

.Unpre onditionneurpourA h

estuneappli ationZ h :X ? h !X h , qui,quand elleestin orporeedans unemethode iterative,reduitsuÆsamment

le nombre d'iterations ne essaires, pour ompenser le temps de multipli ation parZ

h

(et lepre al uleventuel qui luiestasso ie).

Notons B l'operateur u7!un. Les formulesde Calderonen  ele tromag-netismeentrainent quel'operateur 4k

2 BA k B estun inverse de A k , modulo un

operateur ompa t. L'operateur B induit une forme bilineaire ontinue b =

hB
;
i surX, don aussiun operateur ontinu B:X ! X ?

. L'operateur Best un isomorphisme. On note aussi a

k

(ou a) la forme bilineaire sur X induite par A

k

, et A(k) : X ! X ?

l'appli ation induite par A k

. Quand k n'est pas

une resonan e du probleme de Maxwell interieur, A(k) est un isomorphisme. On est alors dansla situation ou X est dual de X par laforme bilinaire b, et ou on onnait une forme bilineaire ontinue inversible sur e dual, a savoir a

lui-m^eme.

Etant donneun espa e de GalerkinX h , notantB h :X h !X ? h l'appli ation induiteparb,il estdon tentant depro eder ommeen a oustiqueet proposer lepre onditionneur: Z h =B ? 1 h A h B 1 h : (23) Cependant, quand X h

est un espa e usuel de type RT ou BDM, Z h

ainsi onstruitdonnedesresultatsmedio res.Laraisonenestquelaformebilineaire

b,bien qu'inversiblesur X, ne satisfait pas les onditions Inf-Sup sur X h

uni-formesparrapportau pasde maillageh.

Pour obtenir une dis retisation stable de B on utilise des de ompositions

deHelmholtz dis retes.Nousne onsiderons dans ette introdu tionque le as leplus simple. Soit (S

0 h ;S 1 h ;S 2 h

) le tripletd'espa es de Galerkin onstitue dans l'ordredesEFs alaires ontinusP

1

, desEFve toriels de type RTde plusbas

degre, et des EF s alaires P 0 . Soit aussi (S 00 h ;S 01 h ;S 02 h

) un triplet d'espa es, qui peut ^etre le m^eme triplet que le pre edant, ou ^etre onstitue dans l'ordre des EF s alaires ontinus P

2

, des EF de type BDM de plusbas degre, et des EF

s alairesP 0

.

A partird'une forme lineairel2S 1? h

on determinela solution(u;q) de:  u2S 1 h q2S 2 h  8u 0 2S 1 h hu;u 0 i+hq;divu 0 i = l(u 0 ) 8q 0 2S 2 h hq 0 ;divui = 0 : (24)

Ensuitea (u;q) on asso iel'element suivantde S 01 h : v=P S 0 1 h (un) rotP S 0 0 h (q); (25)

oupourtoutespa e X h , P X h designelaproje tionL 2 -orthogonalesurX h . Soit  h : S 1? h ! S 01 h

;l 7! v la omposee de es deux appli ations, et  ? h : S 01? h !S 1?? h S 1 h

, sonadjoint.Alors onpose:

Z h = ? h A 0 h (k) h ; (26) ouA 0 h (k) :S 01 h !S 01? h

estl'appli ationinduite parA(k).

Le hapitre 2 onsisteessentiellementa justier ette onstru tionde fa on theorique et numerique. L'appli ation Z

h

n'est pas en general bije tive. On

montre ependant que:

1. A(k)satisfaitune onditionInf-Supdis reteuniformeenhsurl'imagede 

? h

2. lesespa esde Krylovasso ies a e pre onditionneur onvergent,quandh tend vers 0, vers les espa es de Krylov asso ies au probleme \ ontinu". Ainsilesproprietesde onvergen edel'algorithmeiteratifsontsemblables



a elles du probleme ontinu.

Cesdeuxproprietes ompensent anosyeuxl'absen ed'unebornesurle ondi-tionnement spe tral. On montre aussi les graphes de onvergen e obtenus sur quelques as tests, en parti ulierpour la dira tion par une avite et parune

surfa ea oins.

Cestravaux ont faitl'objetd'un brevet ainsiquedes publi ations:

[135℄S.H.Christiansen,J.-C.N  ed



ele :Despre onditionneurspourlaresolution numerique desequations integrales de frontiere de l'ele tromagnetisme ; C. R. A ad.S i.Paris,Ser.IMath.,Vol.331,No.9,p.733-738,2000.

[136℄S.H. Christiansen, J.-C. Ned

ele :A pre onditioner for the Ele tri Field Integral Equation based on Calderon formulas ; Te h. Rep. 463 (submitted), CMAPE olePolyte hniquePalaiseau,April26th2001.



{ Le hapitre3 fournitle adrene essairepourdemontrerla ondition Inf-Sup pour l'EFIE sur une lasse d'espa es de Galerkin qui in lut les espa es

standardsainsiquel'imagede ? h

(voirlepoint1. i-dessus).Onydonneaussi quelquesindi ationssur le omportement du probleme dis reta laresonan e.

Depuis Bendali [10℄ il semblerait qu'au une etude numerique nouvelle ne

soit onsa ree a la dis retisationGalerkin de l'EFIE.D'autre part l'utilisation de de ompositions de Helmholtz dis retes suggerait une appro he dierente a etteanalyse.Elleestpeut-^etreplussimpleetdonneentout asuneestimation

d'erreuroptimale, quisemblaitfaire defaut jusqu'apresent.

NotonsX l'espa eH 1=2 div

( ),etalaformebilineairesurX asso ieeal'EFIE. Lesespa esde GalerkinsontnotesX

h

. L'EFIEnerentrepasdire tement dans

le adredesperturbations ompa tesinje tivesdesformesbilineaires oer ives, dontl'etudenumeriqueestrelativementstandard.Pours'yrameneronintroduit desmultipli ateursdeLagrange, maisaulieude onsidererles fon tionsdivu

h pouru

h 2X

h

ommedans[10 ℄on onsidereleselementsw h deX h  adivergen e nulle.OnnoteW h lesous-espa edeX h

de eselements,dem^emequ'onnoteW lenoyaudedivsurX.Suivantunevarianted'unete hniqueutiliseepouretudier

leprobleme ontinudansNedele [116℄, onest amene aetudier les systemes:

 v2X h w2W h  8v 0 2X h a(v;v 0 )+b(w;v 0 ) = l(v 0 ) 8w 0 2W h (w 0 ;v) = 0 ; (27)

bilineaireSDPd surX denie par: d(u;u 0 ) = ZZ G 0 (x;y)u(x)
u 0 (y)dxdy


(28) +(1=k 2 ) ZZ G 0

(x;y)divu(x)divu 0

(y)dxdy:

On remarque que b est une perturbation ompa te de et que a satisfait une inegalitedeGardingsurlenoyauadroitede surWX,note(provisoirement) V. Depluspour la onditionde ompatiblite de Brezzi esttriviale. Les

prin- ipalesdiÆ ultes restantes sont don quele noyau a droite de surW h X h , note V h

n'est pasin lus dans V, et qu'onma^triseen ore moins bien lenoyau  adroite deb surW h X h .

Pour traiter e type de problemes on introduit un adre general ou des proprietes de Fredholm sont exprimees en termes de onditions Inf-Sup. On denitun analoguedis retde es onditions Inf-Supgeneralisees, appelle LSF dis ret(pourleftsemi-Fredholm),et onmontreen parti ulierque:

{ si un operateur verie la ondition LSF dis rete et est inje tif, alors il

verieune onditionInf-Supdis reteuniformeau sensusuel;

{ la onditionLSFdis reteeststableparperturbations ompa tes (queles

operateurs soient inje tifsounon).

Onrevient alorsausysteme(27). On rempla etous lesnoyaux G k

parG 0

; 'estuneperturbation ompa te.Onobtientainsiunsystemesymetrique,mais peut-^etrenon-inje tif.Les onditionsde ompatiblitesonttrivialesetonmontre

qu'ilsuÆtdeverierquelegapÆ(V h

;V)tendvers0pourendeduirelapropriete LSF dis rete de e systeme. Or premierement la onditon LSF dis rete pour e systeme impliquela onditon LSF dis rete sur X

h

pourl'operateur obtenu en rempla ant G k par G 0 dans la denition de A k ; quand A k est inje tif la

onditonInf-SuppourA k

surX h

en de oule. Deuxiemement quandX h

estun desespa esstandardsoul'imagede

? h

onpeutdeduirelefaitqueÆ(V h

;V)!0 de l'estimation suivante. Si u

h

est un element de X h qui est L 2 -orthogonal a W h , et p verie
p=divu h , alors: ju h gradpj 0 Chjdivu h j 0 : (29)

Autrement dit es elements u h

, bien qu'ils ne soient pas des gradients, jouent

ler^oledegradientsdis rets.Cefaitad'ailleursetebeau ouputilisere emment dansdes ontextesdierents,enparti ulierl'etudedesmethodesmultigrilleset

desproblemesaux valeurs propresen formulationmixte.

Lapropriete LSFdis retepermetausside diredes hosessurlesresonan es interieures. En eet on sait que leselements du noyau de A

k

quand k est une

resonan e interieure, ne rayonnent pas dans le domaine exterieur. Ainsi ils ne devraientpasposerde problemesionnes'interessequ'audiagrammede rayon-nement asso ie a desondes in identes. En pratiqueapresdis retisation on ob-serve que des ourants parasitessont bien presentsdans lasolution appro hee

>0 il existe Æ>0 et h 0 >0 tel quesik 2I, h<h 0 et u2X h alors: sup u 0 2X h jhA k u;u 0 ij=ku 0 k X Ækuk X
) kA k uk X 0 kuk X
: (30)

Ils'ensuitquele hamp rayonne parun ourant parasitedis ret est arbitraire-ment pluspetitque e ourant.

Cetteappro healadis retisationdel'EFIEaetebrievementesquisseedans

[136℄ (sansindi ationssurles resonan es), et onstituele ontenu 4

de:

[131℄ S.H. Christiansen : Dis rete Fredholm properties and onvergen eestimates for the EFIE; Te h. Rep. 454(submitted), CMAP E ole Polyte hnique Palai-seau,January17th2001.

On ya esquisse aussiuneautre appro he, pluspro he en ore dela d

e om-positionde Helmholtz,qui estreprisedans le hapitre4.



{ Le hapitre 4 poursuit l'etude de l'EFIE. Il a ete e rit en ollaboration ave AnnalisaBua.

Dansdenombreusesappli ationsindustrielleslasurfa e n'estpasreguliere. Ilarrive aussi que l'objetdira tant soittres min e, et on onsidere alors que l'objetdira tantest orre tement modeliseparunesurfa e abord,appellee

e ran. Cette methode est utilisee ave su es dans de nombreux odes indus-triels.Cependantanotre onnaissan e,silesequationsdeMaxwellontbienete etudiees dans desdomainesnon reguliers et en presen e d'e rans(voir en par-ti ulier[14 ℄et [33 ℄), l'EFIEn'are u dejusti ationquesur lese ransreguliers

(voir [2 ℄)et m^emedans e asau une analysenumeriquen'aete proposee. Nousexpli itonsdon un adrefon tionnelinspirede[77 ℄,[24℄et[26 ℄,adapte 

a l'etude de l'EFIE sur les e rans de lasse Lips hitz, et ee tuons l'analyse

numeriquedel'EFIEsurlese ranspolyedriques.Deplusonautorisedese rans non-orientables.

Dansle asregulierdenombreusesdenitionsdel'espa eX =H 1=2 div

( )sont

possiblesetequivalentes.Posant=En lepointdevueutilepourl'EFIEsur unesurfa enon-regulieresemble^etre eluidestra esetdessautsde hampsde ,double dequelquesdenitionsd'espa esdeSobolevpar arteslo ales.Ainsi

on denit par artes lo alesles espa es s alaires H s

( ) pours 2 [ 1;1℄ et on

denit l'espa e des hamps tangents H 1=2 T ( ) omme le sous-espa e de L 2 T ( ) onstitue des tra es tangentielles de H

1 T

(E). Surles tra esde hamps reguliers

on peutdenir les operateurs dierentiels grad et div via des integrations par parties dans ; par dualisationon obtient des operateurs dierentiels au sens desdistributions.Par arteslo aleson montreque l'operateurgrad admetune

(unique)extension ontinueenunoperateurH 1 ( )!L 2 T ( ).SiondenitH s ( )

pours>1 ommeetant l'espa edestra es deH s+1=2

(E), onmontreaussi que

legradient est ontinu parexempleH 3=2

( )!H 1=2 T

( ). Ondenitalors X ommeetant l'espa e:

fu2H 1=2 T ( ) 0 : 9q2H 1=2 ( ) 8p2H 3=2

( ) hu;gradpi= hq;pig: (31)

Le hamp q n'est autre que la divergen e de u ( orrespondant a la harge ele trique),etla ondition i-dessusexprimenonseulementqu'ilestderegularite H

1=2

( ) maisaussique le uxsortant deu a travers  est nul.

On montre que l'operateur de saut est bien deni, ontinu et surje tif en tant qu'operateur H

url

() ! X. Aussi, les elements u de X admettent une uniquede ompositionde Helmholtz u=gradp+w ave divw=0et p donne

parleproblemede Neumann:

p2H 1 ( )  et 8p 0 2H 1 ( )  Z gradp
gradp 0 = hdivu;p 0 i: (32)

Notant P : X ! X le proje teur u7! gradp on a ainsila de ompositionX =

V W ave V l'image 5

et W le noyau de P. Appliquant ette de omposition 

a la formulation variationnelle de l'EFIE sur X on onstate que A k

satisfait des inegalites de Garding sur V et W separement (ave des signes opposes), et que les termes de ouplage sont ompa ts. On en deduit l'inversiblite de

A k

: X ! X 0

ainsi que l'existen e et l'uni ite pour le probleme de dira tion exterieur.

Alors que dans le hapitre 3 nous avons mis l'a ent sur le point selle (27) nous basons i i l'etude numerique dire tement sur la de omposition de Helmholtz dis rete des espa es de GalerkinX

h de type RT ou BDM. Onpose W h =X h \W et on noteV h l'espa e: V h =fu h 2X h : 8w h 2W h Z u h
w h =0g (33) Ona don X h =V h W h , maispas V h

V. Le probleme de Galerkinsur X h revient alors a her her u

h 2 X h sous la forme u h = v h +w h , ave (v h ;w h ) solutionde:  v h 2V h w h 2W h  8v 0 h 2V h a(v h ;v 0 h )+a(w h ;v 0 h ) = l(v 0 h ) 8w 0 h 2W h a(v h ;w 0 h )+a(w h ;w 0 h ) = l(w 0 h ) : (34)

En utilisant une variante plus te hnique de (29) valable sur des surfa es non-regulieres et due a Hiptmair et S hwab [44 ℄ (pour les surfa es fermees), on

montre que Æ(V h

;V)! 0,et on deduitde la la onditionInf-Supdis rete uni-forme.L'etuded'erreurpeut^etrededuitedela onditionInf-Supen onsiderant

Dans le as parti ulier d'une surfa e fermee on obtient une etude d'erreur qui ameliore elle de [44 ℄ en ela quel'exposant de regularite du Lapla iensur

n'yapparait pasexpli itement.

Ce travail afait l'objetde lapubli ation:

[130℄A. Buffa, S.H. Christiansen: TheEle tri Field IntegralEquation on Lip-s hitzs reens: denitions andnumeri al approximation ;Te h. Rep.1216 (sub-mitted),InstituteofNumeri alAnalysisC.N.R.Pavia,2001.

Cerapport ontientaussiuneappro heintrinseque(quievitedefaireappelaux elements nisdevolume) a l'etuded'erreur.



En annexe nousfournissonsdesrappelssurles onditionsInf-Supet

l'algo-rithmedesgradients onjugues,ainsiquedesrenseignementssurl'impl ementa-tiondes pre onditionneurs proposes.

A oustique

Resume : Apres des rappels generaux sur les equations integrales, nous etendons la methode de pre onditionnement introduite par O. Steinba h et W.L. Wendland dans [72℄aux operateurs satisfaisantdes onditions Inf-Sup. Nous asso ions ainsi a la matri e de Galerkin A

h

de l'operateur de simple ou heS

k

oul'operateurhyper-singulierN k

,unematri eimpli iteZ h

telleque lamultipli ationparZ

h

soitdem^eme omplexitequelamultipli ationparA h , etZ h A h

modeliseuneperturbation ompa tedel'identite.Nousdemontrons quesurdes famillesdemaillagessuÆsamment regulieresle onditionnement spe tral de Z

h A

h

est borne independamment du pas h. Des experien es numeriques illustrent l'eÆ a ite de la methode. Enn nous l'adaptons aux e rans,pour lesquelsnousdemontronsquele onditionnementestbornepar unepuissan edejloghj.

Abstra t: Afterhavingdetailedthefun tionalsettingforintegralequations applied to the Helmholtzequation
p+k

2

p =0, we extend the pre ondi-tioningte hnique developed by O. Steinba hand W.L. Wendland in [72℄ to operatorssatisfyingInf-Sup onditions.ThustotheGalerkinmatrixA

h ofthe singlelayeroperatorS

k

orthehypersingularoperatorN k

weasso iatean im-pli itpre onditioningmatrixZ

h

su hthatmultipli ationbyZ h isofthesame omplexity asmultipli ation byA h , andZ h A h

modelsa ompa t perturba-tion of the identityoperator. We prove that the spe tral ondition number of Z

h A

h

is uniformly bounded for any regular enough family of meshes, as h!0.Numeri aleviden eoftheeÆ ien yofthepre onditioningte hnique is also provided, for avitiesand lose toresonant wavenumbers. Finallywe adaptthemethodtos reensforwhi hweproveapolylogarithmi boundon thespe tral onditionnumber.

Pouruneintrodu tiona e hapitrenousrenvoyonsal'introdu tiongenerale.

1.1 Dira tion d'ondes

1.1.1 Cadre fon tionnel

Nous regroupons i i des resultats d'analyse fon tionnelle qui nous seront

utiles.Pourdespre isionsetdesdemonstrationsonpourra onsulter(parordre hronologique d'edition) Paquet [64 ℄, Abboud [1℄, Terrasse [78 ℄, Taylor [110 ℄, Cessenat[112℄ et Nedele [116℄.

Pour toute partie ouverte de R m (m 2 N  ) on note H s () pour s 2 R les espa es de Sobolev usuels sur . En parti ulier H

0 () = L 2 (). On note aussiH s T

() les espa esde Sobolevde hampsdeve teurs orrespondants.Ces denitions s'etendent aux parties ouvertes des varietes Riemanniennes om-pa tes de lasseC

1 .

SoitE unespa eEu lidiendedimensiontrois(ainsiE R 3

).Surlesouverts deE on onsiderelestroisoperateurs dierentielsusuelsgrad, urletdiv.Pour

ha un de es operateurs op, H s op

() designera l'espa e des hamps (s alaires outangents)uderegulariteH

s

telsqueopudeniausensdesdistributions(ou ourants)sursoitun hamp(s alaireoutangentsuivantles as)deregularite

H s . AinsiH 1 ()=H 0 grad

(). L'absen e d'exposant ssignie s=0.

Soit un ouvert borne regulier de E. On note sa frontiere, et +

le omplementaire de = [ . Ainsi est une sous-variete a bordde E,

de lasseC 1

et de dimensiontrois.Son bord estune sous-variete sans bord de E ompa te et de dimension deux.Ilherite unestru tureRiemanniennede E; en parti ulieron peut onsiderer les operateurs dierentiels:

grad:H s ( )!H s 1 T ( ) et div:H s T ( )!H s 1 ( ): (1.1.1)

Soitnlanormaleexterieuresur relativementa .Cettenormale induitune

orientationsur et desautomorphismes u7! unde H s T

( ). Ellepermetde denirlesoperateurs rotationnel s alaireet ve torielparrespe tivement:

rotu=(gradu)n et rotu=div(un): (1.1.2)

Sur lanotationH s op

( )serautiliseeave lasigni ation i-dessus.Parailleurs ilexiste un voisinagetubulairede sur lequellaproje tionorthogonale} sur

estbiendenie et reguliere, etil nousarriverad'etendrena e voisinagepar n(x)=n(}(x)).

Tra es On rappellequeles operateurs de tra e:

  D(  ) ! D( ) u 7! uj ; (1.1.3)

admettent, pours>0,des extensions ontinuesuniques:  :H 1=2+s (  )!H s ( ); (1.1.4)

et que elles- i sont surje tives. On utilise la m^eme notation pour les tra es

ve toriellesnonne essairementtangentesdeselementsdeH 1=2+s T (  ).L'image orrespondante est H s

( ;E). Onutiliseraaussi les operateurs de tra e tangen-tielleet normale:  T  D T (  ) ! D T ( ) u 7! (u (u
n)n)j et  n  D T (  ) ! D( ) u 7! (u
n)j : (1.1.5)

Lorsqu'il n'est pas ne essaire de pre iser nous omettons l'exposant . On a alorslediagramme ommutatif:

H 1 (E) grad ! H url (E) url ! H div (E) # T # n # H 1=2 ( ) ! grad H 1=2 rot ( ) ! rot H 1=2 ( ) (1.1.6)

La omposee de deux e hes horizontalesest nulle.

Sauts Posons = [ +

. On denitl'operateur desaut [
℄ sur les hamps (s alairesou tangents) sur par:

[u℄= u +

u; (1.1.7)

desortequ'ilestbiendeniet ontinuenparti ulier ommeoperateurH 1 () l o ! H 1=2

( ).Ona alorslediagramme ommutatif:

H 1 () grad ! H url () url ! H div () [
℄ # [
n℄ # [

n℄ # H 1=2 ( ) ! rot H 1=2 div ( ) ! div H 1=2 ( ) (1.1.8)

La omposee de deux e hes horizontalesest nulle.

Mesures multi ou hes de surfa e Les appli ations tra es sur E, notees i i

(i) : (i)  D(E) ! D( ) u 7!  i n u (1.1.9)

sont surje tiveset admettent des adjoints inje tifspourlesquelsnousutilisons lanotation: ( D( ) 0 ! D(E) 0 u 7! uÆ (i) : (1.1.10) Onnotera = (0) et 0 = (1) ,et pouru2D( ) 0 , uÆ =uÆ (0) et uÆ 0 =uÆ (1) ,

appelles mesures de simple ou he et double ou he respe tivement. Il est a noterque i ilanotationÆ

0

s'apparente ala derivationet pasal'adjoint.

Desproprietesde ontinuitedeu7!uÆ (i)

danslesespa esdeSobolevseront utilisees. Enparti ulierpuisque :H

1 (E)

l o !H

1=2

( ),sonadjointest ontinu

H 1=2 ( ) ! (H 1 (E) l o ) 0

. Les formules d'integration par parties usuelles dans

et

+

montrentque, ausens desdistributions:

8u2H 1 () l o grad E u = grad u [u℄nÆ 8u2H url () l o url E u = url u + [un℄Æ 8u2H div () l o div E u = div u [u
n℄Æ (1.1.11)

De plus les mesures de surfa e qui apparaissent dans es formules agissent non seulement sur les hamps(s alaires ou ve toriels suivant les as) de lasse

C 1

(E) , maisaussisur eux de lasseH 1 (E) (m^eme H div (E) , H url (E) et H 1 (E) respe tivement).

1.1.2 Representations integrales

Etant donne un nombre d'onde k >0, nousnous interessons aux solutions p,dans ou + de l'equationde Helmholtz:
p+k 2 p=0; (1.1.12)

qui satisfont des onditions au bord sur , de type Diri hlet (pj = u) ou Neumann(

n

pj =u). Pour les problemesexterieurs(i.e. dans +

) on impose

aussila onditionde radiationde Sommerfeld:

 

p(x) ikp(x)=o(1=jxj) ave (x)=x=jxj: (1.1.13)

On dit aussi qu'on impose aux ondes d'^etre sortantes. Dans la suite on fait

l'hypothese que +

est onnexe.

Pourresoudrelesproblemesdedira tionnousutilisonsdesrepresentations

integrales. SoitG k

lenoyau de Greensortant pour
k 2 surE : G k (x;y)= e ikjx yj 4jx yj : (1.1.14)

On onstruitalorslespotentielsdesimple ou he k etdouble ou he 0 k denis aprioripouru2H 0 ( ) et y2 + [ par: ( k u)(y)= Z G k (x;y)u(x)dx et ( 0 k u)(y)= Z  n(x) G k (x;y)u(x)dx: (1.1.15)

Cespotentielsoperentaussisurles hampsdeve teurssur (pasne essairement

tangents). Ilspeuvent^etre exprimesentermes de onvolutionde distributions. Soit g

k

la solution fondamentale sortante de
k 2

sur E. Alors on verie qu'ona:  k u=g k (uÆ ) et  0 k u =g k (uÆ 0 ) (1.1.16)

Lapremiereexpressionpermetd'etendre k

enunoperateur ontinuH 1=2 ( )! H 1 (E) l o . En parti ulier si u 2H 1=2 ( ), [ k

u℄= 0.On a alors aussi, puisque grad k u2H div () l o : [ n  k u℄Æ = [(grad k u)
n℄Æ (1.1.17) = (div div E )grad(g k uÆ ) (1.1.18) = ( k 2
E )g k uÆ (1.1.19) = uÆ (1.1.20)

Onobtient ainsilapremiere formule de saut,[ n

 k

u℄=u. Con ernant lepotentiel dedouble ou he on a div

E (unÆ )= uÆ 0 , don :  0 k u= div(g k unÆ ): (1.1.21)

Puisquesurles hampsde ve teurs
=graddiv url url, il s'ensuitque:

grad  0 k u = grad div (g k unÆ ) (1.1.22) = ( url url +k 2 )g k unÆ : (1.1.23) Or url E

(unÆ )=(rotu)Æ , don pourtoutu2H 1=2 ( ): url E g k (unÆ )=g k (rotuÆ )2H 1 T (E) l o : (1.1.24) Onobtient ainsi: grad  0 k u= urlg k (rotuÆ )+k 2 g k (unÆ ): (1.1.25) Don grad  0 k u 2 H div (E) l o . En parti ulier [ n  0 k

u℄ = 0. Ce al ul montre aussique  0 k est ontinuH 1=2 ( )!H 1 () l o . Ona aussi: [ 0 k u℄nÆ = [g k div E (unÆ )℄nÆ (1.1.26) = (grad E grad )divg k (unÆ ) (1.1.27) = (
E
)g k (unÆ ) (1.1.28) = unÆ (1.1.29)

Cequi donneladeuxieme formule de saut,[ 0 k

u℄= u.

Ces al ulsmontrent quesi u2H 1=2 () et v2H 1=2 (),alorsave : p= k v  0 k u; (1.1.30)

p est une solution dans H 1

() l o

de l'equation de Helmholtz dans satisfai-sant la ondition de radiation de Sommerfeld. De plus v = [

n

p℄ et u = [p℄. Re iproquement on a letheoreme suivant,ditde representation:

Theoreme 1.1.1 Sipestunesolutiondel'equationdeHelmholtzsur= [

+ de lasse H 1 () l o

et satisfaisant la ondition de radiation de Sommerfeld, alors on a [p℄2H 1=2 (), [ n p℄2H 1=2 () et: p= k [ n p℄  0 k [p℄ (1.1.31) {Demonstration : Puisquep2H 1 () l o on a: grad E p=grad p [p℄nÆ (1.1.32) et puisquegrad p2H div () l o on a:
E p=
p [ n p℄Æ div E ([p℄nÆ ) (1.1.33) D'autrepart
p= k 2

p et p estsortante; ils'ensuitque:

p=g k  [ n p℄Æ [p℄Æ 0 )
; (1.1.34)

e quin'est autreque laformuleannon ee. 

1.1.3 Equations integrales

Les resultatspre edents montrent queles deux operateurs S k et N k denis par: S k u=  k u et N k u= 0  0 k u; (1.1.35) sont ontinus H 1=2 ( ) ! H 1=2 ( ) et H 1=2 ( ) ! H 1=2 ( ) respe tivement. L'etude theorique et numerique de es operateurs repose sur la propriete de

oer ivite (voir Nedele -Plan hard [62 ℄):

Proposition 1.1.2 Il existeC >0 tel que pour tout u2H 1=2 ( ): hS 0 u;ui1=Ckuk 2 1=2 : (1.1.36)

{Demonstration : Pourtout R>0 onnote B R

laboulefx : jxj<R get S R laspherefx : jxj=R g; designele hampx7!x=jxj. Desque B

R ona: hS 0 u;[ n  0 u℄i= Z B R jgrad 0 uj 2 Z S R ( 0 u)(   0 u): (1.1.37)

Or 0

u herite desproprietes dede roissan e a l'innide g 0 ,en parti ulier: grad 0 u=O(1=jxj 2 );  0 u=O(1=jxj) et    0 u=O(1=jxj 2 ): (1.1.38)

Ainsi,passant ala limiteR!1,on obtient:

hS 0 u;u i= Z E jgrad 0 uj 2 : (1.1.39)

On on lutalorsparla ontinuiteH div

()!H 1=2

( )del'operateurv7![v
n℄.



Poursuivantle al ul ommen e en (1.1.25) onobtient:

N k u = n urlg k (rotuÆ ) k 2 g k (unÆ )
(1.1.40) = rot T g k (rotuÆ ) k 2 n g k (unÆ ); (1.1.41)

et don notant aussi S k

l'operateur de simple ou he agissant sur les hamps de ve teurson obtient (voirNedele [57 ℄[60℄ et Hamdi[39 ℄):

Proposition 1.1.3 On a pour tout u;v2H 1=2 ( ): hN k u;vi=hS k rotu;rotvi k 2 hS k un;vni: (1.1.42)

Ilest lairquepourtoutv2H 1=2

( ), k

uresoutleproblemedira tionde Diri hletrelatifavdans ,

+ ousietseulementsiS k u=v.Dem^emepour tout v 2H 1=2 ( ),  0 k

u resout le probleme dira tion de Neumannrelatif a

v dans , +

ou siet seulement si N k

u =v. On est don amene aetudier l'inversibilitede esoperateurs.

Proposition 1.1.4 LesoperateursS k :H 1=2 ( )!H 1=2 ( )etN k :H 1=2 ( )! H 1=2

( ) sontFredholm d'indi e 0.

{Demonstration : On montre que l'operateur S k

S 0

est ompa t en tant qu'operateurH

1=2

( )!H 1=2

( ) equiave la oer ivitedeNedele -Plan hard donneleresultatpourS

k

.Dem^emelaformule(1.1.42)montrequeN k

satisfait

uneinegalite de GardingsurH 1=2

( ), e qui donnele resultat pourN k

. 

L'etude du probleme interieur (dans ) est lassique et repose sur elle desvaleurs propres d'unoperateur ompa t auto-adjoint. Onnote (

D i ) (resp. ( N i

)) la suite stri tement roissante des valeurs propres de
sur ave

des onditionsau bordde Diri hlet(resp. Neumann).Onpose:

K D =f( D i ) 1=2 : i2Ng et K N =f( N i ) 1=2 : i2Ng: (1.1.43) Lorsquek 2= K D (resp.k 2=K N

)leproblemedeDiri hlet(resp.Neumann)

non-homogene dans admet une solution unique. On note aussi E D k (resp. E N k ) lenoyau de
+k 2

ave des onditions au bord homogenes de Diri hlet (resp. Neumann).Ainsi E

D;N k

est de dimensionnie et est non nul si et seulement si k2K

D;N

Pourleproblemeexterieuronmontred'abordl'uni ited'unesolutioneventuelle.

Unetheoriespe tralepluselaboree que elleutiliseepourleproblemeinterieur donnel'existen edesolutionspourtoutk >0parleprin iped'absorptionlimite (passagealalimite&0pourdesnombresd'onde k+i).Uneautre strategie

onsisteaetudierleprobleme exterieur aunebouleB ontenant en utilisant desharmoniques spheriques sur B, puisa reduire le probleme exterieur a un probleme dans B\

+

. Cette methode fait don intervenir des onditions au

bord de transparen e sur B. Il est possible de deduire de es etudes, l'inver-sibilite de S

k et N

k

quand k n'estpas une resonan e. Nous esquissons i iune troisieme methode, elle aussi lassique, dans laquelle l'existen e de solutions du probleme exterieur est deduite de la propriete de Fredholm des operateurs

integraux.

Proposition 1.1.5 Pourtoutk>0siunelementpdeH 1 l o

( +

)veriel'equation de Helmholtz, la ondition de radiation de Sommerfeld et la ondition au bord

p=0 (Diri hlet) ou 0

p=0 (Neumann) alors p=0.

{Demonstration : Cettepropositionde ouled'untheoremedeRelli hquietait deja impli ite dans lademonstration du theoreme de representation. Voir par

exempleTaylor[110 ℄ (Vol. II, Chap.9,p.147-148).  Onen deduit:

Proposition 1.1.6 Pour tout k > 0, l'operateur S k

(resp. N k

) est inversible siet seulement sik n'estpas uneresonan e interieure deDiri hlet (resp.

Neu-mann).On a: kerS k = 0 E D k et kerN k = E N k : (1.1.44)

{Demonstration : Consideronsle asDiri hlet,le asNeumannetantanalogue.

Si u = 0

p ave p 2E D k

, alorsetendant p par 0 dans le domaine exterieur, ona parletheoreme de representationp=

k u,don S k u= p=0. Re iproquement si S k u =0 alors  k uj 2E D k

et paruni ite des solutions exterieures

k uj

+

=0.Don d'apreslapremiereformulede sautu2 0

E D k

. 

Corollaire 1.1.7 Si k n'est pas une resonan e interieure de Diri hlet (resp. Neumann), le probleme de Diri hlet (resp.Neumann) exterieur admet une so-lutionunique, representable par potentiel desimple (resp. double) ou he.

On peut montrer qu'il y a des solutions aux problemes exterieurs pour tout

k>0.Cependant elles- inesontpastoujoursrepresentablespardespotentiels ommedansle orollaire i-dessus.Nousyreviendrons.

1.1.4 Formules de Calderon

L'etude desoperateurs integraux montre que S k

et N k

sont des operateurs

d'ordre 1et 1respe tivement. Sur le noyaudeni par:

(x;y)7! n(x)

G k

aun singularite bornee parC=jx yj.Onobtient ainsiuntroisiemeoperateur, note D k et donnepar: (D k u)(y)= Z  n(x) G k (x;y)u(x)dx: (1.1.46)

Ilestd'ordre 1.Son transpose est note D ? k

. Onmontrealorsque:

Proposition 1.1.8 On a:   0 k u=(1=2)u+D k u et 0  k u=(1=2)u+D ? k u (1.1.47)

Proposition 1.1.9 L'operateur suivant estun proje teur:

(1=2)  I 0 0 I  +  D k S k N k D ? k  (1.1.48)

{Demonstration : Ils'agit de l'operateur produit:  + 0+   0 k  k  (1.1.49)

Don atout (u;v) ilasso ie lessautsdu hampegala  k v  0 k udans + et 0 dans .Laproprietedeproje tionde oulealorsdutheoremederepresentation.



Cet operateur est appelleproje teurde Calderonexterieur.On a:

 D k S k N k D ? k  2 =(1=4)  I 0 0 I  (1.1.50)

Soitplusexpli itement:  D k D k +S k N k D k S k +S k D ? k N k D k +D ? k N k N k S k +D ? k D ? k  =(1=4)  I 0 0 I  (1.1.51)

1.2 Resolution numerique stabilisee

1.2.1 Dis retisation, onditionnement

Dans la suite nous onsiderons le probleme de Neumann dans le domaine

exterieur: Etant donnek >0, et v2H 1=2

( ) trouverl'onde dira tee p dans H 1 ( + ) l o

,solutiondel'equationdeHelmholtzdans +

satisfaisantla ondition de radiation de Sommerfeld, et la ondition au bord 

n p = v. En pratique v=  n p in

, pouruneondein idente p in

denombred'onde k et reguliere sur

unvoisinagede .Sik n'estpasuneresonan einterieuredeNeumannon peut representer p parun potentiel de double ou he p = 

0 k

u ou u est la solution de N

k

u = v. La formulationvariationnellede e problemeest:

u2H 1=2 ( ) et 8u 0 2H 1=2 ( ) hN k u;u 0 i= hv;u 0 i (1.2.1)

On resout e probleme de fa on appro hee par lamethode Galerkin. Le hoix

usuel onsisteatriangulerlasurfa e et aprendredeselementsnisP 1

onti-nussur estriangles,transportees sur parlaproje tionorthogonale.

Plusexpli itement,soit(T h

)unefamilledetriangulationsde ,parametree

parh, le plusgrand diametre des triangles de T h

. On suppose que h par ourt unensembledenombrablequines'a umulequ'en0.Onsupposeaussique(T

h ) estreguliere au sens ou,si pour haque triangleT on noteh

T

son diametre et

 T

lediametredu er leins ritdeT, ilexiste C>0telquepourtouthet tout triangleT de T h :  T 1=Ch T : (1.2.2) Soit h

le polyedre determine par T h

. On note X(T h

) l'espa e des fon tions ( omplexes) ontinues sur

h

et dont la restri tion a haque triangle est un polynome de degre 1. Pour h suÆsamment petit la proje tion orthogonale }

sur est bien denie sur h

et admet un inverse (a droite)  h : ! h et on pose: X h =fuÆ h : u2X(T h )g: (1.2.3) Onresout: u2X h et 8u 0 2X h hN k u;u 0 i= hv;u 0 i: (1.2.4) Puisque N k

satisfait une inegalite de Garding ette equation admet, pour h suÆsammentpetit, uneuniquesolutionu

h , et (u

h

) tendvers u dansH 1=2

( ). Nous renvoyons aux ouvrages generaux, e.g. Nedele [122℄ et Ciarlet-Lions [120℄pourlesgeneralitessurlamethodedeselementsnis;aNedele [55 ℄pour

des aspe ts spe iques aux equations integrales (par exemple l'approximation delageometrieet l'eetdu al ulappro hedesintegralessingulieres); ete.g.a Demkowi z[35 ℄pourl'etudedessystemessatisfaisantuneinegalite deGarding

dansle adredes onditionsInf-SupdeBabuska[6 ℄.Lesresultatsne essairessur e dernierpoint sont regroupesdansl'appendi eA.Notons que pour ertaines proprietes liees a l'approximation de la geometrie (non prise en ompte i i)

il faut faire une hypothese supplementaire dite de quasi-uniformite, rappellee i-dessous.

L'aspe t qui nous interesse i i est le mauvais onditionnement du systeme

matri iel orrespondant auprobleme deGalerkin i-dessus.Soit e h =(e h (i)) la baseusuellede X h

; pour haquesommet ideT h

,e h

(i) estl'element deX h

qui vaut 1 en e sommet et 0 auxautres sommetsde T

h . Soit A h (k) la matri ede GalerkindeN k : (A h (k)) ij =hN k e h (j);e h (i)i et (L h ) i = hv;e h (i)i: (1.2.5)

La tradu tionmatri ielledusysteme (1.2.4) i-dessusest alors:

A h (k)U h =L h (1.2.6)

SoitB h

la matri e(ditematri ede masse) denie par:

(B h ) ij =he h (j);e h (i)i: (1.2.7)

Supposons que la famille (T h

) soit quasi-uniforme, 'est a direqu'il existe C>0tel quepourtouth et pourtout ouple(T;T

0 ) de trianglesde T h on a: h T 0 1=Ch T : (1.2.8)

Alors le hoixdebase i-dessus entraine queB h

satisfait uneestimation:

(1=C)h 2 kUk 2 jB h U
UjCh 2 kUk 2 ave kUk 2 = X i jU i j 2 : (1.2.9)

Autrement dit, a un fa teur d'e helle pres le produit s alaire sur les uplets

asso ieaB h

{qui orrespondauproduits alaireL 2

( )surles hampss alaires{ estequivalent au produits alaire `

2

sur lesuplets.

D'autrepart l'hypothese de quasi-uniformite donne l'inegalite inverse: Il existe C>0tel quepourtouth:

8u2X h kuk 1 Ch 1 kuk 0 : (1.2.10)

Cetteinegalite estoptimale.

L'operateur N k



etant elliptique, inje tif et d'ordre s= 1, il s'ensuit que le

onditionnement` 2 delamatri eA h (k) se omporte ommeh jsj =h 1 quand h tend vers 0 (a k xe). De plus les parties reelles des valeurs propres sont reparties de fa on relativement reguliere entre les valeurs extremes. Ces deux proprietes font que la onvergen e d'algorithmes iteratifs du type gradients

onjugues devient tres lente quand h tend vers 0. En parti ulier puisque le pas du maillage doit ^etre inferieur a au moins le inquieme de la longueur d'onde, ela ontribuealadiÆ ultederesoudredesproblemeshautefrequen e.

A haute frequen e il semblerait que des fortes intera tions longue distan e de type optique geometrique, soient aussi nuisiblesa la onvergen e, sans que e me anisme soit bien ompris. Nous reviendrons plus tard aux problemes lies

auxresonan esinterieuresde Neumann.

La litterature existante sur les methodes de pre onditionnement est trop

largepourqu'onpuisseenrendre omptei i.Deplusledomaineevoluetres ra-pidement.Lespremierspre onditionneursetaientdenaturetresalgebrique

(fa -torisationLUin ompleteparexemple,enrelationave delatheoriedesgraphes appliquee a la stru ture reusedes matri es) et n'utilisaient pratiquement pas les proprietes des operateurs sous-ja ents aux matri es. Plus re emment des

methodesdede ompositiondedomaineenliaisonave laparallelisationsesont montreeseÆ a espourresoudredesproblemesave desoperateursdierentiels lo aux, dontl'ar hetype estleLapla ien.Citonsegalement les methodes multi-niveaux,quid'une ertainefa on onsistenta onstruiredesbaseshierar hisees

pour resoudre les problemes. En separant par es hoixde base les

omporte-ments haute frequen e et basse frequen e, ou les omportements lo aux a un sous-domaine, on obtient des algorithmes plusstables et rapides. L'extension de esmethodesa desproblemesve torielsou mixtesestrelativement re ente;

voirenparti ulierHiptmair[43 ℄,Arnold-Falk-Winther[5 ℄etlesreferen esqu'ils donnent.

La methode proposee i i se distingue entre autre par le fait qu'elle est

independante des hoix de base, au sens ou la solution appro hee obtenue a haque iteration nedependpasde labase hoisiepourl'espa ede Galerkin.

1.2.2 Pre onditionneurs variationnels

LeproblemeGalerkinpre edent s'ins ritdansle adregeneral suivant,dans lequelnouspouvonsaussi de rire lamethode de pre onditionnement que nous proposons.

Soit X un espa e de Hilbert , dont le orps de base K est R ou C. Soit a(
;
) une forme bilineaire ontinue sur X veriant les onditions Inf-Sup de Babuska.Soitluneformelineaire ontinuesurX.Nous onsideronsleprobleme

variationnel: u2X et 8u 0 2X a(u;u 0 )=l(u 0 ): (1.2.11)

Pour le resoudre de fa on appro hee nous introduisons une famille (X h

) de sous-espa es de dimension nie de X et nous supposons que a(
;
) verie une onditionInf-Sup dis rete uniformeen h. Nousresolvons:

u2X h et 8u 0 2X h a(u;u 0 )=l(u 0 ): (1.2.12)

A ettennous hoisissonsunebasee h =(e h (i))deX h etdenissonslamatri e A h et le upletL h par: (A h ) ij =a(e h (j);e h (i)) et (L h ) i =l(e h (i)): (1.2.13)

Alorsil existe ununiqueupletU h tel que: A h U h =L h ; (1.2.14) et P i (U h ) i e h

(i) estlasolutiondu probleme variationneldis ret i-dessus.

Nous onsideronsi idesstrategiesdepre onditionnementdusysteme(1.2.14) i-dessus bases sur la remarque suivante: On suppose qu'on onnait un es-pa e de Hilbert Y, dual de X par une forme bilineaire b(
;
) sur Y X,

ainsi qu'une forme bilineaire ontinue non degeneree (
;
) sur Y. Pour en deduireun pre onditionneurnous supposons que nousdisposons d'une famille desous-espa es(Y

h

)deY telsqueb(
;
)et (
;
)verientdes onditionsInf-Sup

dis retesuniformesenh(sur(Y h Y h )et(Y h X h

)respe tivement).Nousnous donnonsunebase f

h de Y

h

et nousdenissons deuxmatri es B h et C h par: (B h ) ij =b(f h (j);e h (i)) et (C h ) ij = (f h (j);f h (i)): (1.2.15)

Notant h labije tionU 7! P i U i e h (i)deK N h versX h (ouN h =dimX h )nous avons:

Proposition 1.2.1 Il existe  et stri tement positifs, telsque pour touth et

tout U dans K N h : k h Uk X k h B ? 1 h C h B 1 h A h Uk X k h Uk X (1.2.16)

{Demonstration : Nousexprimonset  apartirdes onstantesde ontinuite etd'Inf-Supdea,bet .Soitdon

i

des onstantestellesquepourtousu;u 0 2X et v;v 0 2Y : ja(u;u 0 )j 0 kukku 0 k; j (v;v 0 )j 1 kvk kv 0 k et jb(v;u)j 2 kvkkuk: (1.2.17) Soit i

des onstantes positivestellesquepourtout h:

inf v2Y h sup u2X h jb(v;u)j kvk kuk  1 3 ; inf u2X h sup v2Y h jb(v;u)j kvk kuk  1 4 ; (1.2.18) inf u2X h sup u 0 2X h ja(u;u 0 )j kukku 0 k  1 5 ; inf v2Y h sup v 0 2Y h j (v;v 0 )j kvk kv 0 k  1 6 : (1.2.19)

En utilisant en parti ulier l'estimation (A.3.2), on voit que l'enon e est satis-fait des que   4 1 3 0 et 1   5 2 6 2

. On remarque par ailleurs que es onstantes sont independantesdes hoixde basesur X

h et Y

h

. 

Nous proposons don de pre onditionnerA h parlamatri e: Z h =B ? 1 h C h B 1 h : (1.2.20)

Pourtoutematri e arree M onnote(M) sonrayon spe tral.SiM est

in-versibleonappelle onditionnementspe traldeMlereel(M)=(M)(M 1

). SiM n'estpasinversibleon onsiderequeson onditionnementspe tralest in-ni.

Laproposition i-dessusentrainequepourtouth lerayonspe traldeZ h

A h estinferieura et lerayon spe tralde(Z

h A

h )

1

est inferieura 1 . Le ondi-tionnement spe tralde Z h A h

est don inferieura=.

Si a et sont des formes bilineaires ontinues symetriques et oer ives sur des espa es de Hilbert reels, on en deduit que si U

n h

est le n'ieme itere de l'algorithme des gradients onjugues pre onditionnes (PCG) et U

h la solution du systeme A h U =L h alors: kU n h U h k A h 2(  1 +1 ) n kU 0 n U h k A h ave =(   ) 1=2 : (1.2.21)

I i omme ailleurs on note kUk 2 A h = A h U
U = a( h U; h U). Puisque a(
;
) denitun produits alaire sur X ompatible ave sa topologie, la onvergen e i-dessus alieudansunenorme naturelle.

1.2.3 Appli ations a l'a oustique

Revenons au as de la dira tion d'ondesa oustiques, et pluspre isement

au probleme de Neumannresolupar potentiel de double ou he. Les matri es A

h

(k) et B h

ont deja ete denies, B h



etant interpretee omme la matri e de ladualiteH 1=2 ( )H 1=2 ( ).OndenitC h

(k) ommelamatri ede Galerkin danse h de l'operateur S k , et onpose: Z h (k)=B ? 1 h C h (k)B 1 h (1.2.22) Pourpre onditionnerA h (k)onutiliselamatri eZ h (k 0

)pourunnombred'onde

k 0

qui peut ^etre dierent de k (par exemple a partie imaginaire positive). On utilisera la plupart du temps i i le hoix k

0

= k, mais on s'autorise aussi des k

0

dierents pour eviter des problemes liesaux resonan es. D'autres variantes sontaussipossibles(parexemplerempla erS

k

0 paruneperturbation ompa te

deS 0 ). SiS k 0 etN k

sontinversibles,lesformesbilineairesaet satisfontdes ondi-tionsInf-Supdis retesuniformesen h,en onsequen edestheoremesgeneraux surles perturbations ompa tes desformes oer ives (voir l'appendi eA et en

parti ulierlapropositionA.5.2).

Pour b rappellons d'abord que b satisfait une ondition Inf-Sup uniforme surX h en normeH 1=2 ( )H 1=2

( ) si (etseulement si) le proje teurde Ritz asso ie a b sur X

h

{qui n'est autre que la proje tion L 2 sur X h { est stable en norme H 1=2

( ), i.e. a une norme d'operateur H 1=2

( ) ! H 1=2

( ) bornee independamment de h. C'est un as parti ulier de la proposition A.3.2. Si le maillage est quasi-uniforme il est bien onnu que ette proje tion est stable en norme H 1 ( ); notant P 0 h la proje tion L 2 et P 1 h la proje tion H 1 il suÆt d'e rire: kP 0 h uk 1  kP 0 h (u P 1 h u)k 1 +kP 0 h P 1 h uk 1 (1.2.23)  Ch 1 kP 0 h (u P 1 h u)k 0 +kP 1 h uk 1 (1.2.24)  Ch 1 ku P 1 h uk 0 +kuk 1 (1.2.25)  Ckuk 1 ; (1.2.26)

ouonautiliseenparti ulieruneinegalite inverseet lelemmed'Aubin-Nits he. Parinterpolationon endeduitlastabilite H

1=2

( ).Notons aussique e

raison-nementvautpourdeselementsnisde toutordre.

En presen e de singularites de la surfa e ou du se ond membre (l'ex ita-tion) la solution est (ou peut ^etre) singuliere (en un sens a pre iser) et il est avantageuxd'utiliserdesmaillageslo alementraÆnes.Lesfamillesdemaillages

orrespondantesnesont pasquasi-uniformes.Cependantpourde larges lasses de telles famillesde maillages, la stabilite de la proje tion L

2

en norme H 1

a ete demontree (voir en parti ulier Crouzeix-Thomee [34 ℄), et donne l'Inf-Sup dis retre her he omme nousl'avionsremarque dans[133℄.